ER_ Sistema pu

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy 
 
SISTEMA POR UNIDADE 
 
1. Considere o sistema elétrico apresentado na Figura 1, com os dados a-
presentados na Tabela 1. Pede-se obter a corrente nos terminais do gera-
dor G1 e a tensão na alta tensão do transformador T2 e no enrolamento 
de baixa tensão do transformador T1. Determine a potência gerada pelo 
gerador G1 para atender a carga. Determine também os MVAR de banco 
capacitor necessário para corrigir o fator de potência da carga para 0.92, 
admitindo a carga com potência constante. Determine a nova potência ati-
va e reativa gerada por G1 para atender a carga após a correção do fator 
de potência, assumindo que a tensão na carga permanece constante em 
13 KV. 
 
Figura 1 – Diagrama unifilar do sistema elétrico 
Tabela 1 
COMPONENTE DADOS 
GERADOR SÍNCRONO G1 8 MVA, 13.8 kV, Xs = j0.9 pu 
TRAFO DE POTÊNCIA T1 10 MVA, 69 kV / 14 kV, Z = 4% YNd1 
LINHA DE TRANSMISSÃO LT1 j47,6 Ω 
TRAFO DE POTÊNCIA T2 10 MVA, 67 kV / 13.8 kV, 4%, YNd11 
CARGA 
6 MVA, com fator de potência de 0.75 indutivo 
na tensão de 13 kV 
 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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SOLUÇÃO: 
PRIMEIRA ETAPA: IDENTIFICAÇÃO DOS CIRCUITOS 
 
CIRCUITO - é um trecho do sistema elétrico cujos componentes operam no 
mesmo nível de tensão 
 
Número de Circuitos – 3 
 
Identifique cada um dos circuitos na Figura 2. 
T1
LT1
T2
G1
CIRCUITO 1 CIRCUITO 2 CIRCUITO 3
 
Figura 2 - Identificação dos circuitos 
 
SEGUNDA ETAPA: ESCOLHA DOS VALORES BASE DE CADA CIRCUITO 
 
De acordo com os princípios de utilização do sistema pu, para que possamos 
eliminar os transformadores ideais dos circuitos equivalentes dos transforma-
dores reais do sistema elétrico, os valores base de potência de cada circuito 
devem ser rigorosamente iguais e os valores bases de tensão de cada circuito 
devem estar relacionados pela relação de transformação de cada circuito a-
coplado eletromagneticamente. Os valores base de tensão do sistema devem 
ser escolhidos de forma a evitar um número elevado de mudanças de base e 
de forma a que, os valores base sejam valores coerentes com a capacidade 
máxima de geração ou de transformação. Procurando seguir estas orienta-
ções, foram escolhidos os seguintes valores base:SB1 = SB2 = SB3 =10 MVA e 
VB1 =13.8 kV 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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KV 3014,68
14
69.8,13
14
69.VV B1B2 === 
 
0089,14
67
 13.8 .0143,68
67
 13,8 .VV B2B3 === 
 
 
TERCEIRA ETAPA: OBTER TODAS AS IMPEDÂNCIAS EM PU NOS VALO-
RES BASE ADOTADOS PARA CADA CIRCUITO DO 
SISTEMA ELÉTRICO 
 
Para que possamos obter tensões, correntes e/ou potências ativa e reativo 
num dado ponto do sistema elétrico é necessário que todos os parâmetros e 
dados estejam em pu numa base única. 
 
Gerador G1: 
2
BN
BA
BA
 BN
V
 V.
S
 S 0,9.jXs ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
 pu j1,1250
13,8
 13,8.
8
 100,9.jXs
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 
 
Transformador T1: 
2
BN
BA
BA
 BN
T1
V
 V.
S
 S 0,04.jX ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
 pu j0.0412
13,8
 14.
10
 100,04.jX
2
T1 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
 
 
 puj0.0412XT1 = 
 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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Linha de Transmissão LT1: 
 
( )
B
2
B
LT1.
B
LT1
LT1
S
V
X
Z
XX == 
 
 
( ) ( )
pu j0.1029 
10
68,0143
47.6j
S
V
47.6
Z
47.6X 2
.
B
2
B
.
B
LT1 ==== 
 
Transformador T2: 
2
BN
BA
BA
 BN
T2
V
 V.
S
 S 0,04.X ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
 pu j0.0388
68,0143
67.
10
10 0,04.X
2
T2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 
 
QUARTA ETAPA: CÁLCULO DA CORRENTE DE CARGA 
 
A carga no instante a ser considerado, é alimentada por uma corrente em pu 
que pode ser obtida pela seguinte equação: 
 
pu j0.6967 
14,0089
 13 
10
 6 
V
13
S
6
V
 Sc I
B3
B
C
C ==== 
 
Admitindo a tensão na carga como referência, isto é: CV∠ = 00, a fase da cor-
rente pode ser determinada a partir do fator de potência pela seguinte equa-
ção: 
 41.4096arccos(FP)VC −=−=∠ 
 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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QUINTA ETAPA: DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS EM PU 
Obtendo todos os modelos e impedâncias dos componentes do sistema elé-
trico da Figura 1 nos valores base do sistema elétrico definidos anteriormente, 
os transformadores ideais dos circuitos equivalentes dos transformadores de 
potência podem ser omitidos e o diagrama de impedâncias pode ser esboça-
do como pode ser visto na Figura 3. 
CARGAVT VC
ICjXT1 jXLT jXT2
 
