livro (1)

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GEOMETRIA DESCRITIVA
Caderno de Estudos
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
UNIASSELVI
2008
NEAD
Educação a Distância
GRUPO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
Copyright  UNIASSELVI 2008
Elaboração:
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
 
516.6
S729g Souza, André Marcelo Santos de
 Geometria descritiva / André Marcelo Santos de Souza e Saulo 
 Vargas. Indaial : Uniasselvi, 2008. 
 131 p. : il 
 
 
 ISBN 978-85-7830- 059-3
 1.Geometria descritiva.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
 II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título
 
GEOMETRIA DESCRITIVA
APRESENTAÇÃO
Caro(a) acadêmico(a),
Iniciaremos a disciplina de Geometria Descritiva. Esta disciplina introduzirá os conceitos 
necessários para que vocês possam projetar e entender uma projeção tridimensional num plano.
Para facilitar a compreensão do aluno leitor, organizamos este caderno em três unidades 
de estudo, obedecendo a um critério de conhecimentos. Tentamos, com isso, fazer com que o 
aluno tenha o conceito teórico dos temas antes de aplicá-lo. Para um melhor desenvolvimento 
das habilidades práticas e teóricas, projetamos este caderno levando em conta que cada aluno 
disponha de, pelo menos, uma régua, um compasso e dois esquadros (30° e 45º), bem como 
folhas A4 e lápis 6B para desenho.
A Unidade 1 traz os conceitos e definições básicas de geometria, ensina como construir 
ângulos e retas. Na Unidade 2, o aluno conhecerá o que é um sistema de projeção, os tipos que 
existem, qual usaremos, o que é épura, cota, afastamento e abscissa, além de iniciar a projeção 
com pontos. E, finalmente, na Unidade 3, o aluno projeta segmentos de retas e polígonos e 
faz um estudo básico sobre a Verdadeira Grandeza dos objetos projetados.
Com isso, este caderno proporcionará um apoio pedagógico para você iniciar seus 
conhecimentos no mundo geométrico das projeções.
Prof. Saulo Vargas 
Prof. André Marcelo Santos de Souza
iii
GEOMETRIA DESCRITIVA
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
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GEOMETRIA DESCRITIVA v
SUMÁRIO
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ........................... 1
TÓPICO 1: DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA .... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 3
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS ................................................................................... 3
3 PROPOSIÇÕES .............................................................................................................. 6
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS ....................................................................................... 10
RESUMO DO TÓPICO 1 ..................................................................................................11
AUTO-ATIVIDADES ........................................................................................................ 12
TÓPICO 2: CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO ............................... 13
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 13
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO ................................................................................................. 13
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ......................................................................... 14
2.1.1 Ângulo Reto .............................................................................................................. 14
2.1.2 Ângulo Agudo ........................................................................................................... 14
2.1.3 Ângulo Obtuso .......................................................................................................... 15
2.1.4 Ângulo Raso ............................................................................................................. 15
2.1.5 Ângulo de uma volta ................................................................................................. 15
2.2 ÂNGULO COMPLEMENTAR .................................................................................... 16
2.3 ÂNGULO SUPLEMENTAR ....................................................................................... 16
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º ........................................................ 17
3.1 ÂNGULO DE 60º ........................................................................................................ 18
3.2 ÂNGULO DE 120º ...................................................................................................... 19
4 BISSETRIZ .................................................................................................................... 19
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ ................................................................... 20
5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º ........................................................................ 22
5.1 ÂNGULO DE 30º ........................................................................................................ 22
5.2 ÂNGULO DE 90º ........................................................................................................ 22
5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º .................................................................................... 23
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO ................................................................................. 23
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 25
AUTO-ATIVIDADES ........................................................................................................ 26
TÓPICO 3: CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES.................................................................................. 29
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 29
2 RETAS PARALELAS ................................................................................................... 29
3 RETAS PERPENDICULARES .................................................................................... 31
4 MEDIATRIZ ................................................................................................................... 33
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM .................................................................................. 35
GEOMETRIA DESCRITIVA vi
LEITURA COMPLEMENTAR ......................................................................................... 39
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 41
AUTO-ATIVIDADES ........................................................................................................ 42
AVALIAÇÃO SOMATIVA ................................................................................................ 44
UNIDADE 2 - SISTEMAS DE PROJEÇÕES ................................................................. 45
TÓPICO 1: PROJEÇÕES ............................................................................................... 47
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 47
2 O QUE É PROJEÇÃO ..................................................................................................47
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 50
AUTO-ATIVIDADE .......................................................................................................... 51
TÓPICO 2: SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO ......................................... 53
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 53
2 SISTEMA CÔNICO ....................................................................................................... 53
3 SISTEMA CILÍNDRICO................................................................................................ 54
4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS ........................................ 56
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 58
AUTO-ATIVIDADE .......................................................................................................... 59
TÓPICO 3: SISTEMA MONGEANO .............................................................................. 61
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 61
2 SISTEMA MONGEANO ............................................................................................... 61
3 ÉPURA .......................................................................................................................... 62
4 COTA E AFASTAMENTO ............................................................................................ 65
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 67
AUTO-ATIVIDADE .......................................................................................................... 68
TÓPICO 4: PROJEÇÃO DE UM PONTO ...................................................................... 69
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 69
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA .................................................................. 69
3 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA ................ 74
3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL ............................................. 74
3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL ................................................... 75
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA ....................................................... 75
LEITURA COMPLEMENTAR ......................................................................................... 76
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 78
AUTO-ATIVIDADE .......................................................................................................... 79
AVALIAÇÃO SOMATIVA ................................................................................................ 81
UNIDADE 3: PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEZA E POLÍGONOS 
GEOMETRIA DESCRITIVA vii
 NA ÉPURA ................................................................................................. 83
TÓPICO 1: PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM RELAÇÃO A UM DOS 
PLANOS ....................................................................................................... 85
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 85
2 IDÉIAS BÁSICAS ......................................................................................................... 85
3 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS ............................................................ 86
3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS ....................................................... 86
3.2 SEGMENTO PERPENDICULAR A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO .............. 88
3.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO ........................... 90
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 95
AUTO-ATIVIDADE .......................................................................................................... 96
TÓPICO 2: SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO ......... 97
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 97
2 SEGMENTO ORTOGONAL A LT. ............................................................................... 97
3 SEGMENTO OBLÍQUO A LT ...................................................................................... 99
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 101
AUTO-ATIVIDADE ........................................................................................................ 102
TÓPICO 3: VERDADEIRA GRANDEZA ..................................................................... 103
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 103
2 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL .............................. 103
3 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA QUALQUER ............................ 108
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................113
AUTO-ATIVIDADE .........................................................................................................114
TÓPICO 4: PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ..................................................................115
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................115
2 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS ........................................................115
2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH ..........................................................116
2.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV ..........................................................117
3 POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS DE PROJEÇÃO ..................................118
LEITURA COMPLEMENTAR ....................................................................................... 124
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 128
AUTO-ATIVIDADE ........................................................................................................ 129
AVALIAÇÃO SOMATIVA .............................................................................................. 130
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 131
 
GEOMETRIA DESCRITIVA viii
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UNIDADE 1
INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA 
GEOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir do estudo desta Unidade, o acadêmico estará 
apto a: 
	Conhecer os conceitos fundamentais da Geometria.
	Entender a construção teórica da Geometria.
	Construir ângulos, retas paralelas e perpendiculares.
TÓPICO 1 – DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA GEOMETRIA
TÓPICO 2 – CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS 
COM O COMPASSO
TÓPICO 3 – CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, 
RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um 
deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu aprendizado.
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DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES 
FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 1
Segundo Ardevan Machado (1973, p.11), “a Geometria Descritiva tem por finalidade 
representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria 
Plana, estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas”.
Esse tópico tem como principal objetivo proporcionar a você o entendimento de como 
funcionaa construção dos conceitos e das idéias da geometria. Busca também introduzir você 
aos conceitos e idéias fundamentais que regem a Geometria.
Claro que selecionamos as idéias que serão importantes para a compreensão da 
Geometria Descritiva, que é a nossa disciplina. Porém, você verá que Geometria é sempre 
Geometria.
Apesar de teórica essa parte é muitíssimo importante para o aluno, caso a compreensão 
não se dê por completo nesse tópico, todo o aprendizado futuro ficará comprometido.
