6 Grafo de fluxo de sinais

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Gráfico/Grafo de Fluxo de Sinais (GFS)
Prof. Harold Mello
harold.uerj@gmail.com
UERJ
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas Físicos
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Gráfico de fluxo de sinais (GFS)
• Método alternativo ao diagrama de blocos para
representação gráfica da dinâmica de sistemas de
controle.
• Ambas as técnicas apresentam as mesmas informações
e nenhuma é superior à outra sob qualquer aspecto.
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Gráfico de fluxo de sinais (GFS)
• Representa um conjunto de equações algébricas lineares
simultâneas.
• Inicialmente, as equações algébricas lineares devem ser
transformadas em equações algébricas em s.
• É uma rede na qual os nós são diretamente conectados por
ramos.
• Cada nó representa uma variável do sistema e cada ramo
funciona como multiplicador do sinal.
• O fluxo de sinais ocorre em um única direção, a qual é indicada
por uma seta colocada no ramo.
• O fator de multiplicação é indicado ao longo do ramo.
• A fórmula de ganho de Mason poderá ser utilizada para obter a
relação entre as variáveis sem a necessidade de redução do
gráfico.
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Definições
• Nó: É um ponto que representa uma variável ou sinal.
• Transmitância: É o ganho real ou complexo entre dois nós. Tais
ganhos podem ser expressos em termos de funções de
transferência entre dois nós.
• Ramo: É um segmento direcionado unindo dois nós.
• Nó de entrada ou fonte: É um nó que contém somente ramos de
saída. Isso corresponde a uma variável independente.
• Nó de saída ou sorvedouro: É um nó que contém somente ramos
que chegam. Isso corresponde a uma variável dependente.
• Nó misto: É aquele que possui tanto ramos de saída quanto de
chegada.
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Definições
• Caminho: É um percurso através dos ramos no sentido das setas
dos ramos.
 Caminho aberto: Se nenhum nó for atravessado mais de uma vez.
 Caminho fechado (ou malha): Se o caminho terminar no mesmo nó
que começou e não passar por nenhum nó mais de uma vez.
• Ganho da malha: É o produto das transmitâncias dos ramos da
malha.
• Malhas que não se tocam: São aquelas que não têm qualquer nó
em comum.
• Caminho de avanço: É o caminho que se inicia no nó de entrada
(fonte) e termina no nó de saída (sorvedouro) sem passar por um
mesmo nó mais de uma vez.
• Ganho do caminho de avanço: É o produto das transmitâncias de
seus ramos.
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Exemplo de GFS
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Propriedades dos GFSs
• Um ramo indica a dependência funcional de um sinal
em relação ao outro. Um sinal percorre o ramo somente
na direção especificada pela seta do ramo.
• Um nó soma os sinais de todos os ramos que chegam e
transmite essa soma a todos os ramos que partem.
• Um nó misto pode ser considerado como um nó de
saída pela adição de um ramo de saída com
transmitância unitária. Entretanto, não é possível mudar
um nó misto para um nó fonte.
• Para um dado sistema, o gráfico de fluxo de sinais não
é único.
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Álgebra dos GFSs
• Em geral, colocam-se os nós de entrada (fontes) à
esquerda e os de saída (sorvedouros) à direita.
• Variáveis independentes e dependentes tornam-se nós
de entrada e saída, respectivamente
• As transmitâncias dos ramos podem ser obtidas pelos
coeficientes das equações.
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Regra 1
• O valor de um nó com um ramo de entrada é 𝑥2 = 𝑎𝑥1.
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Regra 2
• A transmitância resultante dos ramos em cascata é igual
ao produto das transmitâncias de todos os ramos.
Assim, os ramos em cascata podem ser reduzidos a um
único ramo, pela manipulação das transmitâncias.
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Regra 3
• Ramos em paralelo podem ser reduzidos pela adição
das transmitâncias.
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Regra 4
• Um nó misto pode ser eliminado.
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Regra 5
• Uma malha pode ser eliminada, de acordo com a figura.
Note que:
𝑥3 = 𝑏𝑥2, 𝑥2= 𝑎𝑥1 + 𝑐𝑥3
• Então, 𝑥3 = 𝑎𝑏𝑥1 + 𝑏𝑐𝑥3 ou 𝑥3 =
𝑎𝑏
1−𝑏𝑐
𝑥1
• A equação corresponde a um diagrama que contém uma
automalha de transmitância 𝑏𝑐. A eliminação do
ramo-malha resulta na equação que mostra claramente que a
transmitância resultante é
𝑎𝑏
1−𝑏𝑐
.
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Representação de sistemas lineares por GFSs
• O gráfico pode ser traçado a partir das equações do sistema,
ou, com a prática, podem ser traçados pelo exame do
sistema físico.
• Exemplo:
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + 𝑏1𝑢1
𝑥2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + 𝑏2𝑢2
𝑥3 = 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3
𝑢1 e 𝑢2 são variáveis de entrada
𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 são variáveis de saída
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Exemplo(1)
• Primeiro, localize os nós 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3.
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + 𝑏1𝑢1
𝑥2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + 𝑏2𝑢2
𝑥3 = 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3
𝑎𝑖𝑗 é a transmitância entre 𝑥𝑗 e 𝑥𝑖
𝑥1 é igual à soma dos quatro sinais 𝑎11𝑥1, 𝑎12𝑥2, 𝑎13𝑥3 e 𝑏1𝑢1
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Exemplo(2)
• 𝑥2 é igual à soma de 𝑎21𝑥1, 𝑎22𝑥2, 𝑎23𝑥3 e 𝑏2𝑢2
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + 𝑏1𝑢1
𝑥2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + 𝑏2𝑢2
𝑥3 = 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3
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Exemplo(3)
𝑥1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + 𝑏1𝑢1
𝑥2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + 𝑏2𝑢2
𝑥3 = 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3
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Exemplo(4)
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O ganho
• O ganho geral a partir de uma entrada para uma saída
pode ser obtido diretamente do gráfico de fluxo de
sinais por:
 Inspeção
 Uso da fórmula de Mason
 Redução do gráfico de fluxo de sinais a uma forma mais
simplificada
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GFS para sinais de controle(1)
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
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GFS para sinais de controle(2)
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
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GFS para sinais de controle(3)
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
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GFS para sinais de controle(4)
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
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Fórmula de ganho de Mason para GFS(1)
𝑃 =
1
∆
 
