Tópico 21 - Soluções Matemáticas

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Ponto de Máximos e mínimos
APRESENTAR O CONCEITO DE PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
PONTO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 
uando se estuda o comportamento de uma função pensa-se em encontrar os pontos de máximos e mínimos
da função e se existir o ponto de inflexão. Vamos fazer este estudo de acordo com FLEMMING, (2007);
GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010).
Vejamos alguns teoremas para auxiliar na compreensão do conceito de ponto de máximos e mínimos.  
 
Teorema de Weierstrass
Toda função f(x) contínua num intervalo fechado [a, b] assume um máximo e um mínimo em [a, b].
Geometricamente podemos observar a existência desses pontos de máximo e de mínimo. Dada a função 
f(x) cujo gráfico é 
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Observação: No gráfico observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mínimo
local ambos interiores ao intervalo.
Entretanto, o ponto de máximo global da função ocorre na extremidade b e o ponto de mínimo global
ocorre na extremidade a do intervalo.
 
Teorema de Fermat (Condições necessárias para a existência de extremo relativo):
 
Seja f (x) uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) e x_0 \in (a,b). Se f (x)  é
admite um ponto extremo relativo em x  (um ponto de máximo ou mínimo) e f (x)  for definida em (a,b),
então  .   
Geometricamente: O teorema de Fermat garante que num extremo local interior de uma função derivável f
(x), a reta tangente ao gráfico de f (x) é paralela aos eixos do x.
1)   f(x_0) é o máximo local                                         
 
2)  f(x_0) é o mínimo local
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Teorema do Valor Médio ou Teorema de Lagrange
Se a função f(x) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) existe pelo menos um x_0 \in (a,b), tal que.
f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
 
Pontos de inflexão
Definição: Se f(x)  for contínua em um intervalo aberto I  tal que x_0 \in I  e se f(x)  muda a direção da
concavidade em x_0  dizemos, então que f(x)  admite ponto de inflexão em x_0. (FLEMMING, 2007;
GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
Graficamente 
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Os pontos de inflexão de uma função os pontos onde a função a concavidade, isto é, onde a função cresce
ou decresce mais rapidamente e sua vizinhança máxima.
Teorema: Seja (x_0, f (x_0))  um ponto de inflexão. Então f'' (x_0)=0, \mbox{ ou } f''  não está definida em
x=x_0. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000; MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 
Extremos relativos: Máximos e mínimos.
 Definição:
a. Uma função f(x) admite um máximo relativo em x_0, se existir um intervalo aberto I contendo x_0, tal que
f(x_0) assume o maior valor, isto é f(x_0)\geq f(x) \ \ \forall x \in I .
b. Uma função f(x) admite um mínimo relativo em x_0, se existir um intervalo aberto I contendo x_0, tal que
f(x_0) assume o menor valor, isto é f(x_0)\leq f(x) \ \ \forall x \in I.(FLEMMING, 2007; GUIDORIZZI, 2000;
MUROLO, 2016; STEWART, 2009; VILCHES, 2010)
 Para calcular os pontos de máximos e mínimos temos dois critérios, o teste da 1ª derivada e o teste da 2ª
derivada.
 
Ponto Crítico
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Se f(x)  uma função diferenciável em p, em que p é um ponto interior a D_f . Uma condição necessária para
que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f^{'} (p)=0. (GUIDORIZZI, 2000, 280)
 
Teorema: Critério da derivada primeira (GUIDORIZZI, 2000, 281)
 
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo
(a, b) exceto possivelmente num ponto c:
 
I. Se   então f tem um ponto de máximo relativo em c.
II. Se   então f tem um ponto de mínimo relativo em c.
Geometricamente notemos que: 
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Teorema: Critério da derivada segunda (GUIDORIZZI, 2000, 281)
 
Seja f é uma função que admite derivada de 2ª ordem contínua no intervalo aberto I e p \in I.
I. Se f'(p)=0 \mbox{ e } f''(p)> então p é um ponto de mínimo local.
II. Se f'(p)=0 \mbox { e } f''(p)<0   então p é um ponto de máximo local.
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010).
 