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
Geometria: estuda figuras (objetos) através das propriedades dos seus elementos, 
definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimensões.
Formas Geométricas: formas específicas usadas para estudo de todas as figuras em 
geometria
Veja alguns exemplos de formas geométricas que provavelmente você deve já deve 
ter estudado.
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FIGURA 1: POLÍGONOS
FONTE: AUTOR
As formas geométricas estão presentes em vários elementos do nosso 
mundo. Basta que você olhe atentamente ao seu redor. Pare um minuto 
e conte quantas formas geométricas tem ao seu redor.
Proposições Geométricas: conceitos e propriedades estabelecidas através de 
observações e experiências que fundamentam todo o estudo geométrico.
Postulado: é uma proposição, aceita consensualmente, e que não precisa de 
demonstração matemática. Os postulados fundamentam a Geometria.
Teorema: é uma proposição “mais elaborada”, e que não é tão trivial ao entendimento. 
Esta proposição só é tida como verdadeira se houver uma demonstração matemática que a 
comprove.
Corolário: é uma proposição decorrente diretamente de um teorema qualquer. A 
validação do teorema “mãe” faz, quase que instantaneamente, o corolário ser demonstrado e, 
conseqüentemente, validado.
Problema: é uma proposição que exige solução, a qual deve ser obtida através de 
aplicações de preposições específicas (postulados, teoremas e corolários).
Forma: quando comparamos a aparência de algo com outro objeto qualquer, estamos 
avaliando a forma dos dois elementos. Por exemplo, se dizemos que uma determinada melancia 
se parece com uma bola de futebol, estamos querendo dizer que as formas de ambas são 
parecidas.
Dimensão: ao classificarmos objetos pelo tamanho, estamos avaliando a dimensão 
(altura) dos mesmos. Por exemplo, determinado cachorro é maior (dimensão: altura) que o outro. 
OBS: No espaço tridimensional, todos os objetos têm três dimensões: altura, largura 
e espessura.
Ponto: é o mais simples dos elementos e o que dá suporte a todas as outras idéias. 
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Entendê-lo é a parte mais importante e o suficiente para que possamos entender toda a 
geometria. Não existe definição para ponto, pois é um ente primitivo da Matemática, uma 
idéia que todo ser humano é capaz de compreender sem explicação. Mesmo assim, “o fato 
de ponto, reta, plano e espaço serem noções primitivas da Geometria não significa que não 
se possa reforçar a intuição do aluno a respeito dessas noções”. (ELON et al, 2004, p. 164). 
Para indicar um ponto usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 
Por exemplo, a ponta de um compasso nos dá a idéia de ponto.
Linha: é uma seqüência contínua de pontos.
O trajeto feito por um beija-flor ao beber o néctar das flores nos dá a idéia de linha.
Reta: se a distância entre dois pontos quaisquer de uma linha é a menor possível, 
então essa linha é chamada de reta. Para indicar uma reta, utilizamos uma letra minúscula do 
nosso alfabeto:
FIGURA 2: RETA
FONTE: AUTOR
O encontro de duas paredes nos dá a idéia de uma parte da reta.
Segmento de reta: Dados dois pontos distintos de uma reta qualquer, o trecho entre os 
dois pontos é denominado segmento de reta. Para indicar um segmento de reta, utilizamos as 
letras da extremidade.
FIGURA 3: SEGMENTO AB
FONTE: AUTOR
A parte da reta contida na intersecção de duas paredes nos dá a idéia de segmento 
de reta.
Se dois segmentos têm a mesma medida. Eles são chamados de segmentos 
congruentes. E indicamos por AB ≅ CD.
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Semi-reta: um ponto A qualquer de uma reta a divide em duas partes, que são chamadas 
de semi-retas. Conseqüentemente, podemos dizer que uma semi-reta tem começo (no ponto 
que divide a reta), mas não tem fim. Para indicar uma semi-reta, basta considerar um ponto 
em cada uma das partes. Para determinar a direção da semi-reta referida, colocar uma flecha 
acima do ponto A e do ponto considerado.
FIGURA 4: SEMI-RETA
FONTE: AUTOR
Plano: é a região formada pelo deslocamento de uma reta por uma única direção. Para 
indicar um plano, ou parte dele, utilizamos uma letra do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), γ 
(gama),...
FIGURA 5: PLANO
FONTE: AUTOR
O deslocamento da concha de uma retro escavadeira ao espalhar um monte de barro 
nos dá a idéia de um plano. Assim também a folha desse caderno de estudo nos dá a idéia 
de plano.
3 PROPOSIÇÕES
A construção da geometria perpassa por proposições importantes. O aluno tem que 
ter familiaridade com os termos geométricos e notar a construção da matemática geométrica 
pelas proposições, percebendo que nada é por acaso. Todos os conceitos têm uma afirmação 
anterior devidamente comprovada.
Aparecerão também algumas novas definições que serão necessárias para um melhor 
entendimento das proposições, estas definições aparecem nesse momento e não anteriormente, 
para que o leitor possa ver sua conseqüência direta.
As proposições estão indicadas por P1, P2, P3, ... E as definições por Def1, Def2, Def3, ...
P1: Há um número infinito de pontos, retas e planos.
P2: Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
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P3: Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
P4: Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
Def1: Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma reta.
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B 
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FIGURA 6: PONTOS COLINEARES
FONTE: AUTOR
P5: Três pontos não colineares determinam um plano.
Para entender essa proposição, basta imaginar três pontos distintos e não colineares em 
uma mesa de cozinha. Por esses três pontos, podemos desenhar três retas distintas, tomando 
os pontos dois a dois. Usamos essas retas como direção de deslocamento e, com uma régua, 
desenhamos inúmeros segmentos de reta por toda a extensão dessas três direções. Quando 
desenharmos “todas” os segmentos de reta, verificaremos que a mesa ficará toda preenchida 
e, além disso, não há como desenharmos segmentos de reta fora da mesa. Concluiremos, 
então, que os três pontos iniciais foram suficientes para “construirmos” a superfície da mesa, 
o que é a nossa proposição inicial.
(ATENÇÃO)! Observe P5 no esquema abaixo. Se você continuar a 
preencher a região limitada pelas retas, por segmentos de reta, teremos 
um plano.
FIGURA 7: TRÊS PONTOS FORMAM UM PLANO
FONTE: AUTOR
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Def2: Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo plano.
FIGURA 8: RETAS COPLANARES
FONTE: AUTOR
Def3: Duas retas distintas são concorrentes quando há um ponto em comum entre elas. 
Este ponto é chamado ponto de intersecção das retas.
FIGURA 9: RETAS CONCORRENTES
FONTE: AUTOR
Esse ponto A não é impróprio. Veremos a definição de elementos 
impróprios posteriormente.
Def4: Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam entre si ângulos 
de 90o.
FIGURA 10: RETAS PERPENDICULARES
FONTE: AUTOR
Quando r é perpendicular a s, indicamos por: r ⊥ s.
Def5: Duas retas distintas são paralelas quando têm a mesma direção.
FIGURA 11: RETAS PARALELAS
FONTE: AUTOR
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As retas r e s têm a mesma direção, ou seja, não possuem pontos em comum. Então, 
dizemos que r e s são retas paralelas e indicamos r// s.
Def6: Duas retas são reversas quando não existe um plano que contenha as duas ao 
mesmo tempo.
FIGURA 12: RETAS REVERSAS
FONTE: AUTOR
Para medir o ângulo formado por duas retas reversas, basta tomar um ponto A qualquer 
de da reta r e traçar por esse ponto uma nova reta t paralela à reta s. Agora, é só medir o 
ângulo entre a reta r e t.
FIGURA13: ÂNGULOS DE REVERSAS
FONTE: AUTOR
Se o ângulo formado por duas retas reversas for reto, podemos chamá-las de retas 
ORTOGONAIS, caso contrário, chamamos de retas OBLÍQUAS.
No próximo tópico, você estudará os principais tipos de ângulos.
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P6: Duas retas concorrentes determinam um plano.
P7: Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (Esta reta 
pode ser imprópria).
P8: Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam 
um ponto em comum. (Este ponto pode ser impróprio)
P9: Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
P10: Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos pertencem 
ao plano.
