Resumo de Introdução ao Cálculo

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Introdução
ao Cálculo
1
Potenciação
POTENCIAÇÃO
O que é Potenciação?
A potência é o resultado da multiplicação de elementos idênticos, onde a base é o elemento 
que vai se repetir e o expoente indica quantas vezes que a base vai se multiplicar.
Vamos ver como isso funciona na prática:
Exemplo: 53 (5 elevado ao cubo)
Resolvendo: 5 x 5 x 5 = 125
Quando a base é negativa, o resultado vai depender do expoente. Se o expoente for ímpar, o 
resultado vai ser negativo, se o expoente for par, o resultado vai ser positivo.
(-4)3 = -64
(-4)2 = 16
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base
expoente
POTENCIAÇÃO
Regras da Potenciação
x0 = 1 Qualquer número elevado a zero, o resultado é 1. 20 = 1
x1 = x Qualquer número elevado a 1, o resultado é o próprio número. 31 = 3
x-a = (1 / x)a Quando o expoente for negativo, o resultado é o inverso da base, elevado ao expoente positivo. 3-2 = (⅓)2
xa . xb = xa+b Quando as bases são iguais na multiplicação e os expoentes diferentes, somam-se os expoentes e repete-se a base. 23 . 24 = 27
xa . ya = (x . y)a Quando as bases são diferentes na multiplicação e os expoentes iguais, somam-se as bases e repete-se o expoente. 23 . 33 = (2 . 3)3
xa : xb = xa-b Quando as bases são iguais na divisão e os expoentes diferentes, subtraem-se os expoentes e repete-se a base. 24 : 22 = 22
xa : ya = (x/y)a Quando as bases são iguais na divisão e os expoentes diferentes, subtraem-se os expoentes e repete-se a base. 32 : 42 = (¾)2
(xa)b = xa.b Quando se tem uma potência de uma potência, a base permanece e os expoentes são multiplicados. (42)3 = 42.3
xa/b = b√xa Quando o expoente é uma fração, isso vai resultar em uma raiz, onde o índice é o denominador da fração. 5
2/3 = 3√52
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2
Radiciação
RADICIAÇÃO
O que é Radiciação?
A radiciação é processo de retirar raízes de um número. Se você conhecer o índice e o radicando, 
é possível encontrar a raiz.
Exemplo: a√x
Obs.: Quando a raiz estiver sem índice, entende-se que o índice dela é 2, ou seja, raiz quadrada.
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índice
radicando
RADICIAÇÃO
Regras da Radiciação
(a√x)a = a Se o índice da potência for igual ao da raiz, eles se anulam. (3√5)3 = 5
(a√x)b = a√xb Quando uma raiz é base de uma potência, o índice desta potência passa a ser o índice do radicando. (
3√6)5 = 3√65
a√b√x = a.b√x Quando uma raiz é radicando de outra raiz ou uma raiz é raiz é só multiplicar seus índices. 3√4√5 = 3.4√5
a√(x.y.z) = a√x . a√y . 
a√z Quando uma raiz é radicando de outra raiz ou uma raiz é raiz.
3√(3.4.5) = 3√3 . 3√4 . 
3√5
x a√x
y a√y
A divisão de raízes com o mesmo índice, tem como resultado uma 
única raiz, no qual a divisão é realizada pelos seus radicandos.
5 3√5
7 3√7
x-p/n = 1
 n√xp
Se o expoente da potência for uma fração negativa, o resultado é 
uma fração onde o denominador é uma raiz em que o índice será n 
e o expoente do radicando será p.
3-2/3 = 1
 3√32
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=
a
=3
3
Produtos Notáveis
PRODUTOS NOTÁVEIS
O que são?
Produtos notáveis são polinômios ou expressões algébricas (equações com letras e números) 
usadas para simplificação de contas do produto algébrico.
Os produtos notáveis possuem 5 eventos:
1. Quadrado da Soma de dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto 
do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
 (a + b)2 → (a + b) . (a + b) = a2 + 2ab + b2
2. Quadrado da Diferença de dois Termos
O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o 
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
 (a - b)2 → (a - b) . (a - b) = a2 - 2ab - b2
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quadrado do primeiro termo
quadrado do primeiro termo
duas vezes o produto dos termos
duas vezes o produto dos termos
quadrado do segundo termo
quadrado do segundo termo
PRODUTOS NOTÁVEIS
3. Produto da Soma pela Diferença de dois Termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o 
quadrado do segundo termo.
 (a - b)2 → (a - b) . (a - b) = a2 - 2ab + b2
4. Cubo da Soma de dois Termos
O cubo da soma de dois termos é idêntico ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto 
do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo 
quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.
