Matemática Básica - Álgebra

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Aula 03
Matemática Básica - Curso Básico p/ Concursos (com videoaulas)
Professor: Arthur Lima
00256362270 - Aryane Sombra Coelho
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AULA 03: ÁLGEBRA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 23 
3. Questões apresentadas na aula 100 
4. Gabarito 128 
 
Caro aluno, 
 
 Nesta aula trataremos de tópicos de álgebra comumente cobrados em editais 
de matemática ou de raciocínio lógico-matemático: 
 
- equações e inequações de primeiro e segundo grau, sistemas de equações 
 
 Bons estudos! 
 
1. TEORIA 
1.1 EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: 
“João tinha uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 
3 cheias. Quantas bolas tinha João?”. Neste caso, a variável que pretendemos 
descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x 
menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. 
Matematicamente, temos: 
x – 5 = 3 
portanto, 
x = 8 bolas 
 Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao 
expoente 1 (lembra-se que 1x x ?) . Quando isso acontece, estamos diante de 
uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta 
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isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros 
para o outro lado, e assim obtemos o valor de x. 
 Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de 
usar a letra x, mas sim uma letra que “lembre” o que estamos buscando. No 
exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos 
o que representa aquela variável – principalmente quando estivermos trabalhando 
com várias delas ao mesmo tempo. 
O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. 
Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: 
3x - 15 = 0 
3x = 15 
x = 5 
 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: 
a) 2 16 0x   
b) 30 0x x   
c) 
1
5 0x
x
   
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b  , 
onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, 
necessariamente, 0a  (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não 
estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em 
0ax b  , temos: 
b
x
a

 
 Portanto, a raíz da equação é sempre dada por 
b
a

. Na equação de primeiro 
grau 2 13 0x   , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = 
( 13) 13
2 2
b
a
  
  . 
 Agora imagine o seguinte problema: “O número de bolas que João tem, 
acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. 
Quantas bolas João tem?” 
 Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de 
bolas acrescido em 5) é igual a 2B – 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto 
é: 
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B + 5 = 2B – 2 
 
 Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a 
incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o 
outro lado. Veja: 
-(-2) + 5 = 2B – B 
2 + 5 = B 
7 = B 
 Sobre este tema, resolva a questão a seguir: 
 
1. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Antônio recebeu seu salário. As 
contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante 
foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor 
recebido por Antonio foi de: 
a) R$780,00 
b) R$795,00 
c) R$810,00 
d) R$825,00 
e) R$840,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, 
3
S
) 
com as contas, sobraram 
2
3 3
S
S S  . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, 
1 2
5 3
S ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: 
2 1 2
440
3 5 3
S S   
 Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: 
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2 1 2
440
3 5 3
10 2
440
15 15
8
440
15
15
440
8
825
S S
S S
S
S
S
  
 

 

 
Resposta: D. 
 
1.1.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (SISTEMAS LINEARES) 
 Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine 
que um exercício diga que: 
x + y = 10 
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade 
verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação 
envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. 
Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: 
x – 2y = 4 
 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: 
10
2 4
x y
x y
 
  
 
 A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da 
substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item 
anterior. 
 
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima. 
Teremos, portanto: 
10x y  
 Agora podemos substituir x por 10 – y na segunda equação. Assim: 
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2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
 
  
 
 


 
 Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 – y e obter 
o valor de x: 
10
10 2
8
x y
x
x
 
 

 
 Existem outros métodos de resolução de sistemas lineares – por agora tente 
conhecer bem o método da substituição, que auxiliará a resolver diversas questões 
de sua prova! Treine este método com a questão abaixo: 
 
2. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Os professores de uma escola combinaram 
almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte 
até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam 
no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: 
• Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2 
carros podem permanecer no estacionamento. 
• Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem 
transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. 
O número total de professores na reunião era: 
A) 40 
B) 45 
C) 50 
D) 55 
E) 60 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de C o número de carros disponíveis. Com 5 pessoas em cada 
carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas C – 2 
carros. Sendo P o número de professores, podemos dizer que P é igual ao número 
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de carros que foram usados (C – 2) multiplicado por 5, queé a quantidade de 
professores em cada carro: 
( 2) 5P C   
 Se 2 professores desistirem, isto é, sobrarem P – 2 professores, estes podem 
ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o 
número de professores transportados neste caso (P – 2) é igual à multiplicação do 
número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro: 
2 4P C   
 Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis: 
( 2) 5
2 4
P C
P C
  
  
 
 Vamos isolar a variável P na segunda equação: 
4 2P C   
 A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação: 
( 2) 5
4 2 ( 2) 5
4 2 5 10
2 10 5 4
12
P C
C C
C C
C C
C
  
    
  
  

 
 Descobrimos, portanto, que o total de carros é C = 12. O total de professores 
é dado por: 
4 2
12 4 2
50
P C
P
P
  
  

 
Resposta: C 
 
1.2 EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a 
variável elevada à primeira potência (isto é, 1x ), as equações de segundo grau 
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possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma 
2 0ax bx c   , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: 
2 3 2 0x x   
 Nesta equação, a = 1 (pois 2x está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. 
As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que 
tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x = 1 e x = 2 
são raízes, pois: 
21 3 1 2 0    
e 
22 3 2 2 0    
 
 Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 
1 2( ) ( ) 0a x r x r     
 
 Nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. Tratando do 
exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: 
1 ( 1) ( 2) 0x x     
 
 Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial: 
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
    
      
  
 
 
 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. 
Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas seguintes fórmulas: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 
e 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 
 
 Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos 
escrever simplesmente: 
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2 4
2
b b ac
x
a
  
 
 
 Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação 2 3 2 0x x   
utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta 
substituir estes valores na fórmula: 
2
2
4
2
( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
b b ac
x
a
x
x
x
  

      


 



 
 
 Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando 
primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja: 
1
3 1 4
2
2 2
x

   
e 
2
3 1 2
1
2 2
x

   
 
 Na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” ( ) a expressão 2 4b ac , que 
vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, 2 4 1b ac  , ou seja, o “delta” era 
um valor positivo ( 0  ). Quando 0  , teremos sempre duas raízes reais para a 
equação, como foi o caso. 
Veja que, se  for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, 
se 0  , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. 
 Já se 0  , a fórmula de Báskara fica 
0
2 2
b b
x
a a
  
  . Isto significa que 
teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por 
exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x   . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1. 
Calculando o valor de “delta”, temos: 
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2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac  
     
   
 
 
 Na fórmula de Báskara, temos: 
2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2
1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
  

  

  


 
 
 
 Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau 
tem 0  , o que leva a apenas 1 raíz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1). 
Esta equação poderia ter sido escrita assim: 
1 x (x – 1) x (x – 1) = 0 
ou simplesmente 
(x – 1)2 = 0 
 
 Tente resolver a questão abaixo: 
 
3. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o 
número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de 
meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de 
alunos nessa sala é 
(A) 25. 
(B) 27. 
(C) 30. 
(D) 32. 
(E) 36. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja A o número de meninas e B o número de meninos. O enunciado diz que 
B excede A em 3, ou seja, 
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B = A + 3 
 
 Além disso, é dito que o produto entre A e B (isto é, A x B) excede o número 
total de alunos em 129. Como o total de alunos é dado pela soma A + B, temos: 
A x B = A + B + 129 
 
 Temos um sistema com duas equações e duas variáveis: 
B = A + 3 
A x B = A + B + 129 
 
 Substituindo B por A + 3 na última equação, temos: 
A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129 
A2 + 3A = 2A + 132 
A2 + A – 132 = 0 
 
