Álgebra Linear e Vetorial - Respostas livro Unopar

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Álgebra Linear 
e Vetorial
APÊNDICE
UNIDADE 1
1U1 - Matrizes e sistemas lineares
UNIDADE 1: Matrizes e sistemas lineares
Gabarito 1. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: D 
Primeiramente, veja que v foi definido como uma matriz transposta. 
Resolvendo essa transposição, temos: 
v =
−
−
















1
1
1
1
,
A apresenta 4 colunas e v, 4 linhas, logo o produto existe. Como A 
apresenta 3 linhas e v, 1 coluna, Av será de ordem 3 1´ .
Resolvendo o produto, temos:
Av =
− − − −












−
−
















=
=
1 2 3 4
5 6 7 8
1 2 3 4
1
1
1
1
1⋅⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅
⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅
− ⋅ −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
1 2 1 3 1 4 1
5 1 6 1 7 1 8 1
1 1)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅












=
− + − +
− + − +
2 1 3 1 4 1
1 2 3 4
5 6 7 88
1 2 3 4− + −












,
portanto: 
Av =
−












2
2
2
, 
ou equivalentemente, 
( )Av T = −[ ]2 2 2 .
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
2 U1 - Matrizes e sistemas lineares
2. Alternativa Correta: C 
Resposta Comentada: 
Para a resolução desse problema, analisaremos cada uma das 
afirmações.
 I. Para mostrar que essa afirmação está incorreta, suponha as 
matrizes:
A =












1 0
0 1
1 1
 e B =








1 0
1 0
.
Veja que a ordem de A é 3 2´ e a ordem de B é 2 2´ , logo o 
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, ou 
seja, AB existe. Entretanto, o número de colunas de B não é 
igual ao número de linhas de A e, portanto, BA não existe.
Concluímos então que AB BA¹ . Afirmação I é falsa.
 II. Para essa afirmação, ainda utilizaremos a mesma matriz A 
apresentada no item I.
Assim, como IA é a matriz identidade com o mesmo número 
de linhas do que A,
I IA = =












3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Logo, I A AA = , porém, como o número de colunas de A não é 
igual ao número de linhas do que IA , temos que AIA não 
existe.
Portanto, I A AIA A¹ . Afirmação II é falsa. 
 III. Para verificar que essa afirmação é correta, devemos tomar A e 
B como matrizes genéricas.
Assim, como estamos supondo que a ordem de A é 3 4´ , 
dizemos que: 
A
a a
a a
a a
a a
a a
a a
=












11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
.
3U1 - Matrizes e sistemas lineares
Como B é diagonal de ordem 4 4´ , temos:
B
b
b
b
b
=
















11
22
33
44
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
.
Daí, temos que:
AB
a a
a a
a a
a a
a a
a a
b
=












11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 0 0 0
0 bb
b
b
22
33
44
0 0
0 0 0
0 0 0
















.
Aplicando a multiplicação por linhas e colunas, obtemos:
AB
a a
a a
a b a b b b
a b a b b b
a b a
=
11 11 12 22 13 33 14 44
21 11 22 22 23 33 24 44
31 11 332 22 33 33 34 44b b ba a












,
ou seja, o resultado do produto foi o equivalente a multiplicarmos 
a primeira coluna de A pelo primeiro elemento da diagonal de B, a 
segunda coluna de A pelo segundo elemento da diagonal de B, e 
assim por diante.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
3. Alternativa Correta: A 
Resposta Comentada: 
Pelas definições do enunciado, temos que:
A vv vv vv vvT T T T3
3
= ( ) = ( )( )( ).
Esse produto pode ser reescrito como:
A v v v v v v v v v vT T TT T3
2
= ( )( ) = ( ) .
Veja que vT apresenta 1 linha, enquanto v tem 1 coluna. Concluímos 
que v vT tem 1 linha e 1 coluna (é um escalar).
4 U1 - Matrizes e sistemas lineares
Calculando, temos:
v vT =
































= ⋅ +
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
33
1
3
1
3
1
3
⋅ + ⋅ 
Assim, obtemos:
v vT = + + =1
3
1
3
1
3
1.
Logo, já podemos verificar que a afirmação II é verdadeira.
Voltando à potência A3 , temos:
A v v v v v vv AvT T T T3 2 21 1= = = =( ) ( ) ( ) .
Assim, notamos que I é verdadeira, sendo consequência de II.
Gabarito 2. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada:
Seja x1 o número de caixas do tipo 1 montadas e x2 o número de 
caixas do tipo 2.
Como cada caixa do tipo 1 usa 8 pregos e cada caixa do tipo 2 
necessita de 6, no total utilizaremos:
8 61 2x x+ pregos.
Seguindo o mesmo raciocínio para os parafusos, ao final, 
utilizaremos 4 61 2x x+ parafusos. 
Assim, o sistema linear que devemos resolver para utilizar todos os 
pregos e parafusos é:
8 6
4 6
440
340
1
2















