aula_12_controle

Mecânica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos

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Estabilidade segundo Lyapunov
ENGC65: Sistemas de controle III
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
07 de julho de 2014
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 20
Introdução
Estudo de sistemas não-lineares de segunda ordem
Objetivos da aula de hoje:
Apresentar o conceito de estabilidade de Lyapunov para sistemas
não-lineares autônomos.
Apresentar conceitos como estabilidade local, estabilidade global e
estabilidade assintótica.
Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 20
Revisão
Aula passada
Avaliamos alguns comportamentos de sistemas não-lineares como ciclo
limite e bifurcações.
Estudamos as posśıveis caracteŕısticas de um ponto de equiĺıbrio linear.
Discutimos a respeito da possibilidade de existência de multiplos pontos
de equiĺıbrio;
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 20
Definições
Estabilidade do ponto de equiĺıbrio
Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir
ẋ = f (x), (1)
sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz cont́ınuo e D → Rn um doḿınio
em Rn, possui um ponto de equiĺıbrio na origem (0 = f (0)).
Definição 1
O ponto de equiĺıbrio x = 0 do sistema (1) é:
estável se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
instável se não estável;
assintoticamente estável se é estável e δ pode ser escolhido tal que
||x(0)|| < δ ⇒ lim
t→∞
x(t) = 0.
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 20
Definições
Estabilidade do ponto de equiĺıbrio
Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir
ẋ = f (x), (1)
sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz cont́ınuo e D → Rn um doḿınio
em Rn, possui um ponto de equiĺıbrio na origem (0 = f (0)).
Definição 1
O ponto de equiĺıbrio x = 0 do sistema (1) é:
estável se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
instável se não estável;
assintoticamente estável se é estável e δ pode ser escolhido tal que
||x(0)|| < δ ⇒ lim
t→∞
x(t) = 0.
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 20
Definições
Estabilidade do ponto de equiĺıbrio
Estável se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
Instável se não for estável.
δ
ǫ
Globalmente estável se δ = ∞.
Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 20
Definições
Estabilidade do ponto de equiĺıbrio
Estável se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
Instável se não for estável.
δ
ǫ
Globalmente estável se δ = ∞.
Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 20
Definições
Estabilidade do ponto de equiĺıbrio
Assintóticamente estável se é estável e δ pode ser escolhido tal que
• ||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0
• lim
t→∞
x(t) = 0
δ
ǫ
Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 20
Definições
Pêndulo simples
Exemplo - pêndulo simples:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
x2
− g
l
sen(x1)−
b
m
sen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre é posśıvel achar uma
vizinhança da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Não é
estabilidade assintótica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equiĺıbrio x = 0 é assintoticamente estável.
O ponto de equiĺıbrio x = π é instável.
(Qualquer ǫ > 0, não existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 20
Definições
Pêndulo simples
Exemplo - pêndulo simples:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
x2
− g
l
sen(x1)−
b
m
sen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre é posśıvel achar uma
vizinhança da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Não é
estabilidade assintótica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equiĺıbrio x = 0 é assintoticamente estável.
O ponto de equiĺıbrio x = π é instável.
(Qualquer ǫ > 0, não existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 20
Definições
Pêndulo simples
Exemplo - pêndulo simples:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
x2
− g
l
sen(x1)−
b
m
sen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre é posśıvel achar uma
vizinhança da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Não é
estabilidade assintótica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equiĺıbrio x = 0 é assintoticamente estável.
O ponto de equiĺıbrio x = π é instável.
(Qualquer ǫ > 0, não existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 20
Definições
Pêndulo simples
Exemplo - pêndulo simples:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
x2
− g
l
sen(x1)−
b
m
sen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre é posśıvel achar uma
vizinhança da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Não é
estabilidade assintótica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equiĺıbrio x = 0 é assintoticamente estável.
O ponto de equiĺıbrio x = π é instável.
