Aula-12-F328-2S-2015

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Aula 12: Oscilações 
Eletromagnéticas 
F-328: Física Geral III 
2o semestre 2015 
1 
Oscilações eletromagnéticas (LC) 
F328 – 2S2015 
ω
Circuitos RC e RL: 
•  q(t), i(t) e V(t): comportamento exponencial 
Circuito LC: 
•  q(t), i(t) e V(t): comportamento senoidal 
•  Oscilações 
•  campo elétrico do capacitor 
•  campo magnético do indutor 
Oscilações eletromagnéticas 
Vimos que: 
Veremos que: 
2 
energia 
totalmente 
elétrica 
energia 
totalmente 
elétrica 
Oscilações eletromagnéticas (LC) 
F328 – 2S2015 3 
energia 
totalmente 
magnética 
energia 
totalmente 
magnética 
3 
http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm 
Simulação dos estágios 
Oscilações eletromagnéticas (LC) 
F328 – 2S2015 4 
Osciladores harmônicos simples 
F328 – 2S2015 
Circuito LC Sistema massa-mola 
cteUUU
UU
mvU
kxU
cp
pc
c
p
==+
⇔
=
=
2
2
2
1
2
1Potencial: 
Cinética: (do bloco) 
(da mola) 
Total: cteUUU
UU
LiU
C
qU
BE
EB
B
E
==+
⇔
=
=
2
2
2
1
2
1Elétrica: 
Magnética: 
Total: 
(do indutor) 
(do capacitor) 
5 
No sistema massa-mola, em qualquer instante t, a energia total U é 
pc UUU +=
Se não houver atrito, U permanece constante, isto é: 
0)
2
1
2
1( 22 =+= kxmv
dt
d
dt
dU
02
2
=+ x
m
k
dt
xd
)cos( 0 ϕω += tXx msolução eq. diferencial: 
m
k
=0ω : Frequência angular natural 
Xm : Amplitude 
φ: Constante de fase 
Movimento 
oscilatório 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ =
dt
dxv
Analogia eletromecânica (massa-mola) 
F328 – 2S2015 6 
C
qLiUUU EB
2
2
2
1
2
1
+=+=
Como não há resistência no circuito, temos: 
0
22
22
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
C
qLi
dt
d
dt
dU
012
2
=+ q
LCdt
qd
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ =
dt
dqi
)cos()( 0 ϕω += tQtqsolução eq. diferencial: 
LC
1
0=ω : Frequência angular natural 
Q : Amplitude 
φ: Constante de fase 
Oscilações 
eletromagnéticas 
Corrente: )(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdt
dqi
Energia total oscilante : 
Analogia eletromecânica (oscilador LC) 
F328 – 2S2015 7 
Correspondências 
entre os dois 
sistemas 
q↔ x
1
C
↔ k
L↔m
i↔ v
A amplitude e a constante de fase são determinadas pelas condições 
iniciais [no circuito LC, i(0) e q(0)]. 
Circuito LC Sistema massa-mola 
Frequência angular: 
Amplitude: 
Constante de fase: 
LC
1
0 =ω
Q 
φ 
m
k
=0ω
Xm 
φ 
Analogia eletromecânica 
F328 – 2S2015 8 
Questões Moodle 
9 F328 – 2S2015 
A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é 
)(sen
2
1
2
1
0
222
0
2 ϕωω +== tQLLiUB
)(cos
22 0
2
22
ϕω +== t
C
Q
C
qUE
enquanto a energia magnética armazenada no indutor é 
Energia total permanece 
constante. 
C
QUU BE 2
2
=+
Energias elétrica e magnética 
F328 – 2S2015 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
LC
1
0ω)(sen2 0
2
2
ϕω += t
C
QUB
10 
Questão Moodle 
11 F328 – 2S2015 
Com um resistor R no circuito, a energia 
eletromagnética total U do sistema não é mais 
constante, pois diminui com o tempo na 
medida em que é transformada em energia 
térmica no resistor . 
C
qLiU
22
1 22 +=
2Ri
dt
dU
−=
2Ri
dt
dq
C
q
dt
diLi −=+
012
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ =
dt
dqi
)0( <
dt
dU
Oscilações amortecidas (circuito RLC) 
F328 – 2S2015 
Energia 
eletromagnética 
Potência dissipada 
12 
Oscilações amortecidas: 
amplitude de q(t) decai 
exponencialmente com o 
tempo. 
onde 
Solução geral para o caso de amortecimento fraco : 
)cos()( 2max ϕω +ʹ=
−
teQtq
t
L
R
2
2
0 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=ʹ
L
R
ωω
LC
1
0=≅ʹ ωω
 