 =








x
x
.
Com as matrizes estendidas, obtemos o sistema:
8 6
4 6
440
340








.
5U1 - Matrizes e sistemas lineares
Resolveremos esse sistema por escalonamento, fazendo 
L L L2 2 10 5← − , , resulta:
8 6
0 3
440
120







 .
Por meio do qual concluímos que x2 40= e x1 25= , ou seja, 
x =








25
40
.
2. Alternativa Correta: E 
Resposta Comentada: 
Analisaremos cada um dos itens:
 I. Tomando x = 0 e realizando o produto matriz-vetor, obtemos:
Ax = 0 .
Logo, x = 0 é solução do sistema.
 II. Como o sistema é determinado, existe uma única solução. 
Pelo item I, sabemos que x = 0 é solução, portanto a única 
solução do sistema é x = 0 .
 III. Se x e y estiverem no núcleo de A, então ambos satisfarão o 
sistema homogêneo, ou seja,
Ax = 0 e Ay = 0 .
Veja que o produto matricial possui propriedade distributiva, daí:
A x y Ax Ay( )+ = + = + =0 0 0 .
Portanto, x y+ está no núcleo de A.
3. Alternativa Correta: E 
Resposta Comentada: 
Analisaremos cada uma das afirmativas:
1) Se o vetor xT = [ ]1 1 1 1 for solução, então o sistema deverá ser 
satisfeito na igualdade. Realizando o produto matriz-vetor, temos:
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1
1
1
1
1
1































=
⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ +
1 2 1 3 1 4 1
0 1 2 1 3 1 4 1
1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1⋅⋅
















=
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +







1
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1








=
















10
9
1
4
.
6 U1 - Matrizes e sistemas lineares
Logo, a primeira afirmação é verdadeira.
2) Se x e y forem soluções do sistema, então:
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1
















− =


( )x y














−
















=x y
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1
10
9
11
4
10
9
1
4
0
0
0
0
















−
















=
















.
Portanto, x-y é solução do sistema linear homogêneo, sendo a 
afirmação verdadeira.3) Para verificar a quantidade de soluções do sistema, aplicaremos 
o escalonamento. Como primeiro passo, reordenaremos as linhas 
fazendo L L1 3« (trocamos a linha 1 pela linha 3, e vice-versa). 
Assim, obteremos o sistema (na forma de matriz estendida):
1 0 0 0
0 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1 1
1
9
10
4

















; fazemos L L L3 3 1← − e L L L4 4 1← − , resulta 
1 0 0 0
0 2 3 4
0 2 3 4
0 1 1 1
1
9
9
3

















; resolvemos L L2 4« , obtemos 
1 0 0 0
0 1 1 1
0 2 3 4
0 2 3 4
1
3
9
9

















; 
fazemos L L L3 3 22← − e L L L4 4 22← − , montamos 
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 1 2
1
3
3
3

















, 
e, finalmente, com L L L4 4 3← − , temos 
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 0
1
3
3
0

















. 
Como há uma linha de zeros, o sistema é possível e indeterminado. 
Veja que esse fato já podia ser percebido após o primeiro passo do 
escalonamento, quando obtivemos duas linhas iguais no sistema. 
Concluímos que essa afirmação é verdadeira.
7U1 - Matrizes e sistemas lineares
4) Para verificar se os vetores do tipo xT = + +[ ]1 1 1 1a a são 
soluções para o sistema linear, aplicaremos o produto matriz-vetor.
1 2 3 4
0 2 3 4
1 0 0 0
1 1 1 1
1
1
1
1
















+
+















a
a
=
⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
⋅ + ⋅
1 1 2 1 3 1 4 1
0 1 2 1 3 1 4 1
1 1 0 1
( ) ( )
( ) ( )
(
a a
a a
++ + ⋅ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
















=
a a
a a
) ( )
( ) ( )
0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
==
+ + + + +
+ + + + +
+ + +
+ + + + +










1 2 3 4 2 4
0 2 3 4 2 4
1 0 0 0
1 1 1 1
a a
a a
a a





=
+
+
+
















10 6
9 6
1
4 2
a
a
a
Assim, xT = + +[ ]1 1 1 1a a é solução do sistema linear se, e 
somente se, a = 0. Logo, a afirmação é falsa.
Gabarito 3. Faça valer a pena
1. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada: 
Note que realizando a operação L L1 2« , obtemos a matriz:
B =






















3 1 1 1 1
0 2 1 1 1
0 0 1 1 1
0
0
0
0
0
0
0 3
1 1
.
E, pelas propriedades de determinantes, det( ) det( )A B=− . Agora, 
aplicando L L4 5« , temos:
C =






















3 1 1 1 1
0 2 1 1 1
0 0 1 1 1
0
0
0
0
0
0
1 1
0 3
,
e det( ) det( )B C=− .
8 U1 - Matrizes e sistemas lineares
Como C é triangular superior, concluímos que 
det( )C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =3 2 1 1 3 18 . Logo: det( )B =−18 e det( )A = 18 .
2. Alternativa Correta: A 
Resposta Comentada: 
Lembre-se de que se a matriz de um sistema linear for não singular, 
então, independentemente do vetor b, o sistema será definido.
Usando o Teorema de Laplace, e tomando os elementos da quarta 
linha de A, temos: 
det( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A a A a A a A a A a A= + + + +41
41
42
42
43
43
44
44
45
45
,
ou seja, 
det( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =0 0 0 1 041 42 43 44 45 44 .
Precisamos calcular o cofator A( )44 ; para isso, considere a matriz B 
resultante da remoção da 4ª linha e da 4ª coluna da matriz A, ou seja,
B =
















