3 Modelos matemáticos e equações diferenciais

Prévia do material em texto

Modelos matemáticos 
e equações diferenciais
Prof. Harold Mello
harold.uerj@gmail.com
UERJ
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas Físicos
Análise de Sistemas Físicos
2
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Projeto e análise de sistemas de controle
Modelos matemáticos de sistemas físicos são
elementos-chave no projeto e análise de
sistemas de controle
O modelo matemático de um dado sistema é
sempre uma aproximação do comportamento
real do mesmo
O modelo de um sistema não é único:
simplicidade x precisão
Análise de Sistemas Físicos
3
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Classificação dos sistemas:
Causais x não-causais
Estáticos x dinâmicos
Estocásticos x determinísticos
Parâmetros concentrados x parâmetros
distribuídos
Lineares x não lineares
Variantes no tempo x invariantes no tempo
Contínuos x discretos
Análise de Sistemas Físicos
4
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Em ASF estudaremos sistemas:
Causais
Dinâmicos
Determinísticos
Parâmetros concentrados
Lineares
 Invariantes no tempo
Contínuos
Análise de Sistemas Físicos
5
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Projeto e análise de sistemas de controle
Aproximações frequentemente utilizadas:
Desprezar pequenos efeitos (reduz o número de variáveis)
 Reduzir sinais externos (distúrbios)
Utilizar parâmetros concentrados e invariantes no tempo
 Linearizar
Sistemas físicos de interesse são dinâmicos e
são descritos por equações diferenciais.
Análise de Sistemas Físicos
6
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Projeto e análise de sistemas de controle
Extraído de: MAYA, P. A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
7
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Equações diferenciais
As equações diferenciais são obtidas através
do uso das leis físicas do processo
Sistematização do processo de modelagem de
sistemas: definição de variáveis generalizadas
de esforço e de fluxo.
Análise de Sistemas Físicos
8
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Equações diferenciais
A equação diferencial de um sistema de
enésima ordem é escrita como:
𝑑𝑛𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑥 𝑡
𝑑𝑡𝑛−1
+⋯+ 𝑎1
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡
Se os coeficientes 𝑎0, 𝑎1𝑎𝑛−1 não forem
função de 𝑦 𝑡 , tem-se uma equação
diferencial ordinária linear (EDOL).
Análise de Sistemas Físicos
9
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Equações diferenciais
Muitos sistemas físicos são não lineares, sendo
descritos por equações diferenciais não
lineares. Exemplo: equação que descreve o
pêndulo simples de massa 𝑚 e comprimento
ℓ:
𝑚ℓ
𝑑2𝜃 𝑡
𝑑𝑡2
+𝑚𝑔sen𝜃 𝑡
 𝜃 𝑡 aparece na forma de uma função senoidal
Análise de Sistemas Físicos
10
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Equações diferenciais
 Se o modelo matemático for relativamente simples,
como no caso de uma EDOL, devemos preferir uma
solução analítica, a qual é exata.
 Se o modelo for mais complicado, como no caso de
uma equação diferencial não-linear, podemos apelar
para uma solução numérica, a qual é aproximada.
 No entanto, neste curso, trataremos com EDOL
exclusivamente.
Análise de Sistemas Físicos
11
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Etapas da modelagem de sistemas
dinâmicos:
1. Definir o sistema e seus componentes
2. Formular o modelo matemático e as principais
hipóteses
3. Obter as equações diferenciais descritivas do modelo
4. Resolver as eq. diferenciais para as variáveis desejadas
de saída
5. Examinar as soluções e hipóteses
6. Se necessário, analisar ou projetar o sistema
novamente.
Análise de Sistemas Físicos
12
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Classificação das variáveis físicas
Variável-através (fluxo): representa uma
grandeza física que mensura a transmissão de
algo através de um elemento do sistema.
