aula_3

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Circuitos Lógicos 
Álgebra Booleana 
Simplificação de circuitos lógicos 
Prof.: Thiago Coelho 
1 
Álgebra de Boole 
• Variáveis booleanas são representadas 
através de letras e podem assumir dois 
apenas dois valores 0 e 1 
• Expressão booleana é uma expressão 
matemática cujas variáveis são booleanas 
• Através de postulados, propriedades, 
teoremas fundamentais e identidades da 
álgebra de Boole é possível a simplificação 
das expressões que representam os circuitos 
lógicos 
2 
 
• Postulado da complementação 
Seja o complemento de A: 
 
 
Através do postulado, estabelecemos a 
seguinte identidade: 
 
3 
Postulados 
A
0A 1ASe , logo 
1A 0ASe , logo 
0A 1ASe , logo 
1A 0ASe , logo 
, e se 1A , logo 0A
, e se , logo 1A0A
Assim sendo, podemos escrever: AA 
Postulados 
• Postulado da adição: As regras da adição na 
álgebra de Boole são: 
 
Através do postulado podemos definir as 
seguintes identidades: 
A+0=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+0=1 
A+1=1, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+1=1 
A+A=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+1=1 
 , se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+0=1 
 
4 
1 AA
1o) 0+0=0 
2o) 0+1=1 
3o) 1+0=1 
4o) 1+1=1 
Postulados 
• Postulado da Multiplicação: As regras da 
multiplicação booleana são 
 
Através do postulado, podemos estabelecer 
as identidades: 
A.0=0, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 0.1=0 
A.1=A, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.1=1 
A.A=A, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 1.1=1 
 =0, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.0=0 
 
 
5 
AA.
1o) 0.0=0 
2o) 0.1=0 
3o) 1.0=0 
4o) 1.1=1 
Propriedades 
• Propriedade comutativa na adição: 
A+B=B+A 
 
 
 
• Propriedade comutativa na multiplicação: 
A.B=B.A 
 
6 
Propriedades 
• Propriedade associativa na adição: 
A + (B + C)=(A + B) + C=A + B + C 
 
 
 
7 
Propriedades 
• Propriedade associativa na multiplicação: 
A . (B . C)=(A . B) . C= A . B . C 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Propriedades 
• Propriedade distributiva: 
A. (B + C)= A . B + A . C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Teoremas de De Morgan 
• O complemento do produto é igual a soma 
dos complementos 
 
 
 
 
 
 
10 
BABA .
)...(..... NCBANCBA 
Teoremas de De Morgan 
• O complemento do a soma é igual ao 
produto dos complementos (extensão do 
primeiro teorema) 
Seja o 1o. Teorema: 
Reescrevendo assim: 
E chamando de X e de Y 
Tem-se o 2o teorema: 
 
 
 
 
 
11 
BABA .
)(. BABA 
A B
YXYX .
NCBANCBA .....)...( 
Identidades auxiliares 
• A + AB=A => A(1+B)=A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
BAABAA
BABAA
..
.


Identidade: AA 
BABAA
BA
BA
BAAA
BAA
BAABAA






.
.
)..(
).(
)..(. 2o Teorema de De Morgan 
 
1o Teorema de De Morgan 
 
Propriedade distributiva e identidade 
 
1o Teorema de De Morgan 
 
0. AA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Identidades auxiliares 
BCACABA
BCA
BCCBA
CBCBAA
CBCABAA
CBCABAAA
BACBAACABA
CBACABA








)).((
.1.
.)1.(
.).(
...
....
)()()).((
.)).(( Propriedades utilizadas: 
 
Distributiva 
Distributiva 
 
A.A=A 
 
 
 
1+A=1 e A.1=A 
Quadro Resumo 
14 
Identidades 
Complementação Adição Multiplicação 
A+0=A A.0=0 
A+1=1 A.1=A 
A+A=A A.A=A 
Postulados 
Complementação Adição Multiplicação 
0+0=0 0.0=0 
0+1=1 0.1=0 
 1+0=1 1.0=0 
 1+1=1 1.1=1 
Simplificação de Expressões 
Booleanas 
• Simplificações de expressões implicam em 
simplificações de circuitos 
• São possíveis dois métodos para se realizar 
simplificações de expressões: 
 Álgebra de Boole 
 Mapas de Veitch-Karnaugh 
 
 
 
 
 
15 
Simplificação de expressões 
booleanas 
• Exemplo 
Seja simplificar a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
BACAABCS 
)( BCBCAS 
)]([ BCBCAS 
)]([ BCBCAS 
)]([ BCBCAS 
AYYAS  ][
Evidenciando o termo A 
De Morgan e, chamando BC de Y 
Associativa 
AA 
Simplificação de expressões 
booleanas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
Exercícios propostos 
 Simplifique as expressões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
  CBACBAS  .1
   ACDCDBACS 2
     BCDCBAS  .3
  CBACBAS  .4
CABABCCBABCACBAS  ..5
 BADCBAS  .}].)([{6