Figura 3 - Diagrama de impedâncias 
 
SEXTA ETAPA: CÁLCULO DA TENSÃO TERMINAL DO GERADOR 
Desprezando as defasagens angulares introduzidas pelos transformadores T1 
e T2, a tensão terminal do gerador pode ser obtida pela seguinte equação: 
 
CLTT2T1CT ).IXXj(XVV +++= 
 
É importante ressaltar que no diagrama de impedâncias mostrado na Figura 3 
a tensão na carga é um valor em pu expresso pela seguinte equação: 
 
pu 0.9280
009,14
13VC == 
 
E a tensão nos terminais do gerador em pu é: 
 
 0T 7.8184 0.9367V ∠= 
 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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SÉTIMA ETAPA: CÁLCULO DA POTÊNCIA GERADA PELO GERADOR G1 
A potência gerada pode ser obtida a partir da potência complexa expressa pe-
la seguinte equação: 
 
0.4942j + 0.4262.IVS *CTG1 == 
 
0
G1 49.2281 0.6526S ∠= 
 
OITAVA ETAPA: CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
Admitindo que a carga se mantém constante, a potência ativa consumida pela 
carga é a mesma com ou sem correção e pode ser determinada a partir da 
potência aparente da carga em pu SC e do fator de potência da carga FPCA, 
pela seguinte equação: 
 
75.0x
10
6.FPSP CACC ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== 
 
pu0,45PC = 
 
Assumindo que a tensão se mantém no mesmo valor de 13 kV após a corre-
ção do fator de potência e conhecidos o fator de potência da carga antes da 
correção FPCA e o fator de potência desejado FPCD, a quantidade de potência 
reativa de banco capacitor necessária para essa correção pode ser determi-
nada, pela seguinte equação: 
 
[ ])Ptg(arcos(F)Ptg(arcos(F.PQ CDCACBC −= 
 
[ ],92)tg(arcos(0,75)tg(arcos(0.45,0QBC −= 
 
pu0.2052QBC = 
 
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NONA ETAPA: CALCULO DA POTÊNCIA REQUERIDA PELA CARGA APÖS 
A CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
CARGAVT VC
I’CjXT1 jXLT jXT2 IBC
 
Figura 4 - Diagrama de impedâncias após a correção 
 
Determinando a potência aparente requerida pela carga a ser suprida pelo ge-
rador após a correção, pela seguinte equação: 
 
pu 0.4891 
0,92
 0,45 
FP
P'S
CD
C
C === 
 
Procedendo de forma similar ao cálculo anteriormente efetuado, a corrente de 
carga requerida após a correção, admitindo que a tensão na carga em módulo 
permanecesse constante após a instalação do capacitor, pode ser obtida pela 
seguinte equação: 
 
pu 0.5680 
009,14
 13 
0,4891
V
13
0.4891
V
 cS' I
B3
C
CD ==== 
 
Admitindo a tensão na carga como referência, isto é: CV∠ = 00, a fase da cor-
rente de carga após a correção pode ser determinada a partir do fator de po-
tência da carga corrigido: 
 
0
CDC -23.07)cos(FPI' =−=∠ 
 
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Desprezando as defasagens angulares introduzidas pelos transformadores T1 
e T2, a tensão terminal do gerador pode ser obtida pela seguinte equação: 
 
CLTT2T1CT ).I'XXj(XVV +++= 
 
0
T 5.634 0.97339V ∠= 
 
E a tensão fase-fase nos terminais do gerador é: 
 
kV 13.432813.8 x 0.9739.VVV TNBTF === 
 
A nova potência gerada por G1 pode ser obtida a partir da equação potência 
complexa: 
 28.7079 0.55285j.0.2656 + 0.4849.IVS 0CTG1 * ∠=== 
 
QUESTÕES PROPOSTAS: 
 
1. É razoável assumir que a tensão na carga fica constante após a correção 
do fator de potência na questão anterior? 
2. Quando usamos a equação apresentada a seguir para determinar a corre-
ção do fator de potência, assumimos que a potência ativafica constante 
antes e depois da correção. É razoável essa consideração se a tensão na 
carga varia? 
3. Determine a fase da tensão terminal de linha do gerador após a correção 
do fator de potência na carga considerando as defasagens introduzidas 
pelos transformadores T1 e T2. Determine a corrente de carga nos termi-
nais do gerador considerando as defasagens introduzidas pelos transfor-
madores T1 e T2. A partir destes dois valores obtidos anteriormente obte-
nha a potência gerada por G1 pela seguinte equação: *CTG1 .IVS = , com-
pare a resposta calculada com a obtida anteriormente. Explique 
 
Exercícios Resolvidos – Sistema PU 
 
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4. Quanto seria a potência requerida em MVAR necessária para a correção 
calculada anteriormente? Quantos MVAR de banco capacitor deveriam ser 
especificados em 13.8 kV? Explique como esta potência requerida varia 
com a tensão na carga. 
 
5. Numa situação real admitindo a carga constante o que deveria ocorrer 
com a tensão na carga após a correção do fator de potência? 
 
6. Como o sistema elétrico é trifásico, explique quais as fases das tensões e 
correntes determinadas anteriormente. Mostre como se pode obter as ten-
sões VCA , VBC e VAB. no lado de baixa tensão do transformador T1.