Exemplo: corrente elétrica que flui através de um
elemento do sistema elétrico
Variável-entre (esforço): representa uma
grandeza física que mensura a diferença entre as
extremidades de um elemento de um sistema
físico. Exemplo: queda de tensão em um resistor
Análise de Sistemas Físicos
13
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Classificação das variáveis físicas
Sistema Variável-através Variável-entre
Elétrico Corrente (i) Diferença de tensão (v21)
Mecânico Translacional Força (F) Diferença de velocidade (v21)
Mecânico Rotacional Torque (T) Diferença de velocidade angular (21)
Fluídico Vazão volumétrica (Q) Diferença de pressão (P21)
Térmico Fluxo térmico (q) Diferença de temperatura (T21)
Análise de Sistemas Físicos
14
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Classificação energética dos sistemas
físicos
Manipuladores de energia
 Energia é processada de acordo com a
característica física intrínseca a cada um:
de armazenamento capacitivo
de armazenamento indutivo
dissipador de energia
Análise de Sistemas Físicos
15
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Resumo de equações descritivas de
elementos dinâmicos com parâmetros
concentrados
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
16
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo: 
Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
17
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo: 
Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
18
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Sistemas mecânicos são aqueles compostos por
massas, molas, amortecedores e transmissões. A
análise de sistemas mecânicos envolve
praticamente dois tipos distintos de movimentos:
translacional e rotacional.
• O equacionamento do sistema pode ser realizado
de acordo com as Leis de Newton. Assim,
sistemas mecânicos estarão associados a forças
(quando translacionais) e torques (quando
rotacionais).
Análise de Sistemas Físicos
19
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Elementos de um sistema mecânico:
 Massa (ou inércia)
 Mola
 Amortecedor
• Graus de liberdade (GL): número mínimo de
coordenadas independentes que descrevem
completamente o movimento de todos os
elementos do sistema.
 Num de GL do sistema =
Num de massas x Num de GL de cada massa
Análise de Sistemas Físicos
20
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Sist mecânico translacional com 2 graus de liberdade:
• Sist mecânico rotacional com 3 graus de liberdade:
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo:
LTC Editora, 2012.
Análise de Sistemas Físicos
21
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Elementos translacionais:
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo:
LTC Editora, 2012.
Análise de Sistemas Físicos
22
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Elementos mecânicos rotacionais são elementos
forçados a girar em torno de um eixo.
• Em sistemas mecânicos translacionais,
realizamos a análise através do equilíbrio de
forças. Neste caso, em elementos girantes,
devemos levar em consideração o torque
associado aos elementos
Análise de Sistemas Físicos
23
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Elementos rotacionais:
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo:
LTC Editora, 2012.
Análise de Sistemas Físicos
24
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 1: Obtenha um modelo
matemático que represente o sistema
mecânico translacional massa-mola-
amortecedor:
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
25
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Somando as forças agindo sobre M e
utilizando a segunda lei de Newton, resulta
em:
𝑀
𝑑2𝑦 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑦𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑟 𝑡 (1)
Análise de Sistemas Físicos
26
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 2: Faça o mesmo para o circuito
seguinte:
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
27
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff,
obtém-se a seguinte equação íntegro-
diferencial:
𝑣 𝑡
𝑅
+ 𝐶
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐿
 
0
𝑡
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑡 (2)
• Em termos do fluxo magnético, 𝑣 𝑡 = 𝑑∅ 𝑡
𝑑𝑡
:
𝐶
𝑑2∅ 𝑡
𝑑𝑡2
+
1
𝑅
𝑑∅ 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐿
∅ 𝑡 = 𝑟 𝑡 (3)
Análise de Sistemas Físicos
28
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Resolvendo a equação (2), obtém-se a
resposta dinâmica do sistema:
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
29
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• As equações (1) e (3) que descrevem os
dois sistemas anteriores são equivalentes:
Variáveis e sistemas análogos
 Técnica muito útil para modelagem de sistemas
Analogia força-corrente é uma analogia natural
porque relaciona variáveis-através e
variáveis-entre dos sistemas elétrico e mecânico.