 Podemos resolver essa equação do 2º grau com a fórmula de Báskara, onde 
os coeficientes são a = 1, b = 1 e c = -132: 
2(1) 1 4 1 ( 132)
2 1
1 529
2
1 23
2
A
A
A
     


 

 

 
A = -12 ou A = 11 
 
 Como A é o número de meninas, ele deve necessariamente ser um número 
positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o 
número de meninos é: 
B = A + 3 = 11 + 3 = 14 
 
 O total de alunos é: 
A + B = 11 + 14 = 25 
Resposta: A 
 
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 Resolva ainda essa questão: 
 
4. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Entre os números x e y existe a seguinte 
relação: x3 + 3xy + xy2 = 27. Nessas condições: 
a) Se x = 3 e y é negativo, então y = -3. 
b) Se x = 3 e y é positivo, então y = 3. 
c) Se x = 4 então y = 8. 
d) Se x = 8 então y = 4. 
e) Se x = -1 então y = -2. 
RESOLUÇÃO: 
 As alternativas a) e b) dessa questão tratam do caso onde x = 3. Se isto 
ocorrer, a expressão do enunciado se transforma em: 
33 + 3.3.y + 3y2 = 27 
27 + 9y + 3y2 = 27 
9y + 3y2 = 0 
 
 Para resolver esta equação do segundo grau, você pode utilizar a fórmula de 
Báskara que estudamos. Entretanto, veja a seguir uma forma diferente de resolver 
(esta forma é válida apenas quando não temos o termo independente, isto é, 
quando c = 0 em ay2 + by + c = 0). Basta colocar a variável em evidência: 
y . (9 + 3y) = 0 
 
 Só existem duas formas do produto acima ser zero. Ou y = 0, ou 9 + 3y = 0, o 
que implicaria em y = -3. Estas são as duas raízes. 
 
 Assim, veja que se x = 3 e y é negativo, então y = -3. Chegamos ao resultado 
da alternativa A. 
Resposta: A 
 
1.2.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 Observe a equação abaixo: 
x4 – 2x2 – 3 = 0 
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 Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x elevada à 
quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem o termo x1 (ou 
simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero. 
 Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são chamadas 
de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando o 
mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas 
adaptações. 
 O primeiro passo é “criar” a variável y, definindo que y = x2. Assim, podemos 
reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que x4 = (x2)2: 
x4 – 2x2 – 3 = 0 
(x2)2 – 2x2 – 3 = 0 
y2 – 2y – 3 = 0 
 
 Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a 
variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: 
2 4
2
2 4 12
2
2 4
2
b b ac
y
a
y
y
  

 



 
 
 Portanto, temos 2 valores para y: 
y1 = 3 e y2 = -1 
 
 Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação original tinha 
a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de x. Para isto, basta 
lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos: 
y = x2 
3 = x2 
3x   
 Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: 1 3x  e 2 3x   . A 
partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 4 valores de x (o que 
era previsível, afinal temos uma equação de 4º grau): 
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y = x2 
-1 = x2 
1x    
 
 Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde 
existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da 
equação original: 3 1x   e 4 1x    . Entretanto, em regra devemos considerar 
que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de 
número negativo. Portanto, diante de 1x    , devemos dizer simplesmente que a 
equação biquadrada x4 – 2x2 – 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. 
 Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo: 
x4 – 13x2 + 36 
 
 Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, x2 = -2, x3 
= 3 e x4 = -3. 
 
1.2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de 
primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da 
substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau, 
onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir: 
2 2
3
3
x y
x y
 

  
 
 Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 – y. Efetuando a 
substituição na segunda equação, temos que: 
(3 – y)2 – y2 = -3 
9 – 6y + y2 – y2 = -3 
y = 2 
Logo, x = 3 – y = 3 – 2 = 1 
 
 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi 
cancelada por –y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver o 
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sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja este outro 
exemplo: 
2 3
1
x y
x y
  

  
 
 
 Isolando x na segunda equação, temos x = y – 1. Substituindo na primeira 
equação, temos: 
(y – 1)2 + y = 3 
y2 – 2y + 1 + y = 3 
y2 – y – 2 = 0 
 
 Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de 
segundo grau na variável y: 
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y
       


 
1 3
2
y

 
y = 2 ou y = -1 
 
 Para y = 2 temos que x = y – 1 = 2 – 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1 
você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas soluções: 
x = 1 e y = 2 
ou 
x = -2 e y = -1 
 
1.3 INEQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS 
 Chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos > (maior 
que), < (menor que),  (maior ou igual a) ou  (menor ou igual a). Podemos ter 
inequações de primeiro grau, segundo grau ou outros graus, dependendo do maior 
expoente ao qual estiver elevada a variável. Veja alguns exemplos: 
 
x + 7 > 1 (x mais 7 unidades é maior que 1) 
 
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3x2 < 27 (o triplo de x ao quadrado é menor que 27) 
 
 Ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da variável, 
mas sim um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Exemplificando, vamos 
resolver a primeira inequação acima: 
x + 7 > 1 
 
 Veja que esta é uma inequação de primeiro grau. Para resolvê-la, vamos 
isolar a variável x, somando -7 nos dois lados da inequação: 
x + 7 – 7 > 1 – 7 
x > -6 
 
 Portanto, sabemos que qualquer valor x que seja maior que –6 atende a 
inequação. Por exemplo, x = 0 atende a inequação, pois 0 > -6. 
Uma maneira mais formal de representar todos os valores que atendem a 
inequação é dizer que o conjunto-solução desta inequação (S) é: 
    { | 6}S x R x 
( leia: o conjunto solução é formado por todo x pertencente ao conjunto dos 
números reais, tal que x é maior que -6) 
 
 Vamos resolver agora a seguinte inequação: 
-x + 18 < 2x 
 
 Podemos “passar” o 18 para o lado direito da inequação (somando -18 nos 
dois lados da inequação) e “passar” o 2x para o lado esquerdo: 
-x -2x < -18 
-3x < -18 
-x < -18/3 
-x < -6 
 
 Se quisermos obter o valor de x (ao invés de –x), devemos multiplicar ambos 
os lados da inequação por -1. Entretanto, atenção: neste caso, você deve inverter o 
sinal da inequação. Observe: 
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x > 6 
 Aqui, teríamos o conjunto solução: 
   { | 6}S x R x 
 
 Prosseguindo, vamos trabalhar um exemplo de inequação do segundo grau: 
-x2 +13x > 36 
 
 Para resolver uma inequação do segundo grau, você precisa: 1) passar todos 
os termos para o mesmo lado; 2) substituir o sinal da inequação pelo sinal de 
igualdade, resolvendo a equação através da fórmula de Báskara; 3) escrever o 
conjunto-solução da inequação. Vamos efetuar estes passos. 
 Passando todos os termos da inequação acima para o mesmo lado, temos: 
-x2 +13x – 36 > 0 
 
 Vamos multiplicar os dois membros da inequação por -1, para substituir o 
sinal negativo de –x2. Lembrando que devemos inverter o sinal da desigualdade, 
temos: 
x2 – 13x – 36 < 0 
 
 Agora, devemos substituir o sinal > por = , temporariamente, apenas para 
calcularmos as raízes da equação: 
x2 – 13x – 36 = 0 
 
 Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que x1 = 4 e x2 = 9. O próximo passo 
é escrever o conjunto solução da inequação. 
 Como o fator x2 tem coeficiente positivo (1x2), a curva f(x) = x2 – 13x – 36 tem 
concavidade para cima, cruzando o eixo horizontal em x = 4 e em x = 9. O gráfico 
desta função seria mais ou menos assim: 
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 Observe neste gráfico que f(x) tem valor negativo para x entre 4 e 9 (está 
abaixo do eixo horizontal). Da mesma forma, f(x) tem valor positivo para x abaixo de 
4 e também para x acima de 9 (pois está acima do eixo horizontal), e tem valor igual 
a zero para x = 4 e para x = 9. 
Como a inequação que temos é x2 – 13x – 36 < 0, estamos interessados 
apenas nos trechos onde f(x) é menor que zero (negativa). Marquei em vermelho 
esses trechos: 
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 Portanto, o nosso conjunto solução é: 
   { | 4 9}S x R x 
 
 Vamos exercitar a manipulação de inequações do segundo grau encontrando 
o conjunto solução da inequação abaixo: 
- x2 + 3x - 2  0 
 Substituíndo o  pelo =, temos: 
- x2 + 3x - 2 = 0 
 Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos x1 = 1 e x2 = 2. O gráfico de 
f(x) = - x2 + 3x - 2 tem concavidade para baixo, pois x2 tem coeficiente negativo 
(-1x2). Este gráfico cruza o eixo x em 1 e 2: 
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Como queremos saber a região onde f(x)  0, isto é, - x2 + 3x - 2  0, 
marquei a região que nos interessa no gráfico abaixo: 
 
 
 Portanto, o nosso conjunto solução é a região entre 1 e 2, isto é: 
   { |1 2}S x R x 
 
Repare que, no primeiro exemplo que analisamos (x2 – 13x – 36 > 0) 
tínhamos o sinal >, enquanto no segundo exemplo (- x2 + 3x - 2  0) tínhamos o 
sinal  . No primeiro caso, os valores de x que tornavam x2 – 13x – 36 igual a zero 
não fizeram parte do conjunto solução. Já no segundo exemplo, os valores de x que 
tornavam - x2 + 3x - 2 fizeram parte do conjunto solução. 
Vamos treinar o conteúdo acima resolvendo essa questão: 
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5. ESAF – AFRFB – 2009) Considere as inequações dadas por: 
2 2( ) 2 1 0 ( ) 2 3 2 0f x x x e g x x x         
 Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B é o conjunto solução de 
g(x), então o conjunto Y A B  é igual a: 
a) 
1
| 2
2
Y x R x      
 
 
b) 
1
| 2
2
Y x R x      
 
 
c)  | 1Y x R x   
d)  | 0Y x R x   
e)  | 0Y x R x   
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro passo da resolução é obter as raízes de f(x) e de g(x). Para isso, 
basta igualá-las a zero e utilizar a fórmula de Báskara. Acompanhe: 
f(x) = 0  2 2 1 0x x   
2( 2) ( 2) 4 1 1
2 1
x
      


 
2 0
1
2
x

  
 
 Observe que nesta equação o  foi igual a zero, de modo que temos duas 
raízes iguais a 1, e o gráfico da equação apenas toca no eixo horizontal. Esboçando 
o gráfico de f(x), temos algo assim: 
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 Observe que para x = 1 a função f(x) é igual a zero, porém para x > 1 ou x < 1 
a função assume valores positivos. Assim, o conjunto-solução da inequação 
( ) 0f x  é apenas x = 1, pois para qualquer valor x diferente de 1 teremos f(x) > 0. 
Assim, podemos dizer que: 
 | 1A x R x  
 
 
 Analise as alternativas de resposta e veja que nem precisamos trabalhar g(x), 
pois podemos eliminar as alternativas A, B, D e E, afinal a intersecção entre os 
conjuntos A e B (Y A B  ) não pode conter elementos que não fazem parte de A. 
 De qualquer forma, vamos encontrar o conjunto-solução de g(x). Igualando-a 
a zero, temos: 
22 3 2 0x x    
23 3 4 ( 2) 2
2 ( 2)
x
     

 
 
3 5
4
x
 


 
1
2 
2
x ou x   
 Assim, g(x) é uma parábola com a concavidade para baixo (pois o termo x2 é 
multiplicado por um coeficiente negativo, -2), que toca o eixo horizontal nos pontos 
1
2 
2
x ou x   . Esboçando o gráfico, temos: 
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 Repare que g(x) é igual a zero em x = -1/2 e em x = 2. E g(x) é positiva para x 
entre -1/2 e 2. Como a nossa inequação é do tipo ( ) 0g x  , podemos escrever o 
seguinte conjunto-solução: 
1
| 2
2
B x R x      
 
 
 Repare que o ponto x = 1, que é a única solução de ( ) 0f x  , faz parte do 
intervalo 
1
2
2
x   . Ou seja, x = 1 também é solução da inequação ( ) 0g x  . É por 
isso que podemos afirmar que a intersecção entre os conjuntos-solução A e B é: 
 | 1Y x R x   
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
6. CESPE – IBAMA – 2012) Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram 
sem andamento devido a problema técnico na rede de computadores. Para resolver 
esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma 
triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta 
complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos 
processos de média ou baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos 
processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram 
ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 
processos aguardando triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os 
itens a seguir. 
( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores 
responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta 
complexidade, o número de servidores realizando tal análise será menor que o 
dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. 
( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos 
do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. 
( ) A repartição possui um total de 200 servidores. 
( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam 
triagem e análise. 
( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os 
funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, 
para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. 
RESOLUÇÃO: 
 O total de servidores (S) é igual a soma entre ¼ de S, 2/5 de S e 70: 
1 2
70
4 5
S S S   
1 2
70
4 5
S S S   
20 5 8
70
20 20 20
S S S   
7
70
20
S  
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1
10
20
S  
200S servidores 
 
 Portanto, 50 servidores trabalharam na triagem (1/4 de 200), 80 trabalharam 
nos processos de baixa e média complexidade (2/5 de 200) e 70 nos de alta 
complexidade. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos 
aguardando triagem e análise, de modo que apenas480 dos 4000 processos foram 
trabalhados em 6 semanas. 
 Com essas informações em mãos, vamos julgar os itens. 
 
( ) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores 
responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta 
complexidade, o número de servidores realizando tal análise será menor que o 
dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. 
 Caso os 50 servidores da triagem se juntem aos 70 que estão trabalhando 
nos processos de alta complexidade, teremos 120 servidores executando tal 
análise, número este inferior ao dobro de 80 (servidores analisando processos de 
baixa e média complexidade). Item CORRETO. 
 
( ) Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos 
do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. 
 A triagem ficou com 50, número menor que os 80 trabalhando nos processos 
de média ou baixa complexidade. Item ERRADO. 
 
( ) A repartição possui um total de 200 servidores. 
 Item CORRETO, conforme calculamos anteriormente. 
 
( ) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam 
triagem e análise. 
 Após 6 semenas, 3520 dos 4000 processos ainda aguardavam triagem e 
análise. Percentualmente, temos 3520 / 4000 = 0,88 = 88%. Item ERRADO. 
 
