Questões geometria EPCAr

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1. (G1 - epcar (Cpcar) 2021) Na figura a seguir, todas as medidas estão em cm. 
 
 
 
A área do trapézio BCDE mede 221cm , e o quadrilátero ABCD é um retângulo. 
 
A medida AH h, em cm, é 
a) 
12
5
 
b) 
5
2
 
c) 
3 2
2
 
d) 
3 2
5
 
 
2. (G1 - epcar (Cpcar) 2021) No retângulo EPCR da figura a seguir, PC 6 cm, RA 3 cm  e 
AC 5 cm. 
 
 
 
O valor de sen cosα α é 
a) 
3 5
5
 
b) 
4 5
5
 
c) 
2 5
5
 
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d) 
5
5
 
 
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2021) Para participar de um concurso no qual serão escolhidos 
mosaicos para a calçada de uma igreja, um artista construiu seu mosaico usando pentágonos 
regulares e losangos dispostos conforme figura a seguir: 
 
 
 
Sabe-se que â e b̂ são ângulos do pentágono regular e do losango, respectivamente. 
Se a soma ˆâ b equivale a x graus, então, quanto ao valor de x pode-se afirmar que é um 
número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) divisível por 7. 
d) múltiplo de 10. 
 
4. (G1 - epcar (Cpcar) 2019) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com 
características matemáticas conforme representado no croqui a seguir. 
 
 
 
Considere que: 
 
1. OA OB OC OD OE OF OG OH R        
2. Os arcos de circunferência » » » » » » » »AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no ponto médio 
de cada uma das cordas AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro 
no ponto O 
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3. 3π  
4. 2 1,4 
 
A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a 
a) 21,4 R 
b) 21,6 R 
c) 21,8 R 
d) 22 R 
 
5. (G1 - epcar (Cpcar) 2019) Considere a figura a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
1. MNST e NPQS são quadrados 
2. MS 4 2 cm 
3.  ˆmed UQS 15  
4. os pontos M, U, S e R estão alinhados. 
 
Sejam 1A a área do triângulo SRQ e 2A a área do triângulo URQ, ambas em 
2cm 
 
O valor de 1
2
A
A
 é 
a) 
2
2
 
b) 
3
3
 
c) 
6
2
 
d) 
6
3
 
 
6. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Considere a figura e os dados a seguir: 
 
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DADOS: 
- O é o circuncentro do triângulo ABC 
- ˆmed(ACD) 50  
- ˆBEC e ˆBDC são retos 
- FG é o diâmetro da circunferência de centro O 
 
A medida do ângulo ˆAFG, em graus, é igual a 
a) 40 
b) 50 
c) 60 
d) 70 
 
7. (G1 - epcar (Cpcar) 2017) Na figura abaixo, tem-se que »DF é um arco de circunferência de 
centro E e raio DE. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
- ADE é um triângulo 
- DE é paralelo a BC 
- BD 7 cm 
- AC 10 cm 
- BC 6 cm 
- ˆACB 120  
- 
1
cos 120
2
   
 
A área do setor circular hachurado na figura, em 2cm , é igual a 
a) 27π 
b) 
27
2
π
 
c) 
9
2
π
 
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d) 3π 
 
8. (G1 - epcar (Cpcar) 2017) Considere duas calçadas r e s, paralelas entre si, a uma 
distância de 6 m uma da outra. 
 
 
 
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram nos pontos A e B definidos na 
calçada s. 
Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10 m da pessoa 
posicionada em A. 
 
Quando a pessoa em A se deslocar para P sobre o segmento AX, a distância que irá separá-
la da pessoa posicionada no ponto B, em metros, será de 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
9. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são 
abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no 
ponto P. Se BC 6 3 km, então CP é, em km, igual a 
a) 6 3 
b)  6 3 3 
c) 9 3 2 
d)  9 2 1 
 
10. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único 
triângulo por vez, usando os 12 palitos sem parti-los. 
Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos isósceles, z 
triângulos equiláteros e w triângulos escalenos. 
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A soma x y z w   é igual a 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Considerando que a área do trapézio é 221cm , podemos escrever que: 
 
 
2
x 2 3x x
21
2
2x 1 x 21
2x x 21 0
  

  
  
 
 
Resolvendo a equação obtemos: 
x 3 ou x 7 2  (não convém) 
 
Considerando x 3, temos a seguinte figura 
 
 
 
No triângulo ABE, temos: 
2 2 2BE 4 3 BE 5 cm
4 3 BE h
12 5h
12
h cm
5
   
  


 
 
Resposta: 
12
cm.
5
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
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No triângulo EPC, temos: 
2 2 2EC 6 8 EC 10    
 
