Resumo 27 - Vetor Resultante e operações vetoriais

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VETOR RESULTANTE 
 
O vetor resultante é o vetor que resulta das operações entre diversos vetores. Para 
determinar o vetor resultante é preciso realiza algumas operações vetoriais, incluindo adição, 
subtração e multiplicação. 
 
Determinando o vetor resultante da adição entre dois vetores 
 Sempre que precisamos determinar o vetor resultante da adição entre dois vetores, é 
preciso realizar uma soma (ou adição) vetorial. Esse método é levemente diferente da adição 
algébrica porque é preciso levar em consideração a direção e o sentido dos dois vetores. 
 Existem dois métodos diferentes para realizar a adição entre vetores: o método poligonal e 
o método do paralelogramo. 
 
Método Poligonal 
O método poligonal consiste em determinar o vetor resultante através de um polígono 
criado entre os vetores. Para determinar o vetor resultante utilizando esse procedimento, basta 
colocar os vetores enfileirados, lembrando de colocar a origem de um vetor na extremidade final 
do outro. Em seguida, conectamos a origem do primeiro vetor com a extremidade final do último 
vetor. 
O módulo do vetor resultante é obtido através de um triângulo imaginário formado com o 
vetor resultante e as projeções (horizontal e vertical) do vetor, através do Teorema de Pitágoras. 
 
Exemplo: 
Determine o vetor resultante obtido a partir da adição: 
 
a) �⃗� + �⃗⃗� + 𝑐 + 𝑑 
b) �⃗� + 𝑑 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
(Uel 2018) Em uma brincadeira de caça ao tesouro, o mapa diz que para chegar 
ao local onde a arca de ouro está enterrada, deve-se, primeiramente, dar dez 
passos na direção norte, depois doze passos para a direção leste, em seguida, 
sete passos para o sul, e finalmente oito passos para oeste. 
 
A partir dessas informações, responda aos itens a seguir. 
a) Desenhe a trajetória descrita no mapa, usando um diagrama de vetores. 
b) Se um caçador de tesouro caminhasse em linha reta, desde o ponto de partida até o ponto de 
chegada, quantos passos ele daria? 
Justifique sua resposta, apresentando os cálculos envolvidos na resolução deste item. 
 
Método do Paralelogramo 
O método do paralelogramo consiste em determinar o vetor resultante através de um 
paralelogramo formado entre apenas 2 vetores e suas projeções. Para determinar o vetor 
resultante utilizando esse procedimento, basta conectar as origens dos dois vetores, projetar o 
primeiro vetor na extremidade do segundo vetor, projetar o segundo vetor na extremidade do 
primeiro vetor e, por último, conectar a origens dois vetores com as extremidades das duas 
projeções. 
O módulo do vetor resultante utilizando a regra do paralelogramo (que tem origem na lei 
dos cossenos). Para isso, utilizamos a expressão abaixo: 
 
 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = √|�⃗�|² + |�⃗⃗�|² + 2 ∙ |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos⁡(𝜃) 
Em que: 
θ → Corresponde ao ângulo entre o vetor a e o vetor b. 
 
Exemplo 
Determine o vetor resultante da soma entre os vetores a e b utilizando o método do paralelogramo. 
Considere que o ângulo entre a e b seja igual a 90°. Determine também o módulo desse vetor 
resultante. 
 
 
Exemplo 
Dois vetores V1 e V2 formam entre si um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 5 unidades e 12 
unidades, respectivamente. Sabendo disso, determine o módulo do vetor resultante da adição 
entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos especiais 
Existem alguns casos especiais que podemos encontrar quando queremos determinar a adição 
entre dois vetores. Nesses casos, podemos realizar os seguintes procedimentos: 
 
I) Caso θ = 0°, os vetores possuem a mesma direção e sentido: 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor resultante apenas somando os módulos dos dois 
vetores: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = |�⃗�| + |�⃗⃗�| 
 
II) Caso θ = 180°, os vetores possuem a mesma direção, mas sentidos contrários: 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor resultante apenas subtraindo os módulos dos dois 
vetores: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = |�⃗�| − |�⃗⃗�| 
 
II) Caso θ = 90°, os vetores são perpendiculares entre si. 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor resultante utilizando o Teorema de Pitágoras: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = √|�⃗�|² + |�⃗⃗�|² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando o vetor resultante da diferença entre dois vetores 
Assim como realizamos a soma (ou adição) entre vetores, também podemos realizar a 
diferença entre vetores. Nesse caso, podemos realizar o procedimento de diferença entre vetores 
utilizando tanto o método poligonal, quanto o método do paralelogramo, porém é preciso apenas 
fazer um pequeno procedimento antes. 
Para realizar esse pequeno procedimento é preciso saber que um vetor negativo é o oposto 
de um vetor positivo, ou seja, é um vetor que possui mesmo módulo, mesma direção, mas sentido 
contrário. 
Por exemplo, considere o vetor a: 
 
O vetor -a é o vetor oposto ao vetor a: 
 
 
Sendo assim, quando realizamos uma diferença de vetores entre dois vetores a e b, 
estamos realizando uma soma vetorial entre o primeiro vetor e o oposto do segundo vetor. 
 
Exemplo 
Considere os vetores a e b e determine a diferença entre o vetor a e o vetor b, ou seja (a -b). 
 
 
 
 
Método do paralelogramo na diferença entre vetores 
Também podemos determinar a diferença entre vetores utilizando o método do 
paralelogramo. O método é o mesmo que na adição, mas precisamos apenas inverter o segundo 
vetor. 
 
Exemplo 
Determine o vetor diferença: a – b 
 
 
Determinando o módulo do vetor resultante. 
Também podemos determinar o módulo do vetor obtido através da diferença entre os dois vetores 
utilizando a regra do paralelogramo. Para isso, utilizamos a expressão abaixo: 
 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = √|�⃗�|2 + |�⃗⃗�|
2
− 2 ∙ |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos⁡(𝜃) 
Em que: 
θ → Corresponde ao ângulo entre o vetor a e o vetor b. 
 
Exemplo 
Dois vetores V1 e V2 formam entre si um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 5 unidades e 12 
unidades, respectivamente. Sabendo disso, determine o módulo do vetor resultante da diferença 
entre eles. 
 
 
Casos especiais 
Existem alguns casos especiais que podemos encontrar quando queremos determinar a diferença 
entre dois vetores. Nesses casos, podemos realizar os seguintes procedimentos: 
 
I) Caso θ = 0, os vetores possuem a mesma direção e sentido: 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor diferença apenas subtraindo os módulos dos dois 
vetores: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = |�⃗�| − |�⃗⃗�| 
 
II) Caso θ = 180°, os vetores possuem a mesma direção, mas sentidos contrários: 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor diferença apenas somando os módulos dos dois 
vetores: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = |�⃗�| + |�⃗⃗�| 
 
II) Caso θ = 90°, os vetores são perpendiculares entre si. 
Assim, podemos determinar o módulo do vetor resultante utilizando o Teorema de Pitágoras: 
|�⃗�𝑟𝑒𝑠| = √|�⃗�|² + |�⃗⃗�|²