Introducao a Analise no Rn

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Curso de Especializac¸a˜o em Matema´tica
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Campo Moura˜o
Disciplina: Ana´lise no IRn
Professor Me. Ma´rcio Hiran Simo˜es
UTFPR - Campo Moura˜o
Junho de 2010
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Topolo´gicas do Espac¸o
Euclidiano
1.1 Me´trica, Norma e Produto Interno
Definic¸a˜o 1.1 Dado um conjunto na˜o-vazio M , uma me´trica em M e´ uma func¸a˜o
d : M ×M −→ IR satisfazendo:
(d1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0⇐⇒ x = y, ∀x, y ∈M.
(d2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈M.
(d3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈M.
Nessas condic¸o˜es dizemos que o par (M,d) e´ um espac¸o me´trico.
Definic¸a˜o 1.2 Dado E um espac¸o vetorial real, uma norma em E e´ uma aplicac¸a˜o
‖ · ‖ : E −→ IR satisfazendo as seguintes propriedades:
(N1) ‖x‖ > 0 se x 6= 0, ∀x ∈ E.
(N2) ‖λx‖ = |λ|‖x‖, ∀λ ∈ IR, ∀x ∈ E.
(N3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ E.
Nessas condic¸o˜es, dizemos que o par (E, ‖ · ‖) e´ um espac¸o vetorial normado.
1
Observac¸a˜o 1.1 Se λ = 0 em (N2) enta˜o ‖0‖ = 0.
Observac¸a˜o 1.2 Se λ = −1 em (N2) enta˜o ‖ − x‖ = ‖x‖, ∀x ∈ E.
Observac¸a˜o 1.3 De (N3) podemos ver que
0 = ‖0‖ = ‖x+ (−x)‖ ≤ ‖x‖+ ‖ − x‖ = 2‖x‖
isto e´, ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ E.
Definic¸a˜o 1.3 Seja E um espac¸o vetorial. Um produto interno em E e´ uma aplicac¸a˜o
〈·, ·〉 : E × E −→ IR satisfazendo as seguintes propriedades:
(P1) 〈x, x〉 > 0 ∀x ∈ E, x 6= 0.
(P2) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉, ∀x, y, z ∈ E.
(P3) 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, ∀x, y ∈ E.
(P4) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ E.
Exemplo 1.1 Seja E um espac¸o vetorial real e 〈·, ·〉 um produto interno em E. Enta˜o a
aplicac¸a˜o
‖ · ‖ : E −→ IR
x 7−→ ‖x‖ = √〈x, x〉
e´ uma norma (comumente chamada de norma induzida do produto interno 〈·, ·〉). De fato,
(i) de (P1) temos que ‖x‖ > 0, se x 6= 0, logo a propriedade (N1) esta´ satisfeita.
(ii) de (P3) temos que:
‖λx‖ =
√
〈λx, λx〉 = |λ|‖x‖,
logo (N2) esta´ satisfeita.
(iii) Para provar que (N3) e´ satisfeita por ‖ · ‖ precisamos do seguinte teorema:
Teorema 1.1 - Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
|〈x, y〉 ≤ ‖x‖‖y‖, ∀x, y ∈ E.
2
Prova: Sejam x, y ∈ E e λ ∈ IR. Enta˜o
‖x+ λy‖2 ≥ 0, ∀x, y ∈ E ⇐⇒ 〈x+ λy, x+ λy〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ E ⇐⇒
〈x, x〉+〈x, λy〉+〈λy, x〉+〈λy, λy〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ E ⇐⇒ ‖x‖2+2λ〈x, y〉+λ2‖y‖2 ≥ 0, ∀x, y ∈ E,
logo ∆ = 4(〈x, y〉)2 − 4‖x‖2‖y‖2 ≤ 0, donde
(〈x, y〉)2 ≤ ‖x‖2‖y‖2
ou ainda,
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.
2
Agora que provamos a desigualdade de Cauchy - Schwarz vamos utiliza´-la para provar
(iii). Observe que:
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉
= 〈x, x〉+ 2〈x, y〉+ 〈y, y〉
≤ ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2
= (‖x‖+ ‖y‖)2.
Portanto ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖ e (N3) esta´ satisfeita. Segue que a aplicac¸a˜o do Exemplo
1.1 e´ uma norma.
Exemplo 1.2 Seja (E, ‖ · ‖) um espac¸o vetorial normado. Enta˜o, definindo
d : E × E −→ IR
(x, y) 7−→ d(x, y) = ‖x− y‖
temos que d e´ uma me´trica (denominada me´trica associada a` norma ‖ · ‖).
De fato, devemos mostrar que as propriedades (d1), (d2) e (d3) da definic¸a˜o de me´trica
sa˜o va´lidas. Por (N1) temos que d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y, ∀x, y ∈
E. Assim, (d1) esta´ verificada.
Usando (N2) obtemos a seguinte igualdade:
d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = ‖y − x‖ = d(y, x).
3
Portanto, (d2) esta´ verificada.
Para provar (d3) usamos (N3) na desigualdade abaixo:
d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖x− z + z − y‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z − y‖ = d(x, z) + d(z, y).
Isto mostra que (d3) e´ va´lida e conclui a prova de que a aplicac¸a˜o d do Exemplo 1.2
e´ uma me´trica.
Exemplo 1.3 (Produto interno, me´trica e norma euclidiana)
Seja E = IRn. O produto interno euclidiano (ou usual) no IRn e´ definido por
〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
onde x = (x1, x2, · · · , xn) e y = (y1, y2, · · · , yn).
A norma euclidiana e´ a norma proveniente do produto interno e e´ dada por
‖x‖ = [x21 + x22 + · · ·+ x2n]1/2 .
Do mesmo modo, a me´trica euclidiana prove´m do produto interno euclidiano, ou seja,
d(x, y) =
[
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
]1/2
.
Observac¸a˜o 1.4 Existem diferentes formas de se obter um produto interno no IRn. Por
exemplo, considere a matriz A = [aij]n×n com as seguintes propriedades:
(i) A e´ sime´trica.
(ii) A e´ positiva definida, isto e´,
(x1, . . . , xn)

