RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS SEÇÃO 7.6 - LIVRO UM CURSO DE CALCULO VOL 1- HAMILTOM GUIDORRIZI

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\documentclass[a4paper, 12pt ]{article}
\usepackage[portuguese]{babel}%Traduz proofs, theorems, lemmas.. 	
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} %Permite amiente proof, teoremas, definições e lemas.
\usepackage{mathrsfs} %perimite uso de fontes para conjuntos
\usepackage{amssymb}%Permite \varnothing
\usepackage[top=3cm,left=2cm,right=2cm,bottom=3cm]{geometry} %margens
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\DeclareMathOperator{\N}{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator{\Z}{\mathbb{Z}}
\DeclareMathOperator{\Q}{\mathbb{Q}}
\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}
%\newtheorem{thm}{Teorema}[section]
\newtheorem{thm}{Teorema}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{prop}{Proposição}
\newtheorem{cor}[thm]{Corolary}
\newtheorem{defn}{Definição}[section]
\newtheorem{axiom}{Axioma}
\newtheorem{exercise}{Exercício}
\newtheorem{problem}{Problema}
\renewcommand{\sin}{\textrm{sen }}
\newcommand{\tg}{\textrm{tg }}
\newcommand{\ctg}{\textrm{cotg }}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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%				Header and Footer
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\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Derivabilidade e Continuidade}
\chead{}
\rhead{\thepage}
\lfoot{}
\cfoot{}
\rfoot{\textbf{Prof. Cícero Hitzschky }}
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%					Title
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\title{\textbf{{\Huge UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1 {\Large HAMILTOM L. GUIDORIZZI} } }\\ \textbf{ \Large \textcolor{red}{Exercícios Resolvidos}} }
\author{\includegraphics[width=0.4cm]{ig} \url{bit.ly/cicerohitzschky}}
\date{}
\begin{document}
\begin{center}
	\textbf{{\Huge UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1 {\Large HAMILTOM L. GUIDORIZZI} }\\ \textbf{ \Large \textcolor{red}{Exercícios Resolvidos}} }\\
	\includegraphics[width=0.4cm]{ig} \url{bit.ly/cicerohitzschky}
\end{center}
\section*{Introdução} 
 \quad Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 7.6 do livro \textit{Um curso de cálculo Vol.1}. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando aqui com as resoluções das seções deste livro de \textit{Hamiltom Luiz Guidorizzi}. Espero que gostem, compartilhem e curtam! Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para um contato mais direto tirar alguma dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram.
 \quad Nesta seção é abordada a diferença entre derivabilidade e continuidade. O enfoque é dado ao teorema abaixo. 
 	\begin{thm}
 		Se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$. Equivalentemente, se $f$ não for contínua em $p$, então $f$ não é derivável em $p$.
 	\end{thm} 
\textbf{Notação:} Eu denotarei a derivada a esquerda (direita) por $f'_-$\ ($f'_+$) 		
\section*{Exercícios 7.6}
\begin{enumerate}
	
%==========================================================================	
%								QUESTÃO 1		
%==========================================================================		
	\item Seja 
	$f(x)=\begin{cases}
				x+1 \textrm{ se } x<2\\
				1 \textrm{ se } x\geq 2\\
				\end{cases}$ 
		\begin{enumerate}
			\item $f$ é contínua em 2? Por quê?\\
			\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}
				 Não, pois 
				 $$
				 \ds \lim_{x \to 2^-}f(x)
				 =
				 \ds \lim_{x \to 2^-}(x+1)
				 =
				 2+1
				 =
				 3.
				 $$
				 Enquanto que 
				 $$
				 \ds\lim_{x \to 2^+}f(x)
				 =
				 \ds\lim_{x \to 2^+}1
				 =1.
				 $$
				 Como 
				 $\ds \lim_{x \to 2^-}f(x) 
				 \neq 
				 \ds \lim_{x \to 2^+}f(x)
				 $
				 a função não é contínua em 2
			\item $f$ é derivável em 2? Por quê?\\
			\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}
				Não, pelo teorema 1.
		\end{enumerate}	
%==========================================================================	
%								QUESTÃO 2		
%==========================================================================	
	\item Seja 
	$f(x)=\begin{cases}
		x^2 \textrm{ se } x\leq 0\\
		-x^2 \textrm{ se } x> 0\\
	\end{cases}$ 
		\begin{enumerate}
			\item $f$ é derivável em 0? Por quê?\\
			\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}
				Sim, pois
					$$
					f'_-(0)
					=
					2\cdot (0)
					=
					0
					$$
				e 
					$$
					f'_+(0)
					=
					-2\cdot (0)
					=
					0
					$$
				Como $f'_-(0)=f'_+(0)$ a função é derivável no ponto 0.
			\item $f$ é contínua em 0? Por quê?\\
			\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}
				Sim, pelo teorema 1.
		\end{enumerate}	
%==========================================================================	
%								QUESTÃO 3		
%==========================================================================	
	\item Seja 
		$f(x)=\begin{cases}
			-x+3 \textrm{ se } x<3\\
			x-3 \textrm{ se } x\geq 3\\
		\end{cases}$ 
			\begin{enumerate}
				\item $f$ é derivável em 3? Por quê?\\
				\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}\\
					Não, pois 
					$$
					-1
					=
					f'_-(3)
					\neq 
					f'_+(3)
					=
					1.
					$$
				\item $f$ é contínua em 3? Por quê?\\
				\textit{\textbf{\textcolor{red}{Solução:}}}
					Sim, Pois
					$$
					\lim_{x \to 3^-}f(x)
					=
					\lim_{x \to 3^-}(-x+3)
					=
					0
					=
					\lim_{x \to 3^+}(x-3)
					=
					\lim_{x \to 3^+}f(x)
					$$
				
			\end{enumerate}	
			
	
	
	
	
	
	
\end{enumerate}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\end{document}