PDF_ALEXMAGNO_MATEMATICA_PMCE_PREMIUM_TEORIA

Prévia do material em texto

PÁG.1 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
PÁG.2 
 
 
1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................... 01 
2 – NÚMEROS RACIONAIS ......................................................................... 07 
3 – RAZÕES E PROPORÇÕES ..................................................................... 18 
4 – REGRA DE TRÊS .................................................................................... 26 
5 – PORCENTAGEM E JUROS .................................................................... 29 
6 – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ............................................................ 35 
7 – JUROS SIMPLES E APLICAÇÕES ........................................................ 39 
8 – JUROS COMPOSTOS .............................................................................. 43 
 
 
 
MATEMÁTICA 
P ROF. ALEX MAGNO 
 
 
 
 
PÁG.1 
 
MATEMÁTICA 
 
1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Conjunto dos Números Naturais 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos 
 
N* = N – {0} = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos 
 
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos 
 
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Positivos 
 
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Negativos 
 
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1} 
 
 Conjunto dos Números Racionais 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xQ 
 Propriedades 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. 
 Todo número inteiro é um número racional. 
 Todo número decimal exato é um número racional. 
 Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. 
 
 Conjunto dos Números Irracionais 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xΙQ 
 
 ...4142,12   e = 2,71828...   = 3,14159... 
 
 
 Conjunto dos Números Reais 
QQR  
 
 Conjunto dos Números Complexos 
 
 
 
 
PÁG.2 
1}2i eR ba, com bia{z/zC  
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ( DIAGRAMA DE VENN ) 
 
 
 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
O Sistema de Numeração Decimal se baseia na posição que um algarismo tem no numeral. As regras que definem or-
dens, classes e nomes que resumimos no seguinte quadro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior que se estivessem no lugar desse outro. 
 
ADIÇÃO 
 
 Adição é a operação onde juntamos quantidades 
 Em adições usa-se o sinal de “ + “ (mais). 
 Parcelas são os termos da adição. 
 O resultado da adição chama-se soma ou total 
 Ao efetuarmos uma adição, colocamos. 
 unidade embaixo de unidade 
 dezena embaixo de dezena 
 
A Numeração Decimal 
 
314 . 537 . 012 . 423 
Classe dos bilhões Classe dos Milhões Classe dos Milhares Classe das unidades 
 
 
 
 
 
PÁG.3 
 centena embaixo de centena 
 
A soma sempre se inicia pela direita. 
 
 
 
 
C D U 
 2 4 2 parcela 
 + 1 3 5 parcela 
 3 7 7 soma ou total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soma-se as unidades: 6unidades + 6unidades = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades. Escreve-se 
o 2 na ordem das unidades e o 1 vai para a ordem das dezenas. 
 
O mesmo acontece com as centenas. 
 
Soma-se as dezenas:1 dezena + 1 dezena + 9 dezenas = 11 dezenas, que corresponde a :1 centena e 1 unida-
de.Escreve –se o primeiro 1 na ordem das dezenas e segundo 1 vai para a ordem das centenas. 
 
SUBTRAÇÃO 
 
Subtração é a operação onde retiramos uma quantidade menor de uma maior. O subtraendo não pode ser maior que o 
minuendo. Em subtrações usamos o sinal “–“ (menos). O minuendo e o Subtraendo são termos da subtração. O resto 
ou diferença é o resultado da subtração. 
 
A subtração sempre se inicia pela direita 
Na subtração, colocamos: 
Unidade embaixo de unidade; 
Dezena embaixo de dezena; 
Centena embaixo de centena. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO COM RESERVA 
 
 
 
 
PÁG.4 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Multiplicação é uma adição de parcelas iguais. 
Apresentamos a multiplicação com o sinal “ x “ (vezes). O multiplicando e o multiplicador são chamados fatores. O 
resultado chama-se produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
01. se multiplicarmos um número qualquer por 0 (zero) seu produto será sempre zero. 
 
Veja: 9 x 0 = 0, pois 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 
 
Multiplicação com mais de um Algarismo no Multiplicador 
 
 2 6 9 multiplicando 
 x 1 2 multiplicador 
 5 3 8 1º produto parcial 
 + 2 6 9 2º produto parcial 
 3 2 2 8 produto final 
 
Primeiro multiplica-se o 2 pelo 9, depois pelo 6 somando-se com o 1 que foi, em seguida multiplica-se o 2 pelo 2 so-
mando-se com o 1 que foi. Achamos, assim, o primeiro produto parcial. Ao multiplica-se o 1 pelo 9 depois pelo 6 e de-
pois pelo 2 encontra-se o segundo produto parcial, que deverá ser afastado uma casa para a esquerda. 
 
Veja mais um exemplo: 
 
 1 4 3 2 multiplicando 
 x 1 3 2 multiplicador 
 2
2
 8
1 
6 4 produto parcial 
 4 2 9 6 produto parcial 
 1 4 3 2 produto parcial 
 1 8 9 0 2 4 produto final 
 
Multiplicação por 10, 100 e 1000 
 
Para multiplicar um número por 10 basta acrescentar um zero à direita desse número. 
Exemplos: 9 x 10 = 90 
 15 x 10= 150 
 130 x 10= 1.300 
 
Se for multiplicar por 100 são acrescidos dois zeros à direita do número: 
Veja: 8 x 100= 800 
 16 x 100= 1.600 
 200 x 100=20.000 
SÃO TRÊS QUADRADOS COM QUATRO LIVROS, ENTÃO: 
 
4 + 4 + 4 = 12 OU 3.4 = 12 
 
 
 
 
PÁG.5 
 
E por 1000, acrescenta-se três zeros à direita do número: 
 
Confira: 7 x 1000= 7.000 
 40 x 1000= 40.000 
 
DIVISÃO 
 
Divisão é a operação onde separamos uma quantidade em partes iguais. Representamos a divisão pelos s inais:  ou : 
 
 dividendo 
 4 2 divisor dividendo 4 2 divisor 
 resto 0 2 quociente - 4 2 
x
 quociente 
 resto 0 
 
4 dividido por 2 são 2. 2vezes 2 são 4. 
4 para chegar no 4 não falta nada, então é 0 (zero). 
 
 
DIVISÃO EXATA 
 
RESTO ZERO 
 
DIVISÃO INEXATA OU APROXIMADA 
 
RESTO DIFERENTE DE ZERO 
 
Obs1: Numa divisão o divisor deve ser diferente de zero. 
Obs2: O maior resto de uma divisão aproximada é o divisor menos a unidade (1). 
Obs3: O menor resto é a unidade (1). 
 
ESTUDO PARTICULARIZADO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Naturais e Inteiros 
 
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. 
 
Exemplos: 
5
10
1
2
2  
5
30
1
6
6



 
8
0
1
0
0 2
18
1
9
981  
 
▲ Decimais 
 
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando -se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros 
quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. 
 
Exemplos: 
10
4
4,0  
100
12
12,0  
1000
8125
125,8  
10
15
100
225
25,2  
 
 Dizima Periódica Simples 
 
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas 
uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre 
tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. 
 
Exemplos: 
9
4
...444,04,0  
999
125
....125125125,0125,0  
 
 
 
 
PÁG.6 
99
12
...121212,012,0  
9999
5526
....265526552655,05526,0 
 
 
 Dizima Periódica Compostas 
 
No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repe-
te). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, 
menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos 
zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. 
 
Exemplos: 
90
221
90
24245
...4555,254,2 

 
990
5331
990
535384
...3848484,5843,5 

 
900
4846
900
5385384
...38444,5438,5 

 
900
1985
900
2202205
...20555,2520,2 

 
990
804
990
8812
...8121212,0128,0 

 
999
5379
999
55384
...384384384,5384,5 

 
 
INTERVALOS REAIS 
 
[a, b] =  bxa/Rx  
 
 
 
]a, b[ =  bxa/Rx  
 
 
 
[a, b[ =  bxa/Rx  
 
 
 
]a, b] =  bxa/Rx  
 
 
 
[a, + [ =  ax/Rx  
 
 
] –, a] =  ax/Rx  
 
 
 
] –, + [ = R 
 
 
 
 
 
 
PÁG.7 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
IMPORTANTE 
 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC (a, b) = 1. 
 
2 – NÚMEROS RACIONAIS 
 
DIVISÃO EM N 
 
 Algoritmo da Divisão 
 
 
Onde: a = bq + r Obs.: 0  R < |b| (sempre!!!) 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Divisibilidade Condição 
por 2 Se terminar em número par. 
por 3 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. 
por 4 Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4. 
por 5 Se termina em 0 ou em 5. 
por 6 Se é divisível por 2 e por 3. 
por 8 Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8. 
por 9 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9. 
 por 10 Se termina em 0. 
 
EXTRAS 
 
Divisibilidade por 7 
 
Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das un i-
dades, tem que ser divisível por 7. 
 
Divisibilidade por 11 
 
A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alterna-
damente) resulta em um n
o
 divisível por 11. 
 
 
 
 
 
PÁG.8 
DICA 
 
O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos desse número. 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL 
 
M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} 
.............................................. 
M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...} 
 
DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 
 
D(1) = {1} 
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(4) = {1, 2, 4} 
D(5) = {1, 5} 
D(6) = {1, 2, 3} 
D(7) = {1, 7} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
 
OBSERVAÇÃO 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MINIMO MULTIPLO COMUM | MMC e MDC 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
 
Dados os inteiros a e b, dizemos que o inteiro c é divisor comum de “a” e “b” se, e somente se, c divide a, c divide b, ou 
seja, c )b(D)a(D  
 
• DEFINIÇÃO DE MDC: 
d = mdc (a, b) se somente se 








)}b(D)a(D{maxd
então0bou0a
0)0,0(mdc
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
 
Dados os inteiros a e b, dizemos que c é múltiplo de a e b se, somente se, a divide c e b divide c. 
 