a11 · · · a1n
...
. . .
...
an1 · · · ann


x1
...
xn
 =
n∑
i,j=1
aijxixj > 0,
se x > 0..
Enta˜o A define um produto interno no IRn da seguinte forma
〈x, y〉A =
n∑
i,j=1
aijxixj
Note que o produto interno usual e´ obtido com A = I.
4
Observac¸a˜o 1.5 Da mesma forma que existem va´rios produtos internos no IRn, existem
tambe´m va´rias normas no IRn. Veja duas de grande importaˆncia:
(i) Norma do ma´ximo.
‖x‖M = max{|x1|, |x2|, · · · , |xn|}.
(ii) Norma da Soma.
‖x‖S = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| =
n∑
i=1
|xi|.
Exerc´ıcio 1.1 Prove que ‖ · ‖M e ‖ · ‖S sa˜o normas no IRn e verifique a desigualdade:
‖x‖M ≤ ‖x‖ ≤ ‖x‖S ≤M‖x‖M , ∀x ∈ IRn.
Definic¸a˜o 1.4 Duas normas ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 em E sa˜o ditas equivalentes se, e somente se,
existem constantes c1 > 0 e c2 > 0 tais que
‖x‖1 ≤ c1‖x‖2 e ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1, ∀x ∈ E.
Observac¸a˜o 1.6 Seja ‖ · ‖ uma norma em um espac¸o vetorial E proveniente de um
produto interno 〈·, ·〉. Enta˜o, vale a identidade do paralelogramo
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), ∀x, y ∈ E.
De fato, note que
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + 2〈x, y〉+ ‖y‖2
e
‖x− y‖2 = 〈x− y, x− y〉 = ‖x‖2 − 2〈x, y〉+ ‖y‖2
Da´ı,
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2), ∀x, y ∈ E.
Exerc´ıcio 1.2 A norma do ma´ximo em IRn prove´m de algum produto interno? E a
norma da soma em IRn?
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Cap´ıtulo 2
Sequeˆncias
Definic¸a˜o 2.1 Sejam (E, ‖ · ‖) um espac¸o vetorial normado. Definimos:
1- Br(a) = {x ∈ E; d(x, a) = ‖x− a‖ < r} (bola aberta).
2- Br[a] = {x ∈ E; d(x, a) = ‖x− a‖ ≤ r} (bola fechada).
3- Sr(a) = {x ∈ E; ‖x− a‖ = r} (esfera).
4- Dados x, y ∈ E, o segmento de reta de extremos x e y e´ o conjunto
[x, y] = {(1− t)x+ ty; 0 ≤ x ≤ 1}.
Definic¸a˜o 2.2 Sejam (E, ‖ · ‖) um espac¸o normado e X ⊂ E.
(i) Dizemos que X e´ um subconjunto convexo quando X conte´m qualquer segmento de
reta cujos extremos pertencem a X.
(ii) Dizemos que X e´ limitado quando existe c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c, ∀x ∈ X.
Definic¸a˜o 2.3 Uma sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ E (isto e´, xk ∈ E, ∀k ∈ IN) converge para um
ponto a ∈ E se para todo � > 0, existe k0 ∈ IN (que depende de �) tal que
‖xk − a‖ < �, sempre que k ≥ k0.
Notac¸a˜o:
xk −→ a em E ou lim
k→+∞
xk = a em E.
6
Teorema 2.1 Sejam ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 duas normas em E. Enta˜o, ‖ · ‖1 e´ equivalente a ‖ · ‖2
se, e somente se, para toda sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ E tem-se
lim
k→+∞
xk = x em (E, ‖ · ‖1)⇐⇒ lim
k→+∞
xk = x em (E, ‖ · ‖2).
Demonstrac¸a˜o: Suponha que ‖ · ‖1 seja equivalente a ‖ · ‖2. Enta˜o existem constantes
c1 > 0 e c2 > 0 tais que
‖x‖1 ≤ c1‖x‖2 e ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1.
Logo, se (xk)k∈IN ⊂ E temos
‖xk − x‖1 ≤ c1‖xk − x‖2 e ‖xk − x‖2 ≤ c2‖xk − x‖1 (2.1)
Da´ı, se xk −→ x em (E, ‖ ·‖1) tem-se que ‖xk−x‖1 −→ 0 e, portanto, ‖xk−x‖2 −→ 0
por (2.1), isto e´, xk → x em (E, ‖ · ‖2). Isto prova a necessidade.
Reciprocamente, suponhamos que xk → x em (E, ‖ · ‖1) se, e somente se, xk → x em
(E, ‖ · ‖2). Vamos provar que existe c1 > 0 tal que ‖x‖1 ≤ c1‖x‖2, ∀x ∈ E. Suponhamos,
por absurdo, que isto na˜o ocorra. Enta˜o, existe uma sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ E tal que
‖xk‖1 ≥ k‖xk‖2, ∀k ∈ IN.
Assim,
‖xk‖2
‖xk‖1 <
1
k
, ∀k ∈ IN.
Denotemos vk =
xk
‖xk‖1 , ∀k ∈ IN e teremos:
‖vk‖2 < 1
k
=⇒ vk −→ 0 em (E, ‖ · ‖2)
e
‖vk‖1 = 1, ∀k ∈ IN =⇒ vk 9 0 em (E, ‖ · ‖1).
Isto contradiz a hipo´tese. A demonstrac¸a˜o e´ ana´loga para o caso da constante c2.
2
Dada uma sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ IRn enta˜o xk = (xk1, xk2, · · · , xkn), k ∈ IN, o que
equivale a dar n sequeˆncias (xki)k∈IN, i = 1, 2, · ·· , n, reais. Portanto, sa˜o va´lidas todas
as propriedades de sequeˆncias de nu´meros reais para as sequeˆncias do IRn.
7
Teorema 2.2 Sejam (xk)k∈IN ⊂ IRn e a = (a1, a2, · · · , an) ∈ IRn. Enta˜o
lim
k→+∞
xk = a ∈ IRn ⇐⇒ lim
k→+∞
xki = ai, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Demonstrac¸a˜o: Para demonstrarmos este fato e´ conveniente considerar a norma do
ma´ximo. Suponhamos que lim
k→+∞
xk = a em IR
n. Enta˜o, para i = i, 2, · · · , n, temos
|xki − ai| ≤ max{|xk1 − a1|, |xk2 − a2|, · · · , |xkn − an|} = ‖xk − a‖M .
Por hipo´tese, temos que ‖xk−a‖M −→ 0, quando k → +∞. Portanto, |xki−a| −→ 0,
quando k → +∞, donde lim
k→+∞
xki = ai para todo i = 1, 2, · · · , n.
Reciprocamente, suponhamos que lim
k→+∞
xki = ai, para todo i = 1, 2, · · · , n. Assim,
dado � > 0, existem k1, k2, · · · , kn ∈ IN tais que
|xki − ai| < �, sempre que k ≥ ki
para cada i = 1, 2, · · · , n.
Seja k0 = max1≤i≤n{ki}. Enta˜o,
|xki − ai| < �, se k ≥ k0, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Logo,
‖xk − a‖M = max{|x1 − a1|, |x2 − a2|, · · · , |xn − an|} < �
sempre que k ≥ k0. Segue que
lim
k→+∞
xk = a ∈ IRn.
2
Corola´rio 2.1 Sejam (xk)k∈IN e (yk)k∈IN sequeˆncias do IRn e (λk)k∈IN uma sequeˆncia real
tais que
lim
k→+∞
xk = a, lim
k→+∞
yk = b e lim
k→+∞
λk = λ.
Enta˜o:
(1) lim
k→+∞
(xk + yk) = a+ b;
(2) lim
k→+∞
λkxk = λa;
(3) lim
k→+∞
〈xk, yk〉 = 〈a, b〉 em IR;
(4) lim
k→+∞
‖xk‖ = ‖a‖ em IR.
8
Demonstrac¸a˜o: Sejam xk = (xk1, · · · , xkn), yk = (yk1, · · · , ykn), a = (a1, · · · , an),
b = (b1, · · · , bn), com lim
k→+∞
xki = ai e lim
k→∞
yki = bi, para todo i = 1, · · · , n.
Para provar (1) temos que
xk + yk = (xk1 + yk1, · · ·xkn − ykn).
Pelo Teorema 2.2 e sabendo que, para sequeˆncias reais, vale a igualdade
lim
k→+∞
(xki + yki) = lim
k→+∞
xki + lim
k→+∞
yki
temos que
lim
k→+∞
(xk + yk) = lim
k→+∞
(xki + yki) = lim
k→+∞
xki + lim
k→+∞
yki = lim
k→+∞
xk + lim
k→+∞
yk = a+ b
Para provar (2) temos que λkxk = λk(xk1, · · · , xkn) = (λkxk1, · · · , λkxkn). Pelo Teo-
rema 2.3 e sabendo que
lim
k→+∞
λkxki = lim
k→+∞
λk lim
k→+∞
xki
quando esses limites existem, temos
lim
k→+∞
λkxk = lim
k→+∞
λkxki = lim
k→+∞
λk lim
k→+∞
xki = λ lim
k→+∞
xk = λa.
Para a prova de (3) temos que
〈xk, yk〉 = xk1yk1 + · · ·+ xknykn
logo
lim
k→+∞
〈xk, yk〉 = lim
k→+∞
(xk1yk2 + · · ·+ xknykn)
= lim
k→+∞
xk1yk1 + · · ·+ lim
k→+∞
xknykn
= lim
k→+∞
xk1 lim
k→+∞
yk1 + · · ·+ lim
k→+∞
xkn lim
k→+∞
ykn
= a1b1 + · · ·+ anbn
= 〈a, b〉.
Resta-nos provar a igualdade (4). Para tal, necessitamos demonstrar a seguinte desi-
gualdade ∣∣∣‖xk‖ − ‖a‖∣∣∣ ≤ ‖xk − a‖
9
De fato, note que
‖xk‖ = ‖xk − a+ a‖ ≤ ‖xk − a‖+ ‖a‖.
Da´ı,
‖xk‖ − ‖a‖ ≤ ‖xk − a‖.
Por outro lado,
‖a‖ = ‖a− xk + xk‖ ≤ ‖a− xk‖+ ‖xk‖ = ‖xk − a‖+ ‖xk‖.
Ou seja,
‖a‖ − ‖xk‖ ≤ ‖xk − a‖
Portanto, da definic¸a˜o de valor absoluto, conclu´ımos que,∣∣∣‖xk‖ − ‖a‖∣∣∣ ≤ ‖xk − a‖
Assim, dado � > 0, existe k ∈ IN tal que se k ≥ k0 tem-se que∣∣∣‖xk‖ − ‖a‖∣∣∣ ≤ ‖xk − a‖ < �
visto que lim
k→+∞
xk = a.
2
Teorema 2.3 (Bolzano - Weierstrass)
Toda sequeˆncia limitada do IRn possui uma subsequeˆncia convergente.
Demonstrac¸a˜o: Sabemos que o Teorema de Bolzano - Weierstrass e´ va´lido na reta real,
isto e´, toda sequeˆncia limitada de nu´meros reais possui uma subsequeˆncia convergente.
Seja (xk)k∈IN uma sequeˆncia limitada do IRn. Enta˜o, a primeira coordenada (xk1)k∈IN de
(xk)k∈IN e´ uma sequeˆncia limitada e, portanto, podemos obter um subconjunto infinito
IN1 ⊂ IN e um nu´mero real a1 tal que lim
k→+∞
xk1 = a1.
Do mesmo modo, a sequeˆncia (xk2)k∈IN1 da segunda coordenada de (xk)k∈IN e´ limitada
e, portanto, podemos obter um subconjunto infinito IN2 ⊂ IN1 e um nu´mero real a2 tal
que lim
k→∞
xk2 = a2.
10
Seguindo o mesmo racioc´ınio, podemos obter conjuntos infinitos
IN ⊃ IN1 ⊃ IN2 ⊃ · · · ⊃ INi
e nu´meros reais ai tais que
lim
k∈INi
xki = ai
Pondo a = (a1, a2, · · · , an) o Teorema 2.2 nos garante que
lim
k∈IN
xk = a.
2
Teorema 2.4 Duas normas quaisquer no espac¸o IRn sa˜o equivalentes.
Demonstrac¸a˜o: Pela transitividade da equivaleˆncia das normas, basta provar que, dada
uma norma ‖ · ‖ arbitra´ria no IRn, ela e´ equivalente a` norma da soma ‖ · ‖S.
Dado x ∈ IRn enta˜o x = x1e1 + x2 + e2 + · · · + xnen onde {e1, e2, · · · , en} e´ a base
canoˆnica do IRn. Enta˜o,
‖x‖ = ‖x1e1 + x2e2 + · · ·+ cnen‖
≤ |x1|‖e1‖+ |x2|‖e2‖+ · · ·+ |xn|‖en‖
≤ max
1≤i≤n
{‖ei‖}(|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|)
= c1‖x‖E.
Resta provar que existe c2 > 0 tal que ‖x‖E ≤ c2‖x‖. Suponha, por absurdo, que isto
na˜o ocorra. Enta˜o, existe uma sequeˆncia (xk)k∈IN tal que
‖xk‖S > k‖xk‖, ∀k ∈ IN
ou seja,
‖xk‖S
‖xk‖ <
1
k
, ∀k ∈ IN.
Denotemos vk =
xk
‖xk‖S e teremos
‖vk‖S = 1, ∀k ∈ IN (2.2)
e
‖vk‖ < 1
k
, ∀k ∈ IN
11
Logo, a sequeˆncia (vk)k∈IN e´ limitada em (IRn, ‖ · ‖S). Pelo Teorema de Bolzano -
Weierstrass, existem uma subsequeˆncia (vkj)j∈IN e v ∈ IRn tal que
lim
j→+∞
vkj = v em (IR
n, ‖ · ‖S)
E, pelo item 4 do corola´rio 2.1 temos que lim
j→+∞
‖vkj‖S = ‖v‖S = 1, de acordo com a
equac¸a˜o(2.2). Assim, ‖v‖S 6= 0.
Por outro lado, ‖vkj‖ ≤ 1kj implica que ‖vkj‖ −→ 0 quando j → +∞. Da´ı,
‖v‖ = ‖v − vkj + vkj‖ ≤ ‖v − vkj‖+ ‖vkj‖.
Pela primeira parte da demonstrac¸a˜o, no´s temos que
‖v − vkj‖ ≤ c1‖v − vkj‖ −→ 0
quando j → +∞, assim como ‖vkj‖ → 0 quando j → +∞. Assim
‖v‖ ≤ 0 =⇒ ‖v‖ = 0
o que e´ uma contradic¸a˜o visto que tinhamos provado que ‖v‖ 6= 0. Isto mostra que existe
c2 > 0 tal que
‖x‖S ≤ c2‖x‖.
2
12
Cap´ıtulo 3
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn
Definic¸a˜o 3.1 Seja X ⊂ IRn. O ponto a ∈ IRn e´ chamado ponto de acumulac¸a˜o de
X quando, para todo � > 0,
B�(a) ∩ ({X − a}) 6= ∅.
Definic¸a˜o 3.2 Dizemos que o ponto a ∈ X ⊂ IRn e´ um ponto interior do conjunto X se
existir � > 0 tal que
B�(a) ⊂ X.
Definic¸a˜o 3.3 Seja X ⊂ IRn. Denomina-se fronteira de X o conjunto dos pontos y ∈ IRn
tais que, para todo � > 0, a bola B�(y) conte´m pontos de X e do complementar de X.
Definic¸a˜o 3.4 O conjunto X ⊂ IRn e´ aberto quando todo ponto de X e´ ponto interior de
X (X = intX).
Definic¸a˜o 3.5 Seja X ⊂ IRn. O ponto a ∈ IRn e´ chamado de ponto aderente a X quando
existe uma sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ X tal que
lim
k→+∞
xk = a.
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Definic¸a˜o 3.6 O conjunto de todos os pontos aderentes a X e´ denominado o fecho de X
e e´ denotado por X.
Definic¸a˜o 3.7 Um conjunto X ⊂ IRn e´ fechado quando X conte´m todos os seu pontos
aderentes.
Definic¸a˜o 3.8 Dizemos que X ⊂ IRn e´ compacto se X e´ fechado e limitado.
Definic¸a˜o 3.9 Seja X ⊂ IRn. Uma cobertura de X e´ uma famı´lia arbitraria de subcon-
juntos (Aλ)λ∈L do IRn tais que
X ⊂
⋃
λ∈L
Aλ.
Observac¸a˜o 3.1 Se Aλ ⊂ IRn e´ aberto para todo λ ∈ L enta˜o (Aλ)λ∈L e´ uma cobertura
aberta.
Observac¸a˜o 3.2 Se L e´ enumera´vel enta˜o (Aλ)λ∈L e´ uma cobertura enumera´vel.
Observac¸a˜o 3.3 Se L e´ finito enta˜o (Aλ)λ∈L e´ uma cobertura finita.
Definic¸a˜o 3.10 Seja Y ⊂ X ⊂ IRn. Dizemos que Y e´ denso em X quando para todo
a ∈ X existe uma sequeˆncia (yk)k∈IN ⊂ Y tal que
lim
k→+∞
yk = a.
Proposic¸a˜o 3.1 Todo conjunto X ⊂ IRn conte´m um subconjunto E enumera´vel e denso