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( ) Caso o ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os 
funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, 
para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. 
 Para finalizar o trabalho de 480 processos foram necessárias 6 semanas. 
Para finalizar os 4000 processos, vejamos quantas semanas são necessárias: 
480 processos --------------------------- 6 semanas 
4000 processos----------------------- X semanas 
 
480X = 4000 x 6 
480X = 24000 
X = 24000 / 480 
X = 50 semanas 
 
 Como cada semana tem 7 dias, vemos que 50 semanas correspondem a 50 
x 7 = 350 dias, ou seja, menos de 1 ano. Assim, os funcionários levarão menos de 
um ano para finalizar a triagem e análise dos 4000 processos. Item ERRADO. 
Resposta: C E C E E 
 
7. CESPE – INPI – 2013) Uma multinacional detentora da patente de três produtos 
A, B e C licenciou esses produtos para serem comercializados em quatro países, a 
saber, P1, P2, P3 e P4. Em cada país, o percentual é cobrado por cada unidade 
comercializada, conforme a tabela abaixo. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 
( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 
cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a 
US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela 
multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no 
país P4. 
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( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por 
unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no 
país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. 
( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, 
B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% 
maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 
10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor 
recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 
1.800,00. 
( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um 
preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo 
preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se 1.000.000 de unidades do produto B forem vendidas no país P2 a R$ 5,00 
cada e no país P4 for vendido o mesmo número de unidades do produto B, mas a 
US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = R$ 2,04, então os valores recebidos pela 
multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no 
país P4. 
 O total vendido em cada país é dado pela multiplicação entre o preço unitário 
de venda e a quantidade vendida. Multiplicando-se este valor pelo percentual 
recebido pela multinacional, temos o total por ela recebido. Calculando o valor 
recebido em cada país: 
P2 (produto B) = 1.000.000 x 5 x 5% = 250.000 reais 
P4 (produto B) = 1.000.000 x 3 x 3% = 90.000 dólares 
 
 Repare que o valor recebido em P4 encontra-se em dólares, pois o preço 
unitário é de US$3,00. Considerando que 1 dólar é igual a 2,04 reais, temos: 
1 dólar ------------------------- 2,04 reais 
90.000 dólares ----------- X reais 
X = 183600 reais 
 
 O valor recebido em P2 é 66400 reais maior que o recebido em P4. Em 
relação aos 183600 recebidos em P4, essa diferença corresponde a: 
P = 66400 / 183600 = 0,36 = 36% 
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 Item CORRETO, pois o enunciado diz que a diferença será “pelo menos” 
30% maior. 
 
( ) Suponha que o produto B seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por 
unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que o lucro no 
país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. 
O lucro em P3 é: 
P3 = 1000 x 2 x 2% = 40 reais 
 
 Um lucro 20% maior corresponde a 1,2 x 40 = 48 reais. Para isso, temos: 
P4 = unidades x 2 x 1,5% 
48 = unidades x 2 x 1,5% 
Unidades = 1600 
 Item CORRETO. 
 
( ) Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, 
B e C no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% 
maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto C foi 
10% menor que a de B, então, se o produto C for vendido a R$ 2,00 cada, o valor 
recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 
1.800,00. 
 Chamando de A, B e C as quantidades vendidas de cada um desses 
produtos, vemos que A = 1,2B (ou seja, A é 20% maior que B) e C = 0,9B (ou seja, 
C é 10% menor que B). Como a soma é igual a 3.100.000 unidades, temos: 
A + B + C = 3.100.000 
1,2B + B + 0,9B = 3100000 
3,1B = 3100000 
B = 1000000 unidades 
 
 Logo, 
A = 1,2B = 1200000 unidades 
C = 0,9B = 900000 unidades 
 
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 O valor recebido pela multinacional com a venda de C é: 
Valor = 900.000 x 2 x 1% = 18.000 reais 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um 
preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo 
preço, então o lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. 
 Já vimos que: 
Valor recebido = unidades x preço unitário x porcentagem 
 
 Assim, se em P4 são vendidas X unidades ao preço Y do produto A, cuja 
porcentagem é 1%, temos: 
Valor recebido em P4 = X.Y.1% = 0,01XY 
 
 Se em P3 for vendido 10% a mais de unidades (1,1X) no mesmo preço Y, o 
lucro será: 
Valor recebido em P3 = 1,1X.Y.3% = 0,033XY 
 
 Assim,o lucro em P4 em relação ao lucro em P3 é: 
0,01XY / 0,033XY = 0,01 / 0,033 = 0,30 = 30% 
 
 Portanto, o lucro em P4 é aproximadamente igual a 30% do lucro em P3. Isto 
é, trata-se de um lucro 70% menor do que o lucro em P3. 
 Item ERRADO. 
Resposta: C C E E 
 
8. CESPE – INPI – 2013) Considere que a e b sejam, respectivamente, as 
quantidades de patentes registradas, anualmente, pelas empresas A e B, e que 
essas quantidades satisfaçam, em qualquer ano, as inequações –a2 + 26a −160 ≥ 0 
e –b2 + 36b − 320 ≥ 0. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
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( ) Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi 
registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa B fez o registro de 
19 unidades. 
( ) A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado 
ano, foi de 8 patentes. 
( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de 
patentes, então essa foi igual a 16 unidades. 
( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas 
de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma 
da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. 
( ) Considerando que, até o final do mês de outubro de determinado ano, a empresa 
B tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois 
últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos 
produtos. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi 
registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa B fez o registro de 
19 unidades. 
 Vamos obter o conjunto-solução da inequação B: 
–b2 + 36b − 320 ≥ 0 
 
 Começamos igualando a zero para obter as raízes: 
–b2 + 36b − 320 = 0 
236 36 4.( 1).( 320)
2.( 1)
b
    


 
36 16
2
b
 


 
36 4
2
b
 


 
b = 20 ou b = 16 
 
 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal o termo b2 
tem como coeficiente o valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as 
raízes 16 e 20. Isto é, o conjunto solução é: 
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{ |16 20}S b b    
 
 O número16 encontra-se no intervalo entre 16 e 20, logo é uma quantidade 
de patentes que já pode ter sido registrada pela empresa em algum ano. Item 
CORRETO. 
 
( ) A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado 
ano, foi de 8 patentes. 
 No caso da empresa A temos: 
–a2 + 26a −160 ≥ 0 
 
 Começamos igualando a zero para obter as raízes: 
–a2 + 26a −160 = 0 
226 26 4.( 1).( 160)
2.( 1)
a
    


 
26 36
2.( 1)
a
 


 
26 6
2
a
 


 
a = 16 ou a = 10 
 
 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal o termo a2 
tem como coeficiente o valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as 
raízes 10 e 16. Isto é, o conjunto solução é: 
{ |10 16}S a R a    
 
 Observe que o valor a = 8 patentes se encontra fora deste intervalo, não 
fazendo parte do conjunto de soluções possíveis da inequação. Item ERRADO. 
 
 Note que bastaria testarmos a = 8 diretamente na inequação. Com isso, 
obteríamos um absurdo: 
–a2 + 26a −160 ≥ 0 
–82 + 26.8 −160 ≥ 0 
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-16 ≥ 0 
 Isto confirma que a inequação NÃO é atendida pelo valor a = 8. 
 
 ( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de 
patentes, então essa foi igual a 16 unidades. 
 Observe que o conjunto-solução da inequação de A vai de 10 a 16, e o de B 
vai de 16 a 20. O único valor em comum é 16 unidades. Item CORRETO. 
 
( ) Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas 
de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma 
da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. 
 CORRETO, pois os valores máximos são 16 e 20, totalizando 36 unidades. 
 