• DEFINIÇÃO DE MMC 
m = mmc (a, b) então: 





0mcom)),b(m)a(mmin(mentão0be0a
0)b,a(mmcentão0bou0a
 
 
Para qualquer a, b inteiros temos: 
 
Exemplos: 
 
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
 
MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6 
 
OBSERVAÇÃO 
Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números. 
 
 
 
 
PÁG.9 
 
IMPORTANTE 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1. 
RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC 
 
MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b 
 
NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS 
 
• O inteiro “p” é chamado número primo se, se somente se, p  1, p  –1 e os divisores de p = {–p, –1, 1, p}. 
 
• O inteiro “a” é chamado número composto se admite mais de quatro divisores inteiros. 
 
• Números de divisores do inteiro n. 
 
Dado o inteiro n, |n| > 1, tal que: 
 
n = wzyx dcba  , onde: 
 
a, b, c, d são fatores primos de n e 
 
x, y, z e w são números naturais não-nulos, 
 
Então o número de divisores positivos de n é: 
 
)1w)(1z)(1y)(1x( 
 
 
 
FRAÇÕES 
 
 Lembrando da Tia... 
O símbolo 
b
a
 significa: 
 
a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de ZERO. 
 
Chamamos: 
 
b
a
 de fração; 
 
a de numerador; 
 
b denominador, 
Se a é múltiplo de b, então 
b
a
 é um número natural. 
Veja um exemplo: 
 
A fração 
2
8
 é igual a 8 : 2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. 
Na divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, 
2
8
 é um número natural e 8 é múltiplo de 2. 
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a 
surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. 
 
O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO 
 
Algumas vezes, 
b
a
 é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. 
 
 
 
 
PÁG.10 
Neste caso, qual é o significado de 
b
a
? 
 
Uma fração envolve a seguinte ideia: 
Dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. 
 
Exemplo: Roberval comeu 
4
3
 de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Ro-
berval teria comido 3 partes: 
CHOCOLATE 
 
 
 
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do 
chocolate. 
 
COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO 
 
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denomi-
nadores são 10, 100, 1000, ... 
 
2
1
 um meio 
5
2
 dois quintos 
3
1
 um terço 
7
4
 quatro sétimos 
4
1
 um quarto 
8
7
 sete oitavos 
5
1
 um quinto 
9
15
 quinze nonos 
6
1
 um sexto 
10
1
 um décimo 
7
1
 um sétimo 
100
1
 um centésimo 
8
1
 um oitavo 
1000
1
 um milésimo 
9
1
 um nono 
1000
8
 oito milésimos 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES 
 
01. Fração própria : o numerador é menor que o denominador: 
Ex.: 
3
2
, 
4
1
, 
5
3
, ... 
 
02. Fração imprópria : o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Ex.: 
3
4
, 
5
5
, 
4
6
, ... 
 
 
03. Fração aparente : o numerador é múltiplo do denominador. 
 Ex.: 
3
6
, 
12
24
, 
4
8
, ... 
 
04. Frações equivalentes 
 
 
 
 
 
PÁG.11 
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. 
 
Exemplo: 
2
1
, 
4
2
, 
8
4
 são equivalentes 
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicaro numerador e o denominador por um mesmo número natural, 
diferente de zero. 
 
Exemplo: obter frações equivalentes à fração 
2
1
 . 
 
4
2
22
21



 
6
3
32
31



 
8
4
42
41



 
10
5
52
51



 
 
Portanto as frações 
4
2
, 
6
3
, 
8
4
, 
10
5
 são algumas das frações equivalentes a 2. 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Uma fração equivalente a 
12
9
, com termos menores, é 
4
3
. A fração 
4
3
 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 
12
9
 pelo fator comum 3. Dizemos que a fração 
4
3
 é uma fração simplificada de 
12
9
. 
 
A fração 
4
3
 não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. 
 
A fração 
4
3
 não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator. 
 
NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
 
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? 
 
5 . X = 1 
 
Substituindo X, temos: 
 
X por 0 temos: 5.0 = 0 
X por 1 temos: 5.1 = 5. 
 
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema 
temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. 
 
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. 
 
Portanto, uma fração 
n
m
 (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracio-
nário 
n
m
. 
 
 
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que: 
 
 X = 
5
1
, pois 1
5
1
5  
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
 
 
 
 
 
PÁG.12 
Temos que analisar dois casos: 
 
1°. DENOMINADORES IGUAIS 
 
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. 
 
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
 
Observe os exemplos: 
 
7
6
7
2
7
4
 
 
7
3
7
2
7
5
 
 
2°. DENOMINADORES DIFERENTES 
 
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais 
ao mmc dos denominadores das frações. 
 
Exemplo: somar as frações 
5
4
 e 
2
5
. 
Obtendo o mmc dos denominadores temos: 
 
mmc (5, 2) = 10. 
 
• 
10
?
5
4
 (10 : 5) . 4 = 8 
 
• 
10
?
2
5
 (10 : 2) . 5 = 25 
 
10
33
10
25
10
8
 
 
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já 
terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
R1.(FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C cada eleitor receberá uma célula com o nome de 
cada candidato e deverá atribuir número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a 
sua terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números 
atribuídos a cada candidato foi: 
 
▪ 22 para A 
▪ 18 para B 
▪ 20 para C 
 
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
SOLUÇÃO: 
O total de pontos distribuídos foi 
 A + B + C = 60 
Cada eleitor tem que dar um total de 
 1 + 2 + 3 = 6 pontos 
 
 
 
 
PÁG.13 
logo 
 60/6 = 10 eleitores 
 
R2. Dados os números a = 438,5 , b = 843,5 , c = 384,5 e d = 5,384, coloque-os em ordem crescente. 
 
SOLUÇÃO: 
Para comparar devemos observar a próxima casa decimal depois do 4 que diferencia quem é maior, logo 
 a = 438,5 = 5,38444... 
 b = 843,5 = 5,3848484... 
 c = 384,5 = 5,384384384... 
 d = 5,384 = 5,384000... 
portanto 
 d < c < a < b 
 
R3. (FCC) Cada um dos 784 funcionários de uma repartição pública presta serviço em um único dos seguintes setores: 
administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). Sabe -se que o número de funcionários do setor (2) 
é igual a 2/5 do número dos de (3). Se os funcionários do setor (1) são numericamente iguais a 3/8 do total de pessoas 
que trabalham na repartição, então determine a quantidade de funcionários de cada setor. 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam: 
 (1) Administrativo – x 
 (2) Processamento – y 
 (3) Serviços gerais – z 
Como (1) é numericamente igual a 3/8 do total, temos: 
 x = 3/8.784 
 x = 294 
Como (2) é igual a 2/5 do número de (3), temos: 
 y = 2/5.z 
Além disso 
 x + y + z = 784 
 294 + y + z = 784 
 y + z = 490 
Logo 
 2/5.z + z = 490 
 2z + 5z = 2450 
 z = 350 
portanto 
 y + 350 = 490 
 y = 140 
 
R4. A empresa Alfa possui 54 funcionários, dentre os quais 30 são mulheres. Pretende -se dividir esses funcionários na 
menor quantidade de equipes não mistas. Determine o número máximo de pessoas que pode ficar em cada equipe, de 
modo que cada equipe tenha a mesma quantidade de pessoas. 
 
a) 120 
b) 12 
c) 9 
d) 6 
e) 3 
 
SOLUÇÃO: 
Quando uma questão remeter a idéia de divisão em partes iguais, podemos suspeitar imediatamente que se trata de 
questão de mdc. 
Do total de 54 funcionários, se 30 são mulheres então 24 são homens. 
Para encontrar o maior número de pessoas em cada equipe não mista, devemos buscar o maior d ivisor comum de 30 e 
24, ou seja, o mdc entre eles. 
 30, 24 2 
 15, 12 3 
 5, 4 
 
Logo mdc (30, 24) = 2.3 = 6 
Portanto, teremos cinco equipes de mulheres e quatro equipes de homens, todas com 6 pessoas cada. 
 
 
 
 
PÁG.14 
 
R5. Duas torneiras A e B gotejam incessantemente. De A cai um pingo a cada 30 segundos e de B a cada 40 segundos. 
Se em um determinado instante caem simultaneamente pingos de A e B, determine de quantos em quantos minutos 
ocorre essa coincidência. 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 2 
e) 2,5 
 
SOLUÇÃO: 
Essa questão remete a situação cíclica, o que caracteriza mmc. 
Logo, o menor múltiplo comum de 30 e 40 é o mmc entre eles, ou seja 
 30, 40 2 
 15, 20 2 
 15, 10 2 
 15, 5 3 
 5, 5 5 
 1, 1 
Logo mmc (30, 40) = 2.2.2.3.5 = 120 
Portanto, a cada 120 segundos caem pingos simultâneos, ou seja, de 2 em 2 minutos. 
 