em X.
Demonstrac¸a˜o: Sabemos da ana´lise real que o conjunto Q dos nu´meros racionais e´
enumera´vel e denso em IR. Seja Q+ = {r1, r2, · · · , ri, · · ·} (uma enumerac¸a˜o de Q) enta˜o
Qn = {q1, q2, · · · , qi, · · ·} (onde qi e´ uma n-upla de nu´meros racionais) e´ enumera´vel e
denso no IRn.
14
Seja β = {Bri(qj); i, j ∈ IN} = {B1, B2, · · · , Bk, · · ·} e tomemos β′ uma subfamı´lia de
β tal que
β′ = {(Bki)ki∈IN′ , IN′ ⊂ IN;Bki ∩X 6= ∅}.
Definimos E = {xki} onde xki ∈ (Bki ∩X).Enta˜o E e´ enumera´vel e E ⊂ X.
Resta provar que E e´ denso em X. Sejam x ∈ X e � > 0. Existe r ∈ Q tal que r < �
2
.
Como Qn e´ denso em IRn, existe q ∈ Qn tal que
q ∈ Br(x) =⇒ ‖x− q‖ < r =⇒ x ∈ Br(q) = Bki para algum i ∈ IN′
logo x e xki ∈ Bki ⇒ ‖x− xki‖ < 2r < � e, portanto, x ∈ B�(x) ⊂ E. Isto mostra que E
e´ denso em X.
2
Proposic¸a˜o 3.2 Seja (Ki)i∈IN uma sequeˆncia de conjuntos compactos na˜o vazios. Se
K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Ki ⊃ · · · enta˜o ∞⋂
i=1
Ki = K
e´ compacta e na˜o vazia.
Demonstrac¸a˜o: E´ fa´cil ver que K e´ compacto pois cada Ki e´ compacto e K1 ⊃ K2 ⊃ · · ·.
Vamos provar que K 6= ∅. Seja (xi)i∈IN uma sequeˆncia do IRn tal que xi ∈ Ki, ∀i ∈ IN.
Enta˜o (xi)i∈IN ⊂ K1 o que implica em (xi)i∈IN limitada. Pelo Teorema de Bolzano -
Weierstrass, existe uma subsequeˆncia (xij)j∈IN de (xi)i∈IN que converge para um ponto
x ∈ IRn. Dado i ∈ IN enta˜o xij ∈ Ki, ∀ij ≥ i donde
x ∈
∞⋂
i=1
Ki.
2
Proposic¸a˜o 3.3 Se X ⊂ IRn enta˜o toda cobertura aberta (Aλ)λ∈L de X possui uma
subcobertura enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o: Seja E = {x1, x2, · · · , xi, · · ·} ⊂ X um subconjunto enumera´vel, denso
em X. Consideremos o conjunto β de todas as bolas abertas Br(x), com centro em um
ponto de E, raio racional e tais que cada uma delas esta´ contida em algum Aλ. Observe
15
que β e´ um conjunto enumera´vel de bolas abertas. Afirmamos que as bolas B ∈ β cobrem
X. Com efeito, dado x ∈ X, existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ. Como Aλ e´ aberto, existe
r > 0 racional tal que B2r(x) ⊂ Aλ. Sendo E denso em X, podemos encontrar xi ∈ E
com |x − xi| < r. Enta˜o, x ∈ Br(xi). Para mostrar que Br(xi) ∈ β, restar ver que esta
bola esta´ contida em Aλ. Ora,
y ∈ Br(xi)⇒ |y − xi| < r ⇒ |y − x| ≤ |y − xi|+ |xi − x| < 2r ⇒ y ∈ B2r(x) ⊂ Aλ.
Isto conclui a verificac¸a˜o de que as bolas B ∈ β cobrem X. Tomando uma enumerac¸a˜o
B1, · · · , Bi, · · · para essas bolas e escolhendo para cada i ∈ IN um ı´ndice λi ∈ L tal que
Bi ⊂ Aλi , conclu´ımos que
X ⊂ Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ · · · ∪ Aλi ∪ · · ·
2
Teorema 3.1 O conjunto K ⊂ IRn e´ compacto se, e somente se, toda cobertura aberta
de K admite uma subcobertura finita.
Demonstrac¸a˜o: Seja K ⊂ IRn um conjunto compacto, isto e´, K e´ fechado e limitado.
Seja (Aλ)λ∈L uma cobertura aberta de K. Pela proposic¸a˜o 3.3 existe uma subcobertura
enumera´vel de K, isto e´,
K ⊂ (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ai ∪ · · ·).
Para cada i ∈ IN definimos
Ki = K ∩ {A1∪A2∪···∪AiIRn .
Enta˜o, valem as seguintes propriedades para Ki:
(i) Ki e´ compacto, ∀i ∈ IN pois K e´ fechado e {A1∪A2∪···∪AiIRn e´ fechado.
(ii) K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ pois
• se x ∈ K1 ⇒ x ∈ K e x ∈ {A1IRn ⇒ x ∈ K e x /∈ A1 logo K ⊃ K1;
16
• se x ∈ K2 ⇒ x ∈ K e x ∈ {A1∪A2IRn ⇒ x ∈ K e /∈ A1∪A2 ⇒ x ∈ K e x /∈ A1, x /∈ A2.
Como x ∈ K e x /∈ A1 enta˜o K2 ⊃ K.
Analogamente para os demais casos.
(iii)
∞⋂
i=1
Ki = ∅.
De fato, se x ∈ K enta˜o x ∈ Ai para algum i. Isto implica que x /∈ {A1∪A2∪···∪AiIRn e,
portanto, x /∈ Ki. Segue que ∞⋂
i=1
Ki = ∅.
Pela proposic¸a˜o 3.2, devemos ter Ki0 = ∅ para algum i0, ja´ que ∩∞i=1Ki = ∅. Da´ı,
pela propriedade (ii) acima, Ki = ∅, ∀i ≥ i0. Logo K ∩ {A1∪···∪Ai0IRn = ∅. Se x ∈ K enta˜o
x /∈ {A1∪···∪Ai0IRn , isto e´, x ∈ A1 ∪ · · · ∪Ai0 . Segue que {Ai}1≤i≤i0 e´ uma subcobertura finita
para K.
Reciprocamente, suponhamos que toda cobertura aberta de K admite uma subcober-
tura finita. Provemos inicialmente que K e´ limitado. De fato, para cada x ∈ K considere
a bola B1(x). Enta˜o {B1(x)}x∈K e´ uma cobertura aberta de K. Pela hipo´tese, existe uma
subcobertura finita para K, ou seja,
K ⊂ {B1(x1) ∪B1(x2) ∪ · · · ∪B1(xj)}
logo K e´ limitado.
Provemos agora que K e´ um conjunto fechado. Para tanto, suponhamos por absurdo
que K na˜o e´ fechado. Isto e´, existe a ∈ K tal que a /∈ K. Para cada i ∈ IN definimos
Ai = {
B1/i[a]
IRn .
Enta˜o, temos as seguintes propriedades para Ai:
1. Ai e´ aberto para todo i ∈ IN.
2. A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · ·
3. K ⊂ (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ai ∪ · · ·)
17
Com efeito, para provar 3, temos que a /∈ K e se x ∈ K enta˜o x 6= a. Da´ı, existe
i ∈ IN suficientemente grande tal que x /∈ B1/i[a]. Isto implica que x ∈ Ai e assim,
x ∈ (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ai ∪ · · ·).
Da hipo´tese, a cobertura (Ai)i∈IN de K admite uma subcobertura finita, isto e´, K ⊂
(A1i ∪ A2i ∪ · · · ∪ Aip). Pela propriedade 2 acima, temos que
Ai1 ∪ · · · ∪ Aip
e´ igual ao conjunto de maior ı´ndice. Enta˜o
K ⊂ Ai, para algum i
logo B1/i[a] ∩K = ∅ o que e´ um absurdo pois a e´ ponto aderente de K. Segue enta˜o que
K e´ fechado.
2
18
Cap´ıtulo 4
Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o 4.1 Sejam X ⊂ IRm e f : X −→ IRn uma func¸a˜o. Dizemos que f e´ cont´ınua
no ponto a ∈ X quando para todo � > 0 existe δ > 0 (δ dependendo de a e de �) tal que
se x ∈ X e ‖x− a‖IRm < δ enta˜o ‖f(x)− f(a)‖IRn < �.
Exemplo 4.1 As projec¸o˜es Πi : IR
n −→ IR, i = 1, · · · , n que a cada y ∈ IRn associa
Πi(y) = yi sa˜o cont´ınuas.
De fato, dado � > 0 tomemos δ = �, e da´ı, se 0 < ‖x− y‖IRn < δ enta˜o
|Πi(x)− Πi(y)|IR = |xi − yi| ≤ ‖x− y‖IRn < δ = �.
Observac¸a˜o 4.1 A composta de uma func¸a˜o cont´ınua e´ cont´ınua, isto e´, dados X ⊂
IRm, Y ⊂ IRn, f : X ⇒ IRn cont´ınua no ponto a ∈ X, com f(X) ⊂ Y , g : Y ⇒ IRp
cont´ınua no ponto b = f(a), enta˜o composta g ◦ f : X ⇒ IRp e´ cont´ınua no ponto a.
Demonstrac¸a˜o: Dado arbitrariamente � > 0 existe, em virtude da continuidade de g, um
nu´mero η > 0 tal que y ∈ Y, |y−f(a)| < η =⇒ |g(y)−g(f(a))| < �. Por sua vez, a partir de
η, a continuidade de f nos fornece δ > 0 tal que x ∈ X, |x− a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < η.
Segue-se que x ∈ X, |x− a| < δ =⇒ |g(f(x))− g(f(a))| < �, logo g ◦ f e´ cont´ınua no
ponto a.
2
Seja X ⊂ IRm. Dar uma func¸a˜o f : X ⇒ IRn e´ o mesmo que dar n func¸o˜es reais
f1, f2, · · · , fn : X ⇒ IR definidas por fi = Πi ◦ f , as quais sa˜o chamadas as coordenadas
19
da aplicac¸a˜o f . Para todo x ∈ X, temos f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)). Para indicar
que as fi sa˜o as func¸o˜es coordenadas de f , escreve-se f = (f1, f2, · · · , fn).
Teorema 4.1 Uma func¸a˜o f = (f1, f2, · · · , fn) : X ⊂ IRm ⇒ IRn e´ cont´ınua no ponto
a ∈ X se, e somente se, para todo i = 1, 2, · · · , n tem-se que fi : X ⇒ IR e´ cont´ınua no
ponto a.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f = (f1, f2, · · · , fn) : X ⊂ IRm ⇒ IRn e´ cont´ınua no
ponto a. Sabemos que as projec¸o˜es Πi : IR
n ⇒ IR sa˜o cont´ınuas. Ale´m disso,
(Πi ◦ f)(x) = Πi(f(x)) = fi(x)
logo, fi e´ cont´ınua para todo i = 1, 2, · · · , n.
Reciprocamente, suponhamos que fi : X ⇒ IR e´ cont´ınua em a, qualquer que seja
i = 1, 2, · · · , n. Da´ı, dado � > 0, existe δi > 0 tal que se x ∈ X e ‖x − a‖IRm < δi enta˜o
|fi(x)− fi(a)| < �.
Tomando δ0 = min{δ1, · · · , δn} temos que, se x ∈ X e ‖x − a‖IRn < δ0 enta˜o
|fi(x)− fi(a)| < �, para todo i = 1, · · · , n.
Isto implica que
‖f(x)− f(a)‖M,IRn = max {|f1(x)− f1(a)|, · · · , |fn(x)− fn(a)|} < �.
Portanto, f e´ cont´ınua no ponto a.
2
Teorema 4.2 Uma func¸a˜o f : X ⊂ IRm ⇒ IRn e´ cont´ınua em um ponto a ∈ X se, e
somente se, para toda sequeˆncia (xk)k∈IN ⊂ IRm tal que lim
k→+∞
xk = a em IR
m tem-se que
lim
k→+∞
f(xk) = f(a) em IR
n.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e cont´ınua no ponto a e que lim
k→+∞
xk = a. Assim,
dado � > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ X, ‖x − a‖IRm < δ enta˜o ‖f(x) − f(a)‖IRn < �.
Como lim
k→+∞
xk = a, existe k0 ∈ IN tal que k > k0 implica ‖f(xk) − f(a)‖IRn < �. Logo
lim
k→+∞
f(xk) = f(a).
20
Reciprocamente, suponhamos que f na˜o seja cont´ınua no ponto a. Enta˜o existe � > 0
tal que, para cada k ∈ IN, podemos obter xk ∈ X com ‖xk − a‖IRm < 1/k e
‖f(xk)− f(a)‖IRm ≥ �.
Enta˜o, lim
k→+∞
xk = a sem que seja lim
k→+∞
f(xk) = f(a) o que contradiz a hipo´tese.
2
Teorema 4.3 A func¸a˜o f : X ⊂ IRm ⇒ IRn e´ cont´ınua se, e somente se, para todo aberto
A ⊂ IRm tem-se quef−1(A) ⊂ IRm e´ aberto em X.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que f e´ cont´ınua e A ⊂ IRn e´ um aberto. Tomemos um
ponto a ∈ f−1(A). Enta˜o f(a) ∈ A. Pela definic¸a˜o de conjunto aberto, existe � > 0 tal
que B�(f(a)) ⊂ A. Sendo f cont´ınua, existe δ > 0 tal que se x ∈ X, ‖x− a‖IRm < δ enta˜o
‖f(x)− f(a)‖IRn < �. Isto significa que
f(Bδ(a) ∩X) ⊂ B�(f(a)) ⊂ A,
donde
(Bδ(a) ∩X) ⊂ f−1(A)
logo f−1(A) e´ aberto em X.
Reciprocamente, se a imagem inversa por f de todo aberto de IRn e´ aberto emX, enta˜o,
dado a ∈ X e � > 0, como B�(f(a)) e´ aberto, conclu´ımos que
A = {x ∈ X; ‖f(x) − f(a)‖IRn < �} e´ aberto em X. Evidentemente, a ∈ A. Logo
existe δ > 0 tal que (Bδ(a) ∩ X) ⊂ A. Isto significa que x ∈ X, ‖x − a‖IRm < δ enta˜o
‖f(x) − f(a)‖IRn < �, ou seja, que f e´ cont´ınua no ponto a. Como a ∈ X e´ arbitra´rio,
segue-se que f e´ cont´ınua em X.
2
21
Cap´ıtulo 5
Aplicac¸o˜es Lineares
5.1 Primeiros resultados
Seja T : IRm ⇒ IRn uma func¸a˜o linear. Enta˜o, dado x ∈ IRm temos
T (x) = T (x1e1 + · · ·+ xmem)
= T (x1e1) + · · ·+ T (xmem)
= x1T (e1) + · · ·+ xmT (em)
=
n∑
i=1
xiT (ei)
onde β = {e1, · · · , em} e´ uma base canoˆnica do IRm.
Seja c = max{‖T (e1)‖IRn , ‖T (e2)‖IRn , · · · , ‖T (em)‖IRn} enta˜o
‖T (x)‖IRn =
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
xiT (ei)
∥∥∥∥∥
IRn
≤
m∑
i=1
‖xi‖IRn‖T (ei)‖IRn
≤
m∑
i=1
c‖xi‖IRn = c
m∑
i=1
|xi|
isto e´,
‖T (x)‖IRn ≤ c‖x‖IRm , ∀x ∈ IRm.
Assim, podemos ver que
‖T (x)− T (y)‖IRn = ‖T (x− y)‖IRn ≤ c‖x− y‖IRm , ∀x, y ∈ IRm.
22
Estas considerac¸o˜es mostram que:
Teorema 5.1 Toda aplicac¸a˜o linear T : IRm ⇒ IRn e´ lipschtziana e, consequentemente,
cont´ınua.
Denotamos
L(IRm, IRn) = {T : IRm −→ IRn;T e´ linear }
Munindo L das operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar, isto e´,
• ∀T, L ∈ L(IRm, IRn); (T + L)(x) = T (x) + L(x).
• ∀λ ∈ IR, ∀T ∈ L(IRm, IRn); (λT )(x) = λT (x),
segue que, L(IRm, IRn) com essas operac¸o˜es, e´ um espac¸o vetorial.
Consideremos β = {e1, · · · , em} e γ = {v1, · · · , vn} bases do IRm e do IRn, respectiva-
mente. Enta˜o
T (e1) = a11v1 + · · ·+ a1nvn
T (e2) = a21v1 + · · ·+ a2nvn
...
...
T (em) = am1v1 + · · ·+ amnvn
(5.1)
Da´ı,
T (x) =
m∑
i=1
T (xiei)
=
m∑
i=1
xiT (ei)
= x1T (e1) + · · ·+ xmT (em)
= x1(a11v1 + · · ·+ a1nvn) + · · ·+ xm(am1v1 + · · ·+ amnvn)
= (a11x1 + · · ·+ am1xm)v1 + · · ·+ (a1nx1 + · · ·+ amnxm)vn
logo
[T (x)]γ =

