25 QUESTÕES DE POLIGONOS

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POLÍGONOS 
MATEMÁTICA 
POLÍGONOS 
1. (cftce) Um polígono regular tem 4 lados mais que outro, e 
o seu ângulo interno excede de 15° do outro. Quais são esses 
polígonos? 
 
2. (cftce) A medida do ângulo central de um polígono regu-
lar é 24°. De acordo com esta informação, determine as se-
guintes medidas: 
a) do ângulo interno. 
b) do ângulo externo. 
 
3. () Determine os ângulos de um quadrilátero convexo, sa-
bendo que eles medem 𝑥,  2𝑥,  3𝑥 e 4𝑥. 
 
4. () Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos 
internos é 1080°? 
 
5. ) Determine o perímetro: 
 
a) de um decágono regular de lado igual a 12 𝑐𝑚. 
b) de um triângulo equilátero de lado igual a 1,87 𝑑𝑚. Dê a 
resposta em metros. 
 
6. ) Determine x: 
 
 
7. ) O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do 
ângulo externo. Qual é esse polígono? 
 
8. () Dois decágonos regulares são semelhantes e a razão de 
semelhança entre eles é 1/4. Se o perímetro do menor mede 
130 cm, quanto mede cada lado do maior decágono? 
 
9. ) Dois hexágonos regulares H1 e H2 são semelhantes e a 
razão de semelhança de H1 para H2 é 5/3. Sabendo-se que a 
medida de cada lado de H2 é 12 cm, quanto mede cada lado 
de H1? 
 
10. () A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 
1440°. Determine a medida do ângulo central. 
 
11. (ifpe) Em determinado ano, as moedas de 𝑅$ 0,25 ti-
nham, numa de suas faces, um polígono regular com 7 la-
dos, como se pode ver na figura. 
 
 
 
Quanto vale a soma dos ângulos internos desse polígono de 
7 lados? 
a) 1.160° 
b) 900° 
c) 1.180° 
d) 1.260° 
e) 1.620° 
 
12. (Eear) Ao somar o número de diagonais e o número de 
lados de um dodecágono obtém-se 
a) 66 
b) 56 
c) 44 
d) 42 
 
13. (ifsul) Um objeto de decoração tem a forma de um pen-
tágono regular, apresentando todas as suas diagonais. Sabe-
se que cada diagonal foi pintada de uma cor diferente das 
 
 
demais. Então, qual é o número de cores diferentes que fo-
ram utilizadas na pintura de tais diagonais? 
a) 5 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
 
14. (G1 - ifal) Na figura a seguir, calcule o ângulo 𝛼. 
 
 
 
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. 
a) 30°. 
b) 33°. 
c) 37°. 
d) 38°. 
e) 42°. 
 
15. (Uece) Se a partir de cada um dos vértices de um polí-
gono convexo com 𝑛 lados podemos traçar tantas diagonais 
quanto o total das diagonais de um hexágono convexo, en-
tão, o valor de 𝑛 é 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
 
16. (ifce) Um hexágono convexo possui três ângulos internos 
retos e outros três que medem 𝑦 graus cada. O valor de 𝑦 é 
a) 135. 
b) 150. 
c) 120. 
d) 60. 
e) 30. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Para responder à(s) questão(ões), leia o seguinte texto: 
 
A palavra polígono tem origem no grego e significa ter mui-
tos lados ou ângulos. Eles foram estudados pelo grande Geô-
metra Euclides de Alexandria em sua obra Os elementos. 
 
 
17. ( ifsul) Quantos lados têm um polígono cuja soma dos 
ângulos internos e externos é 1980°? 
a) 8 
b) 11 
c) 13 
d) 17 
 
18. (Ufrgs) Um hexágono regular tem lado de comprimento 
1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
 
19. ( epcar (Cpcar)) Para participar de um concurso no qual 
serão escolhidos mosaicos para a calçada de uma igreja, um 
artista construiu seu mosaico usando pentágonos regulares 
e losangos dispostos conforme figura a seguir: 
 
 
 
Sabe-se que �̂� e �̂� são ângulos do pentágono regular e do lo-
sango, respectivamente. 
Se a soma �̂� + �̂� equivale a 𝑥 graus, então, quanto ao valor 
de 𝑥 pode-se afirmar que é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) divisível por 7. 
d) múltiplo de 10. 
 