P11: Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (Esse ponto pode ser 
impróprio)
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS
É sabido que duas retas paralelas não terão pontos em comum. Porém, ao olharmos 
os trilhos de uma estrada de ferro, mesmo sabendo que eles nunca se tocarão, temos a nítida 
impressão que eles se encontram no “horizonte”. Com isso, temos a idéia de um “ponto de 
encontro”. Esse ponto é chamado de ponto impróprio.
Podemos estender a idéia para planos paralelos que, no infinito “se encontrarão”, 
formando uma reta imprópria. Imagine as paredes laterais de um grande corredor. Temos a 
impressão que elas se encontrarão no horizonte, formando uma reta imprópria.
Um plano impróprio necessita de elementos impróprios, por exemplo, um ponto (é 
preciso três) impróprio, ou uma reta (é preciso duas) imprópria.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. 
A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro(a) 
acadêmico(a), possa fixá-los melhor:
	Definições fundamentais:
 Geometria, Forma Geométrica, Proposições Geométricas. Postulados, Teorema, Corolário, 
Problema, Forma, dimensão, Linha, Reta, Segmento de Reta, Semi-reta, Plano, Retas 
Paralelas, Retas concorrentes e Retas Perpendiculares, Retas Reversas, Pontos Colineares, 
Retas Coplanares.
	Proposições importantes:
 Há um número infinito de pontos, retas e planos.
 Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
 Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
 Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
 Duas retas concorrentes determinam um plano.
 Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (esta reta pode ser 
imprópria)
 Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam um ponto 
em comum. (este ponto pode ser impróprio)
 Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
 Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos pertencem ao plano.
 Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (esse ponto pode ser impróprio)
 Elementos impróprios: “algo que não existe, mas nossos olhos vêem”.
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Para saber se você entendeu os conceitos desse tópico, responda as atividades 
a seguir.
1 Utilize as palavras ponto, reta ou plano, e escreva a idéia que você tem quando vê: 
a) um campo de futsal.
b) a marca de um lápis numa folha de papel.
c) um fio da rede elétrica bem esticado.
d) a porta da sua sala de aula.
e) as linhas divisórias de uma quadra de basquete.
f) uma estrela no céu.
2 Observe o paralelepípedo abaixo, e dê um segmento que seja congruente com:
a) o segmento AB
b) o segmento BC
c) o segmento CG
3 Ainda observando a figura da questão 2, dê um segmento que seja reverso com:
a) o segmento AE
b) o segmento BC
c) o segmento DC
4 O que são retas ortogonais?
5 Quantas retas podemos traçar passando por um ponto de um plano?
6 Quantas retas podemos traçar passando por dois pontos de um plano?
7 Marque, sobre uma reta r, quatro pontos distintos A, B, C, D. Quantos segmentos de 
reta você obteve?
8 Como podem ser duas retas de um mesmo plano, cuja intersecção não é vazia?
9 Sobre um mesmo plano são dados três pontos não colineares: A, B, C. Quantas semi-
retas com origem em cada um desses pontos e passando por um dos outros pontos 
podem ser traçadas? Sugestão: faça a figura para dar a resposta.
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CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS 
COM COMPASSO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) poderá familiarizar-se com o uso do compasso. 
Construiremos, passo a passo, os ângulos mais simples, veremos como dividi-los ao meio, 
permitindo, assim, a construção de vários outros.
Aproveitaremos também para definirmos o que é ângulo agudo, obtuso, reto e raso, 
bem como o que são ângulos complementares e suplementares.
Esses conceitos são fundamentais para facilitar a compreensão da geometria projetiva 
que veremos nas unidades posteriores.
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO
Duas semi-retas, de mesma origem, formam duas regiões a que chamamos de ângulo.
FIGURA 14: ÂNGULO
FONTE: AUTOR
•	O ponto O é o vértice do ângulo.
•	As semi-retas e são os lados do ângulo.
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Geralmente, usamos apenas o menor ângulo entre α e β.
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Podemos classificar os ângulos de acordo com a sua medida, conforme segue:
2.1.1 Ângulo Reto
É o ângulo de 90º. É importante para definirmos a idéia de perpendicularismo entre retas.
FIGURA 15: ÂNGULO RETO
FONTE: AUTOR
2.1.2 Ângulo Agudo
Todo ângulo menor que 90º.
FIGURA 16: ÂNGULO AGUDO
FONTE: AUTOR
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2.1.3 Ângulo Obtuso
Ângulo maior que 90º e menor que 180º.
FIGURA 17: ÂNGULO OBTUSO
FONTE: AUTOR
2.1.4 Ângulo Raso
Ângulo de 180º, também conhecido como “meia-volta”.
FIGURA18: ÂNGULO RASO
FONTE: AUTOR
2.1.5 Ângulo de uma volta
Ângulo de 360o, quando as duas semi-retas coincidem.
FIGURA 19: ÂNGULO 360 º
FONTE: AUTOR
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Quando as duas semi-retas coincidem, podemos ter, também, um ângulo nulo.
FIGURA 20: ÂNGULO NULO
FONTE: AUTOR
2.2 ÂNGULO COMPLEMENTAR
Dizemos que um ângulo α é complementar de um ângulo β, quando α + β = 90º. Em 
outras palavras, será complementar de um ângulo à medida que falta para completar 90º.
FIGURA 21: ÂNGULO COMPLEMENTAR
FONTE: AUTOR
2.3 ÂNGULO SUPLEMENTAR
Dizemos que um ângulo α é suplementar de um ângulo β, quando α + β = 180º. Em 
outras palavras, será suplementar de um ângulo à medida que falta para completar 180º.
FIGURA 22: ÂNGULO SUPLEMENTAR
FONTE: AUTOR
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Observe os seguintes exemplos:
1 Calcule o valor do ângulo x indicado na figura:
Resolução:
A figura acima representa um ângulo reto, cuja medida é de 90o.
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
x + 2x +15o = 90o
3x = 90o – 15o
3x = 75o
x = 75o
 3
x = 25o
2 A metade da medida do suplemento de um ângulo é igual a 40o. Qual é a medida 
desse ângulo?
Resolução: 
Indicando a medida desse ângulo por x, a medida do complemento do ângulo será 
indicada por 180o – x.
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º
São os ângulos mais simples que temos para construir, com exceção óbvia do 180º 
(ângulo raso) e do 360º.
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3.1 ÂNGULO DE 60º
O processo é muito simples:
1º passo: Traçamos um segmento de reta qualquer e marcamos um ponto sobre esse 
segmento (mais ou menos ao meio).
FIGURA 23: 1º PASSOPARA 60º
FONTE: AUTOR
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Repita cada passo numa folha para você internalizar o processo.
2º passo: Colocar a ponta seca do compasso no ponto inicial, construir uma meia lua, 
e marcar 
o ponto de intersecção entre a meia lua e o segmento de reta.
FIGURA 24: 2º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
3º passo: Mantendo a abertura do compasso que foi usada para construir a meia lua, 
coloque a ponta seca no ponto de intersecção marcado e trace uma marca sobre a meia lua.
FIGURA 25: 3º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
4º passo: Marque um ponto na intersecção da marca feita com o compasso e a meia 
lua, depois trace uma semi-reta que inicie no ponto inicial e passe por esse ponto.
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FIGURA 26: 4º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
Pronto! Temos um ângulo de 60º. Se quisermos fazer do outro lado, basta marcar o 
ponto do 2º passo no lado esquerdo ao invés do direito, como nós fizemos.
3.2 ÂNGULO DE 120º
Na verdade, ao construirmos um ângulo de 60º, como visto acima, acabamos construindo 
um ângulo de 120º também, basta olhar “o outro lado”. Isso acontece porque 120º é suplementar 
de 60º.
Veja o ângulo de 60º que construímos no item 3.1
FIGURA 27: ÂNGULO DE 120 º - ESQUERDA
FONTE: AUTOR
Então, sabemos que, o lado esquerdo, é 120º
Se quisermos construir 120º no lado direito, basta fazer o 60º no lado esquerdo.
FIGURA 28: ÂNGULO DE 120 º - DIREITA
FONTE : AUTOR
4 BISSETRIZ
É denominada bissetriz de um ângulo qualquer a semi-reta que divide esse ângulo em 
dois ângulos congruentes.
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FIGURA 29: BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
A semi-reta divide o ângulo Ô em dois ângulos congruentes, AÔC ≅ CÔB.
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Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ
Usaremos apenas uma régua (pode ser o esquadro) e um compasso.