R6. Nas aulas de atletismo, o professor de Educação Física de uma escola tem turmas de até 60 alunos. Numa aula, 
tendo faltado alguns alunos, o professor decide formar grupos com o mesmo número de alunos. Ele começa separando 
os alunos de 6 em 6 e sobram 2. De 8 em 8, sobram 2. De 7 em 7, sobram 1. O jeito foi formar grupos com número dif e-
rente de alunos. Então, quantos eram os alunos? 
 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
 
SOLUÇÃO: 
O número de alunos (N) é menor que 60 e não é múltiplo de 6, 7 e 8. 
No entanto, o número (N – 2) é múltiplo de 6 e 8 ao mesmo tempo, pois quando dividimos N por 6 ou 8, deixa sempre 
resto 2. 
Como 
 MMC (6,8) = 24 
Temos que os múltiplos simultâneos de 6 e 8 (24, 48, 72, 96, ...), deixarão sempre resto zero. 
Portanto, N é um múltiplo de 24 mais 2, logo as possíveis soluções desse problema são 
 (26, 50, 74, 98, ...) 
Mas aqueles que são menores que 60 são 
 N = 26 ou N = 50 (divididos por 6 ou 8, sobra resta 2) 
Como N é um múltiplo de 7 mais 1 (quando divido por 7 deixa resto 1), temos: 
 N = 50. 
 
R7. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com 
tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha 
apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, determine a 
menor quantidade de pacotes que ela poderá obter. 
 
a) 5 
c) 7 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
SOLUÇÃO: 
Devemos encontrar o maior número de canetas para que o número de caixas seja mínimo. 
Nessa caso, o maior divisor de 224 e 160 é o mdc entre eles, logo 
 224,160 2 
 112,80 2 
 56, 40 2 
 28, 20 2 
 14, 10 2 
 
 
 
 
PÁG.15 
 7, 5 
Logo mdc (224, 160) = 32 
Portanto 
 224/32 = 7 caixas com canetas tinta azul 
 160/32 = 5 caixas com canetas tinta vermelha 
Ou seja, um total de 12 caixas 
 
R8. Com relação aos números compreendidos entre 100 e 400, determine: 
 
a) Quantos números inteirosexistem nesse intervalo? 
 
RESP.: 
Queremos apenas os números que estão “entre” os extremos 100 e 400, logo eles não entram na contagem. 
Como existem 399 números inteiros positivos que estão abaixo do 40 0, basta excluir de 1 a 100 (inclusive o 100) para 
encontrar quantos estão entre 100 e 400, logo 
n = 399 – 100 = 299 
 
b) Quantos são múltiplos de 3? 
 
RESP.: 
Dividindo 400 por 3, encontramos o número de múltiplos positivos de 3 que estão abaixo de 400 e dividindo 100 por 3, 
encontramos o número de múltiplos positivos de 3 que estão abaixo de 100, ou seja 
400 3 100 3 
 (1) 133 (1) 33 
Portanto, 
 n = 133 – 33 = 100 
 
c) Quantos são múltiplos de 5? 
 
RESP.: 
400 5 100 5 n = 79 – 20 = 59 
 (0) 80 (0) 20 (79 estão abaixo de 400) 
 
d) Quantos são múltiplos de 3 e 5? 
 
RESP.: 
M(3)  M(5) = M(15) 
400 15 100 15 n = 26 – 6 = 20 
 (10) 26 (10) 6 
 
e) Quantos são múltiplos de 3 ou 5? 
 
RESP.: 
Sabendo que 
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 
Então 
n(AB) = 100 + 59 – 20 
n(AB) = 139 
 
f) Quantos não são múltiplos de 15? 
 
RESP.: 
n = 299 – 20 = 279 
(total menos aqueles que são M(15)) 
R9. Sejam m e n, dois números primos, tal que o produto deles é um número par e menor que 31. Determine o maior 
valor que um deles pode assumir. 
 
a) 11 
b) 13 
c) 15 
d) 17 
 
SOLUÇÃO: 
Se m.n é um número par, então um deles tem que ser par. 
 
 
 
 
PÁG.16 
Como ambos são primos, então um deles tem que ser 2 (único número par e primo). 
Se m.n<31, então o maior primo que um deles pode é 13. 
 
R10. Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões abaixo corresponde neces-
sariamente a um número par? 
 
a) a + b 
b) 1 + ab 
c) 2a + b 
d) 1 + a + b 
 
SOLUÇÃO: 
Se “a” é um número inteiro, então seu consecutivo será “a+1”. 
Observe que se “a” for par (P), então b = “a+1” será ímpar (I). 
Portanto 
 a + b = a + (a+1) = 2a + 1 (P + I = ímpar ou I + P = ímpar) 
 1 + ab = 1 + a(a+1) (1 + P.I = ímpar ou 1 + I.P = ímpar) 
 2a + b = 2a + a + 1 = 3a + 1 (P + I = ímpar ou I + I = par) 
 1 + a + b = 1+ a + (a+1) = 2a + 2 (P + P = par) 
Então, somente 1+a+b será necessariamente par. 
 
R11. Determine o valor do algarismo X, tal que o número 321X8, seja divisível por 12. 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
 
SOLUÇÃO: 
Para o número ser divisível por 12, tem que ser divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. 
 
 Para ser múltiplo de 3, a soma dos algarismos tem que ser múltiplo de 3. 
Soma = 3+2+1+X+8 = 14+X 
M(3)  X = 1, 4 ou 7 
 
 Para ser múltiplo de 4, os dois últimos dígitos devem formar um múltiplo de 4. 
X8 têm que ser múltiplo 
M(4)  X = 0, 2, 4, 6 ou 8 
Portanto, X = 4 para ser múltiplo de 12. 
 
EXERCÍCIOS DE BASE 
 
B1. Dei 15 laranjas a cada menino e fiquei com 30 laran-
jas. Se tivesse dado 20 a cada um, teria ficado com ape-
nas 20. Nesse contexto, pode-se dizer que o numero de 
meninos é igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
B2. Se uma professora desse 2 lápis a cada um dos alu-
nos, sobrar-lhe-iam 14 lápis. Tendo, porém, faltado 5 alu-
nos, verificou que se desse 4 lápis a cada um dos que 
compareceram, não sobrariam nenhum lápis. Nesse con-
texto, pode-se dizer que o numero de lápis é igual a: 
 
a) 46 
b) 47 
c) 48 
d) 49 
e) 50 
 
B3 - Num microônibus, cada banco está ocupado por dois 
passageiros, havendo ainda dois passageiros em pé. Para 
que não existissem nenhum em pé, um deles teve a idéia 
de mandar que seus companheiros de viagem se sentas-
sem três em cada banco, ficando assim dois bancos de-
socupados. Pode-se afirmar que o número de passageiros 
é igual a: 
 
a) 15 
b) 16 
c) 17 
d) 18 
e) 19 
 
B4 – Uma pessoa levava objetos ao mercado para vendê-
los ao preço de R$100,00 cada. No caminho, porém, que-
braram-se 10 objetos. Para manter o lucro planejado inic i-
almente, teve que vender o restante ao preço de 
R$150,00 cada um. Determine o número de objetos que 
essa pessoa levava a princípio. 
 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
 
 
 
 
PÁG.17 
d) 60 
e) 70 
B5 - Uma pessoa levava objetos para vender por 
R$100,00 cada um. Tendo quebrado, na viagem, 15 obje-
tos, vendeu o restante por R$120,00 cada um, obtendo 
assim um lucro extra, ou seja, acima do que havia plane-
jado inicialmente, de R$4.200,00. Calcule quantos objetos 
levava essa pessoa inicialmente. 
 
a) 100 
b) 200 
c) 300 
d) 400 
e) 500 
 
B6 – Uma pessoa levava objetos para vender. Se vender 
a R$150,00 cada um, lucrará R$1.380,00. Mas, se vender 
a R$60,00 cada um, perderá R$690,00. Calcular quantos 
objetos essa pessoa levava. 
 
a) 20 
b) 21 
c) 22 
d) 23 
e) 24 
 
B7 – Com o dinheiro que tinha, comprei certo número de 
entradas a R$130,00 cada uma e sobraram-me R$800,00. 
Se cada entrada me tivesse custado à importância de 
R$190,00, ter-me-iam faltado R$160,00. Calcule quanto 
dinheiro eu possuía. 
 
a) R$2.880,00 
b) R$2.860,00 
c) R$2.880,00 
d) R$2.870,00 
e) R$2.880,00 
 
 
B8 – Se eu receber o que me é devido, eu pagarei o que 
devo e ainda me sobram 2/9 do que me devem. Sabendo 
que o que eu devo e o que me é devido somam 
R$3.840,00, calcular quanto eu devo. 
 
a) R$1.680,00 
b) R$1.690,00 
c) R$1.580,00 
d) R$1.480,00 
e) R$1.650,00 
 
B9 – Comprei certo número de laranjas; deram-me uma 
laranja a mais em cada dúzia e eu recebi 351 laranjas. 
Calcule quantas dúzias comprei. 
 
a) 27 dúzias 
b) 22 dúzias 
c) 23 dúzias 
d) 30 dúzias 
e) 33 dúzias 
 
B10 – Um número é composto de três algarismos cuja 
soma dos valores absolutos é 6. O valor absoluto do alga-
rismo das unidades é a soma dos valores absolutos do 
algarismo das centenas e o das dezenas. O valor absoluto 
do algarismo das centenas é igual ao dobro do das deze-
nas. Escreva esse número. 
 
a) 213 
b) 222 
c) 123 
d) 312 
e) 555 
 
CAPÍTULOS 01| 02 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
P1. Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo 
comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum 
entre x e 36 é 12. Então, a soma dos algarismos do núme-
ro x é: 
 
A) 3 
B) 5 
C) 9 
D) 16 
E) 21 
 
P2. Considere o número inteiro e positivo X1Y, em que X 
e Y representam os algarismos das centenas e das unida-
des, respectivamente. Sabendo que 31.692:(X1Y) = 76, 
então a soma X + Y é um número: 
 
A) quadrado perfeito. 
B) menor que 10. 
C) primo. 
D) divisível por 6. 
E) múltiplo de 4. 
 