( ) Considerando que, até o final do mês de outubro de determinado ano, a empresa 
B tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois 
últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos 
produtos. 
 ERRADO. O conjunto solução da inequação B nos mostra que esta empresa 
registra de 16 a 20 patentes no ano. Se ela tiver registrado apenas 10 até outubro, 
ela registrará entre 6 e 10 patentes no restante do ano, para obter um valor entre 16 
e 20 unidades. 
Resposta: C E C C E 
 
9. CESPE – INPI – 2013) Considere que em um escritório de patentes, a quantidade 
mensal de pedidos de patentes solicitadas para produtos da indústria alimentícia 
tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para produtos 
de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da 
indústria alimentícia, tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos 
de produtos, X e Y, com quantidades dadas por x e y, respectivamente. Supondo 
que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse escritório, no 
referido mês, julgue os itens seguintes. 
( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 ≤ x ≤ 64. 
( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi 
igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a 
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quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi o 
quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. 
( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então 
a quantidade y foi superior a 25. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se T = 128, então as quantidades x e y são tais que x + y = 64, com 0 ≤ x ≤ 64. 
 Seja “a” a quantidade de pedidos de patentes da indústria alimentícia. Foi dito 
que este total é igual à soma dos demais pedidos, que são x e y, ou seja, 
a = x + y 
 
 O total de pedidos é: 
T = a + x + y = a + a = 2a 
 
 Como T = 128, temos 
128 = 2a 
a = 64 
 
 Logo, x + y = a = 64. De fato é preciso que x esteja entre 0 e 64, afinal y não 
pode ser um número negativo (pois se trata de pedidos de patentes). Item 
CORRETO. 
 
( ) Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi 
igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a 
quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi o 
quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. 
 Sendo x o dobro de y, ou seja, x =2y, temos que: 
a = x + y 
a = 2y + y 
a = 3y 
 
 Assim, as patentes da indústria alimentícia (“a”) são o TRIPLO das patentes 
de Y. Item ERRADO. 
 
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( ) Se T = 128 e a quantidade x foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, entãoa quantidade y foi superior a 25. 
 Já vimos que, se T = 128, temos que x + y = 64. Agora foi dito ainda que: 
x = y + 18 
 
 Substituindo x por y + 18, temos: 
x + y = 64 
(y + 18) + y = 64 
y = 23 unidades 
 Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
10. ESAF – CGU – 2012) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em 
duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais 
próximo de x de maneira que x = (1-x) / x, usando ξ5 ؆ 2,24. 
a) 0,62 
b) 0,38 
c) 1,62 
d) 0,5 
e) 1/ ヾ 
RESOLUÇÃO: 
 Partimos da igualdade dada no enunciado: 
x = (1 – x) / x 
x2 = 1 – x 
x2 + x – 1 = 0 
21 1 4.1.( 1)
2.1
x
   
 
1 5
2
x
 
 
 
 Usando a aproximação dada no enunciado (ξ5 ؆ 2,24), temos: 
1 2,24
2
x
 

 
x = -1,62 ou x = 0,62 
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 Dessas duas opções para x, devemos considerar o valor positivo (isto é, 
x = 0,62), pois a medida de um segmento deve ser sempre um número positivo. 
RESPOSTA: A 
 
11. ESAF – DNIT – 2012) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema 
 de equações 
2 7
2 5
x y
x y
 
  
 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Isolando x na primeira equação temos: 
x = 7 – 2y 
 
 Substituindo na segunda: 
2.(7 – 2y) + y = 5 
14 – 4y + y = 5 
9 = 3y 
y = 3 
 
 Logo, 
x = 7 – 2.3 = 1 
 
 Assim, a soma de x com y é 1 + 3 = 4. 
RESPOSTA: B 
 
12. ESAF – PECFAZ – 2013) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, 
trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de homens e o número de mulheres 
é igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de homens que 
trabalham nessa secretaria é igual a: 
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a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 9 
e) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Seja H o número de homens. O de mulheres será 63 – H, uma vez que H + M 
= 63 pessoas. A razão entre H e M é de 4/5, ou seja, 
H / M = 4 / 5 
H / (63 – H) = 4 / 5 
5H = 4(63 – H) 
5H = 252 – 4H 
9H = 252 
H = 252 / 9 
H = 28 homens 
 
 Logo, 
M = 63 – H 
M = 63 – 28 
M = 35 mulheres 
 
 A diferença entre o número de homens e mulheres é: 
35 – 28 = 7 
RESPOSTA: B 
 
13. CESPE – BASA – 2012) Em seu testamento, um industrial doou 3/16 de sua 
fortuna para uma instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos; 1/10, 
para uma entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de 
Chagas; 5/16, para sua companheira; e o restante para o seu único filho. 
 
A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem. 
 
( ) O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai. 
( ) A companheira do industrial recebeu mais que o filho. 
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( ) A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que 
pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, 
menos de 25% da fortuna do industrial. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai. 
 Seja F a fortuna total. Sabemos que (3/16)xF ficou para a instituição de 
alfabetização, (1/10)xF ficou para a entidade de pesquisa, (5/16)xF para a 
companheira, e o restante (que vamos chamar de R) para o filho. Assim, sabemos 
que: 
 
Fortuna total = parte da instituição + parte da entidade + parte da companheira + parte do filho 
3 1 5
16 10 16
F F F F R    
3 1 5
16 10 16
F F F F R    
160 30 16 50
160 160 160 160
F
F F F R    
64
160
F
R 
0,40F R 
40%F R 
 Assim, o filho ficou com 40% da fortuna. Item CORRETO. 
 
( ) A companheira do industrial recebeu mais que o filho. 
 A esposa recebeu (5/16)xF = 0,3125F = 31,25% da Fortuna. Logo, ela 
recebeu MENOS que o filho. Item ERRADO. 
 
( ) A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que 
pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, 
menos de 25% da fortuna do industrial. 
 Como o filho recebeu 40% e a companheira recebeu 31,25%, ao todo esses 
dois receberam 71,25% do total. Assim, sobraram 28,75% do total para a instituição 
e a entidade, que é MAIS de 25% da fortuna do industrial. Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
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14. FGV – SUDENE/PE – 2013) O time de João jogou 22 vezes no primeiro 
semestre deste ano. O time de João ganhou 2 jogos a mais que perdeu e empatou 
3 jogos a menos que ganhou. O número de jogos que o time de João venceu foi: 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja G, P e E o número de jogos que o time ganhou, perdeu e empatou. 
Assim, 
G + P + E = 22 
 
 Sabemos ainda que G = P + 2, ou seja, ele ganhou 2 jogos a mais do que 
perdeu. Também sabemos que ele empatou 3 jogos a menos que ganhou, ou seja, 
E = G – 3. Na equação G = P + 2, podemos isolar P, obtendo P = G – 2. Na primeira 
equação obtida, podemos substituir E por G – 3 e substituir P por G – 2, ficando 
com: 
G + P + E = 22 
G + (G – 2) + (G – 3) = 22 
3G – 5 = 22 
3G = 27 
G = 9 
 
 Logo, o time ganhou 9 jogos. 
RESPOSTA: C 
 
15. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Na família de Márcia, para 
cada dois homens há três mulheres e na família de Mauro, para cada três homens 
há cinco mulheres. A família de Márcia tem 25% a mais de pessoas do que a família 
de Mauro. No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente 
para a ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as quantidades de 
homens e de mulheres foi 
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(A) 
5
8
 
(B) 
4
9
 
(C) 
7
11
 
(D) 
9
13
 
(E) 
8
15
 
RESOLUÇÃO: 
 Na família de Márcia, para cada dois homens há três mulheres, ou seja: 
H ---------------- M 
2 ---------------- 3 
3H = 2M 
H = 2M/3 
 
 Na família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres: 
h --------------------------- m 
3 --------------------------- 5 
5h = 3m 
h = 3m/5 
 
