CÁLCULO 3 - Lista 2

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Profa Rosane Gomes Pereira
rosanegope@ufg.br
Lista 2 - Cálculo 3A - 2019.2
Questão 1.
Determine uma função f tal que ~F � ~∇f e
use esta informação para calcular
»
C
~F � d~r sobre
a curva C dada.
a) ~F px, yq � x2~i � y2~j, C é o arco da
parábola y � 2x2 de p�1, 2q a p2, 8q.
b) ~F px, y.zq � yz~i�xz~j�pxy� 2zqk, C é o
segmento de reta de p1, 0,�2q a p4, 6, 3q.
Questão 2.
Mostre que a integral de linha,»
C
2x sin y dx� px2 cos y � 3y2q dy
onde C é qualquer caminho de p�1, 0q a p5, 1q, é
independente do caminho e calcule a integral.
Questão 3.
Determine o trabalho realizado pelo campo de
força ~F px, yq � e�y~i�xe�y~j ao mover um objeto
de p1, 1q a p2, 0q.
Questão 4.
Calcule a integral de linha:
a)
»
C
xy dx � x2 dy, C é o retângulo com
vértices p0, 0q, p3, 0q, p3, 1q e p0, 1q.
b)
»
C
x dx� y dy, C consiste nos segmentos
de reta de p0, 1q a p0, 0q e de p0, 0q a p1, 0q
e na parábola y � 1�x2 de p1, 0q a p0, 1q.
Questão 5.
Calcule a integral de linha, utilizando o Teorema
de Green:
a)
»
C
xy dx � x2 dy, C é o retângulo com
vértices p0, 0q, p3, 0q, p3, 1q e p0, 1q.
b)
»
C
x dx� y dy, C consiste nos segmentos
de reta de p0, 1q a p0, 0q e de p0, 0q a p1, 0q
e na parábola y � 1�x2 de p1, 0q a p0, 1q.
Questão 6.
Use o Teorema de Green para calcular a integral
de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva.
a)
»
C
ey dx� 2xey dy, C é o quadrado de la-
dos x � 0, x � 1, y � 0 e y � 1.
b)
»
C
�
y � e
?
x
	
dx � �2x� cos y2� dy, C
é a fronteira da região englobada pelas
parábolas y � x2 e x � y2.
c)
»
C
y3 dx�x3 dy, C é o ćırculo x2�y2 � 4.
Questão 7.
Use o teorema de Green para calcular
»
C
~F � d~r.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar
o teorema).
a) ~F px, yq � �?x� y3, x2 �?y�, C con-
siste no arco da curva y � sin x de p0, 0q
a pπ, 0q e no segmento de reta pπ, 0q a
p0, 0q.
b) ~F px, yq � pex � x2y, ey � xy2q, C é a cir-
cunferência x2 � y2 � 25, orientada no
sentido horário.
Questão 8.
Calcule
a)
» p2,2q
p1,1q
y dx� x dy
b)
» p1,0q
p�1,0q
x
x2 � y2 dx�
y
x2 � y2 dy
c)
Questão 9.
Calcule a área da região limitada pela curva x �
t � sin t, y � 1 � cos t, 0 ¤ t ¤ 2π, e pelo eixo
x.
Questão 10.
Calcule
»
C
~F � ~nds.
a) ~F px, yq � x~i � y~j, C é a circunferência
x2 � y2 � 1 e ~n a normal exterior.
b) ~F px, yq � y~j, C a fronteira do quadrado
de vértices p0, 0q, p1, 0q , p1, 1q e p0, 1q
e ~n a normal que aponta para fora do
quadrado, sendo C orientada no sentido
anti-horário.
c) ~F px, yq � x2~i, a parametrização de C é
dada por ~rptq � p2 cos t, sin tq, 0 ¤ t ¤
2π e ~n a normal que aponta para fora da
região
x2
4
� y2 ¤ 1.
d) ~F px, yq � x~i� y~j, C é o arco da parábola
y � x2, 0 ¤ x ¤ 1 e ~n a normal com
componente y   0.