P3. Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio 
de uma carta comercial simples e uma carta comercial 
registrada, ambas de até 20 g, e R$ 11,10 para o envio de 
3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 
20 g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado 
para o envio de uma carta comercial registrada e o cobra-
do para o envio de uma carta comercial simples, ambas 
de até 20 g, é de: 
 
A) R$ 2,60. 
B) R$ 2,70. 
C) R$ 2,80. 
D) R$ 2,90. 
E) R$ 2,50. 
 
P4. Numa divisão, o divisor é 14 o quociente é 26 e o 
resto é o maior possível. O dividendo é igual a: 
 
A) 379 
B) 378 
C) 376 
D) 377 
E) 375 
 
P5. (TRE) Dividindo-se um número natural X por 5, ob-
tém quociente 33 e o resto é o maior possível. Esse nú-
mero X é: 
 
A) menor que (1) uma centena 
B) maior que (2) duas centenas 
 
 
 
 
PÁG.18 
C) quadrado perfeito 
D) cubo perfeito 
E) igual a (3) três centenas 
P6 (ESAF) Um certo inteiro n quando dividido por 5 deixa 
resto 3. O resto da divisão de 4n por 5 é igual a: 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
P7. O menor número de dois algarismos que se deve co-
locar à direita do número 356 para que o mesmo seja 
divisível por 2, 3 e 5 é: 
 
A) 10 
B) 20 
C) 40 
D) 22 
 
P8. O menor número que se deve adicionar a 58315 para 
se obter um número divisível por 6 é: 
 
A) 1 
B) 5 
C) 15 
D) 2P9. (ESAF) Considere-se o número 313131A, onde A 
representa o algarismo das unidades. Se esse número é 
divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir 
é: 
 
A) 0 
B) 2 
C) 4 
D) 6 
E) 8 
P10. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque em 
4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. 
Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a tor-
neira e o ralo. Então o tanque: 
 
 
A) nunca se esvazia 
B) esvazia-se em 1 hora 
C) esvazia-se em 4 horas 
D) esvazia-se em 7 horas 
E) esvazia-se em 12 horas 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
A C C D C B A D D E 
 
 
3 – RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
1. RAZÃO 
 
A razão entre dois números a e b  0, nessa ordem, é o quociente 
b
a
. 
O número a é chamado antecedente ou primeiro termo e o número b é chamado consequente ou segundo termo. 
 
Exemplos 
 
A razão entre 3 e 2 é 1,5, pois 
2
3
 = 1,5 
E a razão entre 2 e 10 é 0,2, pois 
10
2
 = 0,2. 
 
2. PROPORÇÃO 
 
Os números a, b, c e d, com b  0 e d  0, formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b 
for igual à razão entre c e d. Representa-se por: 
d
c
b
a
 
e lê-se: a está para b, assim como c está para d 
 
Os números a e d são chamados extremos e os números b e c são chamados meios. 
 
Exemplo 
Os números 4, 2, 6, e 3 formam, nessa ordem, uma proporção, pois 
2
4
 = 2 e 
3
6
 = 2. 
 
 
 
 
 
PÁG.19 
k...
b
a
b
a
b
a
====
3
3
2
2
1
1
Escreve-se 
2
4
=
3
6
 e lê-se: 4 está para 2, assim como 6 está para 3. 
3. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporção, então: 
 
I. bcad
d
c
b
a
 
 
Costuma-se dizer: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
 
II. 
d
dc
b
ba
d
c
b
a 


 
 
Costuma-se dizer: a soma dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma dos dois últimos esta para o 
último. 
 
II. 
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a



 
 
Costuma-se dizer: a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como cada antecedente está 
para o correspondente conseqüente 
 
4. GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
A notação A = (a1, a2, a3,...) é utilizada para indicar que a1, a2, a3,... são valores assumidos pela grandeza A. 
 
Ao escrever, num dado problema, que A = (a1, a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...), queremos dizer que quando a grandeza A 
assumir o valor a1, a grandeza B assumirá o valor b1. Queremos dizer, portanto, que a1 e b1 são valores correspondentes 
das grandezas A e B. Analogamente, a2 e b2 são valores correspondentes, o mesmo acontecendo com a3 e b3 e, assim, 
sucessivamente. 
 
• GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) 
 
Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as razões entre os valores de A e os 
correspondentes valores de B são iguais. Se A= (a1, a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas diretamente proporci-
onais, então: 
 
 
 
 
 
 
e o número k é a constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo 1 
 
A tabela a seguir: 
 
DISTÂNCIA 
(km) 
80 160 240 ... 
TEMPO 
(horas) 
1 2 3 ... 
 
Dos valores das grandezas tempo (em horas) e distância (em quilômetros) da viagem de um trem com velocidade cons-
tante de 80km/h, nos mostra que: 
 
80
3
240
2
160
1
80
 
 
 
 
 
 
PÁG.20 
e que, portanto, o tempo e a distância, neste exemplo, são grandezas diretamente proporcionais (GDP). 
 
 
Exemplo 2 
 
Sabendo-se que (2, 3, x) e (6, y, 15) são sucessões diretamente proporcionais, determinar x e y. 
 
Resolução 
 
Se (2, 3, x) e (6, y, 15) são G.D.P., então: 
 
15
x
y
3
6
2
 
 
De 
y
3
6
2
 , temos: 9y63y2  
 
De 
15
x
6
2
 , temos: 5x152x6  
 
Resposta: x = 5 e y = 9 
 
• Grandezas inversamente proporcionais (GIP) 
 
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os produtos e ntre os valores de A e 
os correspondentes de B são iguais. Se A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas inversamente proporcio-
nais, então: 
 
kbababa 332211   
 
e o número k é a constante de proporcionalidade. 
Exemplo 1 
 
A tabela a seguir: 
 
VELOCIDADE 
(km/h) 
40 80 120 ... 
TEMPO (horas) 6 3 2 ... 
 
Dos valores das grandezas velocidade (em quilômetros por hora) e tempo (em horas) da viagem de um trem, numa di s-
tância de 240km, nos mostra que: 
 
2402120380640  
 
e que, portanto, nesse exemplo, a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais (GIP). 
 
Exemplo 2 
 
Sabendo-se que (x, 3, 4) e (2, y, 6) são sucessões inversamente proporcionais, determine x e y. 
 
Resolução 
 
Se (x, 3, 4) e (2, y, 6) são GIP, então: 2x = 3y = 24 
De 2x = 24, temos x = 12 
De 3y = 24, temos y = 8 
Respostas: x = 12 e y = 8 
 
► OBSERVAÇÕES: 
 
 
 
 
 
PÁG.21 
I. Se a grandeza A (a1, a2, a3, ...) for inversamente proporcional à grandeza B (b1, b2, b3, ...), então A será diretamente 
proporcional à grandeza 








,
b
1
,
b
1
,
b
1
321
, ou seja: 
 
3
3
2
2
1
1
332211
b
1
a
b
1
a
b
1
a
bababa 
 
 
 
II. Existem grandezas que não são nem diretamente proporcionais e nem inversamente proporcionais. A tabela a seguir, 
por exemplo, 
 
LADO 
(cm) 
2 4 6 ... 
ÁREA 
(cm
2
) 
4 16 36 ... 
 
Dos valores das grandezas lado de um quadrado (em cm) e área do quadrado (em cm
2
) nos mostra que: 
 
36
6
16
4
4
2
 e 36616442  
 
e, portanto: as grandezas medida do lado do quadrado e medida da área do quadrado não são nem diretamente propor-
cionais e nem inversamente proporcionais. 
 
III. Ao dizer "A e B são grandezas proporcionais" subentende-se que são "grandezas diretamente proporcionais". 
 
5. DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
• Divisão em partes diretamente proporcionais 
 
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, e c significa determinar os números x, y e z, 
de tal modo que: 
 
l. as sequências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais. 
 
II. x + y + z = N 
 
Para isso, usando a definição de GDP e as propriedades das proporções, podemos usar a seguinte técnica operatória: 
 







Nzyx
c
z
b
y
a
x
  








Nzyx
c
z
b
y
a
x
cba
zyx
 
 
 
















c
z
cba
N
b
y
cba
N
a
x
cba
N
 



















cba
Nc
z
cba
Nb
y
cba
Na
x
 
 
 
 
 
 
PÁG.22 
 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Dividir um número M em partes inversamente proporcionais aos números m, n e p é o mesmo que dividir M em partes 
diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p, com 0pnm  . 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
R1. Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por R$ 27,00. Determinar a razão entre: 
 
a) o preço de venda e o de custo. 
b) o lucro e o preço de venda. 
 
Resolução: 
 
Sendo C o preço de custo, V o preço de venda e L o lucro, temos: 
 
a) 5,1
2
3
18
27
C
V
 
b) 
3
1
27
9
27
1827
V
CV
V
L




 
 
Resposta: a) 1,5 b) 
3
1
 
 
R2. Determinar x na proporção: 
2
1
x6
3x



 
 
Resolução: 
 
Supondo x  6 
 



x66x2)x6(1)3x(2
2
1
x6
3x
 
 
4x12x366xx2  
 
Resposta: x = 4 
 
R3. Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é: 
 
a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32 
 
Resolução: 
 
Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então: 
 
y
14
8
x
6
3
 
 
De 
8
x
6
3
 , temos: 4
6
83
x 

 
 
De 
y
14
6
3
 , temos: 28
3
146
y 

 
 
Assim sendo, x + y = 32 
 
Resposta: letra E 
 
R4. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
PÁG.23 
Se (1, 2, x,...) e (12. y, 4,...) forem grandezas inversamenteproporcionais, então: 
 
12y24xy2121  e 6y12x4  e x = 3 
Resposta: x = 3 e y = 6 
R5. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. 
 
