flexao elastica em vigas

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CAPÍTULO VI 
 
FLEXÃO ELÁSTICA EM VIGAS 
 
 
 
I. ASPECTOS GERAIS 
 
As vigas empregadas nas edificações devem apresentar adequada rigidez 
e resistência, isto é, devem resistir aos esforços sem ruptura e ainda não de 
deformar em demasia. 
 
Os valores limites para estas deformações são indicadas por norma e 
dependem, das cargas atuantes, do material empregado (E) e da forma e 
dimensões da peça (J). 
 
O eixo de uma viga é inicialmente considerado retilíneo. Após a deformação 
ele se transforma em uma curva que chamamos de LINHA ELÁSTICA da viga. 
 
Lembrando a hipótese de Bernoulli, uma seção transversal qualquer ‘S’, de 
configuração plana e perpendicular ao eixo geométrico da peça, continuará plana 
e perpendicular ao eixo geométrico deformado durante e depois da sua 
deformação. Além disto este eixo conserva o seu comprimento inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y(x) – deformação linear do centro de gravidade da seção. 
? (x) – deformação angular da seção (giro que ela experimenta em torno da 
Linha Neutra) 
 
 
Da premissa acima pode-se concluir que : 
 
? Sendo a elástica uma curva plana pode ser descrita por uma função de uma 
variável real. 
 y= y (x) 
y(x) 
? (x) 
Linha elástica 
 2
 
? Decorre da hipótese da continuidade que y(x) deve ser uma função contínua 
de 1ª derivada contínua também (não admite saltos e nem angulosidades). 
 
? Conhecida a função y (x), que descreve a elástica, podemos não só determinar 
o deslocamento linear do baricentro da seção como também o seu 
deslocamento angular ( ? (x) - giro), em torno da respectiva Linha Neutra, 
através da derivada de y(x). 
 
 
dx
)x(dy
(x) 
dx
)x(dy
)x( tg ????? 
 
A hipótese acima decorre da admissão de que uma estrutura trabalha sempre 
no campo das pequenas deformações. 
 
 
II. PROBLEMA A RESOLVER: 
 
 
 O nosso problema pode ser configurado como o de estabelecer a relação 
entre y (x) e a solicitação que o provoca M(x) e Q(x). 
 
 Nós já sabemos que o cortante é desprezível frente ao momento fletor, e 
portanto para maior simplicidade vamos estabelecer a relação entre y(x) e M(x), 
negligenciando a presença do esforço cortante. 
 
 Existem diversos processos para a determinação da linha elástica: 
integração direta, diagrama de momentos, funções singulares, energia elástica de 
deformação, etc.. 
 
 
III. DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO DIRETA 
 
Para a determinação da equação da linha elástica y(x) partimos da equação 
diferencial da linha elástica: 
 
 
 
 Para o desenvolvimento da equação diferencial da linha elástica: 
 
1. Escolhemos um sistema de eixos cartezianos da seguinte forma: 
- eixo x coincidente com o eixo indeformado da peça. 
- eixo y coincidente com a direção do deslocamento linear do baricentro da 
seção. 
d y
dx
M x
E J
2
2 ?
? ( )
.
 3
 
y(x) : deslocamento linear do baricentro de uma seção genérica, 
considerado positivo para baixo . 
? (x) : deslocamento angular da seção(giro da seção em torno da LN) em 
 radianos, considerado positivo no sentido horário. 
 
 
2. Conhecida a função M(x), mediante duas integrações se obtem dy/dx= ? (x) 
(equação do giro) e y(x) (equação da linha elástica). 
 
3. Naturalmente na solução geral do problema aparecem as constantes de 
integração. Estas devem ser determinadas pelas condições de contorno ou 
continuidade específicas do problema.O número de condições deve ser igual 
ao número de constantes a serem determinadas. 
 
 
4. Quando a expressão M(x) não for única, devemos proceder da mesma maneira 
para cada domínio de M(x). Sempre que a viga apresentar pontos de transição 
de carga (carga concentrada, momento aplicado e mudança na taxa de cargas 
distribuídas), a viga deve ser dividida em trechos para a determinação da 
equação de M(x). Nestes casos teremos tantas equações para M(x) quantos 
forem os trechos definidos. 
 
5. Se a viga for de seção variável será necessário determinar também a lei de 
variação do momento de inércia: 
J= J(x) 
 
 
A. CONDIÇÕES DE CONTORNO 
 
1. Viga Bi-Apoiada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos pontos A e B estão apoios, e pelo destes apoios não permitirem o 
deslocamento vertical, tiramos as condições de contorno abaixo: 
dy
dx
x? ? ( )
B A 
 4
 
y(A) = 0 e y(B) = 0 
 
 Estas condições são próprias desta vinculação. 
 