 Determine os extremos relativos das funções dadas
1)   f(x) = 3x^3 + 3x^2 - 15x + 10.
Resolução:
Para encontras os pontos relativos (ponto de máximo e/ou mínimo ou ainda ponto de inflexão) é necessário
seguir alguns passos, sejam estes:
Passo 1: Em primeiro lugar é necessário calcular o ponto crítico da função (os pontos críticos da função são
os candidatos a ponto de máximo, mínimo ou ainda ponto de inflexão)
Para calcular o ponto crítico devemos calcular a derivada de 1ª ordem da função e depois igualar a zero.
Logo
f^{'} (x)=9x^2+6x-15
Fazendo f^{'} (x)=0, logo encontramos uma equação do segundo grau. Devemos resolver a equação para
achar as raízes que serão os pontos críticos.
 
9x^2+6x-15=0                                 
Por Bhaskara temos  x_1=1 \mbox { e } x_2=-5/3
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Passo 2: calcular o valor numérico da segunda derivada para os pontos críticos. Devemos encontrar a
derivada de segunda ordem em primeiro lugar.
Assim temos
f''(x)=18x+6
Cálculo dos valores numérico para:
Portanto o ponto Q(1, f(1)) é ponto de mínimo.
Portanto o ponto P (-5/3, f(-5/3)) é ponto de máximo.
Calculando
f(1)=3 \cdot1^3 + 3 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 + 10=1
Assim Q(1, 1)
Assim P(-5/3, 265/9)
Graficamente
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2. Determine o máximo e o mínimo de f(x) = 3x^2 + 3x -1, no intervalo [ -1, 4 ].
Resolução:
Para encontras os pontos relativos (ponto de máximo e/ou mínimo ou ainda ponto de inflexão) é necessário
seguir alguns passos, sejam estes:
Passo 1: Em primeiro lugar é necessário calcular o ponto crítico da função (os pontos críticos da função são
os candidatos a ponto de máximo, mínimo ou ainda ponto de inflexão)
Para calcular o ponto crítico devemos calcular a derivada de 1ª ordem da função e depois igualar a zero.
Logo
f^{'} (x)=6x+3
Fazendo f^{'} (x)=0, logo encontramos uma equação do primeiro grau. Devemos resolver a equação para
achar as raízes que serão os pontos críticos.
Logo o único ponto crítico de f(x)  é x=-1/2.
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Passo 2: calcular o valor numérico da segunda derivada para os pontos críticos.
Assim temos
f^{''} (x)=6>0
Cálculo dos valores numérico para o ponto crítico e para os extremos do intervalo temos os pontos:
Temos que
Para x=-1 (extremo do intervalo de hipótese)
f(-1)= 3(-1)^2+ 3(-1)-1=-1
O ponto A (-1, -1) será ponto de máximo, pois a função está decrescendo
Para x=4 (extremo do intervalo de hipótese)
f(4)= 3(4)^2+ 3(4)-1=59   o ponto P (4, 59) será ponto de máximo, pois a função está crescendo
Para x=-1/2 (ponto crítico)
O ponto  será ponto de mínimo, pois a segunda derivada é positiva.
Veja o gráfico de f(x) = 3x^2 + 3x -1
3. Determine os pontosde máximo e o mínimo de f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 3.
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Resolução:
Para encontras os pontos relativos (ponto de máximo e/ou mínimo ou ainda ponto de inflexão) é necessário
seguir alguns passos, sejam estes:
Passo 1: Em primeiro lugar é necessário calcular o ponto crítico da função (os pontos críticos da função são
os candidatos a ponto de máximo, mínimo ou ainda ponto de inflexão).
Para calcular o ponto crítico devemos calcular a derivada de 1ª ordem da função e depois igualar a zero.
Logo
f^{'} (x)=12x^2-6x
Fazendo f^{'} (x)=0, logo encontramos uma equação do segundo grau. Devemos resolver a equação para
achar as raízes que serão os pontos críticos.
12x^2-6x=0                              
Por Bhaskara temos os pontos críticos: x_1=0 \mbox{ e } x_2=1/2
Passo 2: calcular o valor numérico da segunda derivada para os pontos críticos.
Assim temos: A Derivada de segunda ordem
f^{''} (x)=24x-6
Cálculo dos valores numérico para:
Portanto o ponto P (0, f (0)) é ponto de máximo. 
Portanto o ponto Q (1/2, f (1/2)) é ponto de mínimo.
Calculando  f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 3
f(0)=4 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2+ 3=3
