Modelagem - Aula 1

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Aula 1
Introdução
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21
Modelos e 
aplicações
Classificação de 
modelos 
matemáticos
Conteúdo
Como obter 
modelos
Aplicações e 
exemplos
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1
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3
1. Modelos e 
aplicações
Conceitos e nomenclatura 
fundamentais para o 
entendimento do conteúdo
Tipos de 
modelos
Protótipos, plantas-piloto, unidades semi-
industriais
Representação abstrata da realidade, feita 
através de equações
FÍSICOS MATEMÁTICOS
O que é um 
modelo 
matemático?
EYKHOFF (1974)
É uma representação dos 
aspectos essenciais de um 
sistema, que apresenta 
conhecimento do mesmo de 
forma utilizável.
DENN (1986)
É um sistema de equações 
cuja solução, dado um conjunto 
de dados de entrada, é 
representativa da resposta do 
processo.
RICHTER (2021)
É uma aplicação de 
ferramentas matemáticas, de 
forma lógica e direta, que 
retorna um resultado associado 
a uma confiabilidade.
Simulação é a obtenção da 
resposta temporal das 
variáveis de interesse […] de 
um modelo, quando se 
excita suas variáveis de 
entrada com sinais 
desejados e se definem os 
valores das condições iniciais 
das variáveis dependentes.”
“
—Garcia, 2009
EQUAÇÕES
Aproximação do 
modelo real, mas nunca 
a realidade!
CUSTO
O profissional deve
conciliar o custo da 
obtenção do modelo e 
seu resultado prático 
(precisão)
ESCOPO
A disciplina terá seu
foco em processos
conhecidos dos alunos
Pontos 
importantes ao 
determinar um 
modelo
02
03
01
f (X, Y, P)
YX
P
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PROJETO
de equipamentos e unidades 
industriais completas, desde 
o conceito até o 
detalhamento
OPERAÇÃO
inclusive pré-operação de 
unidades industriais, 
facilitando a posta em 
marcha, o comissionamento 
ou o descomissionamento
SISTEMAS DE 
CONTROLE
Definição de características 
operacionais fundamentais 
de sistemas de controle
OTIMIZAÇÃO
Com modelos estáticos, 
busca maximizar 
rendimentos e minimizar 
custos
Aplicações de 
modelos na 
engenharia
2. Classificação 
de modelos
Tipos de modelos matemáticos e 
suas aplicações específicas na 
engenharia
Com relação 
aos parâmetros
Variações espaciais desprezadas. Propriedades e 
estados do sistema são considerados 
homogêneos em todo o volume de controle
Geram sistemas de EDOs
Consideram variações espaciais no 
comportamento das variáveis (sistemas reais)
Geram sistemas de EDOs parciais
CONCENTRADOS DISTRIBUÍDOS
Com relação à 
linearidade
Variáveis dependentes ou suas derivadas 
aparecem apenas no primeiro grau
Regra da superposição é aplicável:
J(x1 + x2) = J(x1) + J(x2)
J(kx) = k. J(x)
Variáveis aparecem no segundo e terceiro graus, 
e assim por diante
LINEARES NÃO LINEARES
Com relação à 
continuidade
Variáveis podem assumir qualquer valor dentro 
de um determinado intervalo
Variáveis assumem somente valores específicos 
em dado intervalo
CONTÍNUO DISCRETO
Com relação ao 
tempo
Ou estacionário, ou invariante no tempo
Variáveis permanecem constante ao longo do 
tempo
Modelo = sistema de equações algébricas
Ou transiente ou transitório
Variáveis variam ao longo do tempo 
(independentes)
Solução completa abrange regimes permanente 
e transitório (EDOs)
ESTÁTICO DINÂMICO
3. Como obter 
modelos
Maneiras, justificativas, 
aplicações
Dependendo de como 
é obtido, como se 
enquadra um modelo?
TEÓRICO (OU 
ANALÍTICO)
Desenvolvido com o uso dos 
princípios de Física e 
Química e suas diversas 
aplicações em problemas de 
engenharia (FT, Termo, etc.)
