Exercícios Resolvidos: Integrais Definidas

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
Unidade III – Atividade II 
 
(U3 – A1) Calcule as integrais definidas: 
 
𝐚) ∫
𝒅𝒙
(𝟑 − 𝟓𝒙)𝟐
𝟐
𝟏
 
 
∫
𝑑𝑥
(3 − 5𝑥)2
2
1
= ∫
1
(3 − 5𝑥)2
2
1
𝑑𝑥 
 
Calculando a integral indefinida ∫
𝑑𝑥
(3 − 5𝑥)2
𝑑𝑥: 
 
Usando 𝑑𝑥 =
1
𝑢′
𝑑𝑢, com 𝑢 = 3 − 5𝑥 e 𝑢′ = −5, temos 
 
∫
1
(3 − 5𝑥)2
.
1
−5
𝑑𝑢 ⇒ ∫ −
1
5(3 − 5𝑥)2
𝑑𝑢 ⇒ ∫ −
1
5𝑢2
𝑑𝑢 ⇒ ∫ −
1
5
.
1
𝑢2
𝑑𝑢 ⇒ −
1
5
∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 
 
= −
1
5
. (−
1
𝑢
) = −
1
5
. (−
1
3 − 5𝑥
) =
1
5(3 − 5𝑥)
=
1
15 − 25𝑥
+ 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ 
 
Voltando à integral definida: 
 
∫
𝑑𝑥
(3 − 5𝑥)2
2
1
=
1
15 − 25𝑥
|
1
2
=
1
15 − 25.2
−
1
15 − 25.1
=
1
15 − 50
−
1
15 − 25
 
 
=
1
−35
−
1
−10
=
𝟏
𝟏𝟒
 
 
 
 
 
 
 
𝐛) ∫
𝐥𝐧 𝒙
𝒙
𝒆
𝟏
𝒅𝒙 
 
Calculando a integral indefinida ∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥: 
 
Usando 𝑑𝑥 =
1
𝑢′
𝑑𝑢, com 𝑢 = ln 𝑥 e 𝑢′ =
1
𝑥
, temos 
 
∫
ln 𝑥
𝑥
.
1
1
𝑥
𝑑𝑢 ⇒ ∫
ln 𝑥
𝑥
. 𝑥 𝑑𝑢 ⇒ ∫ ln 𝑥 𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑢 𝑑𝑢 
 
=
𝑢2
2
=
ln 𝑥2
2
+ 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ 
 
Voltando à integral definida: 
 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑒
1
=
ln 𝑥2
2
|
1
𝑒
=
ln 𝑒2
2
−
ln 12
2
=
12
2
−
02
2
=
1
2
−
0
2
=
1
2
− 0 =
𝟏
𝟐