Álgebra Linear: Bases e Matrizes

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Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}B={(1,2),(−2,1)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base BB:
Nota: 10.0
	
	A
	B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
Você acertou!
Comentário:
Temos que
u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5u=u|u|=(1,2)12+22=(1,2)5v=v|v|=(−2,1)(−2)2+12=(−2,1)5
B′=1√5{(1,2),(−2,1)}B′=15{(1,2),(−2,1)}
(Livro-base p. 150-152)
	
	B
	B′=1√5{(1,0),(0,1)}B′=15{(1,0),(0,1)}
	
	C
	B′={(1,2),(1,0)}B′={(1,2),(1,0)}
	
	D
	B′={(−2,2),(0,2)}B′={(−2,2),(0,2)}
	
	E
	B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}B′={15(−1,−2),13(−2,−1)}
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Seja o espaço vetorial V=R2V=R2  e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}.  
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW.
Nota: 0.0
	
	A
	(3x,x)∈W(3x,x)∈W
	
	B
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W.
	
	C
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W
	
	D
	 WW  não é um subespaço vetorial de V.V.
	
	E
	 WW  é um subespaço vetorial de V.V.
Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1)  e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2.   
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:
1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W.   
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.
2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W,  para todo α∈R.α∈R.
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.
Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V.
(Livro-base p. 82-88).
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00ProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[Filial1=28Filial2=44Filial3=37]
Você acertou!
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes:
⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432]
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores:
 ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢
⎢
⎢⎣4532⎤⎥
⎥
⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437]
(Livro-base p. 36-41).
	
	B
	⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=21Filial2=42Filial3=38]
	
	C
	⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=24Filial2=39Filial3=38]
	
	D
	⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[Filial1=26Filial2=38Filial3=44]
	
	E
	⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=32Filial2=46Filial3=38]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Leia o texto a seguir:
"Dizemos que uma matriz An×nAn×n é diagonizável se seu operador associado TA:Rn→RnTA:Rn→Rn  for diagonalizável, ou seja,  A A é diagonalizável se AA admitir nn autovetores LI."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo NuméricoCálculo Numérico sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]A=[110a]uma transformação linear do R2,R2, assinale a alternativa com o valor de aa para a qual a matriz AA é diagonalizável:
Nota: 10.0
	
	A
	a≠−2a≠−2
	
	B
	a≠−1a≠−1
	
	C
	a≠1a≠1
Você acertou!
Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então,
det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0
Logo, a≠1.a≠1.
(livro-base p. 163-169)
	
	D
	a≠2a≠2
	
	E
	a≠0a≠0
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 10.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Você acertou!
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:u:
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,1)u=(−2,1)
Você acertou!
Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2R2, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y.  Logo, u=(-2,1).
(livro-base p. 143-149)
	
	B
	u=(0,0)u=(0,0)
	
	C
	u=(3,2)u=(3,2)
	
	D
	u=(1,−2)u=(1,−2)
	
	E
	u=(−2,2)u=(−2,2)
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8k≠8
	
	B
	k≠−7k≠−7
	
	C
	k≠5k≠5
	
	D
	k≠−9k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6k≠6
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considere a seguinte equação ∣∣
∣∣x+123x1531−2∣∣
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:
Nota: 0.0
	
	A
	x=−32x=−32
	
	B
	x=−18x=−18
	
	C
	x=−25x=−25
	
	D
	x=−22x=−22
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
(Livro-base p. 39-42).
	
	E
	x=−20x=−20
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra LinearÁlgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T][T] são λ1=1 e λ2=−2.λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][T]:
Nota: 10.0
	
	A
	{(1,−1),(4;0,25)}{(1,−1),(4;0,25)}
	
	B
	{(−1,1),(2,1)}{(−1,1),(2,1)}
	
	C
	{(1,−1),(1,1)}{(1,−1),(1,1)}
	
	D
	{(1,0),(4,−1)}{(1,0),(4,−1)}
	
	E
	{(1,1),(4,1)}{(1,1),(4,1)}
Você acertou!
Comentário:
A matriz de transformação é dada por:
[T]=A=[−34−12][T]=A=[−34−12]
Devemos determinar os autovetores
[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}
(livro-base p. 164-165)
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere a forma bilinear B, dada por:
B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de 
B:B:
Nota: 0.0
	
	A
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]
	
	B
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2]
	
	C
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]
Comentário: Como a matriz de B é
[−1025][−1025]
Então
B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]
(Videoaula da Aula 6, tempo: 28')
	
	D
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]
	
	E
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]