 (a + b)3 → (a + b) . (a +b) . (a + b) → (a + b) . (a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
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quadrado do primeiro termo
cubo do primeiro termo
cubo do primeiro termo
duas vezes o produto dos termos
três vezes o produto do quadrado do 
primeiro termo com o segundo termo
quadrado do segundo termo
três vezes o produto do primeiro termo
com o quadrado do segundo termo
PRODUTOS NOTÁVEIS
5. Cubo da Diferença de dois Termos
O cubo da diferença de dois termos é idêntico ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o 
produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo 
pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.
 (a - b)3 → (a - b) . (a -b) . (a - b) → (a - b) . (a2 - 2ab + b2) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
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cubo do primeiro termo
cubo do primeiro termotrês vezes o produto do quadrado do 
primeiro termo com o segundo termo
três vezes o produto do primeiro termo
com o quadrado do segundo termo
4
Geometria Plana
GEOMETRIA PLANA
O que é Geometria Plana?
A geometria plana estuda as figuras geométricas em um plano. Abaixo alguns dos conteúdos que 
podem ser relacionados a geometria plana.
Pontos: determinam uma localização e são representados por letras latinas maiúsculas.
Plano: superfície com duas dimensões: largura e comprimento. 
É representado por letras gregas minúsculas.
Retas: linhas que possuem o comprimento como dimensão e são representadas por letras latinas 
minúsculas. Elas podem ser: horizontais, verticais e inclinadas.
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A
B
C
(α)
(г)
GEOMETRIA PLANA
Posições de Retas no Plano
Retas paralelas: retas que não possuem ponto em comum.
Retas concorrentes: retas que possuem um ponto em comum.
Retas perpendiculares: retas com um ponto em comum e que formam um ângulo de 90º.
Semirreta: sua origem começa em um ponto e ela se torna infinita no sentido oposto.
Segmento de Reta: ela tem origem e fim.
b
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a
a
b
A
A
B
B
GEOMETRIA PLANA
Ângulos
São formados pela junção de dois segmentos de reta de mesma origem (vértice do ângulo).
Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º (α = 90º)
Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (α < 90°)
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α
α
A
A
B
B
O
O
GEOMETRIA PLANA
Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 180° (90º < α < 180º)
Ângulo raso: ângulo com medida igual a 0° ou 180°
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α
AB
A
B
O
GEOMETRIA PLANA
Área e Perímetro
Área é o tamanho de uma superfície, é o espaço ocupado por uma figura. 
Perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento da margem da figura.
Abaixo algumas figuras planas e suas fórmulas de área e perímetro.
Quadrado: polígono que possui os 4 lados iguais.
Retângulo: polígono com dois lados equivalentes e outros dois também.
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L
L
L
L
Área = L2
Perímetro = L + L + L + L
ou P = 4L
Área = b . h
Perímetro = 2b + 2h
ou P = 2 (b + h)
Altura (h)
Base (b)
GEOMETRIA PLANA
Trapézio: figura com dois lados e bases paralelas, na qual uma é maior que a outra.
Triângulo: figura com 3 lados.
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Base menor (b)
Base maior (B)
Lado 2 (L2)Lado 1 (L1)
Área = (B + b) . h
 2
Perímetro = B + b + L1 + L2
Altura (h)
A
B C
Altura
(h)
Base (b)
a b
c
GEOMETRIA PLANA
Os triângulos podem ser classificados da seguinte forma:
 Triângulo Equilátero: todos os lados iguais e ângulos internos iguais a 60°;Triângulo Isósceles: dois lados iguais e dois ângulos internos de mesma medida;
 Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno igual a 90°;
 Triângulo Escaleno: todos os lados e ângulos internos diferentes.
 Círculo: figura fechada que é limitada por uma linha curva (circunferência).
Lembrando:
π = 3,14
r (raio) = distância entre o centro e a extremidade ou metade do diâmetro.
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Diâmetro (d)
Raio (r)
d = 2r
Área = π . r2
Perímetro = 2πr
GEOMETRIA PLANA
Teorema de Pitágoras
É uma expressão que pode ser usada em qualquer triângulo retângulo (formado pelo cateto adjacente e 
oposto). Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Teorema de Tales
Se existem duas retas transversais e elas são cortadas por linhas paralelas, elas formam segmentos 
proporcionais. 