Sejam duas semi-retas com ponto inicial O e com um ângulo qualquer entre elas.
FIGURA 30: PASSO 0 PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
1º passo: Colocamos a ponta seca do compasso no ponto inicial e fazemos marcas nas 
duas semi-retas. A abertura do compasso tem que permanecer a mesma para as duas marcas.
FIGURA 31: 1° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
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2º passo: Marcamos pontos de intersecções P1 e P2 entre as marcas feitas com o 
compasso e as semi-retas.
FIGURA 32: 2° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
3º passo: Arrumamos o compasso com uma abertura maior que a metade da distância 
entre P1 e P2. Colocamos a ponta seca em P1 e fazemos uma marca entre as semi-retas. 
Repetimos o procedimento com a ponta seca em P2. Essas marcas têm que ser feitas de tal 
forma que haja ponto em comum entre elas.
FIGURA 33: 3° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
4º passo: Marcar um ponto na intersecção P das duas marcas feitas no passo anterior. 
Traçar uma semi-reta com início em O e que passe por P. Essa semi-reta é a bissetriz do 
ângulo dado.
FIGURA 34: 4° passo para bissetirz
FONTE: AUTOR
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Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita 
todo o processo para um melhor entendimento.
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5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º
Esses ângulos são muito usados, e veremos que, a partir da idéia de obtenção destes 
ângulos, poderemos construir vários outros.
5.1 ÂNGULO DE 30º
Passo 1: Construímos um ângulo de 60º como explicado anteriormente.
Passo 2: Determinamos a bissetriz deste ângulo
Pronto, como a bissetriz divide o ângulo ao meio, temos um ângulo de 30º.
5.2 ÂNGULO DE 90º
1º Passo: Construa no mesmo desenho um ângulo de 60º e outro de 120º.
FIGURA 35: 1° PASSO PARA 90°
FONTE: AUTOR
2º Passo: Faça a bissetriz dos ângulos 60º e 120º.
FIGURA 36: 2° PASSO PARA 90°
FONTE: AUTOR
Pronto, a bissetriz marca um ângulo de 90º.
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5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º
São bissetrizes de outras construções já vistas.
O ângulo de 15º é a bissetriz entre os ângulos 0º e o 30º.
O ângulo de 45º, por sua vez, é a bissetriz entre o 30º e o 60º.
E, como você já deve ter percebido, o 75º é a bissetriz entre 60º e 90º.
Vários outros ângulos podem ser construídos a partir da idéia de divisão de ângulos.
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Construa, numa folha, os ângulos de 15o, 45o e 75o e mostre o que você 
aprendeu.
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO
Muitas vezes não sabemos a medida de um ângulo e precisamos transpô-lo sobre uma 
reta qualquer. Veremos, agora, como isso é feito.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para 
facilitar o entendimento.
Considere o ângulo BÔA, que iremos transpor para sobre uma reta.
FIGURA 37: ÂNGULO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
1º passo: Desenhe uma reta qualquer e marque um ponto O’ sobre a mesma.
FIGURA 38: 1° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
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2º passo: Abra o compasso na medida OA, e trace um arco com essa medida, colocando 
a ponta seca sobre O’. Na intersecção desse arco com a reta, marque o ponto A’.
FIGURA 39: 2° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
3º passo: Abra o compasso na medida AB, e trace um arco com essa medida, colocando 
a ponta seca sobre A’, cortando o arco anterior. Na intersecção dos arcos, marque o ponto B’.
FIGURA 40: 3° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
4º passo: Trace uma semi-reta com origem O’ e que passe por B’.
FIGURA 41: 4° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
Pronto, o ângulo B’Ô’A’ é a transposição do ângulo BÔA
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. A seguir, 
apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro(a) acadêmico(a), 
possa fixá-los melhor: 
	A região formada por duas semi-retas, de mesma origem, é chamada de ângulo.
	Classificação dos ângulos:
  ângulo agudo: menor que 90o
  ângulo reto: igual a 90o 
  ângulo obtuso: maior que 90o e menor que 180o
  ângulo raso: igual a 180o
  ângulo de uma volta: igual a 360o
	Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90o.
	Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180o.
	Como construir os principais ângulos: 15o, 30o, 45o, 60o, 75o, 90o, 120o. 
	Bissetriz de um ângulo qualquer é a semi-reta que divide esse ângulo em dois ângulos 
congruentes.
	Como construir a bissetriz de um ângulo utilizando apenas régua e compasso.
	 	Transposição de ângulos usando apenas régua e compasso.
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Para que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor fixar o conteúdo, procure 
responder as seguintes auto-atividades.
1 A medida de um ângulo é igual a medida do seu complemento aumentada de 60o. Qual 
é a medida desse ângulo?
2 Sabendo que o dobro da medida de um ângulo é igual ao suplemento desse ângulo, 
podemos dizer que este ângulo é:
a) raso
b) agudo
c) reto
d) obtuso
3 Se a soma de um ângulo com a quarta parte de seu complemento é igual a um ângulo 
raso, qual é a medida desse ângulo e como podemos classificá-los?
4 Determine o valor de x em cada uma das figuras:
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5 Utilizando somente régua e compasso, desenhe os seguintes ângulos:
a) 15o b) 30o
c) 45º d) 75o
e) 105o f) 135o
6 Usando compasso e régua transponha o ângulo TÂG para a reta r.
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CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, 
RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES.
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Reservamos este espaço para que o aluno aprenda a construir retas paralelas e 
perpendiculares, bem como consiga definir e construir a mediatriz de um segmento.
Para um bom desempenho, aconselhamos o uso de dois esquadros (30ºe 45º) e um 
compasso, embora todos as construções possam ser feitas com a substituição de um dos 
esquadros por uma régua. Exemplificaremos, levando em conta a disposição de dois esquadros.
2 RETAS PARALELAS
Já vimos, no Tópico 1, a definição de retas paralelas. Vimos também que duas retas 
paralelas “geram” um ponto impróprio (que é “o ponto de encontro” das retas no infinito). Agora, 
vamos aprender como construir retas paralelas a uma reta r qualquer.
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Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para 
facilitar o entendimento.
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Veja:
Seja uma reta r qualquer:
 ______________________________________ r
FIGURA 42: RETA QUALQUER
FONTE: AUTOR
1º passo: Apóie um dos esquadros sob a reta r. Esse esquadro será o 1.
FIGURA 43: 1° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE:AUTOR
2º passo: Coloque o segundo esquadro abaixo do primeiro. Esse será o esquadro 2.
FIGURA 44: 2° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: AUTOR
3º passo: Segure o esquadro 2 firmemente, e faça o esquadro 1 “deslizar” pelo 2.
FIGURA 45: 3° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: AUTOR
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4º passo: Sem mexer no esquadro 1, tire o esquadro 2 e trace uma reta s paralela a r. 
Notação de paralelismo: r // s.
FIGURA 46: 4° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: AUTOR
Pronto! Temos duas retas paralelas entre si.
Podemos colocar essa reta s em qualquer lugar. Basta “levá-la” com os esquadros 
apoiando o que irá se deslocar no outro fixo repetidas vezes.
Se você quiser fazer a reta s acima da reta r, basta deslocar o 
esquadro 1 para cima, no passo 3.
3 RETAS PERPENDICULARES
No tópico passado, aprendemos a construir um ângulo reto e podemos usar aquele 
conhecimento para construir duas retas perpendiculares. Contudo, nesse espaço, faremos isso 
usando os esquadros, apenas por ser uma forma mais rápida.
1º passo: Desenhe uma reta r, apóie um dos esquadros nessa reta.
FIGURA 47: 1° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
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2º passo: Afaste este esquadro da reta r usando os mesmos procedimentos vistos na 
construção de retas paralelas (2º e 3º passos)
FIGURA 48: 2° PASSO PARA O PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
3º passo: Deixe o esquadro 1 bem firme e apóie um dos catetos do esquadro 2 em 
cima dele.
FIGURA 49: 3° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
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4º passo: Trace a reta s, perpendicular à r. Notação de perpendicularismo: r ⊥ s
FIGURA 50: 4° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo 
o processo para um melhor entendimento.