 
 
: ω’aproxima-se da frequência 
 angular natural do sistema 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
C
LR 4
LCL
R 1
2
2
<<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛se 
Oscilações amortecidas (circuito RLC) 
F328 – 2S2015 13 
Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância 
C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω. 
a) Determinar instante t tal que a amplitude das oscilações da carga no 
circuito será 1/2 do seu valor inicial? 
b) Quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo? 
LC
tntnT
π2
=⇒=
( )
13
10.6,110.122
011,0
2
1
63
≅
×
=
−−π
n
Neste caso, como , . Ou seja: 
 
0ωω ≅ʹ
2
0
2
2
ω<<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
L
R
ou 
Queremos que: 5,0ln
2
5,0 max2max =−⇒=
−
L
RtQeQ
t
L
R
st
R
Lt 011,05,0ln2 =⇒−=
O tempo para uma oscilação completa é o período . 
ω
π
ʹ
=
2T
daí: 
Exemplo 1 
F328 – 2S2015 14 
Oscilações forçadas comportamento q(t), i(t) e V(t): 
•  Frequência: Qualquer que seja ω0 (natural), essas grandezas 
 oscilam com ω (frequência propulsora) 
•  Corrente: 
 
Oscilações forçadas (RLC com fem) 
F328 – 2S2015 
Amortecimento 
Fornecimento 
Oscilações eletromagnéticas 
ω 
ω0 
ω’ As oscilações de um circuito RLC não 
serão totalmente amortecidas se um 
dispositivo de fem externo fornecer 
energia suficiente para compensar a 
energia térmica dissipada no resistor. 
Gerador de tensão alternada (fem ac): )(sen tm ωεε =
ω : frequência angular propulsora 
)(sen)( ϕω −= tIti
15 
Circuito resistivo (R) 
F328 – 2S2015 
Um resistor ligado ao gerador de fem alternada: 
)(sen)(sen tVtv RmR ωωεε ===
Corrente iR no resistor: )(sen tR
V
R
vi RRR ω==
Por associação com a forma geral da corrente ac: 
)(sen ϕω −= tIi RR
0=ϕ
R
VI RR = RIV RR =
•  Corrente e tensão (ddp) estão em fase no resistor: 
•  Relação entre as amplitudes da corrente e da 
 tensão no resistor: 
16 
)(sen)(sen tVtv CmC ωωε ==
)(sen tVCvCq CCC ω==
)
2
(sen)(cos πωωωω +== tCVtCVi CCC
Introduzindo a reatância capacitiva: 
C
XC ω
1
=
)
2
(sen πω += t
X
Vi
C
C
C
CCC XIV =
Carga: 
Circuito capacitivo (C) 
F328 – 2S2015 
Tensão: 
2
π
ϕ −=
•  Corrente está adiantada de em relação à tensão: 
•  Relação entre as amplitudes da corrente e da 
 tensão no capacitor: 
2
π
Corrente: 
17 
)cos()(sen t
L
Vdtt
L
Vi LLL ωω
ω∫ −==
iL =
VL
XL
sen(ω t − π
2
)
dt
diLtVtv LLmL === )(sen)(sen ωωε
Circuito indutivo (L) 
F328 – 2S2015 
LLL XIV =
2
π
ϕ =
•  Corrente está atrasada de em relação à tensão: 
•  Relação entre as amplitudes da corrente e da 
 tensão no capacitor: 
2
π
Introduzindo a reatância indutiva: LXL ω=
Tensão: 
Corrente: 
18 
Questão Moodle 
19 F328 – 2S2015 
http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm 
Simulações dos três circuitos simples 
F328 – 2S2015 20 
Os exercícios pares do Livro texto capítulo Oscilações 
eletromagnéticas: 
Consultar: 
https://www.ggte.unicamp.br/moodle/login/index.php 
Lista de exercícios do capítulo 31 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
• Informações complementares 
F328 – 2S2015 21