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a
b
c
a2 = b2 + c2
a = hipotenusa
a
b
c
4x + 8
4x - 8 4x
4x + 20
(4x + 8) = (4x + 20)
 (4x - 8) 4x
(4x+8) . 4x = (4x + 20)(4x - 8)
16x2 + 32x = 16x2+ 80x - 32x - 160
16x2 - 16x2 + 32x - 80x + 32x = -160
-16x = -160 (-1)
x = 10
GEOMETRIA PLANA
Função Afim ou Função do 1o Grau 
A função do 1º grau é demonstrada da seguinte maneira: f(x)=ax+b, onde a e b são números reais 
e a é ≠0.
f(x) = 3x + 4
f(x) = -2x + 5
A demonstração da função afim em um gráfico é uma reta. O valor de a informa se a função é 
decrescente ou crescente, enquanto b é o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano 
cartesiano.
 Função crescente: se o coeficiente de x for positivo.
 Função decrescente: se o coeficiente de x for negativo.
Inequação do 1º grau
É qualquer expressão do 1º grau que possui os seguintes símbolos: 
<, > → intervalos abertos, pois não o resultado encontrado não está incluso.
 ≤, ≥ → intervalos fechados, pois o resultado encontrado está incluso no intervalo
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GEOMETRIA PLANA
Exemplo:
2x + 3 > 0
2x > -3
2x/2 > (-3)/2 (Divide-se por 2, pois 2 é o valor que acompanha x.)
x>(-3)/2
Abaixo, podemos ver o gráfico do Resultado. A bolinha é vazada, pois o intervalo é aberto.
Obs.: se o número que acompanha x for negativo, na hora que for dividir a inequação, o símbolo 
inverte.Exemplo: -x -1 ≥ 0, a resposta fica x ≤ -1.
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-
+
-3 /2
5
Domínio
DOMÍNIO
Antes de falarmos sobre domínio, precisamos definir o que é função. 
O que é Função?
É uma expressão onde dois valores de diferentes conjuntos possuem uma relação entre si.
A função possui 3 características básicas: domínio, contradomínio e imagem.
Vamos a um exemplo: f(x) = x + 1
Domínio: todos os elementos do conjunto A: (4,5,6,7,8)
Contradomínio: todos os elementos do conjunto B: (1,5,6,7,8,9,10)
Imagem: todos os elementos do contradomínio que possuem relação com o domínio: (5,6,7,8,9)
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4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
A B
f(x)=4+1=5
f(x)=5+1=6
f(x)=6+1=7
f(x)=7+1=8
f(x)=8+1=9
DOMÍNIO
Características que definem ou não uma função:
Todos os elementos do domínio precisam ter uma representação no contradomínio.
Um único elemento do domínio não pode possuir mais de uma imagem.
Obs.: dois elementos diferentes de um mesmo domínio podem ter a mesma imagem.
Não pode sobrar elementos no domínio.
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(Não é função)
6
Plano Cartesiano
PLANO CARTESIANO
O que é Plano Cartesiano?
Utilizado para representar graficamente as localizações de pontos em um determinado plano. 
Ele é formado pela reta horizontal, a qual chamamos de eixo x (abscissas) e pela vertical é o 
eixo y (ordenadas).
O plano cartesiano é constituído de 4 quadrantes.
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2o quadrante
( - , + )
1o quadrante
(+ , + )
4o quadrante
(+ , - )
3o quadrante
(- , - )
7
Função Quadrática
FUNÇÃO QUADRÁTICA
O que é função quadrática?
Função quadrática ou polinominal do 2o grau é qualquer função f de IR em IR dada por 
f(x) = ax2 + bx + c, na qual, a,b e c são números reais e a é diferente de 0. Vale ressaltar 
que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Fórmula de Bhaskara
As raízes da função de 2° Grau são obtidas através da fórmula de Bhaskara.
A fórmula de Bhaskara pode ser encontrada em duas formas:
∆ = b2 - 4ac
x = (-b ± √∆) ou x = (-b ± √(b2 - 4ac))
 2a 2a
A quantidade de raízes reais vai depender de alguns fatores:
∆ positivo → existem duas raízes reais e distintas;
∆ igual a zero → existe apenas uma raiz, ou melhor, duas raízes iguais;
∆ negativo → não existe raiz.
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POTENCIAÇÃO
Outra forma de se resolver a equação de 2° Grau seria através da Soma e Produto (Relações de Girard).