a11 · · · am1
...
. . .
...
a1n · · · amn

n×m

x1
...
xm

m×1
23
ou seja,
[T (x)]γ = A
t · [x]β
onde At e´ a transposta da matriz dos coeficientes da equac¸a˜o (5.1).
Com isso, a func¸a˜o F : L(IRm, IRn) −→Mn×m(IR) que a cada T ∈ L(IRm, IRn) associa
a matriz At, isto e´, F (T ) = At, e´ um isomorfismo.
Observac¸a˜o 5.1 O espac¸o L(IRm, IR) = (IRm)∗ e´ chamado de espac¸o dual de IRm. Tal
espac¸o e´ isomorfo a M1×m(IR) = IRm.
O espac¸o L(IR, IRn) e´ isomorfo a Mn×1(IR).
O espac¸o IR∗ = L(IR, IR) e´ isomorfo a M1×1(IR).
5.2 Norma de uma aplicac¸a˜o linear
Dada T ∈ L(IRm, IRn) temos que T e´ cont´ınua. Enta˜o, como B1[0] ⊂ IRm e´ um con-
junto compacto vemos que ‖T (x)‖IRn assume ma´ximo (e mı´nimo) na bola fechada B1[0],
Portanto, podemos definir a seguinte aplicac¸a˜o:
‖ · ‖L(IRm,IRn) : L(IRm, IRn)→ IR
T 7−→ ‖T‖L(IRm,IRn) = max
x∈B1[0]
{‖T (x)‖IRn} .
E´ fa´cil ver que ‖ · ‖L(IRm,IRn) e´ uma norma em L(IRm, IRn).
Ale´m disso, dado x ∈ IRm, x 6= 0 e T ∈ L(IRm, IRn), temos que
‖T (x)‖IRn =
∥∥∥∥T (‖x‖IRm · x‖x‖IRm
)∥∥∥∥
IRn
= ‖x‖IRm ·
∥∥∥∥T ( x‖x‖IRn
)∥∥∥∥
IRn
≤ ‖T‖L(IRm,IRn) · ‖x‖IRm
logo ‖T (x)‖IRn ≤ ‖T‖L(IRm,IRn) · ‖x‖IRm , ∀x ∈ IRm.
Ale´m disso, se T ∈ L(IRm, IRk) e L ∈ L(IRk, IRn) enta˜o (L ◦ T ) ∈ L(IRm, IRn) e vale a
desigualdade
‖L ◦ T‖L(IRm,IRn) ≤ ‖L‖L(IRm,IRn) · ‖T‖L(IRm,IRn)
24
Cap´ıtulo 6
Func¸o˜es reais de m varia´veis reais
6.1 Definic¸o˜es
Sabemos que se f : I ⊂ IR −→ IR e a ∈ I, f e´ diferencia´vel no ponto a quando existe o
limite
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
e o nu´mero f ′(a) e´ a derivada de f no ponto a.
No que segue, adotaremos a seguinte notac¸a˜o:
U ⊂ IRm e´ um conjunto aberto;
a ∈ U ;
f : U ⊂ IRm −→ IR uma func¸a˜o.
Para esta func¸a˜o f na˜o faz sentido a expressa˜o
f(a+ h)− f(a)
h
pois na˜o e´ poss´ıvel “dividir por vetores”.
Note entretanto que dado um vetor v ∈ IRm existe uma reta que passa por a e tem a
direc¸a˜o de v, dada por
{a+ tv; t ∈ IR}
Como a ∈ U e U e´ aberto, existe δ > 0 tal que Bδ(a) ⊂ U . Portanto, se |t| < � = δ‖v‖
enta˜o
‖(a+ tv)− a‖ = ‖tv‖ = |t|‖v‖ < δ
25
Isto implica que (a+ tv) ∈ Bδ(a) ⊂ U . Logo, tomando
λ : (−�, �) −→ IRm
t 7−→ λ(t) = a+ tv
teremos
isto e´, λ(t) ∈ U, ∀t ∈ (−�, �) com λ(0) = a.
Portanto, faz sentido definir a seguinte composic¸a˜o:
(f ◦ λ) : (−�, �) ⊂ IR −→ IR
t 7−→ (f ◦ λ)(t) = f(a+ tv)
Definic¸a˜o 6.1 Dado v ∈ IRm, definimos a derivada direcional de f no ponto a, na direc¸a˜o
de v como sendo
∂f
∂v
(a) = (f ◦ λ)′(0).
Equivalentemente,
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
(f ◦ λ)(t)− (f ◦ λ)(0)
t
= lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
Definic¸a˜o 6.2 Seja β = {e1, · · · , em} a base canoˆnica do IRm, enta˜o a derivada direcional
de f num ponto a na direc¸a˜o de ei e´ a i-e´sima derivada parcial de f no ponto a.
∂f
∂xi
(a) =
∂f
∂ei
(a) = lim
t→0
f(a+ tei)− f(a)
t
26
6.2 Treˆs exemplos importantes
Exemplo 6.1 (Existeˆncia das derivadas parciais na˜o implica em continuidade)
Seja f : IR2 −→ IR dada por
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e seja v = (α, β) ∈ IR2. Enta˜o, temos
(i) Se α 6= 0 e β = 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(αt, 0)
t
= 0.
(ii) Se α = 0 e β 6= 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(0, βt)
t
= 0.
(iii) Se α 6= 0 e β 6= 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(αt, βt)
t
= lim
t→0
[
t2αβ
t2α2 + t2β2
· 1
t
]
=
α
α2 + β2
lim
t→0
1
t
= +∞
(iv) @ lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
De fato, se y = x, enta˜o
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
x2
2x2
=
1
2
e, se x = 0 enta˜o lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
De (i) e (ii) existem as derivadas
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0 e de (iv), f na˜o e´ cont´ınua
em (0, 0).
Aparentemente isto se deve ao fato de que na˜o existem as derivadas direcionais exceto
nas direc¸o˜es dos eixos. Entretanto, considere o pro´ximo exemplo.
Exemplo 6.2 (Existeˆncia de derivadas direcionais na˜o implica continuidade)
Seja f : IR2 −→ IR dada por
f(x, y) =

x2y
x4 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
Dado v = (α, β) ∈ IR2 enta˜o, temos
27
(i) Se α 6= 0 e β = 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(αt, 0)
t
= 0.
(ii) Se α = 0 e β 6= 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(0, βt)
t
= 0.
(iii) Se α 6= 0 e β 6= 0
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(αt, βt)
t
= lim
t→0
[
α2t2βt
α4t4 + β2t2
· 1
t
]
= lim
t→0
α2β
α4t2 + β2
=
α2β
β2
=
α2
β
Em resumo,
∂f
∂v
(0, 0) =