4 MEDIATRIZ
Dado um segmento de reta AB, mediatriz será a reta que divide o segmento de reta 
AB em duas partes congruentes. Em outras palavras, é a reta que passa no meio de AB. Ou 
ainda, “a mediatriz de um segmento AB é a reta m perpendicular à AB, passando pelo ponto 
médio M desse segmento”. (RUBIÓ, 2005, p.200)
Veremos como construir a mediatriz de um dado segmento AB:
1º passo: Faça um segmento AB
FIGURA 51: 1° PASSO PARA MEDIATRIZ
 FONTE: AUTOR
2º passo: Abrir o compasso com uma medida maior que a metade do segmento AB. 
Colocar a ponta seca em A e construir um arco (marcação longa) que intercepte o segmento 
AB, como abaixo:
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FIGURA 52: 2° PASSO PARA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
3º passo: Repetir o 2º passo com a ponta seca do compasso em B, na intersecção dos 
arcos marcar os pontos P1 e P2.
FIGURA 53: 3° PASSO PARA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
4º passo: Passar uma reta sobre os dois pontos de intersecções P1 e P2, obtidos através 
das marcações feitas nos dois passos anteriores.
FIGURA 54: 4° PASSO DA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
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A reta que passa pelos pontos P1 e P2 é a mediatriz do segmento AB.
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM
Através de um exemplo, mostraremos como reproduzir uma imagem utilizando apenas 
régua, esquadro, compasso e os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores.
Observe o seguinte exemplo:
A figura a seguir representa a vista de cima do telhado de uma empresa. Utilizando 
compasso e esquadros, reproduza essa figura, na mesma escala.
FIGURA 55: TRANPOSIÇÃO DE IMAGEM
FONTE: AUTOR
Para reproduzir essa figura, precisamos usar todos os conteúdos vistos até aqui, além, 
é claro, de uma boa criatividade.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar 
o entendimento.
1º passo: Representar os vértices da figura por letras maiúsculas.
FIGURA 56: 1° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
2º passo: Traçar um segmento de medida O’E’. Para isso, basta abrir o compasso na 
medida OE e marcar esse comprimento sobre uma reta suporte.
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FIGURA 57: 2° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
3º passo: Faça uma reta perpendicular a O’E’ que passe pelo ponto O’. Veja no item 3 
(retas perpendiculares) como se faz.
FIGURA 58: 3° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
4º passo: Abra o compasso na medida OA e com a ponta seca em O’ marque na reta 
perpendicular o ponto A’.
FIGURA 59: 4° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
5º passo: Trace uma reta paralela a O’E’ passando por A’. Veja no item 2 (retas paralelas) 
como se faz.
FIGURA 60: 5° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
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6º passo: Trace uma reta paralela a O’A’ passando por E’. Veja no item 2 (retas paralelas) 
como se faz. Marque o ponto U’ na intersecção das duas últimas retas traçadas.
FIGURA 61: 6° PASSO A – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
Já temos o contorno do telhado, falta transpor os ângulos Â, Ô, Ê, Û. Faremos isso de 
maneira bem simples, é só observar os próximos passos.
FIGURA 62: 6° PASSO B – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
7º passo: Abra o compasso na medida AB e, com a ponta seca em A’, trace um arco.
FIGURA 63: 7° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
8º passo: Abra o compasso na medida OB e, com a ponta seca em O’, trace um arco. 
Na intersecção desses arcos, marque o ponto B’.
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FIGURA 64: 8° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
9º passo: Repita o 7º e 8º passo, mas, abrindo o compasso em EC e UC, temos o 
ponto C’.
FIGURA 65: 9° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
10º passo: Traçar um segmento de reta entre: O’ e B’, A’ e B’, B’ e C’, E’ e C’, U’ e C’.
FIGURA 66: 10° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
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LEITURA COMPLEMENTAR
O compasso e a régua (sem escala) são conhecidos como instrumentos 
euclidianos, pois os postulados dos Elementos de Euclides restringem o 
uso da régua e do compasso de acordo com as regras:
- com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido, 
passando por dois pontos distintos dados.
- com o compasso, permite-se traçar uma circunferência com centro 
num ponto dado, passando por um segundo ponto qualquer dado.
 O traçado de construções geométricas com régua e compasso 
mostrou-se ser um dos jogos mais fascinantes e absorventes jamais 
inventados. (EVES, 2004, p. 134)
Howard Eves
Compasso ou Régua Apenas?
O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni (1750-1800), fez 
a surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na medida em que 
os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas apenas com o compasso, 
sendo a régua, portanto um instrumento supérfluo. Obviamente, não se pode traçar uma reta 
com o compasso, mas qualquer reta a que se chegue numa construção euclidiana pode ser 
determinada com o compasso apenas encontrando-se dois de seus pontos. Essa descoberta 
foi revelada em 1797 na Geometria Del Compaso, de Mascheroni.Como numa construção euclidiana encontram-se novos pontos, a partir de pontos 
antigos, (1) pela intersecção de duas circunferências, (2) pela intersecção de uma reta e uma 
circunferência ou (3) pela intersecção de duas retas, tudo que Mascheroni tinha de fazer era 
mostrar como, apenas com o compasso, se podiam resolver os problemas (2) e (3), entendendo-
se por reta dois de seus pontos dados.
Pouco antes de 1928, um aluno do matemático dinamarquês J. Hjelmslev (1873-1950), 
ao perlustrar as prateleiras de uma livraria em Copenhague, deparou com um velho livro, 
Euclides danicus, publicado em 1672 por um escritor obscuro chamado Georg Mohr (1640-
1679). Depois de examinar o livro, Hjelmslev se surpreendeu ao verificar que ele continha a 
descoberta de Mascheroni, com uma publicação que antecedia a publicação de Mascheroni 
em 125 anos. Em 1890, o geômetra vienense August Adler (1863-1923) publicou uma nova 
demonstração dos resultados de Mascheroni fazendo uso da transformação de inversão.
Inspirando-se na descoberta de Mascheroni, o matemático francês Jean Victor 
Poncelet (1788-1867) considerou as construções com régua apenas. Nesse caso, nem 
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todas as construções podem ser levadas a efeito mas, curiosamente, contando-se com uma 
circunferência e seu centro traçados no plano de construção, a régua se torna suficiente para 
essas construções. Esse teorema foi concebido por Poncelet em 1822 e, mais tarde, em 1833, 
desenvolvido plenamente pelo gênio do geômetra suíço-alemão Jacob Steiner (1796-1863). 
O que se precisa mostrar agora é que, contando-se com a circunferência e seu centro, as 
construções (1) e (2) podem ser efetuadas com a régua apenas, entendendo-se que uma 
circunferência fica dada pelo seu centro e um de seus pontos.
Por volta do ano 980, o matemático árabe Abûl-Wefã (940-998) propusera o uso da 
régua junto com um compasso enferrujado,i sto é, um compasso de abertura fixa. Em vista 
do teorema de Poncelet-Steiner precisamos, na verdade, usar o compasso apenas uma vez, 
depois do que podemos abandoná-lo. Em 1904, o italiano Francesco Severi foi ainda além e 
mostrou que tudo de que se precisa é um arco, por menor que seja, de uma circunferência e seu 
centro, a fim de levar a termo todas as construções euclidianas com régua apenas. Também foi 
demonstrado, por Adler e outros, que se pode realizar qualquer construção euclidiana com uma 
régua de duas bordas, não importa se estas sejam ou não paralelas. Há muitos teoremas de 
construção intrigantes como estes, cujas demonstrações requerem engenhosidade considerável.
Recentemente, mostrou-se que o supramencionado Georg Mohr era o autor de um 
opúsculo publicado anonimamente em 1673, com o título de Compendium Euclidis curiosi, no 
qual se prova efetivamente que todas as construções de Elementos de Euclides são possíveis 
com régua e compasso enferrujado.
FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. 
Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p.587 – 588.
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Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. 
A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro(a) 
acadêmico(a), possa fixá-los melhor: 
	Como construir retas paralelas utilizando apenas dois esquadros.
	Como construir retas perpendiculares usando apenas dois esquadros.
	Mediatriz será a reta que divide o segmento de reta AB em duas partes congruentes.
	Como construir a reta mediatriz usando régua e compasso.
	Como transpor figuras.
RESUMO DO TÓPICO 3
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Com vistas a que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor fixar os conteúdos, 
apresentamos, em seguida, alguns exercícios referentes ao conteúdo estudado:]
1 Utilize dois compassos e trace uma reta paralela a cada reta dada.
a)
b)
2 Trace uma reta perpendicular a cada reta dada.
a) 
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3 Trace a mediatriz do segmento AB.