1 1 1 1
0 1 2 1
1 0 1 1
1 0 0 1
.
Veja que A B B( ) ( ) det( ) det( )44 4 41= − =+ .
Para calcular o determinante da matriz B, aplicaremos o Teorema 
de Laplace usando os elementos da última linha. Assim:
det( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
B b B b B b B b B
B B
= + + + =
= ⋅ + ⋅
41
41
42
42
43
43
44
44
41 421 0 )) ( ) ( ) ( ) ( ).+ ⋅ + ⋅ = +0 143 44 41 44B B B B
Veja que: 
B( ) ( ) det ( ) ( )41 4 11
1 1 1
1 2 1
0 1 1
1 2 0 1 0 1 1= −












= − ⋅ + + − − − = −+ 11 1 1⋅ = − 
e: 
B( ) ( ) det ( ) ( )44 4 41
1 1 1
0 1 2
1 0 1
1 1 2 0 1 0 0 2= −












= ⋅ + + − − − =+ .
9U1 - Matrizes e sistemas lineares
Logo:
det( )B =− + =1 2 1.
Assim, det( ) det( )A B= = 1. 
Como o determinante é diferente de zero, qualquer sistema linear 
definido por essa matriz terá solução única (independentemente 
de qual o vetor b), daí as afirmações II e III são falsas. Portanto, a 
única afirmação correta é a I.
3. Alternativa Correta: D 
Resposta Comentada: 
Veja que L é uma matriz triangular inferior, com elementos da 
diagonal principal iguais a 1, e U é matriz triangular superior. 
Fazendo o produto LU , temos:
LU =





















1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
4 3 2 1
0 3 2 1
0 0 2 1
0 0 0 1











=
1 4 0 0 0 0 0 0 1 3 0 3 0 0 0 0 1 2 0 2 0 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
1
2 4 1 0 0 0 0 0 2 3 1 3 0 0 0 0 2 2 1 2 0 2 0 0 2 1 1 1 0 11 0 1
3 4 2 0 1 0 0 0 3 3 2 3 1 0 0 0 3 2 2 2 1 2 0 0 3 1 2 1
+ ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ++ ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +
1 1 0 1
4 4 3 0 2 0 1 0 4 3 3 3 2 0 1 0 4 2 3 2 2 2 1 0 4 1 33 1 2 1 1 1⋅ + ⋅ + ⋅
















=
1 4 0 0 0 0 0 0 1 3 0 3 0 0 0 0 1 2 0 2 0 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
1
2 4 1 0 0 0 0 0 2 3 1 3 0 0 0 0 2 2 1 2 0 2 0 0 2 1 1 1 0 11 0 1
3 4 2 0 1 0 0 0 3 3 2 3 1 0 0 0 3 2 2 2 1 2 0 0 3 1 2 1
+ ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ++ ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +
1 1 0 1
4 4 3 0 2 0 1 0 4 3 3 3 2 0 1 0 4 2 3 2 2 2 1 0 4 1 33 1 2 1 1 1⋅ + ⋅ + ⋅
















=
4 3 2 1
8 6 3 4 2 2 1
12 9 6 6 4 2 3 2 1
16 12 9 8 6 4 4 3 2 1
+ + +
+ + + + +
+ + + + + +
















=
















=
4 3 2 1
8 9 6 3
12 15 12 6
16 21 18 10
A .
Logo, as matrizes L e U são a decomposição LU de A.
Assim, det( ) det( ) det( )det( )A LU L U= = . Como L e U são 
triangulares, para calcular seus determinantes, basta multiplicarmos 
os elementos da diagonal principal, daí:
det( )L = ⋅ ⋅ ⋅ =1 1 1 1 1 e det( )U = ⋅ ⋅ ⋅ =4 3 2 1 24.
10 U1 - Matrizes e sistemas lineares
Concluímos que det( )A = 24 e, portanto, a solução do sistema 
linear deve ser única (A é não singular).
Para verificarmos se o vetor xT = [ ]4 3 2 1 é solução do sistema, 
basta realizarmos o produto Ax :
Ax =
























4 3 2 1
8 9 6 3
12 15 12 6
16 21 18 10
4
3
2
1






=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
4 4 3 3 2 2 1 1
8 4 9 3 6 2 3 1
12 4 15 3 12 2 6 1
116 4 21 3 18 2 10 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
















.
Percebemos que o primeiro elemento desse produto (primeira 
linha e primeira coluna) é igual a 30, porém o primeiro elemento de 
b é igual a 10. Como 30 10¹ , temos:
Ax b¹ .
Portanto, xT = [ ]4 3 2 1 não é solução do sistema linear.