As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões definidas no espaço cartesiano. Para o cálculo desse tipo de ...

Para calcular a integral tripla da função f(x, y, z) sobre a região de integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1], podemos utilizar as técnicas de integração iterada. Vamos calcular a integral passo a passo: ∫∫∫R f(x, y, z) dV Primeiro, vamos integrar em relação a x, mantendo y e z constantes: ∫[0,1] ∫[2,3] ∫[-1,1] (2x - y + 4z) dx dy dz Integrando em relação a x, temos: ∫[0,1] (x^2 - xy + 4zx) |[2,3] [-1,1] dy dz Agora, vamos integrar em relação a y, mantendo z constante: ∫[0,1] [(3^2 - 3y + 4z(3)) - (2^2 - 2y + 4z(2))] [-1,1] dz Simplificando, temos: ∫[0,1] (9 - 3y + 12z - 4 - 2y + 8z) [-1,1] dz Agora, vamos integrar em relação a z: ∫[0,1] (9 - 3y + 12z - 4 - 2y + 8z) dz Integrando, temos: [9z - (3y/2)z^2 + 6z^2 - 4z - 2yz + 4z^2] |[0,1] Substituindo os limites de integração, temos: [9 - (3y/2) + 6 - 4 - 2y + 4] - [0 - 0 + 0 - 0 - 0 + 0] Simplificando, temos: 9 - (3y/2) + 6 - 4 - 2y + 4 Agora, vamos integrar em relação a y: ∫[2,3] (9 - (3y/2) + 6 - 4 - 2y + 4) dy Integrando, temos: [9y - (3y^2/4) + 6y - 4y - (y^2/2) + 4y] |[2,3] Substituindo os limites de integração, temos: [27 - (27/4) + 18 - 4 - (9/2) + 12] - [18 - (18/4) + 12 - 4 - (4/2) + 8] Simplificando, temos: 27 - (27/4) + 18 - 4 - (9/2) + 12 - 18 + (18/4) - 12 + 4 + (4/2) - 8 Finalmente, calculando essa expressão, encontramos o resultado da integral tripla da função f(x, y, z) sobre a região de integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1].