Possível extrapolação
EMPÍRICO (OU 
EURÍSTICO)
Desenvolvido a partir da 
observação direta dos dados 
operacionais do processo, 
relações causa-efeito, relações 
entre dados de entrada e saída
Extrapolação difícil
POR ANALOGIA
Utiliza equações que 
descrevem um sistema 
parecido (análogo), com 
variáveis identificadas 
individualmente
Extrapolação pode ser inútil 
(efeito de escala)
EQUAÇÕES LINEARES EQUAÇÕES NÃO LINEARES
N° DE EQUAÇÕES
Uma Algumas Muitas Uma Algumas Muitas
Algébrica Trivial Fácil PI Muito difícil
Muito 
difícil Impossível
EDO Fácil Difícil PI Muito difícil Impossível Impossível
Diferencial parcial Difícil PI Impossível Impossível Impossível Impossível
Problemas matemáticos e suas soluções por 
métodos analíticos
Estágios no estudo da dinâmica de sistemas
Validação do 
modelo
Testes para
coleta de dados
Estágio A: Modelamento 
matemático
Estágio B: 
Comportamento
dinâmico
Estágio C: Aplicação
da solução encontrada
Comportamento dinâmico medido
Correções no modelo
físico
Modelo
matemático
Eventuais alterações no sistema real
Sistema
real
Comport.
din. previsto
4. Aplicações e 
exemplos
Achou que ia ficar só olhando de 
câmera fechada?
Elementos característicos de processos 
industriais
Atraso de 
transferência
Armazenam energia mecânica (inércia), elétrica 
(capacitância), térmica (capacitância térmica) e 
fluidos (tanques)
Resistem à transferência de energia
Atrito, resistores, perda de carga e resistência 
térmica
CAPACITÂNCIA RESISTÊNCIA
É a combinação entre capacitância e resistência, que
corresponde a um atraso na saída (variável) do 
processo.
Constante de tempo: atraso de transferência de 
primeira ordem
Multiplicando unidades coerentemente, tem-se o 
atraso RC, ou capacitivo, ou lag
Atraso de transferência
Atraso de transferência numa armazenagem 
de fluidos
Supondo não haver perdas de calor, fluido com densidade constante, regime estacionário
Ao variar T1 (degrau), T2 lentamente entra em equilíbrio (função de Arrhenius)
Considere o degrau como a variação entre o T1 inicial e o T1 no tempo t
Atraso de transferência numa armazenagem 
de fluidos
𝑇2 𝑡 = 𝑇2,0 + 𝐴 1 − 𝑒
−
𝑡
𝜏𝑇 , t > 0, onde 𝜏𝑇 =
𝑉
𝑄
𝐴 = 𝑇1 𝑡 − 𝑇1,0
Atraso de transferência numa armazenagem 
de fluidos
𝜏𝑇 =
𝑃
𝑄
.
𝑉
𝑃
=
𝑉
𝑄
= 𝑅. 𝐶
Na equação anterior, fazendo t = τt, determina-se o ponto intermediário no gráfico
Este problema equivale-se ao circuito elétrico RC em série, com uma tensão E
E se fôssemos modelar H em vez de T, com escoamento por gravidade?
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Sistemas de 
primeira ordem
Sistemas cuja resposta seja afetada por um 
atraso de transferência de primeira ordem e 
possuem a seguinte equação constitutiva, 
considerando ganho K não unitário:
𝐺 𝑠 =
𝐾
1 + 𝑠. 𝜏
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Atraso de 
transporte (θ)
No exemplo, é o tempo necessário para que o 
fluido percorra a tubulação até checar ao 
transmissor de temperatura. Consegue pensar 
em outros exemplos?
Também chamado de atraso puro ou tempo 
morto (dead time)!