 A família de Márcia tem 25% a mais de pessoas do que a família de Mauro, 
ou seja: 
H + M = 1,25 x (h + m) 
2M/3 + M = 1,25 x (3m/5 + m) 
5M/3 = 1,25 x 8m/5 
5M/3 = 0,25 x 8m 
5M/3 = 2m 
5M/6 = m 
 
 Com isso também vemos que: 
h = 3m/5 
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h = 3 x (5M/6) / 5 
h = M/2 
 
 No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente para a 
ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as quantidades de homens e 
de mulheres foi: 
Razão = (H + h) / (M + m) 
Razão = (2M/3 + M/2) / (M + 5M/6) 
Razão = (4M/6 + 3M/6) / (6M/6 + 5M/6) 
Razão = (7M/6) / (11M/6) 
Razão = (7M/6) x (6/11M) 
Razão = 7/11 
RESPOSTA: C 
 
16. FGV – SEJAP/MA – 2013) Em um presídiomisto há 600 presidiários no total, 
sendo que para cada quatro homens há uma mulher. Entre as mulheres, 80 
cumprem pena de até dez anos. Entre os homens, em cada quatro, um cumpre 
pena de mais de dez anos. Nesse presídio, o numero total de presidiários 
cumprindo pena de mais de dez anos é: 
a) 440. 
b) 360. 
c) 220. 
d) 160. 
e) 80. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo H o número de homens, o de mulheres é de 600 – H, dado que a 
soma é 600. Sabemos ainda que para cada quatro homens há uma mulher: 
 H -------------------- 600 – H 
4 ----------------------- 1 
 
H x 1 = 4 x (600 – H) 
H = 2400 – 4H 
5H = 2400 
H = 480 homens 
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M = 600 – H = 600 – 480 = 120 mulheres 
 
 Entre as mulheres, 80 cumprem pena de até dez anos. Logo, 120 – 80 = 40 
mulheres cumprem penas de mais de dez anos. 
 Entre os homens, em cada quatro, um cumpre pena de mais de dez anos. 
Isto é, ¼ dos 480 homens cumpre pena superior a 10 anos, ou ¼ x 480 = 120 
homens. 
 Nesse presídio, o numero total de presidiários cumprindo pena de mais de 
dez anos é de 40 mulheres + 120 homens, ou 160 presidiários. 
RESPOSTA: D 
 
17. FGV – MPE/MS – 2013) João comprou em uma loja de roupas esportivas uma 
bermuda e duas camisetas iguais pagando por tudo R$40,00. SabeǦse que a 
bermuda custou R$4,00 a mais do que uma camiseta. O preço de uma camiseta é: 
(A) R$6,00. 
(B) R$10,00. 
(C) R$12,00. 
(D) R$14,00. 
(E) R$16,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo C o preço da camiseta, o preço da bermuda é 4 reais a mais, ou C + 
4. Assim, como 1 bermuda e 2 camisetas custam 40 reais: 
Bermuda + 2 x camiseta = 40 
(C + 4) + 2C = 40 
3C + 4 = 40 
3C = 36 
C = 12 reais 
 
 Logo, a camiseta custa 12 reais. 
RESPOSTA: C 
 
18. FCC – MPE/AP – 2012) Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com 
impostos, 15% com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu 
plano de saúde. Daquilo que resta, 3/8 são usados para pagar a mensalidade de 
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sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para o seu lazer e outras despesas. O 
gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a 
(A) 210,00 
(B) 360,00 
(C) 450,00 
(D) 540,00 
(E) 720,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o salário de Miguel. Os impostos correspondem a 0,10S, a moradia a 
0,15S, o transporte e alimentação a 0,25S, e o plano de saúde a 0,10S. Retirando 
essas parcelas do salário, resta: 
Restante = S – 0,10S – 0,15S – 0,25S – 0,10S = 0,40S 
 
 Deste restante, 3/8, ou seja, (3/8) x 0,40S = 0,15S, são usados para a 
mensalidade da faculdade, sobrando 0,40S – 0,15S = 0,25S. Este valor corresponde 
à sobra de 900 reais: 
0,25S = 900 
S = 900 / 0,25 = 3600 reais 
 
Como o salário é de 3600 reais, então o gasto mensal de Miguel com 
moradia, em reais, é igual a: 
0,15S = 0,15 x 3600 = 540 reais 
Resposta: D 
 
19. FCC – TRT/6ª – 2012) Quando o usuário digita na tela um número positivo n, 
um programa de computador executa a seguinte sequência de operações: 
 I. Soma 0,71 ao número n. 
 II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). 
 III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2. 
 IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III). 
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse programa 
escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse usuário foi 
(A) 3,3. 
(B) 3,4. 
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(C) 3,5. 
(D) 3,6. 
(E) 3,7. 
 
RESOLUÇÃO: 
 Após a etapa I, teremos n + 0,71. Após a etapa II, teremos 0,71n . Com a 
etapa III, obtemos 7,2 0,71n  . 
 Assim, o número escrito na tela (15,12) é igual ao resultado da operação 
7,2 0,71n  . Ou seja: 
 
7,2 0,71 15,12n   
15,12
0,71
7,2
n   
0,71 2,1n  
 2 20,71 2,1n  
0,71 4,41n  
4,41 0,71 3,7n    
Resposta: E 
 
20. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das 
pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco 
dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que: 
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte 
do total de visitantes da semana inteira; 
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas registradas 
correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia anterior. 
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto 
afirmar que o número de pessoas que visitaram essa Unidade. 
(A) na segunda-feira foi 250. 
(B) na terça-feira foi 190. 
(C) na quarta-feira foi 140. 
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(D) na quinta-feira foi 108. 
(E) ao longo dos cinco dias foi 798. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja V o número total de visitantes da semana. Na segunda-feira, um terço 
do total compareceu, ou seja, V/3. Na terça-feira, ¾ do total presente na segunda 
compareceu, isto é, ¾ x (V/3) = V/4. Na quarta-feira, ¾ do total presente na terça 
compareceu, ou seja, 3V/16. Na quinta-feira, ¾ do total presente na quarta 
compareceu, totalizando 9V/64. Por fim, 68 estiveram presentes na sexta. Assim, o 
total V pode ser dado pela soma dos presentes em cada dia: 
V = segunda + terça + quarta + quinta + sexta 
V = V/3 + V/4 + 3V/16 + 9V/64 + 68 
 
 Para colocar as frações em um denominador comum, podemos usar o 
denominador 192. Assim, temos: 
192 64 48 36 27
68
192 192 192 192 192
V V V V V     
192 64 48 36 27
68
192 192 192 192 192
V V V V V     
17
68
192
V  
192
68 768
17
V    
 
 Assim, o total de presentes na segunda foi V/3 = 256, na terça foi V/4 = 192, 
na quarta foi 3V/16 = 144 e na quinta foi 9V/64 = 108. Temos essa última 
informação na alternativa D. 
Resposta: D 
 
21. FCC – METRÔ/SP – 2012) Relativamente a um lote de tijolos, usado por quatro 
operários na construção de um muro, sabe-se que: 
− coube a Amilcar assentar a oitava parte e a Benício a décima parte do total de 
tijolos; 
− coube a Galileu assentar o dobro da soma das quantidades que Amilcar e Benício 
assentaram; 
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− Dante assentou os restantes 468 tijolos. 
Nessas condições, o total de tijolos do lote é um número compreendido entre 
(A) 1 250 e 1 500. 
(B) 1 500 e 1 750. 
(C) 1 750 e 2 000. 
(D) 2 000 e 2 250. 
(E) 2 250 e 2 500. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja T o total de tijolos. Amilcar ficou com um oitavo, isto é, T/8. Benício ficou 
com um décimo, isto é, T/10. Galileu ficou com o dobro da soma entre Amilcar e 
Benício, ou seja, com 2 x (T/8 + T/10). Por fim, Dante ficou com 468. O total de 
tijolos é dado pela soma da quantidade que ficou com cada pedreiro: 
Total = Amilcar + Benício + Galileu + Dante 
T = T/8 + T/10 + 2 x (T/8 + T/10) + 468 
2 2
468
8 10 8 10
T T T T
T      
80 10 8 20 16
468
80 80 80 80 80
T T T T T
     
