Geometria Analítica | Resumo

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Geometria Analítica | Reta e Circunferência | Resumo
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:
Dados dois pontos A e B no plano cartesiano, com
coordenadas A(xA, yA) e B(xB, yB), desejamos calcular
a distância entre esses dois pontos a partir dos
valores de suas coordenadas cartesianas.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo cinza:
[d(A, B)]2 = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2
d(A, B) = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
Ponto médio de um segmento de reta
As coordenadas xM e yM do ponto médio do segmento AB são, respectivamente, as
medias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B.
Veja o exemplo: Seja M(3, –4) o ponto médio do segmento AB. Conhecendo as
coordenadas do ponto A(–1, 2), determine as coordenadas do ponto B.
𝟑 =
𝐱𝐀+ 𝐱𝐁
𝟐
𝟑 =
−𝟏 + 𝐱𝐁
𝟐
𝟑 ∙ 𝟐 = −𝟏 + 𝐱𝐁
𝟔 = −𝟏 + 𝐱𝐁
𝟔 + 𝟏 = 𝐱𝐁
𝟕 = 𝐱𝐁
−𝟒 =
𝐲𝐀+ 𝐲𝐁
𝟐
−𝟒 =
𝟐 + 𝐲𝐁
𝟐
−𝟒 ∙ 𝟐 = 𝟐 + 𝐲𝐁
−𝟖 = 𝟐 + 𝐲𝐁
−𝟖 − 𝟐 = 𝐲𝐁
−𝟏𝟎 = 𝐲𝐁
B(7, –10)
𝒙 𝒚 𝟏
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏
= 𝟎
Como determinar a equação geral de uma reta conhecendo as coordenadas de dois
pontos pertencentes a ela (Ax + By + C = 0):
Exemplo: A(-1, -2) e B(1, 4).
𝒙 𝒚 𝟏
−𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟒 𝟏
= 𝟎
𝒙 𝒚 𝟏
−𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 𝟒 𝟏
อ
𝒙 𝒚
−𝟏 −𝟐
𝟏 𝟒
= 𝟎
(x)(-2)(1) + (y)(1)(1) + (1)(-1)(4) - [(1)(-2)(1) +(4)(1)(x) + (1)(-1)(y)] = 0
-2x + y - 4 - [-2 + 4x - y] = 0
-2x + y – 4 + 2 – 4x + y = 0
-6x + 2y – 2 = 0 :(2)
-3x + y – 1 = 0
Como determinar a equação geral de uma reta conhecendo sua inclinação m em relação
ao eixo X e as coordenadas de um dos seus pontos P0(x0, y0):
Exemplo: A(-1, -2) e B(1, 4).
𝒎 =
𝒚𝑩 − 𝒚𝑨
𝒙𝑩 − 𝒙𝑨
𝒎 =
𝟒 − (−𝟐)
𝟏 − (−𝟏)
𝒎 =
𝟔
𝟐
𝒎 = 𝟑
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟎
𝒚 − 𝟒 = 𝟑 𝒙 − 𝟏
𝒚 − 𝟒 = 𝟑𝒙 − 𝟑
−𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
𝒚 − 𝒚𝑨 = 𝒎 𝒙− 𝒙𝑨
𝒚 − 𝒚𝑩 = 𝒎 𝒙− 𝒙𝑩
𝒎 =
𝒚𝑩 − 𝒚𝑨
𝒙𝑩 − 𝒙𝑨
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 𝒙− 𝒙𝟎𝒙 𝒚 𝟏
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏
= 𝟎
m: tangente do ângulo
que a reta faz com o eixo X
(coeficiente angular)
Geometria Analítica
Equação da reta
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
r
P(xP, yP)
A
𝒅𝑷,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒓: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
Determine a distância do ponto (1, –5) à reta r: 3x – 4y – 3 = 0.
a = 3, b = –4, c = –3
𝒅𝑷,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟑 ∙ 𝒙𝑷 + −𝟒 ∙ 𝒚𝑷 + (−𝟑)
𝟑𝟐 + (−𝟒)𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟑 ∙ 𝟏 + −𝟒 ∙ (−𝟓) + (−𝟑)
𝟑𝟐 + (−𝟒)𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟑
𝟗 + 𝟏𝟔
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟐𝟎
𝟐𝟓
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟐𝟎
𝟓
𝒅𝑷,𝒓 = 𝟒
: Circunferência de centro C e raio r
C(a, b): centro da circunferência
P(x, y): um ponto do plano
P ∈ (C, r) ⇔ dist(P, C) = r
dist(P, C) = 𝒙 − 𝒂 2 + (𝒚 − 𝒃)²
r = 𝒙 − 𝒂 2 + (𝒚 − 𝒃)²
(x – a)² + (y – b)² = r²
(Equação reduzida)
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – r² = 0
(Equação geral)
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – r² = 0
Determine a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 2)² + (y + 3)² = 16
x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16
x² – 4x + y² + 6y – 3 = 0
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
O ponto P é INTERIOR à circunferência
dist(P, C) < r
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
O ponto P PERTENCE à circunferência
dist(P, C) = r
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
O ponto P é EXTERIOR à circunferência
dist(P, C) > r
Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de
equação (x + 1)² + (y + 4)² = 25?
C(-1, -4) e r = 5
d(P, C) = −2 − (−1) 2 + (−3 − −4 )²
d(P, C) = −1 2 + 1²
d(P, C) = 2
Como 2 < 5, o ponto P é interior à circunferência.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
A reta s é SECANTE à circunferência, pois há
dois pontos em comum.
dist(C, s) < r
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
A reta s é TANGENTE à circunferência, pois
há apenas um ponto em comum.
dist(C, s) = r
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
A reta s é EXTERIOR à circunferência, pois
não há pontos em comum.
dist(C, s) > r