(Qualquer ǫ > 0, não existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 20
Função de Lyapunov
Definições de funções
Uma função V (x) é:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo doḿınio Rn, diz-se que a função é globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um doḿınio D ⊂ Rn, diz-se que a função é localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 20
Função de Lyapunov
Definições de funções
Uma função V (x) é:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo doḿınio Rn, diz-se que a função é globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um doḿınio D ⊂ Rn, diz-se que a função é localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 20
Função de Lyapunov
Definições de funções
Uma função V (x) é:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo doḿınio Rn, diz-se que a função é globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um doḿınio D ⊂ Rn, diz-se que a função é localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 20
Função de Lyapunov
Definições de funções exemplos
Exemplos:
V (x1, x2) = 2x
2
1 + 3x
2
2 - GDP
V (x1, x2) = −2x
2
1 − 3x
2
2 - GDN
V (x1, x2) = (x1 − x2)
2 - GSDP
V (x1, x2) = −(x1 − x2)
2 - GSDN
V (x1, x2) = x
2
1 - GSDP
V (x1, x2) = −x
2
2 - GSDN
V (x1, x2) = 1− (x
2
1 + x
2
2 ) - LDP
V (x1, x2) = x1x2 - Indefinida
Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 20
Função de Lyapunov
Função candidatade Lyapunov
Seja V (x) uma função continuamente diferenciável dos estados tal que
V : D → R sendo D ⊂ Rn que contém a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetórias dos estados,
representada por V̇ (x), é dada por
V̇ (x) =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
ẋi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
fi (x).
Seja φ(t, x0) a solução de ẋ = f (x) para uma condição inicial x0, então
temos que
V̇ (x) =
d
dt
V (φ(t, x0)).
Notar que se V̇ (x) é definida negativa, então V (x) decresce ao longo do
tempo.
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 20
Função de Lyapunov
Função candidata de Lyapunov
Seja V (x) uma função continuamente diferenciável dos estados tal que
V : D → R sendo D ⊂ Rn que contém a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetórias dos estados,
representada por V̇ (x), é dada por
V̇ (x) =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
ẋi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
fi (x).
Seja φ(t, x0) a solução de ẋ = f (x) para uma condição inicial x0, então
temos que
V̇ (x) =
d
dt
V (φ(t, x0)).
Notar que se V̇ (x) é definida negativa, então V (x) decresce ao longo do
tempo.
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 20
Função de Lyapunov
Função candidata de Lyapunov
Seja V (x) uma função continuamente diferenciável dos estados tal que
V : D → R sendo D ⊂ Rn que contém a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetórias dos estados,
representada por V̇ (x), é dada por
V̇ (x) =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
ẋi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xi
fi (x).
Seja φ(t, x0) a solução de ẋ = f (x) para uma condição inicial x0, então
temos que
V̇ (x) =
d
dt
V (φ(t, x0)).
Notar que se V̇ (x) é definida negativa, então V (x) decresce ao longo do
tempo.
Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 20
Função de Lyapunov
Teorema de Lyapunov
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equiĺıbrio para o sistema ẋ = f (x) e V (x) uma
função continuamente diferenciável nos estados tal que V : D → R , sendo
D ⊂ Rn um doḿınio que contém a origem (x ∈ D).
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V̇ (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, então x = 0 é
um ponto de equiĺıbrio estável.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V̇ (x) < 0, ∀ x 6= 0, então x = 0 é
um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável.
Condição suficiente !!
Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 20
Função de Lyapunov
Teorema de Lyapunov
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equiĺıbrio para o sistema ẋ = f (x) e V (x) uma
função continuamente diferenciável nos estados tal que V : D → R , sendo
D ⊂ Rn um doḿınio que contém a origem (x ∈ D).
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V̇ (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, então x = 0 é
um ponto de equiĺıbrio estável.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V̇ (x) < 0, ∀ x 6= 0, então x = 0 é
um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável.
Condição suficiente !!
Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 20
Função de Lyapunov
Teorema de Lyapunov
Exemplo - ponto de equiĺıbrio não hiperbólico:
[
ẋ1
ẋ2
]
=
[
−x2 − x
3
1
x1 − x
3
2
]
Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 20
Função de Lyapunov
Teorema de Barbashin-Krasovskii
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equiĺıbrio para o sistema ẋ = f (x). Seja
V : Rn → R uma função continuamente diferenciável nos estados.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0, V̇ (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0 e
||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞ então x = 0 é um ponto de equiĺıbrio
globalmente estável.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V̇ (x) < 0, ∀ x 6= 0
||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞, então x = 0 é um ponto de equiĺıbrio
globalmente assintoticamente estável.
Não é válido apenas para um doḿınio local.
Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 20
Sumário
1 Introdução
2 Revisão
3 Definições
4 Função de Lyapunov
5 Comentários Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 20
Comentários Finais
Nesta aula apresentou-se o critério de estabilidade de Lyapunov.
Na próxima aula discutiremos sobre:
Estabilidade de Lyapunov - particularização para o caso linear;
Discussão sobre o prinćıpio da invariância.
Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 20
	Introdução
	Revisão
	Definições
	Função de Lyapunov
	Comentários Finais