Atraso de transferência com
ordem superior a 1
Ocorre quando conjuntos tipo RC de um processo estão em série! Como H1 independe de H2, neste caso a função
de transferência passa a ser de segunda ordem
𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 . 𝐺2 𝑠
(1) ESPECIFICAR O SISTEMA
Imagine um modelo físico cujo comportamento se ajuste 
ao seu sistema. É necessário assumir simplificaçãoes e 
escolher as variáveis de entrada
Método analítico para 
obtenção de modelos 
matemáticos
02 03
(2) DERIVAR UM MODELO MATEMÁTICO
Neste caso, o modelo matemático representa o modelo físico. 
Aplicação de leis físicas e EDOs para obtenção de variáveis 
de entrada e saída.
(3) COMPORTAMENTO DINÂMICO
Após obter analiticamente o modelo matemático, é 
possível verificar o comportamento dinâmico do 
sistema. Aquí você pode simular! 
01
Especificar o sistema é 
simplificar sem invalidar!
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DESPREZAR 
PEQUENOS EFEITOS
Para reduzir o número de variáveis. 
Ex.: assumir que os componentes de 
um circuito elétrico sejam 
puramente resistivos
Ambiente do entorno não afetado 
pelo sistema. Ex.: num circuito 
elétrico, assumir fonte ideal
SUBSTITUIR 
CARACTERÍSTICAS 
DISTRIBUÍDAS POR 
CONCENTRADAS
Com isso, você sai de EDs
parciais para EDOs. Ex.: barra 
engastada com massa na ponta
DESPREZAR 
INCERTEZAS E RUÍDOS
Ruídos são componentes 
aleatórios do sistema. 
Abordagem determinística (ao 
invés da estocástica)
ASSUMIR 
INVARIABILIDADENO 
TEMPO
Conduz a EDOs invariantes no 
tempo. Ex.: resistores com 
baixa sensibilidade a T
ASSUMIR RELAÇÕES
DE CAUSA E EFEITO
Entre as variáveis físicas. 
Facilita a análise por método 
direto e, uma vez resolvida, a 
solução se torna geral
ASSUMIR AMBIENTE 
INDEPENDENTE
Exemplo de simplificação com
sistema massa-mola
Relação entre força (F) e deslocamento (x) em uma mola. Comparação com V, i e R em um circuito elétrico
Como se obtém um
modelo físico?
(1) RELAÇÃO DAS VARIÁVEIS FÍSICAS
A relação entre as variáveis de um sistema descreve o 
estado instantâneo de um sistema
COM TUDO ISSO…
Combina-se as relações e 
equações de forma algébrica 
para obter o modelo 
matemático do sistema
Derivando modelos 
matemáticos dos modelos 
físicos
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(2) ESCREVER RELAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Balanço de forças, vazões, massa, energia ou relacionar os 
diversos movimentos do sistema
(3) APLICAÇÃO DAS LEIS FÍSICAS
Relações mecânicas entre força e movimento, torque 
e energia, reações, etc. Também chamadas de 
relações constitutivas
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Definição das fronteiras físicas do sistema: é 
necessário atribuir adequadamente o volume de 
controle
Relações constitutivas são determinadas a partir de 
experimentos, ou seja, são empiricas! 
Pontos importantes
Encontrando as soluções das equações de movimento 
que descrevem a resposta temporal do sistema, 
utilizando métodos analíticos; ou
Realizando a integração das equações de movimento 
do sistema, empregando métodos numéricos de 
integração
Modelos matemáticos são 
simulados de duas formas
(1) EQUAÇÕES DESCRITIVAS
A relação entre as variáveis e o tempo
E AGORA?
Bom, agora chega de teoria! 
Vamos à prática! Mas só na
aula que vem, para você 
relaxar… ☺
Para simular modelos 
matemáticos, é necessário:
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(2) VALORES DOS PARÂMETROS DO 
MODELO
Também chamado de calibração. Isso pode ser feito para o 
modelo de Nageswararao (ciclones)
(3) CONDIÇÕES INICIAIS
Variáveis de interesse (ou incógnitas). O chute inicial 
é fundamental neste aspecto
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Valeu!
Se tiver dúvidas, pode entrar em contato pelo Classroom, 
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