Resolução: 
Sendo x, y e z as partes, temos: 
 

















160zyx
5
z
3
y
2
x
10
zyx
160zyx
5
z
3
y
2
x
 






















80z
5
z
16
48y
3
y
16
32x
2
x
16
5
z
3
y
2
x
10
160
 
Resposta: As partes são: 32, 48, 80. 
 
R6. Dividir o número 81 em três partes inversamente proporcionais aos números: 
2
1
, 
3
2
 e 1. 
Resolução: 
O problema equivale a: “dividir” 81 em partes diretamente proporcional aos inversos 2, 
2
3
 e 1. 
Assim, sendo x, y e z partes, temos: 
 




















81zyx
1
z
2
3
y
2
x
1
2
3
2
zyx
81zyx
1
z
2
3
y
2
x
 















18z
1
z
18
27y
2
3
y
18
36x
2
x
18
1
z
2
3
y
2
x
2
9
81
 
Resposta: As partes são; 36, 27 e 18. 
 
R7. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão i nversa 
das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 
3ª pessoa 48 anos e 6 filhos. 
 
Resolução: 
 
Se x, y e z forem as quantias que cada uma das 3 pessoas deve receber, então: 
 






















495000zyx
8
1
z
12
1
y
15
1
x
495000zyx
48
1
6
z
36
1
3
y
30
1
2
x
 
 
 
 
 
PÁG.24 












495000zyx
8
1
z
12
1
y
15
1
x
8
1
12
1
15
1
zyx
 
 z8y12x151800000
8
1
z
12
1
y
15
1
x
120
33
495000
 
225000z,150000y,120000x  
 
Resposta: 
A primeira pessoa deve receber R$ 120.000,00, a segunda R$ 150.000,00 e a terceira R$ 225.000,00. 
 
EXERCÍCIOS DE BASE 
 
01. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas suces-
sões de números diretamente proporcionais, então: 
 
A) x = 1 e y = 6 
B) x = 2 e y = 12 
C) x = 1e y = 12 
D) x = 4 e y = 2 
E) x = 8 e y = 12 
 
02. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. 
Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e 
o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, 
respectivamente, proporcionais a: 
 
A) 1, 2 e 3 
B) 1, 2 e 5 
C) 1, 3 e 4 
D) 1, 3 e 6 
E) 1, 5 e 12 
 
03. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 
3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: 
 
A) 35 
B) 49 
C) 56 
D) 42 
E) 28 
 
04. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual 
cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 
20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço 
anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Su-
pondo-se que o lucro seja dividido em partes direta-
mente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio 
receberá, respectivamente: 
 
A) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 
B) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 
C) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 
D) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 
E) R$ 12.000,00; R$ 13.000.00e R$ 15.000,00 
 
05. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor 
são empregados de uma empresa e recebem, respec-
tivamente, salários que são diretamente proporcionais 
aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 
empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situa-
ção, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente 
que: 
 
A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual 
ao dobro do salário de Jaime. 
B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. 
C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. 
D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. 
 
06. (CESPE-UNB) Sabe-se que das 520 galinhas de um 
aviário, 60 não foram vacinadas e 92 vacinadas morre-
ram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número 
de mortas para o número de vivas é 0,25 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
07. (CESPE-UNB) Uma mistura apresenta 0,5 dal de água 
e 100 dl de álcool. Dentre as razões apresentadas, a 
razão falsa é: 
 
A) água e mistura = 
3
1
 
B) álcool e água = 
1
2
 
C) água e álcool = 
2
1
 
D) mistura e água = 
3
1
 
E) álcool e mistura = 
3
2
 
 
08. (TRE) Em uma Repartição Pública, o número de funci-
onários do sexo masculino equivale a 5/8 do número 
total de funcionários. A razão entre o número de ho-
mens e o de mulheres que trabalham nessa repartição 
e, nessa ordem: 
 
A) 3/8 
B) 2/5 
C) 1/2 
D) 5/3 
E) 4/5 
 
09. (PETROBRÁS) Uma jarra contém uma mistura de 
suco de laranja com água, na proporção de 1 para 3, e 
outra jarra contém uma mistura de suco de laranja com 
água na proporção de 1 para 5. Misturando partes 
iguais dos conteúdos das jarras, obteremos uma mis-
tura de suco de laranja com água na proporção de: 
 
 
 
 
PÁG.25 
 
A) 1 para 4 
B) 3 para 11 
C) 5 para 19 
D) 7 para 23 
E) 25 para 32 
 
10. (BB) Se a razão entre o valor bruto e o líquido de certo 
salário é de 6/5, a fração do salário líquido que foi des-
contada é: 
 
A) 1/5 
B) 1/6 
C) 2/5 
D) 2/6 
E) 5/6 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
C C B C A ¼ D D C A 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
P1. Mateus comprou, por R$ 200.000,00, um terreno de 
1.800 m², formado por cinco lotes, cujos preços de com-
pra foram proporcionais às suas respectivas áreas: dois 
de 250 m², um de 350 m², um de 450 m² e um de 500 m². 
Dois meses depois, vendeu um dos lotes de 250 m² por 
R$ 40.000,00, o de 350 m² por R$ 50.000,00 e o de 450 
m² por R$ 60.500,00. O terreno correspondente aos dois 
lotes restantes foi dividido entre os dois filhos de Mateus: 
João, de 21 anos de idade, e P edro, de 24 anos de idade. 
A respeito dessa situação, julgue os itens que seguem: 
 
A. No cálculo da taxa mensal de juros que Mateus obteve 
como remuneração de seu capital devido à compra e 
venda do lote de 450 m
2
, se o regime de capitalização 
adotado fosse o de juros simples, a taxa obtida seria su-
perior àquela obtida se o regime fosse o de capitalização 
composta. 
 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
 
P2. Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 pessoas 
em partes inversamente proporcionais às suas idades, ou 
seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pessoa mais nova recebeu 
R$ 9.000,00 a mais que a mais velha, então a pessoa que 
tem 36 anos recebeu 
 
a) R$ 21.000,00. 
b) R$ 18.000,00. 
c) R$ 15.000,00. 
d) R$ 12.000,00. 
e) R$ 9.000,00. 
 
P3. Quatro técnicos em contabilidade, A, B, C e D, vão 
repartir entre si um total de 220 processos trabalhistas, 
para conferir os cálculos. Os dois primeiros receberam 2/5 
do total de processos e os repartiram em partes inversa-
mente proporcionais às suas respectivas idades. Os dois 
últimos repartiram o restante dos processos em partes 
diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se 
as idades de A, B, C e D são, respectivamente, 24, 20, 34 
e 32 anos, o número de processos recebidos por 
 
a) A foi 44 
b) B foi 48 
c) C foi 58 
d) D foi 60 
e) D foi 68 
 
 
 
P4. De acordo com uma pesquisa, somente 62% dos 
34.200 trabalhadores não-autônomos de um certo muni-
cípio têm registro em Carteira de Trabalho. O número de 
trabalhadores informais, não-autônomos, desse munic í-
pio, é 
 
a) 21 204 
b) 18 472 
c) 13 680 
d) 12 996 
e) 8 550 
 
 
P5. Pensei em dois números naturais. A razão do maior 
para o menor é 2. A soma deles é menor do que 20 e a 
diferença entre eles é maior do que 5. Qual o produto 
desses números? 
 
a) 72 
b) 60 
c) 48 
d) 36 
e) 25 
 
P6. Beatriz tem 12 anos e sua irmã, 18. Daqui a quantos 
anos a razão entre a idade de Beatriz e a de sua irmã 
será de 3 para 4? 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
P7. Em 2010, entre 2% e 6% da população de umacida-
de com 30.000 habitantes enviaram, por ocasião das fes-
tividades natalinas, cartões de felicitações a parentes e 
amigos. Sabe-se que cada habitante enviou, no máximo, 
um cartão. Considerando-se que 25% dos referidos car-
tões tenham sido enviados a moradores de cidades do 
estado de São Paulo, é correto afirmar que o número que 
expressa a quantidade de cartões enviada a esse estado 
está entre 100 e 500. 
 
P8. Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 
7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um 
selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam R$ 8,40. 
 
P9. Um veículo vai da cidade A à cidade B e outro vai de 
B para A numa mesma estrada. Ambos part em num 
mesmo instante, mantêm velocidades constantes e se 
cruzam no ponto C, localizado a 3/5 da distância de A 
para B. Nessas condições, se a velocidade do primeiro é 
75 km/h, a velocidade do segundo é: 
 
a) 62 km/h 
b) 50 km/h 
c) 48 km/h 
d) 45 km/h 
e) 42 km/h 
 
 
 
 
 
 
PÁG.26 
P10. Em um concurso vestibular, a razão entre o número 
de candidatos inscritos na área de Ciências Humanas e 
na de Ciências Exatas é, nessa ordem, 9/7. A porcenta-
gem de candidatos inscritos na área de ciências humanas 
é: 
 
a) 55,5% 
b) 56,25% 
c) 56,5% 
d) 56,75% 
e) 57,5% 
 
4 – REGRA DE TRÊS 
 
1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Definição 
 
Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores, correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de três 
simples ao processo prático para determinar um desses quatro valores, sendo conhecidos os outros três. 
 
Técnica Operatória 
GRANDEZA A GRANDEZA B 
aa CC 
bb DD 
 
Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais, então: 
 
d
c
b
a
d
b
c
a
 
 
Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais, então: 
 
c
d
b
a
bdac  
 
2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Definição 
 
Chama-se regra de três composta ao método prático empregado para resolver problema análogo ao da regra de três 
simples, só que envolvendo mais de duas grandezas proporcionais. 
 
