Questão resolvida - Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos d

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um 
ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos 
serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, 
podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda 
derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e mínimos 
(pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril. Sendo assim, 
imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por:
 
 C x = 3x³ - 324x + 192( )
 
 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
 
Resolução:
 
Para achar os pontos críticos de C x , devemos fazer sua derivada C' x e igualar a zero e resolver( ) ( )
a equação resultante para achar as coordenadas x dos pontos críticos :
 
 C x = 3x³ - 324x + 192 C' x = 9x - 324 = 0( ) → ( ) 2
 
9x = 324 x = x = ± x = ±62 → 2
324
9
→ 36 →
 
O unico desses pontos críticos que interessão é + 6, já que não é possível fabricar uma 
quantidade negativa de produtos. Para saber se x = 6 é ponto de máximo ou mínimo,
 vamos substituir um valor acima x = 7 e um valor abaixo x = 5 em C' x :( ) ( ) ( )
 
C' 7 = 9 7 - 324 C' 7 = 9 ⋅ 49 - 324 = 117 > 0( ) ( )2 → ( )
 
C' 5 = 9 5 - 324 C' 5 = 9 ⋅ 25 - 324 = - 99 < 0( ) ( )2 → ( )
Com isso, podemos concluir que é coordenada do ponto de mínimo de , pois, x = 6 C x( )
pelos valores de e percebemos que:C' 7( ) C' 5( )
 
 
Assim, podemos concluir que para o custo ser mínimo deveram ser produzidas 6 unidades
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
6