20. (Uece) Considere 𝑀𝑋𝑌𝑍𝑊 um pentágono regular e 
𝑋𝑌𝑂 um triângulo equilátero em seu interior (o vértice 𝑂 
está no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, 
em graus, do ângulo 𝑋�̂�𝑍 é 
a) 116. 
b) 96. 
c) 126. 
d) 106. 
 
21. ( ifce) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 
7
2
 do seu ângulo externo é 
a) octógono. 
b) dodecágono. 
c) decágono. 
d) icoságono. 
e) eneágono 
 
22. cftmg) Considere um hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. A par-
tir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono 
𝐴'𝐵'𝐶'𝐷'𝐸'𝐹'. 
 
 
 
 
 
A medida do ângulo 𝐵�̂�'𝐵', em graus, é 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 60. 
 
23. (G1 - cp2) O mosaico a seguir é formado por pentágonos 
regulares e losangos. 
 
 
 
A soma das medidas dos ângulos 𝑥,  𝑦 e 𝑧 é igual a 
a) 252°. 
b) 288°. 
c) 324°. 
d) 360°. 
 
24. (G1 - utfpr) O valor de 𝑥 no pentágono abaixo é igual a: 
 
 
a) 25°. 
b) 40°. 
c) 250°. 
d) 540°. 
e) 1.000°. 
 
25. (G1 - utfpr) O número de diagonais de um polígono re-
gular cujo ângulo externo mede 18° é: 
a) 5. 
b) 170. 
c) 14. 
d) 135. 
e) 275. 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 octógono e dodecágono 
 
Resposta da questão 2: 
 a) 156° 
b) 24° 
 
Resposta da questão 3: 
 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, 
portanto: 
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 360° ⇒ 10𝑥 = 360° 
 
Logo, 
𝑥 = 36°,  2𝑥 = 72°,  3𝑥 = 108° e 4𝑥 = 144°. 
 
Resposta da questão 4: 
 Octógono 
 
Resposta da questão 5: 
 a) 120 𝑐𝑚. 
b) 0,561 𝑚. 
 
Resposta da questão 6: 
 x = 110° 
 
Resposta da questão 7: 
 Octَgono. 
 
Resposta da questão 8: 
 52 cm 
 
Resposta da questão 9: 
 H1 = 20 
 
Resposta da questão 10: 
 36° 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Pela fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono 
de 𝑛 lados, obtemos: 
𝑆𝑛 = (𝑛 − 2) ⋅ 180° 
𝑆7 = (7 − 2) ⋅ 180° 
∴ 𝑆7 = 900° 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Sabendo que um dodecágono possui doze lados, temos 
 
12⋅(12−3)
2
+ 12 = 66. 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Contando as diagonais temos: 
 
 
 
Cinco diagonais. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Calculando: 
 
 
 
No triângulo amarelo, tem-se: 
(180 − 42) + (180 − 30) + (180 − 𝑥) = 360° → 𝑥 = 108 
 
No triângulo azul, tem-se: 
(180 − 37) + (180 − 38) + (180 − 𝑦) = 360° → 𝑦 = 105 
 
No triângulo rosa, tem-se: 
(180 − 108) + (180 − 105) + 𝛼 = 180° → 𝑥 = 33° 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Um hexágono convexo possui 
6⋅(6−3)
2
= 9 diagonais. Por-
tanto, temos 𝑛 − 3 = 9, o que implica em 𝑛 = 12. 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
A soma dos ângulos internos de um hexágono é dada por: 
𝑆 = 180° ⋅ (6 − 2) = 720° 
 
Portanto: 
3 ⋅ 90° + 3 ⋅ 𝑦 = 720° ⇒ 3𝑦 = 450° ⇒ 𝑦 = 150° 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Calculando: 
𝑆𝑒 = 360° 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ⋅ 180° → 1980° − 360° = (𝑛 − 2) ⋅ 180° 
1980 − 360 = 180𝑛 − 360 → 180𝑛 = 1980 → 𝑛 = 11 
 