Análise de Sistemas Físicos
30
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Analogia força-corrente (segundo tipo):
D
𝑦 𝑡
Análise de Sistemas Físicos
31
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 3: Circuito RLC série
Análise de Sistemas Físicos
32
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Tem-se:
• Escrevendo em termos da carga elétrica,
𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
:
𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 𝑡 +
1
𝐶
 𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡
𝐿
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 𝑡 = 𝑣 𝑡 (4)
Análise de Sistemas Físicos
33
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• A equação diferencial para o sistema
elétrico RLC série:
• E para o sistema mecânico anterior:
𝑀
𝑑2𝑦 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑟 𝑡 (1)
• Sistemas com analogia força-tensão elétrica
𝐿
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 𝑡 = 𝑣 𝑡 (4)
Análise de Sistemas Físicos
34
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Outra analogia frequentemente utilizada é a
analogia força-tensão elétrica (primeiro
tipo).
D
𝑦 𝑡
 𝑦 𝑡
Análise de Sistemas Físicos
35
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Conversão de um sistema mecânico para um sistema
elétrico utilizando a analogia força-corrente:
1. Cada massa do sistema mecânico é substituída por um capacitor no
sistema elétrico análogo. Todos estes capacitores, que representam as
massas, são aterrados. A tensão inicial nestes capacitores é igual à
velocidade inicial das massas no sistema mecânico.
2. Encontram‐se os análogos elétricos dos componentes mecânicos
restantes: molas são substituídas por indutores e amortecedores são
substituídos por resistores.
3. As ligações entre os componentes elétricos são realizadas, observando‐se
como o análogo mecânico está ligado aos demais elementos mecânicos.
Por exemplo, se uma mola está ligada a duas massas, no análogo elétrico
o indutor análogo da mola deve estar conectado aos capacitores análogo
das massas.
4. As fontes de corrente representando as forças no sistema mecânico são
incluídas no diagrama elétrico.
Análise de Sistemas Físicos
36
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 4:
 Obtenha o sistema elétrico análogo (força-corrente)
ao sistema mecânico mostrado na figura a seguir:
Análise de Sistemas Físicos
37
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Solução:
 Passo 1: associar a cada uma das massas um capacitor aterrado.
Cada um dos capacitores estará carregado com uma tensão que é
igual a velocidade da massa correspondente associada.
Análise de Sistemas Físicos
38
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Solução:
 Passo 2: substituir os outros componentes mecânicos pelos
componentes elétricos. As molas têm indutores no diagrama
elétrico análogo e os amortecedores e atritos possuem
resistores.
Análise de Sistemas Físicos
39
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Solução:
 Passo 3: cada um dos componentes elétricos é conectado para
formar o análogo elétrico.
Análise de Sistemas Físicos
40
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Solução:
 Análogo elétrico do sistema mecânico. O comportamento do
sistema mecânico pode ser determinado com os resultados da
simulação do circuito análogo.
Análise de Sistemas Físicos
41
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Conversão de um sistema mecânico para um sistema
elétrico utilizando a analogia força-tensão elétrica:
1. Cada bloco móvel do sistema mecânico (massa) dá origem ao mesmo
número de malhas do circuito análogo.
2. Os elementos (não rígidos) que interligam os blocos correspondem às
componentes comuns do circuito às malhas vizinhas
3. Os demais elementos do sistema, que atuam sobre cada um dos blocos,
são representados no circuito por componentes análogos dos ramos
pertencentes a uma única malha.
4. No caso de existirem no sistema mecânico pontos móveis com
velocidades próprias que possuem massas desprezíveis, tais pontos darão
origem a malhas que não possuem a indutância própria dos blocos
rígidos.
5. Alternativamente, o circuito de analogia força-tensão pode ser obtido a
partir do dual do circuito análogo força-corrente, se este já for conhecido.
Análise de Sistemas Físicos
42
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 5:
 Obtenha o sistema elétrico análogo (força-tensão) ao
sistema mecânico mostrado na figura a seguir:
Extraído de: MAYA, P. A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
43
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Solução:
 Na primeira malha do circuito análogo, uma tensão e(t) proveniente
de um gerador que é análogo à força aplicada f(t), um indutor L1
análogo à massa do bloco M1, e um resistor R1 análogo ao atrito com
o solo, um capacitor C1 comum às duas malhas e análogo à mola de
interligação K2, e um resistor R2 análogo à resistência viscosa do
amortecedor. Note que o ponto x2 dá origem à segunda malha que
não possui indutância própria.