0, se β = 0
α2
β
, se β 6= 0.
Portanto, existem as derivadas direcionais segundo qualquer direc¸a˜o. Entretanto,
@ lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
De fato, se y = x2 enta˜o
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
x→0
x4
2x4
=
1
2
e, se y = 0 enta˜o lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Exemplo 6.3 (Existeˆncia de derivadas direcionais na˜o implica dependeˆncia linear da
direc¸a˜o)
Para cada v ∈ IRm podemos associar ∂f
∂v
(a) Isto define uma aplicac¸a˜o
∂f
∂• (a) : IR
m −→ IR
v 7−→ ∂f
∂v
(a)
Sera´ que:
∂f
∂(v + w)
(a) =
∂f
∂v
(a) +
∂f
∂w
(a)
e
∂f
∂λv
(a) = λ
∂f
∂v
(a)
28
Na verdade, sempre temos
∂f
∂(λv)
(a) = lim
t→0
f(a+ tλv)− f(a)
t
lim
t→0
λ
f(a+ tλv)− f(a)
tλ
= λ limt→0
f(a+ (tλ)v)− f(a)
(λt)
= λ
∂f
∂v
(a)
Por outro lado, considere
f(x, y) =

x2y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
E´ fa´cil ver que existem as derivadas direcionais e
∂f
∂(v + w)
6= ∂f
∂v
+
∂f
∂w
.
Com efeito, se v = (a1, b1) e w = (a2, b2) enta˜o v + w = (a1 + a2, b1 + b2) e
(i)
∂f
∂(v + w)
(0, 0) = lim
t→0
f(t(a1 + a2), t(b1 + b2))
t
= lim
t→0
t2(a1 + a2)
2 · t(b1 + b2)
t2(a1 + a2)2 + t2(b1 + b2)2
· 1
t
= lim
t→0
(a1 + a2)
2(b1 + b2)
2
(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2
=
(a1 + a2)
2(b1 + b2)
2
(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2
.
(ii)
∂f
∂v
(0, 0) = lim
t→0
f(ta1, tb1)
t
lim
t→0
(t2a21)(tb1)
t2a21 + t
2b21
· 1
t
=
a21b1
a21 + b
2
1
.
29
(iii)
∂f
∂w
(0, 0) = lim
t→0
f(ta2, tb2)
t
= lim
t→0
(t2a22)(tb2)
t2a22 + t
2b22
· 1
t
=
a22b2
a22 + b
2
2
.
Portanto,
∂f
∂(v + w)
6= ∂f
∂v
+
∂f
∂w
.
Teorema 6.1 (Teorema do Valor Me´dio)
Sejam U ⊂ IRm um aberto, a ∈ U, v ∈ IRm e f : U −→ IR. Se o segmento de reta
[a, a + v] ⊂ U, f|[a,a+v] e´ cont´ınua e existe
∂f
∂v
(x) para todo x ∈ [a, a + v], enta˜o existe
θ ∈ (0, 1) tal que
f(a+ v)− f(a) = ∂
∂v
(a+ θv).
Demonstrac¸a˜o: Seja
λ : [0, 1] −→ U
t 7−→ λ(t) = a+ tv
uma parametrizac¸a˜o do segmento [a, a+ v] e definamos ξ = (f ◦ λ) : [0, 1] −→ IR. Enta˜o
(1) ξ e´ cont´ınua em [0, 1];
(2) ξ e´ deriva´vel em (0, 1);
logo, pelo Teorema do Valor Me´dio para func¸o˜es reais de uma varia´vel real, temos que
existe θ ∈ (0, 1) tal que
ξ(1)− ξ(0) = ξ′(θ).
30
Mas, observe que
ξ′(θ) = lim
t→0
ξ(θ + t)− ξ(θ)
t
= lim
t→0
f(a+ θv)− f(a+ θv)
t
=
∂f
∂v
(a+ θv),
ξ(1) = f(a+ v) e ξ(0) = f(a).
Isto conclui a prova do teorema. 2
Corola´rio 6.1 Sejam U ⊂ IRm um conjunto aberto e conexo, f : U −→ IR. Se ∂f
∂v
(x) = 0
para todo x ∈ U e para todo v ∈ IRm enta˜o f e´ contante.
Demonstrac¸a˜o: De fato, fixemos a ∈ U . A existeˆncia de ∂f
∂v
garante a continuidade
da restric¸a˜o f|[a,b] para todo segmento de reta [a, b] ⊂ U . Pelo Teorema do Valor Me´dio,
tem-se que [a, b] ⊂ U implica f(b) − f(a) = 0, isto e´, f(a) = f(b). Ora, qualquer
ponto x ∈ U pode ser ligado ao ponto a por uma poligonal contida em U , com ve´rtices
a0 = a, a1, · · · , ak−1, ak = x, em virtude da conexidade do aberto U . Assim, temos suces-
sivamente, f(a) = f(a1) = · · · = f(x). Logo f(x) = f(a) para todo x ∈ U , donde f e´
constante. 2
6.3 Func¸o˜es diferencia´veis
Sejam I ⊂ IR, a ∈ I e f : I −→ IR. Por definic¸a˜o f e´ diferencia´vel em a quando existe o
limite
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f ′(a)
e, neste caso, f ′(a) e´ a derivada de f no ponto a.
31
Equivalentemente,
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f ′(a)⇐⇒ lim
h→0
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)h − f ′(a)
∣∣∣∣ = 0⇐⇒
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− f ′(a)h|
|h| = 0.
logo, se f e´ diferencia´vel em a ∈ I, existe uma transformac¸a˜o linear
Tf ′(a) : IR −→ IR
h 7−→ Tf ′(a)(h) = f ′(a)h
tal que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− Tf ′(a)(h)|
|h| = 0.
Reciprocamente, suponha que exista uma transformac¸a˜o linear T ∈ L(IR, IR) = IR∗
tal que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h| = 0.
Como T ∈ IR∗ vemos que T (x) = αx para algum α ∈ IR. Logo
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− αh|
|h| = 0
isto e´, existe
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= α
e, portanto, f e´ diferencia´vel em a e f ′(a) = α.
O que acabamos de fazer demonstra a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 6.1 Sejam I ⊂ IR um intervalo aberto, a ∈ I e f : I −→ IR. Enta˜o, f e´
diferencia´vel no ponto a se, e somente se, existe T ∈ L(IR, IR) = IR∗ tal que
lim
h→0
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− T (h)h
∣∣∣∣ = 0.
No caso afirmativo, a transformac¸a˜o T = f ′(a) e´ a derivada de f no ponto a.
Equivalentemente, f e´ diferencia´vel em a se, e somente se, existe α ∈ IR tal que
lim
h→0
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− αhh
∣∣∣∣ = 0.
32
No caso afirmativo, α = f ′(a) e´ a derivada de f no ponto a.
Se a ∈ I e I e´ uma aberto na reta IR, existe � > 0 tal que B�(a) ⊂ I. Denotamos por
F(�, IR) = {u : (−�, �) −→ IR;u e´ uma func¸a˜o }. Desta forma, dada T ∈ L(IR, IR) = IR∗
podemos associar a func¸a˜o rT ∈ F(�, IR), denominada func¸a˜o resto (ou erro) relativa a T ,
dada por
rT (h) = f(a+ h)− f(a)− T (h) = f(a+ h)− (T (h) + f(a)), h ∈ (−�, �).
A reta paralela a T passando pelo ponto (a, f(a)) e´:
L(x) = αx+ f(a)− αa,
onde T (x) = αx.
Enta˜o
L(a+ h) = αh+ f(a) = T (h) + f(a).
Suponha que f e´ diferencia´vel em a. Enta˜o
lim
h→0
∣∣∣∣rf ′(a)(h)h
∣∣∣∣ = limh→0
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− f ′(a)hh
∣∣∣∣ = 0
Reciprocamente, dada T ∈ L(IR, IR) suponha que
lim
h→0
∣∣∣∣rT (h)h
∣∣∣∣ = 0.
Pela definic¸a˜o de resto
rT (h)
h
=
f(a+ h)− f(a)− T (h)
h
Enta˜o,
lim
h→0
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− T (h)h
∣∣∣∣ = 0
Segue que f e´ diferencia´vel em a e T = f ′(a).
Proposic¸a˜o 6.2 Sejam I ⊂ IR um intervalo aberto, a ∈ I e f : I −→ IR. Enta˜o, f e´
diferencia´vel no ponto a se, e somente se, existe T ∈ L(IR, IR) tal que o resto relativo a
T satisfaz
lim
h→0
rT (h)
h
= 0.
33
Definic¸a˜o 6.3 Sejam I ⊂ IRm um aberto, a ∈ U e f : U −→ IR. Dizemos que f e´
diferencia´vel no ponto a quando existir T ∈ L(IRm, IR) = (IRm)∗ tal que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
‖h‖ = 0
Observamos que, se f e´ diferencia´vel em a, a transformac¸a˜o T satisfazendo a definic¸a˜o
acima e´ u´nica.
De fato, sejam T1, T2 ∈ L(IRm, IR) tais que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T1(h)|
‖h‖ = 0
e
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T2(h)|
‖h‖ = 0.
Enta˜o, note que
|T1(h)− T2(h)|
‖h‖ =
|T1(h)− (f(a+ h)− f(a)) + f(a+ h)− f(a)− T2(h)|
‖h‖
≤ |f(a+ h)− f(a)− T1(h)|‖h‖ +
f(a+ h)− f(a)− T2(h)|
‖h‖
Tomando o limite com h→ 0 temos
lim
h→0
|T1(h)− T2(h)|
‖h‖ = 0,
isto e´, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que 0 < ‖h‖ < δ enta˜o
|T1(h)− T2(h)| < �‖h‖
Dado x ∈ IRm podemos escrever x = 2‖x‖
δ
δ
2
x
‖x‖ . Enta˜o
|T1(x)− T2(x)| =
∣∣∣∣T1(2‖x‖δ δ2 x‖x‖
)
− T2
(
2‖x‖
δ
δ
2
x
‖x‖
)∣∣∣∣
= 2
‖x‖
δ
∣∣∣∣T1(δ2 x‖x‖
)
− T2
(
δ
2
x
‖x‖
)∣∣∣∣ mas ∥∥∥∥δ2 x‖x‖
∥∥∥∥ = δ2
<
2‖x‖
δ
�
δ
2
= ‖x‖�
34
Assim, para todo � > 0
|T1(x)− T2(x)| < �‖x‖, ∀x ∈ IRm
e, pela norma da transformac¸a˜o linear, temos
0 ≤ ‖T1 − T2‖L(IRm,IR) = max
x∈B1[0]
|T1(x)− T2(x)| < �
Como � e´ arbitra´rio, temos que T1 − T2 = 0, ou seja, T1 = T2.
Definic¸a˜o 6.4 A transformac¸a˜o linear T da definic¸a˜o anterior e´ a derivada de f no
ponto a denotada por df(a).
Analogamente, dada T ∈ L(IRm, IR) podemos definir
rT (h) = f(a+ h)− f(a)− T (h).
Teorema 6.2 Sejam U ⊂ IRm aberto, a ∈ U e f : U → IR. Enta˜o f e´ diferencia´vel no
ponto a se, e somente se, existe T ∈ L(IRm, IR) tal que o resto associado a T satisfaz
lim
h→0
rT (h)
‖h‖ = 0.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos f diferencia´vel no ponto a ∈ U . Isto, por definic¸a˜o, quer
dizer que existe T ∈ L(IRm, IR) tal que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
‖h‖ = 0
isto e´,
lim
h→0
|rT (h)|
‖h‖ = 0
2
Teorema 6.3 Sejam U ⊂ IRm aberto e a ∈ U . Se f : U → IR e´ diferencia´vel em a enta˜o:
(i) f e´ cont´ınua em a.
(ii) f possui derivada direcional
∂f
∂v
(a) segundo qualquer direc¸a˜o v ∈ IRm e
∂f
∂v
(a) = df(a)(v).
35
(iii) A derivada de f no ponto a e´
df(a) =
(
∂f
∂x1
(a), · · · , ∂f
∂xm
)
isto e´,
df(a) : IRm −→ IR
v 7−→ df(a)(v) =
(
∂f
∂x1
(a), · · · , ∂f
∂xm
)
v1
...
vm

