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Lista de Exercícios 3 Cálculo Numérico Profa. Dra. Yara de Souza Tadano 1. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a fatoração LU da matriz dos coeficientes: a) 2 3 −1 4 4 −1 −2 −3 4 " # $ $ $ % & ' ' ' x1 x2 x3 " # $ $ $ $ % & ' ' ' ' = 2 −1 1 " # $ $ $ % & ' ' ' b) 2 2 2 −1 0 1 3 5 6 " # $ $ $ % & ' ' ' x1 x2 x3 " # $ $ $ $ % & ' ' ' ' = −1 3 0 " # $ $ $ % & ' ' ' 2. Considere as matrizes a seguir. Encontre a matriz permutação P de forma que PA possa ser fatorada no produto LU em que L é uma matriz triangular inferior com 1 em sua diagonal principal e U é uma matriz triangular superior. Determine, então, L e U. a) A = 1 2 −1 2 4 0 0 1 −1 " # $ $ $ % & ' ' ' c) A = 0 1 1 1 −2 −1 1 −1 1 " # $ $ $ % & ' ' ' b) A = 1 1 −1 0 1 1 4 3 2 −1 2 4 2 −1 2 3 " # $ $ $ $ % & ' ' ' ' d) A = 0 1 1 2 0 1 1 −1 1 2 −1 3 1 1 2 0 " # $ $ $ $ % & ' ' ' ' 3. Encontre α e β para que as seguintes matrizes sejam definidas positivas: a) α 1 −1 1 2 1 −1 1 4 " # $ $ $ % & ' ' ' c) 1 0 −1 0 1 1 −1 1 α " # $ $ $ % & ' ' ' b) 2 α −1 α 2 1 −1 1 4 " # $ $ $ % & ' ' ' d) α 1 0 β 2 1 0 1 2 ! " # # # $ % & & & 4. Encontre α e β para que as seguintes matrizes sejam estritamente diagonal dominantes: a) 4 α 1 2β 5 4 β 2 α ! " # # # $ % & & & , sendo β > 0 c) 1 0 −1 0 1 1 −1 1 α " # $ $ $ % & ' ' ' b) 3 2 β α 5 β 2 1 α ! " # # # $ % & & & , sendoα > 0 e β > 0 d) α 1 0 β 2 1 0 1 2 ! " # # # $ % & & & 5. Reordene, se necessário, os sistemas abaixo para que os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel certamente convirjam e encontre as duas primeiras iterações de cada método com x(0) = 0: a) 3x1 − x2 + x3 =1 3x1 +3x2 + 7x3 = 4 3x1 + 6x2 + 2x3 = 0 " # $$ % $ $ d) 4x1 + x2 − x3 + x4 = −2 x1 + 4 x2 − x3 − x4 = −1 −x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0 x1 − x2 + x3 + x4 =1 " # $ $ % $ $ b) 10x1 − x2 = 9 −x1 +10x2 − 2x3 = 7 − 2x2 +10x3 = 6 " # $ % $ $ e) 4x1 − x2 = 0 − 4 x4 − x5 = 6 −x4 + 4x5 − x6 = −2 − x5 + 4x6 = 6 −x1 + 4x2 − x3 = 5 − x2 + 4x3 = 0 " # $ $ $ % $ $ $ c) 2x1 + 2x2 + 5x3 = 1 4x1 + x2 − x3 = 5 −x1 + 3x2 + x3 = −4 " # $$ % $ $ 6. Resolva os sistemas lineares do exercício anterior pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, se convergentes, com ε = 10-3.
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