Assim P(0,3)
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Assim Q(1/2, 11/4)
Graficamente   
4. Dada a função f(x)=x^3-x^2-x+1  encontre os pontos de máximo, de mínimo e os pontos de inflexão se
existirem.
Resolução:
Para encontras os pontos relativos (ponto de máximo e/ou mínimo ou ainda ponto de inflexão) é necessário
seguir alguns passos, sejam estes:
Passo 1: Em primeiro lugar é necessário calcular o ponto crítico da função (os pontos críticos da função são
os candidatos a ponto de máximo, mínimo ou ainda ponto de inflexão)
Para calcular o ponto crítico devemos calcular a derivada de 1ª ordem da função e depois igualar a zero.
Logo
f^{'} (x)=3x^2-2x-1
Fazendo , logo encontramos uma equação do segundo grau. Devemos resolver a equação para achar as
raízes que serão os pontos críticos.
3x^2-2x-1=0                        
Por Bhaskara temos os pontos críticos  x_1=1 \mbox{ e } x_2=-1/2
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Passo 2: calcular o valor numérico da segunda derivada para os pontos críticos.
Assim temos, a derivada de segunda ordem
f^{''} (x)=6x-2
Cálculo dos valores numérico para:
Portanto o ponto P (1, f (1)) é ponto de mínimo.
Portanto o ponto Q (-1/2, f (1/(-2))) é ponto de máximo.
Calculando
f(1)=1^3 -1^2- 1 + 1=0
Assim P(1, 0).
Assim Q(-1/2, 9/8) .
Para calcular o ponto de inflexão de f(x) devemos fazer f^{''} (x)=0.
Assim
Calculando 
Assim A(1/3, 14/27 ) é dito ponto de inflexão de f(x).
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Observação
Há funções onde apresenta f^{''} (x)=0,  que não apresenta ponto de inflexão. Exemplos vejamos o gráfico
das funções 
5. Dada a função f(x) = 2x^4 - 4x^2 encontre os pontos de máximo, de mínimo e os pontos de inflexão se
existirem.
Resolução
Calculemos a derivada de 1ª ordem f(x) que é  f^{'} (x)=8x^3-8x
Fazendo f^{'} (x)=0 para encontramos os pontos críticos.
8x^3-8x=0
Resolvendo a equação de 2º grau encontramos as raízes:
x_1=1 \\x_2=0 \\ x_3=-1
Encontremos a derivada de 2ª ordem para classificar os pontos críticos.
f^{''} (x)=24x^2-8
Logo, aplicando os valores críticos à segunda derivada, temos:
             I. f^{''} (-1)=24(-1)^2-8=16>0 portanto, mínimo relativo em x=-1.
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             II. f^{''} (0)=24 \cdot 0^2-8<0 portanto, máximo relativo em x=0.
             III. f''(1)=24 \cdot 1-8=16>0 portanto, mínimo relativo em x=1.
Agora, aplicamos os valores críticos à função f(x) = 2x^4 -4x^2 para achar os pontos:
I. f (-1) = 2(-1)^4- 4(-1)^2= -2, portanto P ( -1, -2) Ponto mínimo relativo.
II. f (0) = 2(0)^4- 4(0)^2= 0, portanto Q (0, 0) Ponto máximo relativo.
III. f (1) = 2(1)^4- 4(1)^2= -2, portanto R (1, -2) Ponto mínimo relativo.
Veja o gráfico:
ATIVIDADE FINAL
Achar dois números positivos cuja soma é 16 e o produto máximo
possível.
A. Os valores procurados são x=8 e y=8.  
B. Os valores procurados são x=9 e y=7.  
C. Os valores procurados são x=7 e y=9.  
D. Os valores procurados são x=10 e y=6.  
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Um jardim retangular de área 50m deve ser cercado. Se em um lado do
jardim existe uma parede, quais as dimensões da cerca de menor
comprimento?
A. As dimensões da cerca de menor comprimento x=15 e y=10. 
B. As dimensões da cerca de menor comprimento x=5 e y=5. 
C. As dimensões da cerca de menor comprimento x=5 e y=10. 
D. As dimensões da cerca de menor comprimento x=10 e y=10. 
Exprima o número 18 como soma de dois números positivos de tal
modo que o produto do primeiro pelo quadrado do segundo seja o
máximo possível.
A. Os valores procurados são x=10 e y=8.  
B. Os valores procurados são x=12 e y=6.  
C. Os valores procurados são x=8 e y=10. 
D. Os valores procurados são x=8 e y=10. 
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
Murolo, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, MAURICIO A. e CORRÊA MARIA LUIZA. CÁLCULO: VOLUME I. Departamento de Análise - IME
UERJ: Rio de Janeiro. 2010 
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