Propriedades 
 
1. Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2,...) e a uma grandeza C(c1, c2,...), 
então: 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
 
 
ou seja: A é diretamente proporcional ao produto das grandezas B e C. 
 
2. Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2,...) e inversamente proporcional a 
uma grandeza C(c1, c2,...), então: 
 
1
2
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
 
 
3. Se uma grandeza A(a1; a2; ...) é diretamente proporcional às grandezas B(b1; b2; ...), C(c1; c2; ...), D(d1; d2; ...) e E(e1; 
e2; ...), então: 
 
 
 
 
PÁG.27 
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
d
d
c
c
b
b
a
a
 
 
 
 
Técnica operatória 
 
Tomemos o seguinte exemplo: 
 
• Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessá-
rias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias? 
 
Grandeza 
Número de 
máquinas 
Número de 
uniformes 
Número 
de dias 
VALORES 
16 720 3 
X 2160 24 
 
A grandeza número de máquinas, em que está a incógnita, deve ser comparada com as grandezas número de unifo rmes 
e número de dias. Assim: 
 
I. número de máquinas e número de uniformes são grandezas diretamente proporcionais, pois, para o mesmo nú-
mero de dias, quanto maior o número de máquinas, maior será o número de uniformes. 
 
II. número de máquinas e número de dias são grandezas inversamente proporcionais, pois, para o mesmo número 
de uniformes, quanto maior o número de máquinas, menor será o número de dias gastos. 
 
► Assim: 
 
6x
3
24
2160
720
x
16
 máquinas 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
R1. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 28,80m no mesmo instante em que uma árvore de 4,2m 
de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3,6m. 
 
Resolução: 
► Aplicando a técnica operatória da Regra de Três Simples, temos: 
 
ALTURA SOMBRA 
x 28,8 
4,2 3,6 
► Como a altura e a sombra são G.D.P., temos: 
 6,33x
6,3
8,282,4
x
6,3
8,28
2,4
x


 
 
Resposta: A altura da torre é 33,6m. 
 
R2. A ração existente em um quartel de cavalaria é suficiente para alimentar 30 cavalos durante 30 dias. Quantos dias 
duraria a ração se existissem apenas 20 cavalos? 
 
Resolução: 
► Aplicando a técnica operatória da Regra de Três Simples, temos: 
 
NÚMERO DE 
CAVALOS 
NÚMERO 
DE DIAS 
30 30 
 
 
 
 
PÁG.28 
20 x 
► Como as duas grandezas são inversamente proporcionais, temos: 
 45x
20
3030
x
30
x
20
30


 
 
Resposta: A ração duraria 45 dias. 
 
R3. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 dias, quantos 
operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias de 7 horas de trabalho? 
 
Resolução: 
 
► Pela técnica operatória da Regra de Três Composta, temos: 
 
 
 
► Comparando a grandeza número de operários com as demais, temos: 
 
Número de operários e Número de horas são GIP. 
Número de operários e Comprimento são GDP. 
Número de operários e Número de dias são GIP. 
 
► Assim sendo: 
 




1768610
252387
x
25
17
25
686
238
10
7
x
25
 
70x
252387
251768610
x 


 
Resposta: Serão necessários 70 operários. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m
2
 
em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em 
quanto tempo limpará uma área de 11900m
2
? 
 
A) 7 horas 
B) 5 horas 
C) 9 horas 
D) 4 horas 
 
02. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas 
por dia, durante 30 dias, produz 150000 impressões. 
Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, fun-
cionando 8 horas por dia, produzirão 100000 impres-
sões? 
 
A) 20 
B) 15 
C) 12 
D) 10 
E) 5 
 
03. (PUCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual 
eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 
dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas 
iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, duran-
te 10 dias, o número de peças produzidas seria de: 
 
A) 1000 
B) 2000 
C) 4000 
D) 5000 
E) 8000 
04. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 
dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários 
para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 
pessoas? 
 
A) 3 
B) 2 
C) 4 
D) 6 
E) 5 
 
05. (CJF) Uma torneira despeja 180 litros de água em 9 
minutos. Quantos litros despejam em 2 horas e um 
quarto. 
A) 2.345 
B) 1.800 
C) 1.890 
D) 2.360 
E) 2.700 
 
 
 
 
PÁG.29 
100
p
%p =
 
06. (CJF) Se cada passo que você dá equivale a 0,6m; 
quantos passos você dará para andar 2,4km. 
 
A) 4.000 
B) 400 
C) 40.000 
D) 3.600 
E) 400.000 
 
07. (CJF) Se 8 homens, trabalhando 10 dias, durante 8 
horas diárias, fazem 2/5 de uma obra, quantos dias se-
rão necessários para 10 homens trabalhando 6 horas 
por dia, terminarem o resto da obra. 
 
 
A) 16 
B) 12 
C) 14 
D) 13 
E) 9 
 
08. (TST) O motorista de um automóvel deseja fazer em 8 
dias um trajeto já feito anteriormente em 10 dias de 5 
horas com a velocidade de 60 Km/h. Quantas horas 
por dia deverá fazer, se aumentar a velocidade da 
quarta parte da anterior. 
 
A) 8h por dia 
B) 7h por dia 
C) 4h por dia 
D) 5h por dia 
E) 6h por dia 
 
09. (TRE) Um carro percorre uma distância de 240 Km. 
Quantos quilômetros percorrerá se quadruplicarmos 
sua velocidade média e reduzirmos a 1/3 o tempo do 
percurso. 
 
A) 360 
B) 320 
C) 350 
D) 280 
E) 275 
 
10. (AFRE) Se 8 homens, trabalhando 8 horas por dia, 
levam 8 dias para fabricar 8 unidades de um artigo, en-
tão, em 12 dias, o número de unidades do mesmo art i-
go fabricado por 12 homens de mesma capacidade de 
trabalho que os primeiros, trabalhando 12 horas pordia, é: 
 
A) 12 
B) 24 
C) 27 
D) 32 
E) 35 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
A E C E E A A D B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – PORCENTAGEM E JUROS 
 
 
1. NOÇÃO DE PORCENTAGEM 
 
Porcentagem é uma fração de denominador 100. Assim, ao escrevermos p% estamos representando o número 
100
p
. 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. 34,0
100
34
%34  
2. 42,3
100
342
%342  
3. 10
100
1000
%1000  
4. %9%)30(
2  , pois 
 %9
100
9
10
3
100
30
%)30(
22
2 











 
 
 
 
 
PÁG.30 
5. %50%25  , pois 
 %50
100
50
10
5
100
25
%25  
6. %25 de 400 é igual a 100, pois 
 100400
100
25
400%25  
7. 32 é 80% de 40, pois 80% de 40 3240
100
80
 
8. 40 é 125% de 32, pois 125% de 4032
100
125
32  
9. %x de y = y% de 
100
xy
x  
 
 
OBSERVAÇÃO: 
1000
P
%P  e lê-se “p por mil” 
 
 
 
2. AUMENTO E DESCONTO 
 
• AUMENTO 
 
I. Aumentar um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 + p)%, pois: 
 
 
x)%100(x
100
p100
x
100
p
1x
100
p
x%px





 








p
 
 
II. Aumentar um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
 
  x
100
120
x%120x)%100( 20 1,20x 
 
III. Aumentar um valor x de 70% equivale a multiplicá-lo por 1,70. 
 
IV.Aumentar um valor x de 200% equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
 
 3x200  x%300)%100( 
 
 
• DESCONTO 
 
I. Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por (100 – p)%, pois 
 
 
x)%100(x
100
p100
x
100
p
1x
100
p
x%px





 








p
 
 
II. Diminuir um valor x de 20%, por exemplo, equi-vale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
º 
 
 
 
 
PÁG.31 
 
 0,80x20  x
100
80
x)%100( 
 
III. Diminuir um valor x de 40% equivale a multiplicá-lo por 0,60. 
 
 
 
• AUMENTOS DE DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
I. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de 21% (e não de 20%), pois: 
  x
100
121
x
100
110
100
110
)x%110(%110 
 x)%100(x%121 21 
 
II. Dois descontos sucessivos de 10% equivalem a um único desconto de 19% (e não de 20%), pois: 
  x
100
81
x
100
90
100
90
)x%90(%90 
 x)%100(x%81 19 
 
III. Um aumento de 10% seguido de um desconto de 10% equivalem a um único desconto de 1%, pois: 
  x
100
99
x
100
110
100
90
)x%110(%90 
 x)%100(x%99 1 
 
3. JUROS 
 
• JUROS SIMPLES 
 
Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir do capital inicial. Os juros simples são, portanto, 
diretamente proporcionais ao capital e ao tempo de aplicação. 
 
Assim sendo, um capital C aplicado a uma taxa de i% ao período, durante t períodos, rende juros j, tais que: 
 
100
tiC
j


 
 
IMPORTANTE: “Lembre-se que a taxa i e o tempo t devem sempre se referir ao mesmo período” 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
R1. Os números 8%, (7%)
2
, 4% e 30% de 4,2 são, respectivamente, iguais a: 
 
a) 0,08; 49%; 2%; 126 
b) 0,08; 49; 20%; 126 
c) 0,08; 0,49%; 20%; 1,26 
d) 0,3; 0,49%; 20%; 12,6 
e) 0,8; 0,49%; 20%; 1,26 
 
Resolução: 
08,0
100
8
%8  
%49,0
100
49,0
10000
49
100
7
%)7(
2
2 





 
%20
100
20
10
2
100
4
%4  
 
 
 
 
PÁG.32 
26,12,4
100
30
2,4de%30  
Resposta: C 
 
R2. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual a porcenta-gem dos que têm 40 
anos ou mais? 
 