Extraído de: MAYA, P. A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
44
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Analogia entre circuitos elétricos: dualidade
𝐶
𝑑2∅ 𝑡
𝑑𝑡2
+
1
𝑅
𝑑∅ 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐿
∅ 𝑡 = 𝑟 𝑡 (RLC paralelo) (3)
𝐿
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 𝑡 = 𝑣 𝑡 (RLC série) (4)
• Existe correspondência entre parâmetros e variáveis
destes circuitos (tabela de dualidade).
• A equação de um circuito tipo série, obtida por análise
de malhas, pode dar origem à equação do circuito
paralelo (dual), analisado pelo método dos nós, através
da substituição da notação da tabela de dualidade.
Análise de Sistemas Físicos
45
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Analogia entre circuitos elétricos: dualidade
Análise de Sistemas Físicos
46
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 6
 Construa o dual do circuito
da figura ao lado e escreva as
equações de análise de
malhas. Usando a tabela de
dualidade, escreva as
equações de análise nodal do
circuito dual e, a partir dessas
equações, desenhe o circuito
dual. Procure estabelecer uma
regra que permita desenhar o
circuito dual diretamente,
sem recorrer às equações.
Extraído de: (Exemplo 2.3) MAYA, P. A,
LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
47
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 6
 Equações de análise de malhas:
𝑢1 = 𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+ 𝑅1𝑖1 +
1
𝐶3
 0
𝑡
𝑖1𝑑𝑡 + 𝑅𝑖1 − 𝑅𝑖2 (Malha 1)
𝑢2 = 𝑅𝑖2 − 𝑅𝑖1 + 𝑅2𝑖2 + 𝐿2
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
(Malha 2)
 Usando a tabela da dualidade:
𝑗1 = 𝐶1
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
+ 𝐺1𝑣1 +
1
𝐿3
 0
𝑡
𝑣1𝑑𝑡 + 𝐺𝑣1 − 𝐺𝑣2 (Nó 1)
𝑗2 = 𝐺𝑣2 − 𝐺𝑣1+ 𝐺2𝑣2 + 𝐶2
𝑑𝑣2
𝑑𝑡
(Nó 2)
Análise de Sistemas Físicos
48
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 6
 Coloca-se dentro de cada malha interna um nó independente do
circuito dual.
 Envolvendo-se o circuito dado, tem-se o nó de referência ligado à
terra do circuito.
 Conecta-se cada nó independente ao nó de referência com ramos que
atravessam cada componente do circuito dado.
 Cada um desses ramos deve conter o elemento dual correspondente.
 A seguir, interligam-se os nós independentes entre si com o mesmo
número de ramos quanto de componentes comuns às duas malhas
vizinhas.
 Cada uma dessas ligações deve conter o elemento dual do componente
correspondente.
Análise de Sistemas Físicos
49
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 6
Extraído de: (Exemplo 2.3) MAYA, P. A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
50
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exemplo 6
 Circuitos duais:
Extraído de: (Exemplo 2.3) MAYA, P. A, LEONARDI, F. Controle Essencial. 2ª ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2014.
Análise de Sistemas Físicos
51
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Analogia entre circuitos elétricos e sistemas
mecânicos de rotação
Modificado de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
𝐶
𝑑2∅ 𝑡
𝑑𝑡2
+
1
𝑅
𝑑∅ 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐿
∅ 𝑡 = 𝑟 𝑡 RLC paralelo (3)
𝐿
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 𝑡 = 𝑣 𝑡 (RLC série) (4)
𝐽
𝑑2𝜃 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝐷
𝑑𝜃 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝐾𝜃 𝑡 = 𝑇 𝑡 (sist. mec. com 1 grau de liberd. ) (5)
Análise de Sistemas Físicos
52
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Engrenagens ideais
 Engrenagens permitem o casamento entre o sistema de acionamento:
velocidade x carga.