 
 
 
2. Viga Engastada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O engaste é um vínculo que não permite deslocamento vertical e nem giro, 
portanto as condições particulares que a linha elástica deve satisfazer no engaste 
A da viga são: 
 
y(A) = 0 e ? (A) = 0 
 
 
B. CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE 
 
Pelo fato da linha neutra ser uma função contínua (não dá saltos) e de 1ª 
derivada também contínua (não apresenta angulosidades), podemos no caso de 
vigas com trechos distintos, condicionar que o deslocamento linear e angular 
calculado nos pontos de transição, apresentem o mesmo resultado, independente 
das equações utilizadas. 
 
Na viga abaixo temos dois trechos definidos para a equação do momento fletor 
M(x) e portanto duas equações para y(x) e ? (X). Estas equações têm diferentes 
trechos de validade. 
 
A condição a ser cumprida deve pressupor a continuidade da viga no ponto de 
transição. 
 
 
 
 
 
 
A 
B A 
C 
y1(C)= y2(C) 
? 1(C)= ? 2(C) 
 
 5
 
C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
 
Sempre que causa e efeito são proporcionais, podemos aplicar o Princípio da 
Superposição de Efeitos, o que se verifica no caso da linha elástica. 
 
 “ O efeito de um conjunto de forças atuando simultaneamente em um 
corpo é igual a soma dos efeitos de cada força atuando isoladamente.” 
 
Nestes casos, na aplicação da superposição de efeitos, deve-se ter o cuidado 
especial com o trecho de validade de cada equação. 
 
O princípio da superposição de efeitos é muito prático de ser aplicado pois as 
vigas de maior ocorrência tem as equações de linha elástica tabeladas com alguns 
valores definidos. 
 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV . CRITÉRIO DE PROJETO BASEADO NA DEFORMAÇÃO DA PEÇA 
 
Normalmente o nosso interesse recai no cálculo da pior situação da peça em 
termos de deslocamento, ou seja, devemos controlar a deformação máxima da 
peça. 
 
O deslocamento linear máximo de uma seção chama-se FLECHA que é 
representada pela letra grega ? . 
 
Para que a nossa viga trabalhe adequadamente, este deslocamento não pode 
exceder valores limitados em normas específicas, que regulamentam nossas 
estruturas. 
 
Cada material tem sua norma específica e portanto sua flecha admitida 
própria. 
 
Analiticamente teremos a seguinte condição à cumprir: 
 
= + 
 6
admitidacalculada ??? 
 
Observe-se que : 
 
Portanto o maior deslocamento linear da peça ? (ymáx) ocorre no ponto em que 
o maior deslocamento angular é zero. 
 
O critério da máxima deformação permitida é mais um a ser considerado 
quando do projeto de uma viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dy
dx
x? ? ( )
 7
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Dada a viga simplesmente apoiada pelos extremos, figurada abaixo, a ser 
construída com aço estrutural MR240. Pede-se: 
a. Pelo critério da limitação de tensões, e adotando coeficiente de segurança s 
= 1,4, determinar as dimensões necessárias a sua seção tranversal que 
deve ser retangular com h= 2b 
b. Dimensione-a pelo critério da deformação máxima, usando a tabela anexa, 
e sabendo que a norma permite uma flecha de L/360. 
 
Propriedades do aço MR 240 
? e= limite de escoamento = 25 kN/cm2 
E = módulo de elasticidade = 2 . 104 kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L= 5 m 
 
q= 25 kN/m 
2b 
b 
Seção Transversal 
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2. Dada a viga simplesmente apoiada pelos extremos, figurada abaixo, a ser 
construída com aço estrutural MR240. Pede-se: 
a) Pelo critério da limitação de tensões, e adotando coeficiente de segurança s = 
1,4, determinar as dimensões necessárias asua seção tranversal que deve ser 
retangular com h= 2b 
b) Dimensione-a pelo critério da deformação máxima, usando a tabela anexa, e 
sabendo que a norma permite uma flecha de L/360. 
 
Propriedades do aço MR 240 
? e= limite de escoamento = 24 kN/cm2 
E = módulo de elasticidade = 2 . 104 kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L= 6 m 
 
q= 10 kN/m 
2b 
b 
Seção Transversal 
40 kN 
3 m