=
m∑
j=1
∂f(a)
∂xj
vj.
(iv) As derivadas direcionais
∂f(a)
∂v
dependem linearmente de v.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Como f e´ diferencia´vel em a, dado � > 0, existe δ > 0 tal que
|f(a+ h)− f(a)− (df(a))(h)| ≤ �‖h‖IRm , se ‖h‖IRm < δ
Em particular, se � = 1 existe δ > 0 talque
|f(a+ h)− f(a)− (df(a))(h)| ≤ ‖h‖IRm , se ‖h‖IRm < δ
Logo,
|f(a+ h)− f(a)| = |f(a+ h)− f(a)− df(a)(h) + df(a)(h)|
≤ |f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)|+ |df(a)(h)|
≤ ‖h‖IRm + c‖h‖IRm = (c+ 1)‖h‖IRm
= k‖h‖IRm
isto e´, se ‖h‖IRm < δ enta˜o |f(a+ h)− f(a)| ≤ k‖h‖IRm . Segue que f e´ cont´ınua no ponto
a.
36
(ii) Como f e´ diferencia´vel em a enta˜o, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, se
0 < ‖h‖IRm < δ enta˜o
|f(a+ h)− f(a)− (df(a))(h)| ≤ �‖h‖IRm .
Logo, dado v ∈ IRm, v 6= 0 tomamos h = tv para 0 < |t| < δ‖v‖IRm , ou seja, para
0 < ‖h‖IRm = |t|‖v‖IRm < δ, enta˜o
|f(a+ h)− f(a)− (df(a))(tv)| ≤ �|t|‖v‖IRm
donde ∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)t − (df(a))(v)
∣∣∣∣ ≤ �‖v‖IRm
Em resumo, para todo � > 0, existe η > 0
(
η =
δ
‖v‖
)
tal que se 0 < |t| < η enta˜o
∣∣∣∣f(a+ tv)− f(a)t − df(a)(v)
∣∣∣∣ < ‖v‖IRm�
e isto implica que
lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
= (df(a))(v)
por sua vez, isto implica que existe
∂f(a)
∂v
= (df(a))(v).
(iii) Sabemos que L(IRm, IR) e´ isomorfo a M1×m(IR) (o conjunto das matrizes 1 ×m
com entradas reais) e que df(a) ∈ L(IRm, IR). Da´ı,
(df(a))(e1) = A1
(df(a))(e2) = A2
...
...
...
(df(a))(em) = Am
Pelo item anterior
A1 =
∂f
∂e1
(a) =
∂f
∂x1
(a)
...
...
...
Am =
∂f
∂em
(a) =
∂f
∂xm
(a)
37
Logo, df(a) =
(
∂f
∂x1
(a), · · · , ∂f
∂xm
(a)
)
1×m
e
(df(a))(v) =
(
∂f
∂x1
(a), · · · , ∂f
∂xm
(a)
)
1×m

v1
...
vm
 =
m∑
j=1
∂f(a)
∂xj
vj.
(iv) Imediato de (ii) pois df(a) e´ linear. 2
Teorema 6.4 (Condic¸a˜o de diferenciabilidade)
Sejam U ⊂ IRm aberto e a ∈ U . Se f : U −→ IR e´ tal que existem as derivadas parciais
∂f
∂xj
numa vizinhanc¸a de a e estas sa˜o cont´ınuas no ponto a, enta˜o f e´ diferencia´vel em
a.
Demonstrac¸a˜o: Seja η > 0 tal que
∂f
∂xj
(x) existe, para todo x ∈ Bη(a), ∀j = 1, · · · ,m.
Enta˜o, dado � > 0, existe δ > 0(0 < δ < η) tal que se ‖ξ‖IRm < δ enta˜o∣∣∣∣ ∂f∂xj (a+ ξ)− ∂f∂xj (a)
∣∣∣∣ < �
Agora, seja h ∈ IRm tal que ‖h‖ < δ. Considere
p(0) = (a1, a2, a3, · · · , am)
p(1) = (a1 + h1, a2, a3, · · · , am)
p(2) = (a1 + h1, a2 + h2, a3, · · · , am)
...
p(m) = (a1 + h1, a2 + h2, a3 + h3, · · · , am + hm) = a+ h
Enta˜o,
f(a+ h)− f(a) = f(p(m))− f(p(0))
= f(p(m))− f(p(m−1)) + f(p(m−1) − · · · − f(p(1)) + f(p(1))− f(p(0))
=
m∑
j=1
[
f(p(j))− f(p(j−1))]
38
Note que
[
p(j−1), p(j)
]
e´ um segmento paralelo ao j-e´simo eixo, ou seja,[
p(j−1), p(j)
]
=
{
p(j−1) + t(hjej), t ∈ [0, 1]
}
onde {e1, · · · , em} e´ a base canoˆnica do IRm. Pelo Teorema do Valor Me´dio, existe θj ∈
(0, 1) tal que
f(p(j))− f(p(j−1)) = ∂f
∂(hjej)
(p(j−1) + θj(hjej))
= hj
∂f
∂ej
(p(j−1) + θj(hjej))
= hj
∂f
∂xj
(p(j−1) + θj(hjej))
Portanto
f(a+ h)− f(a) =
m∑
j=1
hj
∂f
∂xj
(p(j−1) + θj(hjej))
donde∣∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)−
m∑
j=1
hj
∂f(a)
∂xj
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
m∑
j=1
(
∂f
∂xj
(p(j−1) + θj(hjej))− ∂f(a)
∂xj
)
hj
∣∣∣∣∣
≤
m∑
j=1
∣∣∣∣ ∂f∂xj (p(j−1) + θj(hjej))− ∂f(a)∂xj
∣∣∣∣ |hj|
< �
m∑
j=1
|hj| = �‖h‖S,IRm < m�‖h‖IRm
Resumindo, temos que para todo � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖IRm < δ enta˜o∣∣∣f(a+ h)− f(a)−∑mj=1 ∂f(a)∂xj hj∣∣∣
‖h‖IRm < m�
isto e´,
lim
h→0
∣∣∣f(a+ h)− f(a)−∑mj=1 ∂f(a)∂xj hj∣∣∣
‖h‖IRm = 0,
o que prova que f e´ diferencia´vel em a e df(a)(h) =
m∑
j=1
∂f
∂xj
(a)hj. 2
Observac¸a˜o 6.1 Toda func¸a˜o de classe C1 e´ diferencia´vel.
39
6.3.1 Gradiente
Para cada T ∈ L(IRm, IR) = (IRm)∗ existe um u´nico vT ∈ IRm tal que
T (u) = 〈vT , u〉.
Definic¸a˜o 6.5 Seja f : U ⊂ IRm −→ IR uma func¸a˜o diferencia´vel no ponto a do aberto
U . Enta˜o definimos o gradiente de f no ponto a, denotado por ∇f(a), como sendo o
vetor do IRm tal que
df(a)(u) = 〈∇f(a), u〉, ∀u ∈ IRm.
Teorema 6.5 Seja f : U ⊂ IRm −→ IR diferencia´vel no ponto a do aberto U . Enta˜o
∇f(a) =
(
∂f(a)
∂x1
, · · · , ∂f(a)
∂xm
)
.
6.4 Diferenciabilidade de func¸o˜es f : U ⊂ IRm −→ IRn
Definic¸a˜o 6.6 Sejam U ⊂ IRm um conjunto aberto, a ∈ U e f = (f1, · · · , fn) : U ⊂
IRm −→ IRn. Dizemos que f e´ diferencia´vel no ponto a quando existe T ∈ L(IRm, IRn) tal
que
lim
h→0
‖f(a+ h)− f(a)− T (h)‖IRn
‖h‖IRm = 0
No caso afirmativo, a aplicac¸a˜o T e´ u´nica e e´ denominada a derivada de f no ponto
a.
Denota-se T = df(a).
Para cada T ∈ L(IRm, IRn) podemos definir a func¸a˜o resto associada a T
rT : B�(0) ⊂ IRm −→ IRn
h 7−→ rT (h) = f(a+ h)− f(a)− T (h)
Aqui � > 0 e´ tal que B�(a) ⊂ U .
40
Teorema 6.6 Sejam U ⊂ IRm um aberto e a ∈ U . Uma func¸a˜o f : U ⊂ IRm −→ IRn e´
diferencia´vel em a se, e somente se, existe T ∈ L(IRm, IRn) tal que o resto rT satisfaz
lim
h→0
rT (h)
‖h‖ = 0.
Demonstrac¸a˜o: Imediata da definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 6.7 Sejam U ⊂ IRm um aberto, a ∈ U , v ∈ IRm e f : U ⊂ IRm −→ IRn. A
derivada direcional de f no ponto a, na direc¸a˜o do vetor v, e´ o vetor
∂f
∂v
(a) ∈ IRn dado
pelo limite
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
quando o limite existir.
Equivalentemente, um vetor w ∈ IRn e´ a derivada direcional de f no ponto a, na
direc¸a˜o do vetor v, quando para todo � > 0, existir δ > 0 tal que se 0 < |t| < δ enta˜o∥∥∥∥f(a+ tv)− f(a)t − w
∥∥∥∥
IRn
< �.
Teorema 6.7 Sejam U ⊂ IRm um aberto, a ∈ U e f = (f1, · · · , fn) : U ⊂ IRm −→ IRn.
(a) Se f e´ diferencia´vel em a, enta˜o f e´ cont´ınua.
(b) Se f e´ diferencia´vel em a enta˜o existe
∂f
∂v
(a) segundo qualquer direc¸a˜o v ∈ IRm e,
ale´m disso,
∂f
∂v
(a) = df(a)(v).
(c) f e´ diferencia´vel em a se, e somente se, para cada i = 1, 2, · · · , n tem-se que
41
fi : U ⊂ IRm −→ IR e´ diferencia´vel em a. No caso afirmativo temos
df(a) : IRm −→ IRn
v 7−→ df(a)(v) =

∂f1
∂x1
(a) · · · ∂f1
∂xm
(a)
...
. . .
...
∂fn
∂x1
(a) · · · ∂fn
∂xm
(a)

n×m

v1
...
vm

m×1
=

m∑
j=1
∂f1
∂xj
(a)vj
...
m∑
j=1
∂fn
∂xj
(a))vj

n×1
.
Demonstrac¸a˜o:
(a) Desde que f e´ diferencia´vel em a, dado � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖ < δ
enta˜o
‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖ < �‖h‖.
Para � = 1, existe δ > 0 tal que
‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖IRn < �‖h‖IRm .
Enta˜o
‖f(a+ h)− f(a)‖IRn = ‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h) + d(f(a)(h)‖IRn
≤ ‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖IRn + ‖d(f(a)(h)‖IRn
≤ (1 + c)‖h‖IRm
se 0 < ‖h‖IRm < δ. Isto mostra que f e´ cont´ınua no ponto a.
(b) Suponha f diferencia´vel em a. Enta˜o dado � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖ < δ
segue que
‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖ < �‖h‖
42
Dado v ∈ IRm, v 6= 0, seja h = tv com 0 < |t| < δ‖v‖ . Assim, 0 < ‖h‖ = |t|‖v‖ < δ e,
enta˜o
‖f(a+ tv)− f(a)− tdf(a)(v)‖ < �|t|‖v‖
ou seja, ∥∥∥∥f(a+ tv)− f(a)t − df(a)(v)
∥∥∥∥ < �‖v‖.
Logo, existe
lim
t→0
(
f(a+ tv)− f(a)
t
)
= df(a)(v) =
∂f
∂v
(a).
(c) Suponha que f = (f1, · · · , fn) : U ⊂ IRm −→ IRn e´ diferencia´vel no ponto a. Enta˜o
dado � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖ < δ enta˜o
‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖IRn < �‖h‖IRm .
Agora, note que, fixado i ∈ {1, · · · , n} temos
|fi(a+ h)− fi(a)− df(a)i(h)| ≤ max
1≤k≤n
{|fk(a+ h)− fk(a)− df(a)k|}
= ‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖M,IRn
≤ ‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖IRn
< �‖h‖IRm
Em resumo, para todo � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖ < δ enta˜o
|fi(a+ h)− fi(a)− df(a)i(h)| < �‖h‖IRm
com df(a)i ∈ L(IRm, IR). Logo fi : U −→ IR e´ diferencia´vel em a e, ale´m disso, dfi(a) =
df(a)i ou seja,
dfi(a) : IR
m −→ IR
v 7−→ dfi(a)(v) =
(
∂fi
∂x1
(a), · · · , ∂fi
∂xm
(a)
)
v1
...
vm

=
m∑
j=1
∂fi(a)
∂vj
vj
43
Reciprocamente, suponhamos que para cada i = 1, · · · , n, fi : U −→ IR e´ diferencia´vel.
Dado � > 0 existe δ > 0 tal que se 0 < ‖h‖ < δ enta˜o
|fi(a+h)− fi(a)− dfi(a)(h)| < �‖h‖, ∀i = 1, · · · , n
Definimos T : IRm −→ IRn onde Ti = dfi(a) para i = 1, · · · , n. E´ claro que T ∈
L(IRm, IRn) e
T (v) =

