Exercício Probabilidade 4

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Ciência e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
Lista de Exerćıcios: Distribuições de Probabilidade Binomial e Poisson
Exerćıcios Resolvidos
1. O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um
lance livre. Se este jogador vai arremessar 5 lances livres, qual a probabilidade de acertar:
(a) todos;
(b) nenhum;
(c) pelo menos 3.
Solução
• O primeiro passo é definir a variável aleatória, que é X: número de acertos de lances livres
em um total de 5 lances livres;
• A variável aleatória é discreta, pois é uma contagem (número de acertos). Essa contagem
está associada aos números naturais, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, 5;
• Esta variável inicia-se no 0 (acertar 0 em um total de 5) e termina no 5 (acertar 5 em um
total de 5).
• O segundo passo é definir a distribuição de probabilidade associada. Como a variável
aleatória é discreta, as distribuições de probabilidade associadas são Binomial e Poisson.
Assim, temos que definir se X segue o modelo Binomial ou Poisson;
• Esta variável pode ser definida como acertar o lance livre (Sucesso) ou não acertar o lance
livre (Fracasso). Esse experimento é repetido 5 vezes (5 lances livres no total). Desta forma,
X segue o modelo Binomial;
1
• O modelo Binomial apresenta dois parâmetros n e p. O parâmetro n representa o total de
repetições de Sucesso ou Fracasso. Nesse caso, n = 5 (total de 5 lances livres). O parâmetro
p é a probabilidade do sucesso. O sucesso é acertar o lance livre. Essa probabilidade é
definida com p = 0, 75;
• A variável aleatória X segue o modelo Binomial, portanto os valores assumidos seguem
o padrão X = 0, 1, · · · , n. Nesse caso, n = 5 e a variável aleatória X assume os valores
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
• Lembre-se de uma importante propriedade: P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X =
3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 1, ou seja, a soma das probabilidades de todos os valores
assumidos por X é igual a 1. Essa propriedade será útil no exerćıcio 2 proposto.
• A função de probabilidade do modelo Binomial é f(x) =
(
n
x
)
px(1 − p)n−x.
(a) A probabilidade de acertar todos os lances livres significa acertar 5 lances livres em um
total de 5 lances livres, ou seja, P (X = 5);
• Sabendo que n = 5, p = 0, 75 e X = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
• P (X = 5);
• P (X = 5) =
(
n
x
)
px(1 − p)n−x =
(
5
5
)
0, 755(1 − 0, 75)5−5;
•
(
n
x
)
= n!x!(n−x)! =
5!
5!(5−5)! =
5!
5!(0)! = 1; Esse cálculo pode ser feito usando a calculadora;
• P (X = 5) =
(
5
5
)
0, 755(0, 25)0 = 0,2373.
(b) A probabilidade de acertar nenhum dos lances livres significa acertar 0 lances livres em um
total de 5 lances livres, ou seja, P (X = 0);
• Sabendo que n = 5, p = 0, 75 e X = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
• P (X = 0);
• P (X = 0) =
(
n
x
)
px(1 − p)n−x =
(
5
0
)
0, 750(1 − 0, 75)5−0;
•
(
n
x
)
= n!x!(n−x)! =
5!
0!(5−0)! =
5!
0!(5)! = 1; Esse cálculo pode ser feito usando a calculadora;
• P (X = 0) =
(
5
0
)
0, 750(0, 25)5 = 0,001.
(c) A probabilidade de acertar pelo menos 3 dos lances livres significa acertar 3 ou 4 ou 5
lances livres em um total de 5 lances livres, ou seja, P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5); O
significado de pelo menos 3 é no mı́nimo 3, ou seja, 3 ou mais.
• Sabendo que n = 5, p = 0, 75 e X = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
2
• P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5);
•
(
5
3
)
0, 753(1 − 0, 75)5−3 +
(
5
4
)
0, 754(1 − 0, 75)5−4 +
(
5
5
)
0, 755(1 − 0, 75)5−5;
• 0, 2637 + 0, 3955 + 0, 2373 = 0,8965.
2. Certo cruzamento resulta em três acidentes por mês em média. Qual é a probabilidade de que
em certo mês nesse cruzamento ocorram
(a) exatamente cinco acidentes?
(b) menos de três acidentes?
(c) pelo menos dois acidentes?
Solução
• O primeiro passo é definir a variável aleatória, que é X: número de acidentes por mês;
• A variável aleatória é discreta, pois é uma contagem (número de acidentes). Essa contagem
está associada aos números naturais, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, · · · . Essa contagem está sendo
realizada em um determinado tempo (por mês);
• Esta variável inicia-se no 0 (0 acidentes por mês) e não existe um valor final de acidentes
por mês;
• O segundo passo é definir a distribuição de probabilidade associada. Como a variável
aleatória é discreta, as distribuições de probabilidade associadas são Binomial e Poisson.