26
468
80
T
80
468 1440
26
T    
 
 Assim, o total de tijolos é de 1440, número que se encontra no intervalo da 
alternativa A. 
Resposta: A 
 
22. FCC – METRÔ/SP – 2012) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa, 
deu certa quantia em dinheiro a dois funcionários − Josemir e Neuza − solicitando 
que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam ficar com o troco. 
Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia dada pelo chefe e 
que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que Neuza ficou com os 
R$3,75 restantes. Nessas condições, o valor pago pelo lanche comprado foi 
(A) R$ 15,00. 
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(B) R$ 15,75. 
(C) R$ 18,50. 
(D) R$ 18,75. 
(E) R$ 25,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Q a quantia dada por Alan. Como eles gastaram 75% com o lanche, 
sobraram 25%, ou seja, 0,25Q. Josemir ficou com 40% deste valor, sobrando 60% 
deste valor para Neuza, ou melhor, 60% x 0,25Q = 0,6 x 0,25Q = 0,15Q. Essa 
quantia de Neuza corresponde a 3,75 reais, o que nos permite obter Q: 
0,15Q = 3,75 
Q = 3,75 / 0,15 = 25 reais 
 
 Portanto, o valor do lanche foi 75% x 25 = 0,75 x 25 = 18,75 reais. 
Resposta: D 
 
23. FCC – METRÔ/SP – 2012) O parágrafo seguinte apresenta parte da fala de 
Benê dirigida a seus amigos Carlão e Dito. 
− Hoje, tenho 23 anos de idade, Carlão tem 32 e Dito tem 44, mas, futuramente, 
quando a minha idade for igual à terça parte da soma das idades de vocês, ... 
Um complemento correto para a fala de Benê é 
(A) as nossas idades somarão 120 anos. 
(B) Carlão terá 36 anos. 
(C) Dito terá 58 anos. 
(D) Carlão terá 38 anos. 
(E) Dito terá 54 anos. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que daqui a N anos a idade de Benê será a terça parte da soma das 
idades dos demais. Nesta data, a idade de Benê será 23 + N (afinal, passaram-se N 
anos em relação à data presente), a idade de Carlão será 32 + N e a idade de Dito 
será 44 + N. Como a idade de Benê será a terça parte da soma, então: 
23 + N = (32 + N + 44 + N) / 3 
3 x (23 + N) = 32 + N + 44 + N 
69 + 3N = 76 + 2N 
N = 7 anos 
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 Assim, nesta data Benê terá 23 + 7 = 30 anos, Carlão terá 32 + 7 = 39 anos, 
e Dito terá 44 + 7 = 51 anos. A soma das idades será 30 + 39 + 51 = 120. 
Resposta: A 
 
 
24. FCC – METRÔ/SP – 2012) Um trem metropolitano partiu de um terminal da 
Linha 1 − Estação Tucuruvi −, com X passageiros e, após passar sucessivamente 
pelas Estações Parada Inglesa e Jardim São Paulo, chegou à Estação Santana com 
X passageiros. Sobre o trânsito de passageiros ao longo desse trajeto, sabe-se que: 
− na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos 
que embarcaram era igual a 1/6 de X; 
− na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número 
dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da 
estação anterior. 
Nessas condições, é correto afirmar que X é um número 
(A) ímpar. 
(B) divisível por 9. 
(C) múltiplo de 4. 
(D) menor que 200. 
(E) maior que 400. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos seguir pelas estações: 
− na Estação Parada Inglesa desceram exatamente 18 passageiros e o número dos 
que embarcaram era igual a 1/6 de X; 
 Após passar por essa estação, restam a bordo X – 18 + X/6 passageiros, ou 
melhor, 7X/6 – 18. 
 
− na Estação Jardim São Paulo desceram exatamente 106 passageiros e o número 
dos que embarcaram era igual a 1/3 do número de passageiros que partiu da 
estação anterior. 
 Após passar por esta estação, restam a bordo: 
7X/6 – 18 – 106 + (7X/6 – 18) / 3 
 
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 Como chegaram à Estação Santana X passageiros, podemos afirmar que: 
7X/6 – 18 – 106 + (7X/6 – 18) / 3 = X 
7 7
124 6
6 18
X X
X    
21 7 18
124 6
18 18 18
X X X
    
10
130
18
X
 
X = 234 
 
 Observe que 234 é divisível por 9, afinal 234 / 9 = 26. 
Resposta: B 
 
25. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele 
− subtraí 3 unidades; 
− multipliquei o resultado por 5; 
− somei 9 unidades; 
− obtive 24 como resultado. 
É correto afirmar que o quadrado desse número é 
(A) 1. 
(B) 4. 
(C) 16. 
(D) 25. 
(E) 36. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja N o número pensado. Façamos as operações: 
− subtraí 3 unidades: 
 Com isso, temos N – 3. 
 
− multipliquei o resultado por 5; 
 Até aqui temos 5 x (N – 3). 
 
− somei 9 unidades; 
 Chegamos a 5 x (N – 3) + 9. 
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− obtive 24 como resultado. 
 Portanto, 
24 = 5 x (N – 3) + 9 
24 – 9 = 5N – 15 
30 = 5N 
N = 6 
 
 Logo, o quadrado deste número é 62 = 36. 
Resposta: E 
 
26. FCC – SPPREV – 2012) O dono de um armazém adquiriu 82 kg de feijão 
embalados em pacotes de 2 kg e 3 kg, totalizando 30 pacotes. É correto afirmar que 
o número de pacotes de 3 kg é 
(A) 22. 
(B) 20. 
(C) 18. 
(D) 15. 
(E) 12. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja M o número de pacotes maiores (3kg) e m o número de pacotes 
menores (2kg). O total de pacotes é 30: 
M + m = 30  logo, m = 30 – M 
 
 O peso total de feijão é de 82kg, ou seja, 
3M + 2m = 82 
3M + 2 x (30 – M) = 82 
3M + 60 – 2M = 82 
M = 22 pacotes de 3kg. 
Resposta: A 
 
27. FCC – TRF/3ª – 2014) O dinheiro de Antônio é a quarta parte do de Bianca que, 
por sua vez, é 80% do dinheiro de Cláudia. Mexendo apenas no dinheiro de 
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Antônio, um aumento de x% fará com que ele fique com o mesmo dinheiro que 
Cláudia tem. Nas condições dadas, x é igual a 
(A) 300. 
(B) 500. 
(C) 800. 
(D) 900. 
(E) 400. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos montar equações com os dados fornecidos: 
- O dinheiro de Antônio é a quarta parte do de Bianca: 
A = B/4 
 
- por sua vez, o dinheiro de Bianca é 80% do dinheiro de Cláudia: 
B = 0,80C 
 
 Assim, podemos substituir B por 0,80C na primeira equação, para obter uma 
relação entre A e C: 
A = (0,80C) / 4 
A = 0,20C 
 