𝑘
𝑃𝑘∆𝑘
𝑃𝑘 = ganho do caminho ou transmitância do caminho direto de ordem 𝑘
∆ = determinante do gráfico
= 1 − (soma dos ganhos individuais de todas as malhas)
 
𝑎
𝐿𝑎
+ (soma dos produtos dos ganhos de todas as combinações
possíveis de duas malhas que não se tocam)
 
𝑏,𝑐
𝐿𝑏𝐿𝑐
− (soma dos produtos dos ganhos de todas as combinações
possíveis de três malhas que não se tocam) +⋯
 
𝑑,𝑒,𝑓
𝐿𝑑𝐿𝑒𝐿𝑓
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Fórmula de ganho de Mason para GFS(2)
𝑃 =
1
∆
 
𝑘
𝑃𝑘∆𝑘
𝑃𝑘 = ganho do caminho ou transmitância do caminho direto de ordem 𝑘
∆ = determinante do gráfico
= 1 − 
𝑎
𝐿𝑎 + 
𝑏,𝑐
𝐿𝑏𝐿𝑐 − 
𝑑,𝑒,𝑓
𝐿𝑑𝐿𝑒𝐿𝑓 +⋯
∆𝑘 = cofator do determinante do k-ésimo caminho direto do gráfico, de
onde foram removidas todas as malhas que tocam esse k-ésimo
caminho direto, isto é, o cofator ∆𝑘 é obtido a partir de ∆ pela
remoção de malhas que tocam o caminho 𝑃𝑘
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Exemplo 1(1)
• Considere o gráfico de fluxo de sinais de um sistema a
seguir. Vamos obter a função de transferência de malha
fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) pelo uso da fórmula de ganho de
Mason.
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Exemplo 1(2)
• Como as três malhas têm um nó em comum, não
existem malhas que não se tocam.
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Exemplo 1(3)
• O cofator ∆1 do determinante ao longo do caminho
direto, que conecta o nó de entrada e o nó de saída, é
obtido a partir de ∆ pela remoção de malhas que tocam
esse caminho. Como o caminho 𝑃1 toca todas as três
malhas, obtemos:
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Exemplo 2(1)
• Considere o sistema da figura seguinte. Obtenha a função de
transferência de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) pelo uso da fórmula
de ganho de Mason.
• Nesse sistema existem 3 caminhos diretos entre a entrada 𝑅 𝑠 e
a saída 𝐶 𝑠 .
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Exemplo 2(2)
• Existem quatro malhas individuais, cujos ganhos são:
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Exemplo 2(3)
• A malha 𝐿1 não toca a malha 𝐿2. Então, o determinante ∆ é dado
por:
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Exemplo 2(4)
• O cofator ∆1 é obtido a partir de ∆ pela remoção das malhas que tocam
o caminho 𝑃1. Assim, pela remoção de 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3, 𝐿4, 𝐿1𝐿2 da equação,
obtemos:
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Exemplo 2(5)
• O cofator ∆3 é obtido pela remoção de 𝐿2, 𝐿3, 𝐿4 e 𝐿1𝐿2 da equação,
resultando em:
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Exemplo 2(6)
• A função de transferência de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) é, então:
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Exercício 1(1)
• Encontre a função de transferência 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) para o
gráfico de fluxo de sinal abaixo:
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.