 
Resolução: 
► De acordo com o enunciado o número de habitantes que têm 40 anos ou mais é 50000 – 42000 = 8000. 
► Se p% for a porcentagem dos habitantes que têm mais de 40 anos então: 
 
 p% de 50000 = 8000   800050000%p 
 
 %16%p
100
16
%p
50000
8000
%p  
 
Resposta: 16% 
 
R3. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregado a 10% ao ano, durante 5 anos? 
 
Resolução: 
► Sabe-se que 
100
tiC
j

 , logo: 
 3600j
100
5107200
j 

 
 
Resposta: Os juros produzidos são de R$ 3600,00. 
 
R4. Em 24/10/97, a Folha de S. Paulo publicou o ro-teiro transcrito a seguir, ensinando os usuários de veículos a calcular 
o IPVA (imposto de propriedade de veículos automotores). 
 
 
 
 
 Exemplos 
 Tipo, 96, gasolina 
 
R$ 
13.225 
x 0,04 = 
R$ 
529,00 
 
 Parati CL, 95, álcool 
 
R$ 
10.881 
x 0,03 = 
R$ 
326,43 
 
 
 Confira as alíquotas 
 
 
 
 
 
PÁG.33 
 
► Com essas informações, resolva o problema proposto. 
 
O valor venal de um carro de passeio a gasolina é de R$ 18.400,00. O proprietário desse veículo deve pagar o IPVA em 
6/2/98. Pagando um mês antes, porém, em 6/1/98, conseguirá um desconto de 3,5%. Calc ule: 
 
a) O valor do IPVA, em reais, em 6/2/98. 
 
b) O valor do IPVA, em reais, em 6/1/98. 
 
c) O valor do desconto, em reais, supondo que o pagamento seja efetuado em 6/1/98. 
 
d) Suponha que o valor do IPVA a ser pago em 6/1/98 seja aplicado, pelo proprietário, no mercado financeiro a uma 
taxa de 2% ao mês. Com o valor da aplicação e do rendimento, conseguirá ele pagar o IPVA em 6/2/98? 
 
 
Resolução: 
 
a) A alíquota de um carro de passeio a gasolina é de 4% e o valor venal do carro é de R$ 18.400,00. O valor do IPVA, 
em reais, a ser pago em 6/2/98 é: 
 
4% x 18.400,00 = 0,04 x 18.400,00 = 736,00 
 
 
b) O valor do IPVA, em reais, a ser pago em 6/1/98, com desconto de 3,5%, é: 
 
(100 – 3,5)% x 736,00 = 96,5% x 736,00 = 710,24 
 
 
c) O valor do desconto, em reais, supondo que o pagamento seja efetuado em 6/1/98, é: 
 
736,00 – 710,24 = 25,76 
 
 
d) Aplicando o valor do IPVA a ser pago em 6/1/98, que é de R$ 710,24, a uma taxa de 2% ao mês, o proprietário terá 
em 6/2/98: 
 
(100 + 2)% x 710,24 = 102% x 710,24 = 
 
= 1,02 x 710,24 = 724,44 
 
Já que 724,44 < 736,00, o proprietário não conseguirá, com a aplicação e com o rendimento, pagar os R$ 736,00 em 
6/2/98. 
 
Respostas: 
 
a) R$ 736,00; 
b) R$ 710,24; 
c) R$ 25,76; 
d) Não 
 
R5. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
PÁG.34 
► Sabe-se que 
100
tiC
j

 
 
Logo, lembrando-se, que 130 dias = 
360
130
 anos, temos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. (CESPE-UNB) Os candidatos A, B, C e D, concorren-
tes ao cargo de prefeito de determinado município, ob-
tiveram, respectivamente, 40%, 30%, 22% e 8% dos 
votos válidos; posteriormente, o registro do candidato 
C foi cancelado pelo TRE e, como conseqüência, os 
votos a ele atribuídos foram anulados. O quantitativo 
de eleitores desse município é suficiente para provocar 
um segundo turno caso um dos candidatos não obte-
nha a maioria absoluta dos votos válidos em primeiro 
turno. A partir dessa situação hipotética, é correto 
concluir que o candidato A obteve 
 
A) 31,2% dos votos válidos e disputará o segundo turno 
com o candidato B. 
B) 45,72% dos votos válidos e disputará o segundo turno 
com o candidato B. 
C) mais de 47% dos votos válidos e disputará o segundo 
turno com o candidato B. 
D) menos de 52% dos votos válidos mas foi eleito prefeito 
no primeiro turno. 
E) 62% dos votos válidos e foi eleito prefeito no primeiro 
turno. 
 
02. (CESPE-UNB) Para a coleta de dados para uma pes-
quisa, uma equipe de técnicos foi contratada. Sabe-se 
que 3 desses técnicos, em 8 horas de trabalho, conse-
guem coletar 64% dos dados necessários à pesquisa e 
que todos os membros da equipe trabalham com a 
mesma eficiência. Com relação a essa equipe, julgue 
os itens subseqüentes. Em 3 horas de trabalho, para 
se coletar 56% dos dados necessários, é preciso a 
participação efetiva de 4 desses técnicos 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (FUVEST) O salário de Manu é igual a 90% do de Val. 
A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário 
de Manu é: 
 
A) R$ 5.500,00 
B) R$ 45.000,00 
C) R$ 4.000,00 
D) R$ 4.500,00 
E) R$ 3.500,00 
04. (CESPE-UNB) Uma empresa concedeu aumento de 
8%a seus funcionários. Após o aumento, um dos fun-
cionários passou a receber R$ 237,60. Nesse contex-
to, o salário deste funcionário é inferior a R$ 220,00. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (PUC) Uma certa, mercadoria, que custava R$12,50, 
teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa 
de reajuste sobre o preço antigo é de: 
 
A) 2,0% 
B) 20,0% 
C) 12,5% 
D) 11,6% 
E) 16,0% 
 
06. (MACK) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Se 
R$ 4.368,00 correspondem a 35% do restante a ser 
pago, então a dívida total inicial era de: 
 
A) R$ 10.200.00 
B) R$ 11.400,00 
C) R$ 15.600,00 
D) R$ 16.800.00 
E) R$ 18.100,00 
 
07. (UFMG) Em 01/02/95, o salário de um trabalhador era 
equivalente ao preço de 10 cestas básicas. Segundo 
um Instituto de Pesquisa, o reajuste da cesta básica foi 
de 4% em fevereiro de 95 e de 3% em março de 95. 
Em 01/04/95, o salário desse trabalhador foi reajustado 
para mantê-lo equivalente às mesmas cestas básicas. 
O índice de reajuste do salário desse trabalhador, em 
01/04/95, foi de: 
 
A) 7% 
B) 7,12% 
C) 8% 
D) 9,4% 
E) 12% 
 
08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido 
de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um 
desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e 
por pf o preço final da mercadoria, tem-se: 
A) pf = 101% pi 
B) pf = pi 
C) pf = 99,9% pi 
D) pf = 99% pi 
E) pf = 90% pi 
 
09. (UFRRJ) A casa do Sr. Rafael foi adquirida através do 
Sistema Financeiro de Habitação. A prestação mensal 
de sua casa aumentou 30%. Mas. por recurso judicial, 
a partir deste mês, aquele que pagar até o 5º dia útil do 
mês tem direito a um desconto de 20%. Se o Sr. Rafa-
el pagou sua casa no dia 02 (dois), o aumento real so-
bre a prestação do mês anterior foi de: 
 
A) 10% 
 
 
 
 
PÁG.35 
B) 8% 
C) 6% 
D) 4% 
E) 2% 
 
10. (MACK) Um concurso, desenvolvido em três etapas 
sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos k candi-
datos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 
2ª etapa e 25% dos que ainda permaneceram na 3ª 
etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem 
de k que permaneceu é: 
 
A) 25% B) 35% C) 38% D) 40% E) 42% 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
E D D E E C B D D E 
 
6 – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
DEFINIÇÃO 
 
 O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como 
unidade fundamental de medida o metro. 
 O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas 
de medição. 
 Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta for-
ma, tinha seus próprios métodos de medição. 
 Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha 
diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa. 
 Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas. 
 Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de ado-
tar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema m é-
trico decimal. 
 
O METRO 
 
O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu -se no 
princ ípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida 
pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no es-
paço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo. 
 
AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES 
 
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir com-
primentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem 
fazia para efetuar medidas de comprimentos? 
 Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a 
construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, 
que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços. 
 Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: 
polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada. 
 Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo 
a ponta do dedo médio. 
 Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com 
que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas. 
 Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o 
“cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimen-
to, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”. 
 Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então com eçou a usar cordas, 
para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, 
poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”. 
 
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO 
 
Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e 
submúltiplos. 
 Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili. 
 
 
 
 
PÁG.36 
 
Veja o quadro: 
 
 
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos 
para realizar medição em pequenas distâncias. 
NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS 
 
 
 
TRANSFORMAR UNIDADES 
Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas 
pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. 
 
OBSERVE A TABELA ABAIXO: 
 
 
 
 
km hm dam M dm cm mm 
quilômetro hectômetro decâmetro Metro decímetro centímetro milímetro 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 5,6 m = 560 cm 
 5,6 m
2
 = 56000 cm
2
 
 5,6 m
3
 = 5600000 cm
3
 
 830000000 m
3
 = 830000 dam
3
 
 830000000 m
3
 = 830 hm
3
 
 830000000 m
3
 = 0,83 km
3
 
 
A necessidade de medir grandeza levou o homem a estabelecer unidade(s) de medida(s) que pudessem facilitar princi-
palmente as relações comerciais, exemplos: polegada, légua, alqueire, milha, palmo etc, que permanecem até hoje em 
evidência, pois não é fácil uma padronização, haja visto os diversos aspectos das atividades humanas. Veja o sistema 
métrico decimal estabelecido pelo Sistema Internacional de Unidade (SI). 
 