 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
O número de diagonais do hexágono é dado por: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
=
6 ⋅ 3
2
= 9. 
Destas, três medem 2ℓ e seis medem ℓ√3. Logo, 
3 ⋅ 4ℓ2 + 6 ⋅ 3ℓ2 = 30ℓ2 = 30 ⋅ 12 = 30. 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Considerando que seja a medida do ângulo externo do pen-
tágono regular, temos: 
 
 
 
𝑒 =
360°
5
= 72° 
𝑎 = 180° − 72° = 108° 
𝑏 = 180° − 2 ⋅ 𝑒 = 180° − 144° = 36° 
∴ 𝑎 + 𝑏 = 144° (𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜) 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Desde que o triângulo 𝑋𝑌𝑂 é equilátero, temos 𝑍𝑌 = 𝑂𝑌 =
𝑌𝑋 = 𝑋𝑂. Ademais, como cada ângulo interno do pentá-
gono regular 𝑀𝑋𝑌𝑍𝑊 mede 
180° ⋅ (5 − 2)
5
= 108°, 
 
temos 𝑍�̂�𝑂 = 108° − 60° = 48°. 
Por outro lado, sendo o triângulo 𝑌𝑍𝑂 isósceles de base 𝑍𝑂, 
vem 
𝑍�̂�𝑌 =
180° − 48°
2
= 66°. 
 
A resposta é 
XOZ XOY ZOY
60 66
126 .
= +
=  + 
= 
 
 
Resposta da questão 21: 
 [E] 
 
Observação: Todo polígono regular é convexo. 
 
Considerando que 𝑒 é a medida do ângulo externo do polí-
gono regular de 𝑛 lados e 
7𝑒
2
 a medida de seu ângulo interno, 
temos a seguinteequação: 
𝑖 + 𝑒 = 180° 
7𝑒
2
+ 𝑒 = 180° 
7𝑒 + 2𝑒 = 360° 
9𝑒 = 360° 
𝑒 = 40° 
360°
𝑛
= 40 ⇒ 𝑛 = 9 
 
Portanto, o polígono citado é um eneágono regular. 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Como um hexágono regular possui como soma dos ângulos 
internos 720° e cada ângulo mede 120° logo o ângulo 𝐁 
mede 120° e como o novo hexágono é traçado nos pontos 
médios temos que 𝐴'𝐵 = 𝐵𝐵' e assim o triangulo 𝐴'𝐵'𝐵 é 
isósceles. 
 
Nesse sentido, sabendo que o ângulo 𝐁 mede 120° tem-se 
que os outros dois ângulos possuem a mesma medida e as-
sim: 
𝐴' + 𝐵' + 120° = 180° ⇒ {
𝐴' = 30°
𝐵' = 30°
 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
Considerando que cada ângulo interno do pentágono mede: 
(5 − 3) ⋅ 180°
5
= 108° 
 
Podemos escrever: 
𝑦 + 108° + 108° = 360° ⇒ 𝑦 = 144° 
𝑥 + 𝑦 = 180° (ângulos consecutivos do losango) ⇒ 𝑥 = 36°. 
𝑧 + 36° + 108° + 108° = 360° ⇒ 𝑧 = 108° 
 
 
 
Portanto, 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 288° 
 
Resposta da questão 24: 
 [B] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode 
ser calculada através da fórmula a seguir, onde n é o número 
de lados do polígono. Ou seja: 
𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝑛 − 2) = 180° ⋅ (5 − 2) = 180° ⋅ 3 → 𝑆𝑖 =
540° 
 
Assim, sabendo que a soma dos ângulos internos é 540°, 
pode-se escrever: 
540 = 2𝑥 + 30 +
5
2
𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 50 + 4𝑥 − 40 
540 = 10𝑥 +
5
2
𝑥 + 40 → 1000 = 25𝑥 → 𝑥 = 40° 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
𝑛 = 𝑛° vértices ou lados 
𝑆𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 = 360° = 𝑛 ⋅ 18° → 𝑛 = 20 vértices ou lados 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 =
𝑛⋅(𝑛−3)
2
=
20⋅(20−3)
2
= 170 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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