4 Utilizando compasso e esquadro, reproduza figura a seguir, na mesma escala.
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
unidade 1, você deverá fazer a Avaliação Somativa referente a esta 
unidade. Para isso, consulte a agenda da disciplina para conhecer 
os procedimentos desta avaliação.
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UNIDADE 2
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir do estudo desta Unidade, o(a) acadêmico(a) estará 
apto(a) a:
	 Conhecer e identificar os tipos de projeções.
	 Familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na projeção.
	 Verificar a diferença entre sistema cônico e sistema cilíndrico.
	 Entender e construir o sistema mongeano e a épura.
	 Definir afastamento, cota e abscissa.
	 Projetar um ponto na épura e dar sua localização.
TÓPICO 1 – PROJEÇÕES
TÓPICO 2 – SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO
TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada 
tópico, vocês encontrarão atividades que lhe ajudarão na fixação da 
aprendizagem.
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PROJEÇÕES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar Monge, um sábio 
desenhista francês e excepcional geômetra, que a definiu como sendo a “arte” de representar 
figuras espaciais num plano.
 
Essa forma de representação permite trabalhar todos os problemas tridimensionais 
com desenhos feitos num plano.
Para conseguirmos representar um objeto tridimensional num plano, usamos projeções. 
A seguir, estudaremos as principais formas que existem para projetarmos uma figura espacial. O 
cuidado que temos que tomar é que, ao projetarmos uma figura espacial num plano, acabamos 
perdendo detalhes deste objeto. Essa perda pode ser insignificante, mas também pode ser 
importantíssima para a compreensão total do objeto original.
Imaginem se, ao ler uma planta de alguma construção, o engenheiro não fosse capaz 
de obter com exatidão o seu tamanho, a distância entre os pilares, etc. Por isso, Monge fez 
algumas adaptações nos sistemas de projeção existentes, conseguindo extrair todos os detalhes 
necessários para solucionar os problemas de um objeto tridimensional.
Nessa Unidade, estudaremos os sistemas que serviram de base para Monge e 
evoluiremos até chegarmos ao Sistema Mongeano.
2 O QUE É PROJEÇÃO
Projeção é o processo pelo qual incidem raios sobre um objeto em um plano chamado 
plano de projeção.
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A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Como os 
objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de 
alguns artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:
Plano de projeção
Objeto
Raio projetante
Centro de projeção
Não há motivo para complicarmos o que é projeção porque a idéia de projeção é quase 
que intuitiva, uma vez que sua ocorrência se dá em diversos segmentos do nosso cotidiano. 
Trata-se de um fenômeno físico que acontece normalmente na natureza ou que pode ser 
produzido artificialmente pelo homem.
Vejam os seguintes exemplos dados por Rabello (2005, p.11):
1º) “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzem sobre a superfície 
de um piso claro, uma figura escura a que chamamos comumente de sombra. O contorno da 
sombra nada mais é que a projeção do contorno da placa na superfície do piso”.
Plano de projeção: superfície do piso
Objeto: Placa
Raio projetante: raios solares
Centro de projeção: sol
FIGURA 67: PROJEÇÃO DE FIGURA
FONTE: AUTOR
2º) “As imagens que vemos numa tela de cinema são as projeções dos fotogramascontidos na fita de celulóide quando sobre eles incidem os raios luminosos emitidos pela 
lâmpada do projetor”.
Plano de projeção: tela do cinema
Objeto: os fotogramas da fita
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Raio projetante: raios luminosos da lâmpada
Centro de projeção: a lâmpada do projetor
O contorno da sombra, assim como as imagens produzidas na tela de cinema são 
figuras projetadas em superfícies de projeção identificadas nos exemplos, respectivamente, 
na superfície do piso e na tela de cinema (Planos de projeção).
Em linguagem matemática, podemos formalizar a seguinte definição:
Projeção é o conjunto de operações geométricas que permitem obter a figura formada 
pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de um centro projetivo e incidem 
sobre uma figura do espaço, com uma superfície.
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Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) teve oportunidade de estudar os 
seguintes conteúdos:
	Gaspar Monge é considerado por muitos o “pai” da projeção espacial num plano;
	Projeção é a “sombra” obtida de um objeto num plano
	Obtivemos a noção de:
 Plano de Projeção
 Objeto
 Raio Projetante
 Centro de Projeção
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Caro(a) acadêmico(a), para que você possa melhor fixar os conteúdos estudados 
neste Tópico, procure resolver estas atividades:
1 Um carro estacionado sob um poste com luz ligada, à noite, em uma rua, tem sua 
sombra projetada sobre a rua. Identifique, no problema, o plano de projeção, o centro 
de projeção, o raio projetante e o objeto.
2 Dê um exemplo observado no cotidiano de alguma projeção.
3 Em qual(is) ramo(s) da(s) atividade(s) humana(s) você acha que a projeção ajudará 
para o estudo de objetos?
4 Na sua opinião, qual a vantagem de se estudar apenas a projeção de um objeto ao 
invés de estudar o próprio objeto?
 
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SISTEMA CÔNICO E SISTEMA 
CILÍNDRICO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 2
A forma de representar desenhos evoluiu ao longo dos anos. É sempre benéfico 
estudarmos, mesmo que de forma superficial, os sistemas que foram usados e que em alguns 
casos ainda o são.
Neste Tópico, apresentaremos dois sistemas muito importantes, para que o aluno tenha 
conhecimento de sua existência.
2 SISTEMA CÔNICO
É o sistema de projeção em que os raios projetantes partem de um ponto “visível”. Esse 
ponto será o vértice do cone, que se formará entre esse ponto, o objeto e a sua projeção no 
plano de projeção. Esse tipo de projeção acontece quando o centro de projeção (fonte de luz) 
está a uma distância finita do objeto. Nesse caso, o ponto de vértice recebe o nome de ponto 
próprio.
Veja no desenho:
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FIGURA 68: SISTEMA CÔNICO
FONTE: AUTOR
Esse sistema faz com que a projeção não represente o tamanho verdadeiro do objeto. 
Não é difícil notar que quanto mais próximo do objeto o centro de projeção estiver, maior será 
a distorção entre o tamanho original e a projeção. Para que isso não ocorra, o método mais 
utilizado é o cilíndrico.
3 SISTEMA CILÍNDRICO
No sistema anterior (cônico) foi visto que, quanto mais próximo o centro de projeção 
estiver do objeto, pior será a comparação entre tamanho do objeto e tamanho da projeção. 
Lembre-se que nosso objetivo é projetar o objeto de tal forma que a projeção nos indique tudo 
sobre o mesmo, e quanto mais rápido e fácil for a leitura, melhor. Para tanto, basta afastar o 
centro de projeção o máximo que pudermos. Esse máximo será o infinito.
Portanto, sistema cilíndrico é quando o centro de projeção se encontra no infinito, nesse 
caso esse ponto é chamado de impróprio.
Como o centro de projeção está no infinito, os raios de projeção são paralelos entre si, 
tornando a projeção do mesmo tamanho que o objeto original.
Observe no desenho:
FIGURA 69: SISTEMA CILÍNDRICO 
FONTE: AUTOR
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Lembrem que esse ponto no infinito é um ponto impróprio.
Esse tipo de projeção é excelente, pois dá uma indicação precisa do tamanho do objeto, 
sem precisarmos de cálculos auxiliares de proporção e trigonometria. Uma escala direta será 
o bastante.
A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. Uma idéia simples para entender 
é pensar que a ortogonal é quando o centro de projeção é o “sol do meio dia”, e a oblíqua seria 
quando o centro de projeção é o “sol das outras horas”.
Veja:
FIGURA 70: SISTEMA CILÍNDRICO – OBLÍQUO E ORTOGONAL
FONTE: AUTOR
O que utilizaremos é a projeção cilíndrica ortogonal, por motivos de facilidade e 
transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o maior objetivo da geometria 
descritiva.
Contudo é notório que, mesmo com a projeção cilíndrica, muitas características do 
objeto se perdem principalmente se for complexo como uma casa, um prédio, uma ponte, um 
viaduto, etc.
Pensando nisso é que Monge criou seu sistema de projeção, que consiste em projetar 
o objeto em dois planos ortogonais, um plano horizontal (PH) e um Plano Vertical (PV) que 
será estudado no próximo tópico.
