Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações

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ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	07/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
.
	
1. No entanto, logo após determinarmos g (x) e h(x) iniciamos a construção do gráfico de y1 = g(x) e y2 = h(X).
E se houver interseção entre esses Gráficos, logo eles se interceptam em um ponto abcissa x = x0. Nesse sentido podemos concluir que x = x0 é uma raiz da equação f(x).
 Solução iremos usar:
 = x3
 , ao qual é possível simplificar para .
Avaliando o Gráfico da equação g (x) = x3, percebemos que o g (x) = 0 somente quando o x = 0, logo a única Raiz de g(x) é o zero (0).
Logo após avaliação do Gráfico da função h(x) = , entendemos que h(x) é uma equação de segundo grau que pode ser simplificada para, h(x) = tendo concavidade direcionada para cima (x positivo),contando o eixo das ordenadas em y = -15.
Ao executarmos algebricamente as Raízes da equação, obteremos:
h(x) = 
 
 ou x1 ≈ - 11,32456
 ou x2 ≈ 1,32456
Nesse sentido teremos:
	
Com a visualização dos dois Gráficos para um mesmo plano cartesiano, é possível observar que as Raízes da função estão determinadas no intervalo (-5,5). Perceba no gráfico abaixo:
	
A substituirmos nas funções os valores do intervalo determinado, termos:
	x
	-5
	-4
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	g(x)
	-125
	-64
	-27
	-8
	-1
	0
	1
	8
	27
	64
	125
	h(x)
	-80
	-78
	-72
	-62
	-48
	-30
	-8
	18
	48
	82
	120
Por fim, ao analisarmos os pontos da tabela, vemos que para os intervalos [-5,-4] e [4,5] a função h(x) assume valores maiores do que a função g(x) ou seja, para o x nesses pontos ocorre uma interseção entre as curvas traçadas. E do mesmo modo no intervalo [1,2 a função g(x) assume valores maiores que g(x)s. Levando-nos a mesma conclusão de interseção. Consequentemente as Raízes exatas pertencem aos intervalos [-5,-4], [1,2] e [4,5].
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
		
		
		
Analisando as funções g(x) e h(x) no software Geogebra, determinamos os pontos A, B e C como interseções 
entre as duas funções, os quais correspondem aos intervalos obtidos pela análise gráfica do item 1.
	
Podendo também ser verificado, representando a função f(x) no Geogebra e marcando as suas raízes por A, B e C
	
	
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	3,15625
	-0,038086
	0,031250
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
		n
	an
	Bn
	Xn
	f(xn)
	En
	0
	3
	4
	3,5
	2,5
	
	1
	3
	3,5
	3,25
	0,5625
	0,2500
	2
	3
	3,25
	3,125
	-0,23438
	0,1250
	3
	3,125
	3,25
	3,1875
	0,160156
	0,0625
	4
	3,125
	3,1875
	3,15625
	-0,03809
	0,0313
	5
	3,15625
	3,1875
	3,171875
	0,060791
	0,0156
	6
	3,15625
	3,171875
	3,164063
	0,011292
	0,0078
	7
	3,15625
	3,164063
	3,160156
	-0,01341
	0,0039
	8
	3,160156
	3,164063
	3,162109
	-0,00106
	0,0020
	9
	3,162109
	3,164063
	3,163086
	0,005113
	0,0010
	10
	3,162109
	3,163086
	3,162598
	0,002024
	0,0005
	11
	3,162109
	3,162598
	3,162354
	0,00048
	0,0002
	12
	3,162109
	3,162354
	3,162231
	-0,00029
	0,0001
	13
	3,162231
	3,162354
	3,162292
	9,37E -05
	0,0001
	14
	3,162231
	3,162292
	3,162262
	-9,9E -05
	0,0000
	15
	3,162262
	3,162292
	3,162277
	-2,8E -06
	0,0000
	16
	3,162277
	3,162292
	3,162285
	4,55E -05
	0,0000
	17
	3,162277
	3,162285
	3,162281
	2,14E -05
	0,0000
	18
	3,162277
	3,162281
	3,162279
	9,29E -06
	0,0000
	19
	3,162277
	3,162279
	3,162278
	3,26E -06
	0,0000
	20
	3,162277
	3,162278
	3,162278
	2,43E -07
	0,0000
	21
	3,162277
	3,162278
	3,162277
	-1,3E -06
	0,0000
	22
	3,162277
	3,162278
	3,162278
	-5,1E -07
	0,0000
	23
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	-1,3E -07
	0,0000
	24
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	5,41E -08
	0,0000
	25
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	-4E -08
	0,0000
	26
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	6,93E -09
	0,0000
	27
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	-1,7E -08
	0,0000
	28
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	-4,9E -09
	0,0000
	29
	3,162278
	3,162278
	3,162278
	1,04E -09
	0,0000
	
	
	
	3,162278
	0
	0
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
	
Calculando na calculadora obtemos: 3.16227766
Comparando o resultado com o valor obtido no excel, temos que ambos representam a mesma quantidade, gerando uma excelente aproximação para a raiz de f(x). No excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, devido arredondamento.
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Devemos utilizar o método Gráfico para determinar os possíveis intervalos de intersecção das funções. Dada a função, substituímos por , tais que e 
Logo, para uma representação gráfica, a função indica uma reta crescente que corta o eixo das abscissas em (x) = -2, e para a função temos uma curva senoidal e se tratando de uma função periódica, ela apresenta uma imagem que varia no intervalo . O que significa que os valores que o Seno assume para qualquer valor de x, varia entre .
Com isso, concluímos que os seguintes intervalos da interseção para as funções e , são 
.
	
	-3
	-2
	-1
	
	-2
	0
	2
	
	-0,141
	-0,909
	-0,841
Com a análise dos dados obtidos, determinamos os que valores destacados nos fornecem como único intervalo de interseção .
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	1
	-2,378299446
	-0,065294151
	
	3
	-2,354242759
	-1,94422E -09
	
	4
	-2,354242758
	0,00000000000
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	
Com a utilização do gráfico Geogebra, encontramos para a função o mesmo valor calculado para pelo método de Newton, com exceção de algumas casas decimais devido arredondamento. 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração?
	
Devemos fazer a aplicação do método Gráfico para isolar as Raízes. Para isso, colocamos 
E , construindo um gráfico com o mesmo sistema de eixos coordenados.
Observando o esboço do Gráfico, se percebe a existência de uma única interseção, onde além disso essa interseção corre para no intervalo (0,1). Segundo o enunciado da questão podemos reduzir ainda mais esse valor, sabendo que = 0,5.
Com o intervalo conhecido, devemos verificar se todas as hipóteses para aplicação do método da Iteração Linear são satisfeitas. Conclui-se que a é contínua no intervalo [0,5,1] e possui um único zero nesse intervalo.
Encontrando a Função da Iteração 
Temos duas opções para isolar a variável x. Escolhendo x³ temos, 
Nessa segunda opção isolamos a variável x através da parcela 
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	0,866753875
	0,865039927
	0,0050688
	
	0,865474059
	0,865474024
	0,00000010095
	
	0,865474032
	0,865474033
	0,00000000393
	
	0,865474033
	0,865474033
	0
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	
Utilizando o Geogebra, encontramos para o mesmo valor calculado para pelo método da Iteração Linear, sempre levando em consideração a exceção de algumas casas decimais devido fator de arredondamento.
	VI. Avaliação do experimento
	
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987