Assim, temos que definir se X segue o modelo Binomial ou Poisson;
• Esta variável pode ser definida como uma contagem (número de acidentes) em um determi-
nado tempo (mês). Desta forma, X segue o modelo Poisson; Lembre-se que o tempo pode
ser substitúıdo por comprimento, área, volume, etc.
• O modelo Poisson apresenta um parâmetro λ. O parâmetro λ representa uma média. Neste
caso, representa o número médio de acidentes por mês. O valor de λ = 3, como definido no
exerćıcio (três acidentes por mês em média).
• A variável aleatória X segue o modelo Poisson, portanto os valores assumidos seguem o
padrão X = 0, 1, 2, 3, · · ·;
3
• Lembre-se de uma importante propriedade: P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X =
3) + P (X = 4) + · · · = 1, ou seja, a soma das probabilidades de todos os valores assumidos
por X é igual a 1. Essa propriedade será útil em alguns exerćıcios.
• A função de probabilidade do modelo Poisson é f(x) = e−λλxx! .
(a) A probabilidade de que em certo mês nesse cruzamento ocorram exatamente cinco acidentes
é P (X = 5);
• Sabendo que X = 0, 1, 2, 3, 4, · · ·, λ = 3 e que a unidade aqui é em 1 mês, ou seja,
λ = 3 = 3.1;
• P (X = 5);
• P (X = 5) = e−λλxx! =
e−335
5! ;
• x! = x.(x − 1).(x − 2). · · · .1 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120; Esse cálculo pode ser feito usando
a calculadora;
• P (X = 5) = 0,1008.
(b) A probabilidade de que em certo mês nesse cruzamento ocorram menos de três acidentes
é 0 ou 1 ou 2 acidentes. Lembre-se que X = 0, 1, 2, 3, · · · . Assim, P (X = 0) + P (X =
1) + P (X = 2);
• Sabendo que X = 0, 1, 2, 3, 4, · · ·, λ = 3 e que a unidade aqui é em 1 mês, ou seja,
λ = 3 = 3.1;
• P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2);
• e−3300! +
e−331
1! +
e−332
2! ;
• x! = x.(x− 1).(x− 2). · · · .1; 0! = 1; 1! = 1; 2! = 2.1 = 2;
• 0, 0498 + 0, 1494 + 0, 2240 = 0,4232.
(c) A probabilidade de que em certo mês nesse cruzamento ocorram pelo menos dois acidentes é
2 ou 3 ou 4 ou mais acidentes. Lembre-se que X = 0, 1, 2, 3, · · · . Assim, P (X = 2) +P (X =
3) + P (X = 4) + · · · ;
• Sabendo que X = 0, 1, 2, 3, 4, · · ·, λ = 3 e que a unidade aqui é em 1 mês, ou seja,
λ = 3 = 3.1;
• P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + · · · ;
• Para esse cálculo precisamos utilizar a propriedade P (X = 0) + P (X = 1) + P (X =
2) + P (X = 3) + P (X = 4) + · · · = 1;
4
• O interesse é Z = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + · · · ;
• Substituindo Z em P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4)+ · · · = 1,
temos que P (X = 0) + P (X = 1) + Z = 1;
• Organizando, temos que Z = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)];
• P (X = 0) = 0, 0498 (letra b);
• P (X = 1) = 0, 1494 (letra b);
• Assim, Z = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)];
• Z = 1 − (0, 0498 + 0, 1494);
• Z = 0, 8008;
• P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + · · · = 0,8008.
Exerćıcios Propostos
1. Se a probabilidade de uma lâmpada ter vida útil de pelo menos 800 horas é de 0,9, determine a
probabilidade de que, entre 20 lâmpadas,
(a) exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas;
(b) pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas;
2. Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O
fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 3%. O inspetor da rede seleciona
20 equipamentos de um carregamento. Qual é a probabilidade de que haja pelo menos um
equipamento defeituoso entre esses 20?
3. Uma indústria de automóveis está preocupada com uma falha no mecanismo dos freios de de-
terminado modelo. Essa falha pode,em raras ocasiões, causar uma catástrofe em uma rodovia.
A distribuição do número de carros, por ano, que sofrerão essa falha é uma variável aleatória de
Poisson com λ = 5.
(a) Qual é a probabilidade de que no máximo três carros por ano experimentem essa catástrofe?
(b) Qual é a probabilidade de que mais de um carro por ano experimente essa catástrofe?
5
4. Assumimos que o número de clientes que chegam a cada hora em certo posto de serviços auto-
mobiĺısticos segue uma distribuição de Poisson com λ = 7.
(a) Qual é o número médio de chegadas durante o peŕıodo de duas horas?
(b) Calcule a probabilidade de que mais de um cliente chegue em um peŕıodo de duas horas?
6