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4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS
Apesar do sistema de projeção cônica não representar o tamanho real do objeto como 
o sistema de projeção cilíndrico, ele aparece com freqüência nas revistas em quadrinhos e 
até mesmo nosso dia a dia.
O texto a seguir (HARRIS; SCALO, 2008), analisa perfeitamente essa situação.
Observe por 1 minuto a figura a seguir e tente compreendê-la tridimensionalmente.
FIGURA 71 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CILÍNDRICA
FONTE: Disponível em: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/
DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 2008
Observe agora a seguinte figura.
FIGURA 72 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CÔNICA
FONTE: Disponível em: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 2008
Qual das duas você compreende melhor?
Na primeira figura, foi usada uma técnica de projeção cilíndrica e na segunda uma 
técnica de projeção cônica.
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Embora as duas figuras sejam projeções bidimensionais de uma situação tridimensional, 
a segunda figura parece-nos mais familiar.
Isto se dá devido ao fato deste tipo de projeção estar mais próximo a como nossos 
olhos vêem.
Quando observamos o desenho a seguir,
FIGURA 73: - UMA VISÃO CÔNICA
FONTE: Disponível em: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M2.htm Acesso em: 29 Mai. 2008 
Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, “nunca deveriam 
se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se encontram num ponto de fuga (PF)”. Como 
este ponto é real apenas para nossos olhos, dizemos que duas paralelas se encontram sim, 
mas no infinito, onde está seu centro de projeções impróprio. (0∞).
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Amigo(a) acadêmico(a), apresentamos, a seguir, de maneira resumida, os 
conteúdos apresentados neste Tópico, a fim de que você possa revê-los e fixá-los melhor:
	Sistema cônico é quando o ponto de projeção está a uma distância finita do objeto.
	No sistema cônico o real tamanho da figura não é mantida, dificultando o estudo do objeto 
apenas pela projeção.
	O sistema cilíndrico tem como ponto de projeção um ponto impróprio, ou seja, o seu ponto 
de projeção está no infinito.
	Dentro do sistema cilíndrico podemos ter o caso oblíquo e o ortogonal. Este último é mais 
usado por manter as proporções do objeto mais fidedignas.
	A base do sistema mongeano é o sistema de projeção cilíndrico ortogonal.
RESUMO DO TÓPICO 2
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Caro(a) acadêmico(a), com vistas a uma melhor fixação dos conteúdos estudadosneste tópico, procure resolver os exercícios que seguem:
1 Comente os tipos de sistemas de projeção estudamos neste tópico.
2 Por que o sistema cilíndrico é considerado melhor que o sistema cônico?
3 Apresente os problemas podem ocorrer ao estudarmos uma projeção obtida por um 
sistema de projeção oblíqua.
4 Você consegue imaginar no cotidiano uma situação perfeita de uma projeção cilíndrica? 
Justifique.
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SISTEMA MONGEANO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 2
Poderíamos ter juntado este tópico com o anterior, mas o sistema Mongeano é tão 
usado atualmente que preferimos dar uma ênfase especial ao falarmos dele. 
Como esse sistema é o adotado no mundo das projeções, o assunto é tratado de forma 
bem completa, para que o aluno consiga entender e visualizar seu formato e suas nomenclaturas.
2 SISTEMA MONGEANO
Para suprir os problemas da projeção de um objeto em um único plano, Monge bolou 
um sistema de dupla projeção simultânea. O objeto é projetado, ao mesmo tempo, num plano 
horizontal (PH) e num plano vertical (PV). Verifique:
FIGURA 74: SISTEMA MONGEANO
FONTE: AUTOR
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Notem que, na figura, estamos projetando um círculo que estava situado no espaço, em 
dois planos. No plano horizontal (PH), vimos a circunferência exatamente como ela é. No plano 
vertical (PV) vimos apenas um segmento de reta. Embora pareça que o PH já seria suficiente, 
é o PV que nos dá a certeza que o objeto é apenas um círculo. Além do mais, sem o PV não 
saberíamos a localização do objeto.
Observem também que os planos horizontais e verticais repartem o espaço em quatro 
subespaços a que chamamos de diedros. A intersecção entre os dois espaços é chamada de 
Linha de Terra.
Embora, a figura acima seja muito bonita, ela não é fácil de desenhar, pois estes planos 
ortogonais complicam bastante. Contudo, não precisamos desenhá-los, basta lembrarmos 
que eles existem, e isso é fundamental. Nós usaremos a épura para representar os desenhos 
projetados no sistema mongeano. Com a épura, o desenho fica facílimo, mas sua leitura só 
fica clara quando lembrarmos onde e de como ela fora obtida.
3 ÉPURA
Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos uma projeção no sistema 
mongeano. Com este modo, o desenho de qualquer objeto se resume a alguns segmentos 
de reta.
Cabe salientar aos alunos, novamente, que é importantíssimo entender bem como é 
conseguida a épura, pois a sua leitura fica óbvia quando os conceitos básicos estão entendidos.
A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar ao plano vertical (PV). 
Ao ser feito isso, parecerá que temos um único plano, o que facilita muito na hora de desenhar, 
mas que exige cautela na hora de fazer sua leitura.
Obtendo a épura:
Para facilitar a visualização, imaginaremos um ponto P no 1º diedro, com projeção P’ 
no PVS e projeção P’’ no PHA.
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FIGURA 75: DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL
FONTE: AUTOR
Agora faremos a rotação, no sentido horário, do plano horizontal até que ele coincida 
com o plano vertical.
FIGURA 76: REBATIMENTO DO PH
FONTE: AUTOR
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A rotação do plano horizontal de 90o feita acima é conhecida como 
rebatimento.
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Temos, então, a sobreposição de dois planos. Visualizando esta sobreposição de frente, 
fica bem evidente a facilidade de desenhar.
FIGURA 77: OBTENÇÃO DA ÉPURA
FONTE: AUTOR
Onde:
 PH – Plano Horizontal
 PV – Plano Vertical
 PVS – Semi-plano Vertical Superior
 PVI – Semi-plano Vertical Inferior
 PHA– Semi-plano Horizontal Anterior
 PHP – Semi-plano Horizontal Posterior
 LT – Linha de Terra
Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão feitos na épura, que é 
esta última etapa desenhada acima.
Na épura são representadas exclusivamente as projeções de uma 
determinada figura.
O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de linha de chamada e é 
perpendicular à Linha de terra.
A Linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas letras x e y nas suas 
extremidades, mas o usual é colocarmos dois pequenos traços nas extremidades como mostra 
a figura acima.
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4 COTA E AFASTAMENTO
Trabalhar com a projeção na épura é muito vantajoso devido à facilidade de desenhar, 
embora a leitura requeira certo conhecimento e cuidado.
Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de duas medidas: a cota 
e o afastamento.
Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de um ponto P:
FIGURA 78: ÉPURA
FONTE: AUTOR
A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de Terra (LT). Podemos 
pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou a distância entre o ponto e o plano horizontal (PH).
O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a Linha de terra (LT). 
Podemos pensar como sendo o deslocamento lateral do ponto P, ou a distância entre P e o 
plano vertical (PV).
Para reforçar, Pinheiro (1990, p. 12) explica da seguinte maneira: “a distância de um 
ponto ao plano horizontal (π) de projeção denomina-se cota; a distância de um ponto ao plano 
vertical (π’) de projeção denomina-se afastamento”.
A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, mas não são suficientes 
para a exata localização desse ponto no espaço, pois temos uma infinidade de pontos com a 
mesma cota e afastamento.
 
Precisamos então de mais uma coordenada, a abscissa, que tomamos a partir de um 
ponto marcado arbitrariamente sobre a linha da terra, denotado por 0 (zero), que chamaremos 
de origem do sistema. Quando a abscissa estiver situada à direita da origem ela é positiva, e 
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se estiver à esquerda ela é negativa. 
Observe na figura abaixo a representação da abscissa, da cota e do afastamento no 
sistema mongeano e na épura.
FIGURA 79: COMPARAÇÃO – SISTEMA MONGEANO X ÉPURA
FONTE: AUTOR
Podemos dizer que, no sistema mongeano, a abscissa é a menor distância entre a 
origem (0) é o ponto de intersecção das projeções(I). Na épura é a menor distância entre a 
origem e a linha de chamada.
Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), afastamento (b) e 
cota (c), nessa ordem, P[a, b, c]. 
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Para que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor relembrar os conteúdos 
estudados neste Tópico, apresentamos, a seguir, um breve resumo dos mesmos:
	Sistema mongeano: dupla projeção ortogonal, uma projeção com ponto de projeção acima 
do objeto (dando a projeção no plano horizontal PH) e outra com ponto de projeção ao lado 
do objeto (gerando a projeção no plano vertical PV)
	Épura: é obtida através da rotação do Plano Horizontal. É o método mais utilizado por preservar 
todas as informações importantes e por ser muito fácil de desenhar e manipular.
	Linha de terra: é a reta de intersecção entre o PV (plano vertical) e o PH (plano horizontal). 
Também podemos notar sua presença na épura, dividindo esta ao meio.
	Linha de chamada: é o segmento de reta que une as projeções P’ e P’’ de um ponto.
	Cota: é a “altura” de um ponto no espaço. Na épura é a exata distância entre a LT e P’’.
	Afastamento: é a “distância lateral” de um ponto no espaço. Na épura é a distância entre a 
LT e P’.
	Abscissa: é a distância da origem do sistema a intersecção das projeções. Na épura é a 
distância entre a origem e a linha de chamada.
RESUMO DO TÓPICO 3
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É importante que você responda as questões abaixo, COM SUAS PRÓPRIAS 
PALAVRAS, para que você se aproprie das definições que serão usadas nos próximos 
tópicos.
1 Escreva o que você entende por rebatimento.
2 Como você explicaria a alguém o quesignifica:
a) cota:
b) afastamento:
c) abscissa:
3 Faça as projeções do ponto P no PH e PV, e destaque a cota, o afastamento e a 
abscissa na figura abaixo. (você pode usar a técnica de retas paralelas, vista no 
tópico1, para desenhar as projeções):
4 Faça o rebatimento dos planos da figura da questão 4 para obter a épura, e destaque 
a cota o afastamento e a abscissa.
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PROJEÇÃO DE UM PONTO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 2
A projeção de um ponto é bem fácil de aprender e muito importante, porque, se 
imaginarmos toda e qualquer forma geométrica como um conjunto de pontos, bastará generalizar 
a idéia aprendida sobre os pontos e expandir para as outras formas.
É exatamente nisso que nos baseamos ao organizarmos esse material, reforçar bastante 
a projeção de ponto e de reta para que depois o aluno possa “caminhar” sozinho na planificação 
de figuras mais complexas.
Neste tópico daremos a noção exata de como projetar um ponto na épura, mostraremos 
o que acontece com a cota e com o afastamento quando o ponto se encontra nos quatro diedros 
e, por fim, conseguiremos saber o diedro de origem do ponto no espaço apenas observando 
o sinal da cota e do afastamento. Não levaremos em conta a abscissa do ponto, pois ela não 
interfere no sinal da cota e do afastamento.
Quando olhamos a épura, temos que lembrar que o que vimos é a projeção do ponto P 
inicial e não o próprio ponto P. Esta noção, apesar de óbvia, causa muita confusão nos alunos 
mais distraídos.
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA
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No 1º Diedro
FIGURA 80: PONTO DO 1° DIEDRO
FONTE: AUTOR
Notem que, além da economia de espaço e de informações pouco importantes, podemos 
fazer algumas generalizações sobre a cota e o afastamento obtidos na épura quando o ponto 
se encontra no 1º diedro.
A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. Contudo, observando o 
ponto no espaço, sabemos que tanto a cota quanto o afastamento são positivos. 
Concluímos, então, que, quando a cota (distância entre P’’ e LT) está acima da LT, terá 
um valor positivo. E quando o afastamento (distância de P’ e LT) está abaixo da LT, terá um 
valor positivo.
Para reforçar: Para ter valor positivo, a cota tem que aparecer acima 
da LT e o afastamento abaixo.
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FIGURA 81: PONTO DO 2° DIEDRO
FONTE: AUTOR
Notem que, ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai parar acima 
da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, concluímos que, quando o ponto 
está no segundo diedro, tanto a cota como o afastamento aparecem acima da LT na épura.
Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) e o afastamento é 
negativo (está acima da LT e é para baixo que ele é positivo).
No 3º diedro
FIGURA 82: PONTO NO 3° DIEDRO
FONTE: AUTOR 
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Notem que a cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica que ambos 
os valores são negativos, uma vez que estão localizados numa posição contrária à que ocorre 
com o ponto do 1º diedro.
No 4º diedro
FIGURA 83: PONTO NO 4° DIEDRO
FONTE: AUTOR
A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos indica que o afastamento 
é positivo e a cota, negativa.
Exemplos
1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3].
 
Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é a cota. Afastamento 
positivo e cota negativa nos dão um ponto no 4º diedro (ver quadro resumo). A épura do 4º 
diedro tem ambas as medidas abaixo da LT, logo:
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Imagine o ponto do espaço e a rotação dos planos. Faça a construção 
em outra folha e depois compare os resultados.
2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura abaixo:
Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a origem (0) está a 1,5cm 
da linha da chamada. Portanto, a abscissa mede 1,5cm. Como a linha de chamada está à 
esquerda da origem, temos abscissa negativa.
 
Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, P’ representa o 
afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento acima da LT e a cota abaixo da LT. Isso indica 
que ambas as medidas são negativas e o ponto se encontra no 4º diedro.
 
Portanto: P [-1,5; -2; -4].
3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7]
Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é a cota. Como o 
afastamento é negativo e a cota é positiva, então, o ponto P pertence ao segundo diedro (ver 
quadro resumo).
Para sabermos em qual diedro está um ponto, não precisamos da abscissa, 
basta que tenhamos o valor da cota e do afastamento.
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3 PROJEÇÃO DE UM PONTO
 PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA
Até o presente momento, tratamos apenas dos pontos que estão localizados em um 
dos quatro diedros. Mas, um ponto pode pertencer a alguns dos planos: PHA, PHP, PVS, PVI, 
ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de linha da terra (LT).
3.1 PONTO PERTENCENTE AO
 PLANO HORIZONTAL
Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que pode ser PHA ou PHP.
Caro estudante, como você está familiarizado com o sistema mongeano e com a épura, 
faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na mesma figura
FIGURA 84: PONTO NO PH
FONTE: AUTOR
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, e a projeção 
P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota é nula, pois está em cima da linha da 
terra e o afastamento é positivo, pois está abaixo da linha da terra.
Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece sobre a LT. E podemos 
dizer que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é negativo, pois 
está acima da linha da terra.
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3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL
Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, que pode ser PVS 
ou PVI.
Veja agora, a representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema mongeano e 
na épura.
FIGURA 85: PONTO NO PV
FONTE: AUTOR
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a projeção P’ 
permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois está em cima da linha da terra e a cota 
é positiva, pois está acima da linha da terra.
Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ permanece sobre a LT. 
E podemos dizer que o afastamento é nulo, pois está em acima da linha da terra e a cota é 
negativa, pois está abaixo da linha da terra.
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA
Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à linha da terra, e suas 
projeções coincidem.
Observe a figura em que P ∈ LT:
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FIGURA 86: PONTO NA LT
FONTE: AUTOR
Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da terra, veja o resumo 
no quadro, a seguir.
1º 
Diedro
2º 
Diedro
3º 
Diedro
4º 
Diedro
PHA PHP PVS PVI LT
Afastamento +
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
-
Acima 
LT
+
Abaixo 
LT
+
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
0 0 0
Cota +
Acima 
LT
+
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
-
Abaixo 
LT
0 0 +
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
0
QUADRO 1: RESUMO
FONTE: AUTOR
LEITURA COMPLEMENTAR
GASPARD MONGE (1746-1818)
Howard Eves
Monge fez seus estudos básicos em escolas oratorianas, primeiro em Beaunne, sua 
cidade natal, depois em Lyon, onde, aos dezesseis anos de idade, tornou-se instrutor de física. 
Uma planta de sua cidade natal, em escala apreciavelmente grande, elaborada com notável 
perícia, abriu-lhe as portas de escola militar de Mézières como desenhista. Tendo de desenhar 
a planta de um forte com os canhões em lugares a serem determinados por certos dados 
experimentais, Monge contornou o tedioso procedimento aritmético da época, substituindo-o