∂f1
∂x1
(a) · · · ∂f1
∂xm
(a)
...
. . .
...
∂fn
∂x1
(a) · · · ∂fn
∂xm
(a)

n×m

v1
...
vm

m×1
Logo
‖f(a+ h)− f(a)− T (h)‖IRn ≤ n max
1≤i≤n
{|fi(a+ h)− fi(a)− Ti(h)|}
≤ n�‖h‖IRm
se 0 < ‖h‖ < δ, isto e´, existe T ∈ L(IRm, IRn) tal que
lim
h→0
‖f(a+ h)− f(a)− T (h)‖IRn
‖h‖IRm = 0
. Logo f e´ diferencia´vel em a e df(a) = T . 2
Observac¸a˜o 6.2 A matriz
(
∂fi
∂xj
)
n×m
, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, e´ denominada matriz
jacobiana de f no ponto a. Quando n = m o determinante da matriz jacobiana e´ deno-
minado o Jacobiano de f no ponto a.
6.4.1 Regra da Cadeia
Teorema 6.8 Sejam f : U ⊂ IRm −→ IRν e g : V ⊂ IRν −→ IRn tais que f(U) ⊂ V (
U e V sa˜o abertos). Se f e´ diferencia´vel no ponto a ∈ U e g e´ diferencia´vel no ponto
b = f(a) enta˜o (g ◦ f) : U ⊂ IRm −→ IRn e´ diferencia´vel no ponto a e
d(g ◦ f)(a) = (dg(b) ◦ df(a))
Demonstrac¸a˜o: Como df(a) ∈ L(IRm, IRν) e dg(a) ∈ L(IRν , IRn) temos que (dg(b) ◦
df(a)) ∈ L(IRm, IRn). Ale´m disso,
44
‖(g ◦ f)(a+ h)− (g ◦ f)(a)− (dg(b) ◦ df(a))(h)‖IRn =
= ‖(g ◦ f)(a+ h)− (g ◦ f)(a) + dg(b)(f(a+ h)− f(a))− dg(b)(f(a+ h)− f(a))− (dg(b)(df(a)(h))‖
= ‖g(f(a+ h))− g(f(a))− dg(b)(f(a+ h)− f(a)) + dg(b)(f(a+ h)− f(a)− df(a)(h))‖
≤ ‖g(f(a+ h))− g(b)− dg(b)(f(a+ h)− f(a))‖+ ‖dg(b)(f(a+ h)− f(a)− df(a)(h))‖
≤ c1‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖
(6.1)
Agora, como f e´ diferencia´vel no ponto a e g e´ diferencia´vel no ponto b = f(a), enta˜o
dado � > 0 existe δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
‖f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)‖IRν ≤ �‖h‖IRm , se ‖h‖ < δ1 (6.2)
e
‖g(b+ ξ)− g(b)− dg(b)(ξ)‖IRn ≤ �‖ξ‖IRµ , se ‖ξ‖ < δ2 (6.3)
Ale´m disso, sabemos que existem δ3 > 0 e c2 > 0 tais que
‖f(a+ h)− f(a)‖ < c2‖h‖ se ‖h‖ < δ3 (6.4)
Escolhendo δ = min{δ1, δ2
c2
, δ3} teremos
se ‖h‖ < δ ⇒ ‖f(a+ h)− f(a)‖IRν ≤ c2‖h‖IRm < c2 δ2
c2
= δ2 ⇒
‖g (b+ f(a+ h)− f(a))− g(b)− dg(b) (f(a+ h)− f(a)) ‖IRn ≤ �‖f(a+ h)− f(a)‖IRν
ou seja
‖g (b+ f(a+ h)− f(a))− g(b)− dg(b) (f(a+ h)− f(a)) ‖IRn ≤ �c2‖h‖IRν . (6.5)
Logo,
‖(g ◦ f)(a+ h)− (g ◦ f)(a)− (dg(b) ◦ df(a)) (h)‖IRn ≤ �c2‖h‖IRm + �‖h‖IRm
= �(c2 + 1)‖h‖IRm , se ‖h‖ < δ
45
Resumindo, para todo � > 0 existe δ > 0 tal que se ‖h‖ < δ enta˜o
‖(g ◦ f)(a+ h)− (g ◦ f)(a)− (dg(b) ◦ df(a)) (h)‖IRn ≤ �(c2 + 1)‖h‖IRm , se ‖h‖ < δ.
2
Exemplo 6.4 Seja f : [0, 2pi] −→ IR2 dada por f(t) = (cos t, sen t). E´ claro que f e´
diferencia´vel em (0, 2pi) e
df(t0) : IR −→ IR2
t 7−→ df(t0)(t) =
 − sen t0
cos t0

2×1
(t)1×1
=
 −t sen t0
t cos t0

isto e´,
df(t0)(t) = (−t sen t0, t cos t0)
ou ainda,
df(t0) = (− sen t0, cos t0).
Note ainda que
‖df(t0)‖L(IR,IR2) = max|t|≤1 ‖df(t0)(t)‖IR2 = max|t|≤1 |t| = 1
e
‖df(t0)‖IR2 = ‖(− sen t0, cos t0)‖IR2 = 1
logo df(t0) 6= 0, ∀t0 ∈ (0, 2pi). Entretanto,
f(2pi)− f(0) = 0.
Segue que f(2pi)− f(0) 6= f ′(t0)(2pi).
Portanto, na˜o pode haver uma fo´rmula ana´loga ao teorema do valor me´dio quando
f : U ⊂ IRm −→ IRn, n > 1.
46
Teorema 6.9 (Desigualdade do valor me´dio para func¸o˜es vetoriais)
Seja f : [a, b] ⊂ IR −→ IRn uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b).
Enta˜o, existe x ∈ (a, b) tal que
‖f(b)− f(a)‖IRn ≤ ‖df(x)‖L(IR,IRn)(b− a),
ou, equivalentemente
‖f(a+ u)− f(a)‖IRn ≤ ‖df(a+ θu)‖L(IR,IRn)|u|.
Demonstrac¸a˜o: Considere v = (f(b)− f(a)). Temos que 0 6= v ∈ IRn. Definamos
ϕ : [a, b] −→ IR
t 7−→ ϕ(t) = 〈v, f(t)〉IRn
Observe que ϕ e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Pelo Teorema do Valor
Me´dio, existe x ∈ (a, b) tal que
|ϕ(b)− ϕ(a)| = ϕ′(x)(b− a),
isto e´,
|ϕ(b)− ϕ(a)| = 〈v, f ′(x)〉(b− a) ≤ ‖v‖‖f ′(x)‖(b− a).
Por outro lado,
|ϕ(b)− ϕ(a)| = 〈v, f(b), 〉 − 〈v, f(a)〉
= 〈v, f(b)− f(a)〉
= 〈v, v〉 = ‖v‖2.
Logo
‖v‖2 ≤ ‖v‖‖f ′(x)‖(b− a).
Como v 6= 0, enta˜o, da desigualdade acima resulta que
‖v‖ ≤ ‖f ′(x)‖(b− a)
que, por sua vez, implica que
‖f(b)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(x)‖IRn(b− a)
47
ou, ainda,
‖f(b)− f(a)‖ ≤ ‖df(x)‖L(IR,IRn)(b− a).
2
Teorema 6.10 Seja f : U ⊂ IRm −→ IRn uma func¸a˜o diferencia´vel no conjunto aberto e
convexo U . Se a, b ∈ U enta˜o existe um ponto c no segmento (a, b) tal que
‖f(b)− f(a)‖IRn ≤ ‖df(c)‖L(IRm,IRn)‖b− a‖IRm .
Demonstrac¸a˜o: A func¸a˜o λ : [0, 1] −→ IRm que a cada t ∈ [0, 1] associa λ(t) = a+t(b−a)
e´ uma parametrizac¸a˜o do segmento retil´ıneo [a, b] com λ(0) = a e λ(1) = b. Ale´m disso,
λ([0, 1]) ⊂ U pois U e´ convexo.
Tomando (f ◦λ) : [0, 1] ⊂ IR −→ IRn segue que f ◦λ e´ cont´ınua em [0, 1] e diferencia´vel
em (0, 1). Pelo teorema anterior, existe x ∈ (0, 1) tal que
‖(f ◦ λ(1)− (f ◦ λ)(0)‖IRn ≤ ‖d(f ◦ λ)(x)‖L(IR,IRn).
Da´ı,
‖f(b)− f(a)‖IRn ≤ ‖d(f ◦ λ)(x)‖L(IR,IRn)
Agora, observamos que
(d(f ◦ λ)(x))(v) = (df(λ(x)) ◦ dλ(x))v
= [df(λ(x))(dλ(x)v)
= [df(λ(x))](v(b− a)), ∀v ∈ IR.
Enta˜o,
‖d(f ◦ λ)(x)‖ = max
|v|≤1
‖d(f ◦ λ)(x)(v)‖IRm
= max
|v|≤1
‖df(λ(x))(v(b− a))‖nIR
≤ max
|v|≤1
‖df(λ(x))‖L(IRm,IRn)|v|‖b− a‖IRm
≤ ‖f(λ(x))‖L(IRm,IRn)‖b− a‖.
48
Como x ∈ (0, 1) e λ(x) = c ∈ (a, b), segue que
‖f(b)− f(a)‖IRm ≤ ‖df(c)‖L(IRm,IRn)‖b− a‖IRm
2
6.5 Func¸o˜es Continuamente Diferencia´veis e Deriva-
das de Ordem Dois
Definic¸a˜o 6.8 Uma func¸a˜o f = (f1, · · · , fn) : U ⊂ IRm −→ IRn e´ dita continuamente
diferencia´vel no aberto U (ou de classe C1 em U) quando para todo i = 1, · · · , n e j =
1, · · · ,m existe ∂fi
∂xj
em todo ponto de U e
∂fi
∂xj
: U −→ IR sa˜o cont´ınuas.
Observac¸a˜o 6.3 f = (f1, · · · , fn) ∈ C1(U, IRn)⇔ fi ∈ C1(U, IR), ∀i = 1, · · · , n.
Se f = (f1, · · · , fn) : U −→ IRn e´ de classe C1, enta˜o f e´ diferencia´vel em todo ponto
U . Desta forma, fica definida a aplicac¸a˜o
df : U −→ L(IRm, IRn)
x 7−→ df(x).
Teorema 6.11 A func¸a˜o f = (f1, · · · , fn) : U ⊂ IRm −→ IRn e´ de classe C1 se, e somente
se, f e´ diferencia´vel em U e df : U −→ L(IRm, IRn) e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o: Suponha que f : U −→ IRn e´ de classe C1. Enta˜o, existe ∂fi
∂xj
em todo
ponto de U e
∂fi
∂xj
: U −→ IR e´ cont´ınua para todo i e todo j. Isto e os teoremas 6.4 e 6.7
implicam que f e´ diferencia´vel em U . Ale´m disso, dado arbitrariamente a ∈ U e � > 0,
existe δ > 0 tal que, se ‖x− a‖IRm < δ enta˜o∣∣∣∣ ∂fi∂xj (x)− ∂fi∂xj (a)
∣∣∣∣ < �nm, ∀i, j
Observe que,
df(a)(v) =
(
m∑
j=1
∂f1
∂xj
(a)vj, · · · ,
m∑
j=1
∂fn
∂xj
(a)vj
)
;
49
df(x)(v) =
(
m∑
j=1
∂f1
∂xj
(x)vj, · · · ,
m∑
j=1
∂fn
∂xj
(x)vj
)
;
logo
df(x)(v)− df(a)(v) =
(
m∑
j=1
(
∂f1
∂xj
(x)− ∂f1
∂xj
(a)
)
vj, · · · ,
m∑
j=1
(
∂fn
∂xj
(x)− ∂fn
∂xj
(a)
)
vj
)
;
e, assim,
‖df(x)(v)− df(a)(v)‖IRn ≤ n‖df(x)(v)− df(a)(v)‖M,IRn
= nmax
{∣∣∣∣∣
m∑
j=1
(
∂f1
∂xj
(x)− ∂f1
∂xj
(a)
)
vj
∣∣∣∣∣ , · · · ,
∣∣∣∣∣
m∑
j=1
(
∂fn
∂xj
(x)− ∂fn
∂xj
(a)
)
vj
∣∣∣∣∣
}
≤ nmax
{
m∑
j=1
∣∣∣∣∂f1∂xj (x)− ∂f1∂xj (a)
∣∣∣∣ |vj| , · · · , m∑
j=1
∣∣∣∣∂fn∂xj (x)− ∂fn∂xj (a)
∣∣∣∣ |vj|
}
Portanto,
‖df(x)− df(a)‖L(IRm,IRn) = max‖v‖IRm<1 ‖(df(x)− df(a))(v)‖IR
n
≤ nmax
{
m∑
j=1
∣∣∣∣∂f1∂xj (x)− ∂f1∂xj (a)
∣∣∣∣ , · · · , m∑
j=1
∣∣∣∣∂fn∂xj (x)− ∂fn∂xj (a)
∣∣∣∣
}
= n
m∑
j=1
∣∣∣∣ ∂fi∂xj (x)− ∂fi∂xj (a)
∣∣∣∣
< n ·m · ( �
m·n
)
= �
ou seja, se ‖x−a‖ < δ enta˜o ‖df(x)−df(a)‖L(IRm,IRn) < �. Portanto, df : U −→ L(IRm, IRn)
e´ cont´ınua no ponto a. Como a e´ arbitra´rio, conclui-se que df : U −→ L(IRm, IRn) e´
cont´ınua em U .
Reciprocamente, suponhamos que f e´ diferencia´vel em U e df : U −→ L(IRm, IRn) e´
cont´ınua. Logo pelo Teorema 6.7 existe
∂f
∂v
em U , segundo qualquer direc¸a˜o v ∈ IRm e
∂f
∂v
(x) = df(x)(v), ∀x ∈ U . Em particular,se {e1, · · · , em} e´ a base canoˆnica do IRm,
50
existe
∂f
∂ej
(x) = df(x)(ej) =
(
∂f1
∂xj
(x), · · · , ∂fn
∂xj
(x)
)
, ∀j = 1, · · · , n
Ale´m disso, se {u1, · · · , un} e´ a base canoˆnica do IRn, temos
〈df(x)(ej), ui〉IRn = ∂fi
∂xj
(x).
Isto mostra que existe
∂fi
∂xj
(x) em todo ponto de U , para todo i = 1, · · · ,m e todo
j = 1, · · · , n e, ale´m disso,
∂fi
∂xj
(x) = 〈df(x)(ej), ui〉IRn .
Para provar a continuidade de
∂fi
∂xj
: U −→ IR
fac¸amos ∣∣∣∣ ∂fi∂xj (x)− ∂fi∂xj (a)
∣∣∣∣ = | 〈df(x)(ej), ui〉 − 〈df(a)(ej), ui〉 |
= |〈df(x)(ej)− df(a)(ej), ui〉|
= |〈(df(x)− df(a)) (ej), ui〉|
≤ ‖ (df(x)− df(a)) ej‖IRn‖ui‖IRn
≤ ‖df(x)− df(a)‖L(IRm,IRn)‖ej‖IRn‖ui‖IRn
isto e´, ∣∣∣∣ ∂fi∂xj (x)− ∂fi∂xj (a)
∣∣∣∣ ≤ ‖df(x)− df(a)‖L(IRm,IRn)
o que mostra a continuidade de
∂fi
∂xj
: U −→ IR. 2
De acordo com o teorema anterior, se f : U ⊂ IRm −→ IRn e´ de classe C1 no aberto
U enta˜o esta´ definida a aplicac¸a˜o
df : U −→ L(IRm, IRn)
x 7−→ df(x)
51
a qual e´ cont´ınua.
Sabemos que L(IRm, IRn) e´ isomorfo a Mn×m(IR) que, por sua vez, e´ isomorfo a IRn·m.
Via este isomorfismo, podemos escrever
df : U −→ IRnm
x 7−→ df(x)
onde as nm func¸o˜es
∂fi
∂xj
: U ⊂ IRm −→ IR sa˜o as coordenadas de df . Logo df : U −→ IRnm
e´ diferencia´vel se, e somente se, as (nm) func¸o˜es
∂fi
∂xj
: U −→ IR sa˜o diferencia´veis.
Definic¸a˜o 6.9 Uma func¸a˜o f : U ⊂ IRm −→ IRn definida em um aberto U , diz-se duas
vezes diferencia´vel no ponto a ∈ U quando existe um aberto V , com a ∈ V ⊂ U tal que f
e´ diferencia´vel em V e a aplicac¸a˜o df : V −→ L(IRm, IRn) e´ diferencia´vel no ponto a.
Observac¸a˜o 6.4 Uma func¸a˜o f : U ⊂ IRm −→ IRn e´ duas vezes diferencia´vel em a se, e
somente se, as (nm) func¸o˜es
∂fi
∂xj
: V ⊂ IRm −→ IR sa˜o diferencia´veis em a, ou seja, se,
e somente se,
∂f
∂v
: V −→ IRn
e´ diferencia´vel no ponto a, para todo v ∈ IRm.
Dada f : U ⊂ IRm −→ IRn duas vezes diferencia´vel no ponto a ∈ U , a derivada
df : V −→ L(IRm, IRn) no ponto a e´ denominada derivada segunda de f no ponto a e e´
denotada por d2f(a). Enta˜o
d2f(a) = d(df(a)) ∈ L(IRm,L(IRm, IRn)) ≈ L(IRm, IRnm)
Exemplo 6.5 Seja f : U ⊂ IRm −→ IR duas vezes diferencia´vel. Isto e´ equivalente a
dizer que as m func¸o˜es
∂f
∂xj
: V −→ IR sa˜o diferencia´veis no ponto a, com
d
(
∂f
∂xj
)
(a) : IRm −→ IR
v 7−→ d
(
∂f
∂xj
)
(a)(v) =
(
∂2f
∂x1∂xj
(a), · · · , ∂
2f
∂xn∂xj
(a)
)
v1
...
vm