Onde a soma seria: x1 + x2 = (-b) / a
E o produto: x1 . x2 = 
c / a 
Quando a equação é do terceiro grau, temos que as raízes são:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c/a 
x1 . x2 . x3 = -d/a
E quando ela é do quarto grau:
x1+ x2+ x3 +x4 = -b/a
x1 . x2 + x1 . x3 + x1 . x4 + x2 . x3 + x2 . x4 + x3 . x4 = c/a
x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x4 + x1 . x3 . x4 + x2 . x3 . x4 = -d/a
x1 . x2 . x3 . x4 = e/a
Inequação do 2º grau
Qualquer expressão do 2º grau que possui os seguintes símbolos: 
<, > → intervalos abertos, pois não o resultado encontrado não está incluso.
 ≤, ≥ → intervalos fechados, pois o resultado encontrado está incluso no intervalo.
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8
Equação Exponencial
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
O que é Equação Exponencial?
Equação exponencial são as que possuem a incógnita no expoente. Para resolver este tipo de equação é 
necessário utilizar do método da fatoração.
Exemplo 1: 5x = 125
 Desta forma, temos:
 5x = 125
 5x = 53 
 x = 3
Exemplo 2: 32x - 12 . 3x = 27
Neste caso, será preciso usar o método da substituição:
(3x)2 - 12 . 3x = 27
Adotaremos 3x = y
y2 - 12 . y = 27
Resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos as seguintes raízes:
y1 = 3
y2 = 9
Agora é só substituir:
3x = 3 3x = 9
3x = 31 e 3x = 32 
x = 1 x = 2
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125 5
25 5
5 5
1
9
Logaritmo
POTENCIAÇÃO
O que é Logaritmo?
É uma operação matemática que pode ser usada para representar números em uma escala 
que não seja linear.
log bN = x
O logaritmo de N na base b é o expoente ao qual devemos elevar o número b para obter x.
Condições de Existência de um Logaritmo
1°→ A base precisa ser maior que zero (b >0)
2°→ A base precisa ser diferente de 1 (b ≠ 0)
3°→ O logaritmando precisa ser maior que zero (N >0)
Exemplo: log28 → log28 = 3
O resultado dessa operação é igual a 3, pois, 23 = 8
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Símbolo que indica que iremos 
trabalhar com logaritmos logaritmando
logaritmo N na base bbase
POTENCIAÇÃO
Propriedades
Logaritmo de um Produto
loga (x . y) = logax + logay
Logaritmo do Quociente
logax/y = logax - logay
Logaritmo da Potência
logaxn = n.logax
Raiz de Logaritmo
logam√xn → logaxm/n = m/n . logax
Mudança de Base: 
Quando os logaritmos se encontram em bases diferentes, é necessário fazer a mudança de 
base primeiro.
logax = logbx
 logba
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10
Polinômios
POLINÔMIOS
Dispositivo de Briot-Ruffini
É utilizado para calcular a divisão de polinômios. Ele usa somente os coeficientes do 
polinômio e o termo constante.
Vamos explicar em um exemplo: l(x) = x2 + 4x + 3 e b(x) = x + 1
Abaixo, a base da fórmula do dispositivo de Ruffini.
Primeira coisa a se fazer é resolver b(x).
b(x) = x + 1
x + 1 = 0
x = -1
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Termo constante do divisor
com sinal trocado
Coeficientes de x do
dividendo
Coeficientes do
quociente Resto
Termo constante do 
dividendo
POLINÔMIOS
Para montar, deve-se começar pela resolução de b(x) e em seguida adicionar os dados de l(x).
Multiplique o termo repetido pelo divisor, o valor encontrado será somado ao próximo termo do dividendo b(x).
Agora é só repetir o mesmo processo para o próximo dividendo.
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-1 1 4 3
1
1
1x (-1) = -1
-1 + 4 = 3
3
repete o primeiro 
coeficiente
-1 1 4 3
1
1 . (-1) = -1
-1 + 4 = 3
3
3 . (-1) = -3
-3 + 3 = 0
0
POTENCIAÇÃO
Encontramos o resto igual a 0 e um quociente igual a:
q(x) = x + 3
Para verificar se o resultado está correto é só fazer a seguinte conta:
b(x) = l(x) . q(x) + r(x )
Método da Chave
Método da chave é mais uma maneira para divisão de polinômios. Vamos utilizar o mesmo exemplo do dispositi-
vo de Ruffini para explicar este método.
Exemplo: l(x) = x2 + 4x + 3 e b(x) = x + 1
A resolução do método da chave é bem similar a uma conta de divisão.
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x2 + 4x + 3 x + 1
-x2 - x
3x + 3 x + 3
-3x - 3
0
11
Fatorial
FATORIAL
O que é Fatorial?
O fatorial de um número n (N) é o produto deste número pelos seus antecessores.
Exemplo: 6
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
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Introdução
ao Cálculo