Calculando a área do triângulo AEC, obtemos: 
5 6 10 h
h 3
2 2
 
   
 
No triângulo ERA, temos: 
2 2 2AE 6 3 AE 3 5    
 
EHA ERA (caso H.C.) AÊR .Δ Δ α   
No triângulo ERA, obtemos: 
3 6 3 3 5
sen cos
53 5 3 5 5
α α     
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Considerando que seja a medida do ângulo externo do pentágono regular, temos: 
 
 
 
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360
e 72
5
a 180 72 108
b 180 2 e 180 144 36
a b 144 (quadrado perfeito)

  
     
         
   
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
 
 
2 2 2 2 2AB R R 2 R Rcos45 AB R (2 2) AB 0,6 R          o 
 
Determinando a área 1A , obtemos: 
2
2 2
1
R 45 1
A R R sen 45 R (0,375 0,35) 0,025 R
360 2
π  
           
 
A área 2A será a diferença entre A área do semicírculo de diâmetro AB e a área 1A . 
2
2
2 1
2 2
2
2
2
0,6R
2
A A
2
A 0.225 R 0.025 R
A 0,2 R
π
 
 
 
 
 
 

 
 
Portanto, a área assinalada será: 
2
2A 8 A 1,6 R    
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
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 
ˆUSQ 45 90 135
ˆSUQ 180 135 15 30
ˆQSR 180 135 45 SR QR h
    
       
        
o
 
 
Portanto: 
1
2
1
h h
A h 32 tg30
1A RU 3
RU h
2
 
    
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Se o ângulo BDC é reto, então também é o ângulo CDA. 
Se o ângulo CDA é reto e o ângulo ACD é igual a 50 , então o ângulo DAC é igual a 40 
(pois a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre igual a 180 ). 
Se o ângulo BEC é reto, então também é o ângulo BEA. 
Se o ângulo BEA é reto e o ângulo DAC é igual a 40 , então o ângulo ABF é igual a 50 . 
Se o ângulo ABF mede 50 , então a corda FA mede 100 . 
Se GF é o diâmetro da circunferência então a corda que vai de F até G, passando pelo ponto 
A, mede 180 . 
Se a corda FA mede 100 e a corda que vai de F até G, passando pelo ponto A, mede 
180 , então a corda que vai de A até G mede 80 . Assim, seu respectivo ângulo, AFG, 
medirá 40 . 
 
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Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
 
 
Aplicando o Teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: 
2 2 2
2
2
AB 6 10 2 6 10 cos120
1
AB 136 120
2
AB 196
AB 14 cm
      
 
    
 


 
 
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo: 
AB 6
AB 7 R
14 6
14 7 R
2 6
3 R
R 9 cm






 
 
Calculando agora, a área A do setor circular de raio R, temos: 
2
260 9 81 27A cm
360 6 2
π π π   
  

 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
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Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d a distância entre P e B, podemos 
determinar S de dois modos diferentes. 
10 d 5 6
S ou S
2 2
 
  
 
Portanto, 
10 d 5 6
d 3 m
2 2
 
  Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Com os dados da figura, pode-se escrever: 
BA 3 BA
tg 30 BA 6
3BC 6 3
      
 
Ainda, pelo Teorema de Pitágoras: 
 
22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12         
 
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna: 
 
 
 
 
   
BC BA 6 3 6
72 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3
PC PA PC 12 PC
1 372 3
6 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3
1 3 1 3
            


             
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Considerando a desigualdade triangular, os triângulos possíveis são: 
 
Triângulo equilátero: (4, 4, 4) 
Triângulo isósceles: (5, 5, 2) e (4, 4, 4) 
Triângulo retângulo: (3, 4, 5) 
Triângulo escaleno: (3, 4 e 5) 
 
Portanto, x 1, y 2, z 1   e w 1 e x y z w 5.    
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 02/06/2021 às 11:21 
Nome do arquivo: EPCAR 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 195780 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2021 ...... Múltipla escolha 
 
2 ............. 195782 ..... Elevada ......... Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2021 ...... Múltipla escolha 
 
3 ............. 195781 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2021 ...... Múltipla escolha 
 
4 ............. 184205 ..... Elevada ......... Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2019 ...... Múltipla escolha 
 
5 ............. 184204 ..... Elevada ......... Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2019 ...... Múltipla escolha 
 
6 ............. 172819 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2018 ...... Múltipla escolha 
 
7 ............. 162676 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2017 ...... Múltipla escolha 
 
8 ............. 162673 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2017 ...... Múltipla escolha 
 
9 ............. 142944 ..... Elevada ......... Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2016 ...... Múltipla escolha 
 
10 ........... 120104 ..... Média ............ Matemática ... G1 - epcar (Cpcar)/2013 ...... Múltipla escolha