ZAB1014 - Lista 2 (Resolução)

Prévia do material em texto

FACULDADE DE ZOOTECNIA E ENGENHARIA DE ALIMENTOS – FZEA/USP 
ZAB 1014 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Prof. César 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
1) Sejam A e B dois eventos em um espaço amostral, com P(A) = 0,2, P(B) = p, P(AB) = 
0,5 e P(AB) = 0,1. Determine o valor de p. 
Resp. 0,5 = 0,2 + p  0,1  p = 0,5  0,2 + 0,1 = 0,4 
 
2) Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior que a 
de sair coroa. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, determinar: 
a) O espaço amostral do experimento. 
S = {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}, onde P(Ca) = 4P(Co)  P(Co) = 0,20 e P(Ca) = 0,80. 
b) A probabilidade de sair somente uma cara nos dois lançamentos. 
 P(CaCo  CoCa) = 0,80(0,20) + 0,20(0,80) = 0,32 
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara nos dois lançamentos. 
 P(CaCo  CoCa  CaCa) = 0,32 + 0,80(0,80) = 0,96 
d) A probabilidade de sair dois resultados iguais nos dois lançamentos. 
 P(CaCa  CoCo) = 0,80(0,80) + 0,20(0,20) = 0,68 
 
3) Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 
0,10. Um meteorologista da rádio local acerta suas previsões em 80% dos dias em que 
chove e em 90% dos dias em que não chove. 
Dica: Evento Probabilidade 
 • Acerta (A) C  A 0,10(0,80) = 0,08 
 • Chove (C) 
 • Erra (E) C  E 0,10(0,20) = 0,02 
 
 • Acerta (A) N  A 0,90(0,90) = 0,81 
 • Não chove (N) 
 • Erra (E) N  E 0,90(0,10) = 0,09 
a) Qual é a probabilidade do meteorologista acertar uma previsão? 
 P(A) = P(CA ou NA) = 0,08 + 0,81 = 0,89 
b) Qual é a probabilidade de ter sido um dia de chuva sabendo-se que a previsão se com-
firmou? 
 P(C | A) = P(CA)/P(A) = 0,08/0,89 = 0,0899  0,09 
 
4) Um veterinário está estudando o índice de natalidade em suínos sujeitos à inseminação 
artificial. Para tal, coletou informações sobre o número de filhotes nascidos vivos em cada 
uma das 100 inseminações realizadas com o mesmo reprodutor. Os resultados são apre-
sentados a seguir: 
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Freq.obs. 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 
Freq.esp. 0 1 4 12 21 25 21 12 4 1 
Um estatístico afirmou que a variável N = “número de filhotes nascidos vivo” poder ser 
estudada por um modelo binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,50. Com base nessas 
informações, pede-se: 
a) Calcule as probabilidades P(X = x), para x = 0, 1, ..., 10 e o número esperado de nas-
cidos vivos em 100 inseminações. 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P(X=x) 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 
b) Compare as frequências observadas e as estimadas pelo modelo binomial e comente se 
a afirmação do estatístico é plausível. 
 
5) A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m2 é feita mecanicamente e 
pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleató-
ria Poisson de média  = 1 defeito/m2. 
k 0 1 2 3 4 5 P(X>5) 
P(X=k) 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.0006 
Uma chapa é sorteada para ser inspecionada. Qual é a probabilidade de encontrarmos 
nesta chapa: 
a) pelo menos um defeito = P(X1) = 1 – 0,3679 = 0,6321 
b) no máximo 2 defeitos = P(X2) = 0,3679+0,3679+0,1839 = 0,9197 
c) de 2 a 4 defeitos = P(2X4) = 0,1839+0,0613+0,0153 = 0,2605 
d) não mais de 1 defeito = P(X1) = 0,3679+0,3679 = 0,7358 
 
6) Verifique se as funções apresentadas a seguir são funções densidades de probabilidade: 
a) f(x) = 3x, se 0  x  1 (Não é!) b) f(x) = (x – 3)/2, se 3  x  5 (Sim!) 
 
7) Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma dis-
tribuição exponencial com parâmetro  = 5 segundos. Calcule a probabilidade do tempo 
de vida do vírus: 
a) estar entre 3 e 5 segundos, P(3  T  5) = 0,63210,4512 = 0,1809 
b) ser superior a 4,5 segundos = P(X > 4,5) = 0,4066 
8) Na distribuição X ~ N(, 2), calcule: 
a) P(X   + 2) = P(Z>2) = 0,0228 
b) P(|X – |  ) = P(| Z | < 1) = 0,6826 
c) b) P(|X – | > ) = P(| Z | > 1) = 0,3174 
d) O número a tal que P( – a  X   + a) = 0,89 = P(–a < Z < a)  a = 1.60 
 
9) As notas de Cálculo II dos alunos de Engenharia de Alimentos têm distribuição normal, 
com média 6,4 e desvio padrão 1,4. 
a) Um professor de Biologia decide atribuir conceitos A para alunos com notas superio-
res a 8,5; conceito B para notas entre 5 e 8,5 e conceito C para notas inferiores a 5. Em 
uma classe de 50 alunos, qual é o número esperado de alunos com conceito A? E com 
conceito B? E com conceito C? 
Conceito Prob Alunos 
A 0.0668 3 
B 0.7745 39 
C 0.1587 8 
b) Outro professor deseja atribuir o conceito A para 20% dos melhores alunos (maiores 
notas), o conceito B para os próximos 40% e o conceito C para 40% dos piores alunos 
(menores notas). Encontre as notas limites para cada um dos conceitos. 
Conceito Nota 
A X  7,6 
B 6,0  X < 7,6 
C X  6,0 
c) Qual método você acha mais interessante? Por quê?