=
m∑
k=1
∂2f
∂xk∂xj
(a)vk
52
Enta˜o,
d2f(a) = d(df(a)) ∈ L(IRm,L(IRm, IR)) ≈ L(IRm, IRm)
onde
d2f(a) : IRm −→ (IRm)∗
v 7−→ d2f(a)(v) =
(
m∑
k=1
∂2f
∂xk∂x1
(a)(vk), · · · ,
m∑
k=1
∂2f
∂xk∂xm
(a)(vk)
)
=

∂2f
∂x1∂x1
(a)
∂2f
∂x2∂x1
(a) · · · ∂
2f
∂xm∂x1
(a)
...
...
. . .
...
∂2f
∂x1∂xm
(a)
∂2f
∂x2∂xm
(a) · · · ∂
2f
∂xm∂xm
(a)


v1
...
vm

=
(
∂2f
∂xj∂xi
(a)
)
m×m

v1
...
vm

m×1
e
d2f(a)(v) : IRm −→ IR
w 7−→ (d2f(a)(v)) (w) =
(
m∑
k=1
∂2f(a)(vk)
∂xk∂x1
, · · · ,
m∑
k=1
∂2f(a)(vk)
∂xk∂xm
)
1×m

w1
...
wm

m×1
= w1
m∑
k=1
∂2f(a)(vk)
∂xk∂x1
+ · · ·+ wm
m∑
k=1
∂2f(a)(vk)
∂xk∂xm
Assim,
L(IRm,L(IRm, IR)) ≈ L2(IRm, IR) = {B : IRm × IRm −→ IR;B e´ bilinear}
d2f(a) d2f(a)
↘ ↗
Mm×m(IR)(
∂2f
∂xj∂xi
(a)
)
53
Assim,
(
d2f(a)(v)
)
(w) = (w1, · · · , wm)
(
∂2f(a)
∂xi∂xj
)
︸ ︷︷ ︸
matriz Hessiana

v1
...
vm

isto e´, fica definido o funcional linear
d2f(a) : IRm × IRm −→ IR
(v, w) 7−→ d2f(a)(v, w) = (w1, · · · , wm)
(
∂2f(a)
∂xi∂xj
)
v1
...
vm

Para o caso geral, se f : U ⊂ IRm −→ IRn e´ duas vezes diferencia´vel no ponto a ∈ U
enta˜o
d2f(a) ∈ L(IRm,L(IRm, IRn)).
Mas, temos o isomorfismo
L(IRm,L(IRm, IRn)) ≈ L2(IRm, IRn) = {B : IRm × IRm −→ IR;B e´ bilinear }
que a cada T ∈ L(IRm,L(IRm, IRn)) associa BT onde BT (v, w) = (T (v))(w). Logo, d2f(a)
e´ uma aplicac¸a˜o bilinear
d2f(a) : IRm × IRm −→ IRn
(v, w) 7−→ d2f(a)(v, w) = (d2f(a)(v)) (w)
Definic¸a˜o 6.10 Uma func¸a˜o f : U ⊂ IRm −→ IRn e´ de classe C2 no aberto U quando f
e´ duas vezes diferencia´vel em todo o ponto de U e a aplicac¸a˜o
d2f : U −→ L(IRm,L(IRm, IRn))
e´ cont´ınua.
Teorema 6.12 (Schwarz) Sejam U ⊂ IRm um aberto e a ∈ U . Se f : U ⊂ IRm −→ IR e´
duas vezes diferencia´vel no ponto a enta˜o
∂2f
∂xi∂xj
(a) =
∂2f
∂xj∂xi
(a), ∀ i, j(1 ≤ i, j ≤ k)
54
Demonstrac¸a˜o: Sem perda de generalidade, podemos considerar U ⊂ IR2 e a = (x0, y0).
Como U e´ aberto, existe c > 0 tal que o quadrado (x0 − �, x0 + �)× (y0 − �, y0 + �) ⊂ U .
Definimos ϕ : (−�, �) −→ IR dada por
ϕ(t) = f(x0 + t, y0 + t)− f(x0 + t, y0)− f(x0, y0 + t) + f(x0, y0)
Desta forma, para cada t ∈ (−�, �) fixo, a func¸a˜o ξ : [x0 − t, x0 + t] −→ IR que a cada
x ∈ [x0 − t, x0 + t] associa ξ(x) = f(x, y0 + t)− f(x, y0) satisfaz
(i) ξ(x0 + t)− ξ(x0) = ϕ(t)
(ii) ξ e´ diferencia´vel no intervalo (x0, x0 + t) e e´ cont´ınua em [x0, x0 + t]
Assim, pelo teorema do valor me´dio, temos que existe θ ∈ (0, 1) tal que
ξ(x+ 0 + t)− ξ(x0) = ξ′(x+ θt)t
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ϕ(t) =
[
∂f
∂x
(x0 + θt, y0 + t)− ∂f
∂x
(x0 + θt, y0)
]
t
Como
∂f
∂x
: U −→ IR e´ diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o temos que:
lim
t→0
∣∣∣∣∂f∂x (x0 + θt, y0 + t)− ∂f∂x (x0, y0)− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(θt, t)
∣∣∣∣
√
θ2 + 1 |t| = 0
isto e´,
lim
t→0
∂f
∂x
(x0 + θt, y0 + t)− ∂f
∂x
(x0, y0)− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(θt, t)
t
= 0
e tambe´m temos
lim
t→0
∂f
∂x
(x0 + θt, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(θt, 0)
t
= 0
Da´ı,
lim
t→0
∂f
∂x
(x0 + θt, y0 + t)− ∂f
∂x
(x0 + θt, y0)− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(0, t)
t
= 0
55
ou,
lim
t→0

[
∂f
∂x
(x0 + θt, y0 + t)− ∂f
∂x
(x0 + θt, y0)
]
t
t2
− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(0, t)
t
 = 0
ou, ainda,
lim
t→0
(
ϕ(t)
t2
− d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(0, t)
t
)
= 0
Mas,
d
(
∂f
∂x
)
(x0, y0)(0, t) =
∂2f
∂x2
(x0, y0)0 +
∂2f
∂y∂x
(x0, y0)t
Assim,
lim
t→0
[
ϕ(t)
t2
− ∂
2f
∂y∂x
(x0, y0)
]
= 0
o que implica
lim
t→0
ϕ(t)
t2
=
∂2f
∂y∂x
(x0, y0)
Analogamente, considerando, no lugar de ξ, a func¸a˜o
ψ : [y0 − t, y0 + t] −→ IR
y 7−→ ψ(y) = f(x0 + t, y)− f(x0, y0)
obtemos
lim
t→0
ϕ(t)
t2
=
∂2f
∂x∂y
(x0, y0).
Segue que
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x
(x0, y0)
2
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