 Mexendo apenas no dinheiro de Antônio, um aumento de x% fará com que 
ele fique com o mesmo dinheiro que Cláudia tem: 
A . (1 + x) = C 
0,20C . (1 + x) = C 
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0,20 . (1 + x) = C / C 
0,20 . (1 + x) = 1 
0,2 + 0,2.x = 1 
0,2.x = 0,8 
x = 0,8 / 0,2 
x = 4 = 400% 
RESPOSTA: E 
 
28. FCC – TRF/3ª – 2014) Um cofrinho possui apenas moedas de 25 centavos e 
moedas de 1 real, em um total de 50 moedas. Sabe-se que a diferença entre o total 
de moedas de 25 centavos e de 1 real do cofrinho, nessa ordem, é igual a 24 
moedas. O total de moedas de maior valor monetário em relação ao total de 
moedas de menor valor monetário nesse cofrinho corresponde, em %, a, 
aproximadamente, 
(A) 44. 
(B) 35.(C) 42. 
(D) 28. 
(E) 32. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo “m” a quantidade de moedas de 25 centavos, as moedas de 1 real são 
50 – m, pois a soma total é de 50 moedas. 
 Sabe-se que a diferença entre o total de moedas de 25 centavos e de 1 real 
do cofrinho, nessa ordem, é igual a 24 moedas. Ou seja, 
m – (50 – m) = 24 
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m – 50 + m = 24 
2m = 74 
m = 37 
 
 Assim, a quantidade de moedas de 25 centavos é de 37, e o restante (50 – 
37 = 13) são moedas de 1 real. 
 O total de moedas de maior valor monetário (13) em relação ao total de 
moedas de menor valor monetário (37) nesse cofrinho corresponde, em %, a, 
aproximadamente: 
P = 13 / 37 = 35,13% 
RESPOSTA: B 
 
29. FCC – TRF/3ª – 2014) O número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1, 
há quatro anos, era igual ao número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2, 
hoje. Daquela época para a atual, o número de ordens judiciais decretadas pelo 
Órgão 1 não mudou, mas o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 
cresceu 20%. Sabendo que os órgãos 1 e 2 somam, hoje, 6 000 ordens judiciais, 
então há quatro anos o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 era 
igual a 
(A) 2 900. 
(B) 2 800. 
(C) 2 400. 
(D) 2 600. 
(E) 2 500. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos as informações dadas: 
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- O número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1, há quatro anos, era igual 
ao número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2, hoje: 
Órgão14anos = Órgão2hoje 
 
- Daquela época para a atual, o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1 
não mudou: 
Órgão1hoje = Órgão14anos 
 
- O número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 cresceu 20%: 
Órgão2hoje = 1,2 x Órgão24anos 
 
- Os órgãos 1 e 2 somam, hoje, 6 000 ordens judiciais: 
Órgão1hoje + Órgão2hoje
 = 6000 
 
 Lembrando que Órgão14anos = Órgão2hoje podemos substituir, na equação 
anterior, ficando com: 
 
Órgão1hoje + Órgão14anos
 = 6000 
 
 Lembrando que Órgão14anos = Órgão1hoje podemos substituir, na equação 
anterior, ficando com: 
Órgão1hoje + Órgão1hoje
 = 6000 
Órgão1hoje 
 = 3000 
 
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 Logo, 
Órgão1hoje + Órgão2hoje
 = 6000 
3000 + Órgão2hoje
 = 6000 
Órgão2hoje
 = 3000 
 
 Por fim, 
Órgão2hoje = 1,2 x Órgão24anos 
3000 = 1,2 x Órgão24anos 
3000 / 1,2 = Órgão24anos 
Órgão24anos = 2500 
 
 Assim, há quatro anos o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 
era igual a 2500. 
RESPOSTA: E 
 
30. FCC – TRF/3ª – 2014) Comparando-se a remuneração, por hora trabalhada, dos 
serviços A e B, verificou-se que no serviço B a remuneração era 25% a menos do 
que a remuneração no serviço A. Roberto trabalhou 8 horas no serviço A e 4 horas 
no serviço B. Paulo trabalhou 4 horas no serviço A e 8 horas no serviço B. A 
porcentagem a mais que Roberto recebeu, por suas 12 horas de trabalho, em 
relação ao que Paulo recebeu, por suas 12 horas de trabalho, é igual a 
(A) 12,5. 
(B) 50. 
(C) 10. 
(D) 25. 
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(E) 0. 
RESOLUÇÃO: 
 Comparando-se a remuneração, por hora trabalhada, dos serviços A e B, 
verificou-se que no serviço B a remuneração era 25% a menos do que a 
remuneração no serviço A. Ou seja, 
B = (1 – 25%).A 
B = 0,75A 
 
 Roberto trabalhou 8 horas no serviço A e 4 horas no serviço B, ganhando: 
Roberto = 8.A + 4.B 
Roberto = 8.A + 4.0,75A 
Roberto = 11A 
 
 Paulo trabalhou 4 horas no serviço A e 8 horas no serviço B, ganhando: 
Paulo = 4.A + 8.B 
Paulo = 4.A + 8.0,75A 
Paulo = 10A 
 
 Veja que Roberto recebeu “A” a mais do que Paulo (pois 11A – 10A = A). A 
porcentagem a mais que Roberto recebeu, por suas 12 horas de trabalho, em 
relação ao que Paulo recebeu, por suas 12 horas de trabalho, é igual a: 
P = A / 10A = 1 / 10 = 10% 
RESPOSTA: C 
 
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31. FCC – TRF/3ª – 2014) Um técnico precisava arquivar x processos em seu dia de 
trabalho. Outro técnico precisava arquivar y processos, diferente de x, em seu dia 
de trabalho. O primeiro técnico arquivou, no período da manhã, 
2
3
 dos processos 
que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, esse técnico arquivou 
3
8
 
dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 14 processos para 
serem arquivados. O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 
3
5
 dos 
processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o segundo 
técnico arquivou 
5
18
 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 
42 processos para serem arquivados. 
Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos no 
período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período da tarde, em 
um número de processos igual a 
(A) 15. 
(B) 42. 
(C) 18. 
(D) 12. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro técnico arquivou, no período da manhã, 
2
3
 dos processos que 
precisava arquivar naquele dia, ou seja, 2x/3, restando para arquivar x/3 processos. 
No período da tarde, esse técnico arquivou 
3
8
 dos processos que arquivara pela 
manhã, ou seja, arquivou 
3 2
8 3 4
x x
  processos, e ainda restaram 14 processos 
para serem arquivados. Isto significa que: 
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x = processos arquivados de manhã + processos arquivados à tarde + resto 
2
14
3 4
x x
x    
12 8 3 168x x x   
168x processos 
 
 No período da tarde, este técnico arquivou x/4 = 168/4 = 42 processos. 
 
 O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 
3
5
 dos processos que 
precisava arquivar naquele dia, isto é, 
3
5
y
.No período da tarde, o segundo técnico 
arquivou 
5
18
 dos processos que arquivara pela manhã, ou seja, 
5 3
18 5 6
y y
  e ainda 
restaram 42 processos para serem arquivados. Assim, 
y = processos arquivados de manhã + processos arquivados à tarde + resto 
3
42
5 6
y y
y    
30 18 5 1260y y y   
180y  processos 
 No período da tarde, este técnico arquivou y/6 = 180/6 = 30 processos. 
 
 Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais 
processos no período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período 
da tarde, em um número de processos igual a 42 – 30 = 12. 
RESPOSTA: D 
 
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32. FUNDATEC – IRGA – 2013) Cinco amigos, Alfredo, Bernardo, Carla, Daniela e 
Ernesto fizeram uma prova com