 Uma engrenagem de entrada com raio r1 e N1 dentes é girada de um ângulo
θ1(t) devido a um torque, T1(t). Uma engrenagem de saída com raio r2 e N2
dentes responde girando de um ângulo θ2(t) e fornecendo um torque, T2(t).
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
Análise de Sistemas Físicos
53
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Engrenagens ideais
 À medida que as engrenagens giram, a distância percorrida ao longo da
circunferência de cada engrenagem é a mesma:
𝑟1𝜃1 = 𝑟2𝜃2
 Como a razão entre os números de dentes ao longo das circunferências está
na mesma proporção que a razão entre os raios, então:
𝜃2
𝜃1
=
𝑟1
𝑟2
=
𝑁1
𝑁2
 Se as engrenagens forem sem perdas, a energia que entra na engrenagem 1
é a mesma que sai na engrenagem 2. Deste modo:
𝑇1𝜃1 = 𝑇2𝜃2
 Relacionando as equações anteriores:
𝑇2
𝑇1
=
𝜃1
𝜃2
=
𝑁2
𝑁1
Análise de Sistemas Físicos
54
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Engrenagens ideais
 Impedâncias mecânicas podem ser refletidas da saída para a entrada,
eliminando assim as engrenagens:
𝐽
𝑑2𝜃2 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝐷
𝑑𝜃2 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝐾𝜃2 𝑡 = 𝑇2 𝑡
 Convertendo 𝑇2 𝑡 em um 𝑇1 𝑡 equivalente e 𝜃2 𝑡 em um 𝜃1 𝑡
equivalente:
𝐽
𝑁1
𝑁2
2
𝑑2𝜃1 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝐷
𝑁1
𝑁2
2
𝑑𝜃1 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝐾
𝑁1
𝑁2
2
𝜃1 𝑡 = 𝑇1 𝑡
𝑁2
𝑁1
Análise de Sistemas Físicos
55
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Analogia elétrica de engrenagens ideais
 Qual dispositivo de circuito elétrico satisfaz equações análogas às das
engrenagens?
𝜔2
𝜔1
=
𝑁1
𝑁2
⟷
𝑖2
𝑖1
=
𝑁1
𝑁2
𝑇1
𝑇2
=
𝑁1
𝑁2
⟷
𝑣1
𝑣2
=
𝑁1
𝑁2
 Resposta: transformador ideal, isento de perdas e de dispersão magnética,
no qual N1 em N2 são o número de espiras nos enrolamentos primário e
secundário, respectivamente.
Extraído de: NISE, N. N. Engenharia de Sistemas de Controle. 6a edição São Paulo: LTC
Editora, 2012.
Análise de Sistemas Físicos
56
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exercício 1:
 Obtenha um conjunto de equações íntegro-
diferenciais simultâneas representando o
circuito:
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
57
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exercício 2:
 Um amortecedor de vibrações dinâmicas é mostrado a seguir. Este sistema
é representativo de muitas situações envolvendo a vibração de máquinas
contendo componentes desbalanceados. Os parâmetros 𝑀2 e 𝑘12 podem
ser escolhidos de tal modo que a massa principal 𝑀1 não vibre em regime
permanente quando 𝐹 𝑡 = 𝑎sen 𝜔𝑜𝑡 . Obtenha: (1) as equações íntegro-
diferenciais que descrevem o sistema e (2) o circuito elétrico com a
analogia força-corrente.
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H.
Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
58
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exercício 3:
 Um sistema massa-mola acoplado é mostrado a
seguir. As massas e as molas são supostas iguais.
Obtenha: (1) as equações íntegro-diferenciais que
descrevem o sistema e (2) o circuito elétrico usando a
analogia força-corrente:
Extraído de: DORF, R. C.,
BISHOP, R. H. Sistemas de
Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
Análise de Sistemas Físicos
59
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exercício 4:
 Obtenha o sistema elétrico análogo ao sistema
mecânico mostrado na figura a seguir:
a) Usando analogia força-tensão
b) Usando analogia força-corrente
Análise de Sistemas Físicos
60
Prof. Harold Mello
Modelos matemáticos
• Exercício 5:
 Obtenha o sistema elétrico análogo ao sistema
mecânico abaixo:
a) Usando analogia força-tensão