UNIDADES FUNDAMENTAIS 
 
(múltiplos e submúltiplos) 
 
 MÚLTIPLOS U.F. SUBMÚLTIPLOS 
10 
x10 x10 x10 x10 x10 x10 
10 10 10 10 10 
 
 
 
 
PÁG.37 
Comprimento km hm dam m dm cm mm 
Massa kg hg dag g dg cg mg 
Capacidade kl hl dal l dl cl ml 
Área km
2
 hm
2
 dam
2
 m
2
 dm
2
 cm
2
 mm
2
 
Volume km
3
 hm
3
 dam
3
 m
3
 dm
3
 cm
3
 mm
3
 
 
 
PREFIXOS: 
 
 quilo k 1000 
MÚLTIPLOS hecto h 100 
 deca da 10 
 
 
 deci d 0,1 
SUBMÚLTIPLOS centi c 0,01 
 mini m 0,001 
 
 
MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
1 há =100 aras =10.000m
2
 
1 are =100m
2
 
 
 
IMPORTANTE!!! 
Conversão 1dm
3
 = 1 litro 
(água pura) → 1 litro = 1 Kg 
 
 
 
PREFIXOS USADOS NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) 
 
PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA 
TERA T 1.000.000.000.000 = 10
12
 
GIGA G 1.000.000.000 = 10
9
 
MEGA M 1.000.000 = 10
6
 
QUILO K 1.000 = 10
3
 
HECTO h 100 = 10
2
 
DECA da 10 
PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADADECI d 0,1 = 10
-1
 
CENTI c 0,01 = 10
-2
 
MILI m 0,001 = 10
-3
 
MICRO  0,000001 = 10
-6
 
NANO n 0,000000001 = 10
-9
 
PICO p 0,000000000001 = 10
-12
 
FENTO f 0,000000000000001 = 10
-15
 
ATTO a 0,000000000000000001 = 10
-18
 
 
 
 
 
 
PÁG.38 
ALGUNS VALORES DO SISTEMA DE MEDIDAS NÃO-DECIMAL 
 
UNIDADE VALORES UNIDADE VALORES 
POLEGADA 2,54cm JARDA 81cm 
PÉ 30,48cm COVADO 61cm 
PASSO 1,52m CORDA 3,05m 
PALMO 20,32cm BRAÇA(BRASILEIRA) 2,2m 
ESTÁDIO 190m MILHA (BRASILEIRA) 2.200m 
TOESA 1,83m MILHA INTER. 1.852m 
VARA 1,02m LÉGUA(BRASILEIRA) 6.600m 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. (CESPE-UNB) Leia atentamente os quadrinhos. 
 
O personagem é conduzido, em linha reta, num mesmo 
sentido, por uma distância de 30m e cada passo mede 
50cm. Se um dos carregadores cobrar conforme o padrão 
indicado, ele receberá, em reais, a quantia de: 
 
A) 400 
B) 500 
C) 600 
D) 700 
 
02. (CMF-96) Um reservatório, no formato de um parale-
lepípedo, contém água, até a sua metade. As dimen-
sões do reservatório são: 0,8dam de comprimento; 
30dm de largura e 420cm de altura. Qual a massa 
d'água desse reservatório, em quilograma (Kg)? 
 
03. (M.P.U.) Um reservatório em forma de paralelepípedo 
retângulo de 24,5 metros de comprimento, 1,6 decâ-
metro de largura e 0,045 hectômetro de profundidade, 
contém certa quantidade de leite. Sabendo-se que es-
se leite ocupa 3/5 da sua capacidade e que um litro 
dele pesa 1.020 gramas, o seu peso em toneladas é 
de: 
 
A) 1.079,568 
B) 5.397,84 
C) 1.799,28 
D) 1.079.568 
E) 1.799.280 
 
04. A expressão 2[2dm
3
+2ℓ] + 3[1000cm
3
–1000mℓ] em 
litros vale: 
 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 10 
E) 12 
 
05. (B.B) Qual é a área de um terreno retangular que me-
de 300m de comprimento por 500m de largura? 
 
A) 0,15ha 
B) 1,5ha 
C) 15ha 
D) 150ha 
E) 1500ha 
06. (TTN) Uma tartaruga percorreu, num dia 6,05hm. No 
dia seguinte percorreu mais 0,72km e no terceiro dia, 
mais 12.500cm. Podemos dizer que essa tartaruga 
percorreu nos três dias uma distância de: 
 
A) 1.450m 
B) 12.506.77m 
C) 14.500m 
D) 12.506m 
E) 1.250m 
 
07. (T.S.T.) Um reservatório contém 1dam
3
, 2m
3
, 800dm
3
 
e 1.200cm
3
 de água. A sua capacidade expressa em 
litros é: 
 
A) 10.281,2 
B) 102.812,0 
C) 1.028.001,2 
D) 100.281,2 
E) 1.002.801,2 
 
08. ( CESPE-UNB) Quantos ha tem a superfície de um 
terreno ocupado por 600km de uma estrada cuja lar-
gura mede 15m? 
 
A) 750ha 
B) 800ha 
C) 850ha 
D) 900ha 
E) 950ha 
 
 
 
 
 
PÁG.39 
09. (B.B) Quantos ladrilhos de 0,2m x 0,2m são precisos 
para revestimento de uma sala de 5m de comprimento 
por 6m de largura? 
 
A) 600 
B) 650 
C) 700 
D) 750 
E) 800 
 
10. (B.B) Quanto gastará uma pessoa que deseja cercar 
uma chácara retangular medindo 400m por 200m, com 
estacas distantes 4m uma dá outra, custando R$ 2,00 
cada? 
 
A) R$ 120,00 
B) R$ 160,00 
C) R$ 240,00 
D) R$ 330,00 
E) R$ 600,00 
 
GABARITO 
 
01 02 03 04 05 
C 50.400kg A C C 
06 07 08 09 10 
A E D D E 
 
 
7 – JUROS SIMPLES E APLICAÇÕES 
 
1. O QUE SÃO JUROS? 
 
Juros vêm a ser a remuneração do capital aplicado ou investido. Ele existe porque muitos indivíduos preferem o con-
sumo imediato de um bem ou serviço, ou necessitam consumi-lo, mesmo não dispondo do capital necessário e, para 
tanto, estão dispostos a pagar um preço por isso. Por outro lado, há pessoas que são capazes de esperar até possuírem 
a quantia suficiente para adquirir seu desejo e se dispõem a emprestar esta quantia a alguém menos paciente. É evide n-
te que esta abstinência de consumo deve ser recompensada na proporção do tempo e risco que a operação envo lver. O 
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos interferem na formação da taxa de 
juros. 
 
O governo, por exemplo, quando deseja reprimir o consumo, na tentativa de conter a inflação, diminui a quantidade 
de dinheiro disponível no mercado para empréstimos, quer por depósitos compulsórios, quer aumentando a taxa de juros 
ou por outro meio. Desta forma, com a escassez do capital, a remuneração deste fica muito alta para quem paga, des-
motivando o consumo. Por outro lado, essa situação é atraente para quem possui o dinheiro, estimulando-o a poupar. 
 
2. CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 
 
Valor principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de se somarem os juros. 
 
O juro, por sua vez, é obtido pela aplicação da taxa de juros unitária sobre o capital inicial, proporc ionalmente ao tempo 
em que este é aplicado. 
 
Da aplicação desta definição, tem-se a seguinte fórmula: 
 
niCJ  
 
Onde: 
 
J = juros 
C = capital ou principal 
i = taxa de juros (unitária) 
n = número de períodos de aplicação do capital. 
 
Vale repetir que a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade. Assim, se a taxa de aplicação anunciada for o 
mês, o tempo com o qual se trabalha também deve ser o mês. Se o período de aplicação for anual, a taxa deve vir ex-
pressa em anos. 
 
EXEMPLO 1 
A empresa FMW Ltda. possui uma dívida de R$ 20.000,00, que deve ser paga em dois meses, com juros de 8% a.m. 
pelo regime de juros simples. Os juros que a empresa FMW Ltda. deve pagar são de: 
 
Solução: 
 
 
 
 
PÁG.40 
J = Cin 
C = R$ 20.000,00 
i = 8% a.m.  8 / 100 = 0,08 a.m. 
n = 2 meses 
J = Cin 
 
Substituindo, tem-se: 
J = R$ 20.000,00 x 0,08 x 2 
J = R$ 20.000,00 x 0,16 
J = R$ 3.200,00. 
 
3. MONTANTE 
 
Montante, em Matemática Financeira, significa o principal de uma aplicação (capital) mais os juros por ele gerados. 
 
Perceba que, quando se faz uma aplicação financeira de R$ 800,00, a qual, depois de determinado prazo de aplicação, 
rende juros de R$ 300,00, tem-se à disposição para saque o valor de R$ 1.100,00, que é o montante. 
 
Desta forma, quando se soma os juros ao valor principal ou capital, tem-se o montante. 
 
Assim: 
M = C + J (1) 
 
Onde: 
M é o montante; 
C é o capital ou principal; e 
J é o juro. 
 
Como J = Cin, substituindo-se em (1), tem-se: 
M = C + Cin 
 
Isolando C, tem-se: )in1(CM  
 
EXEMPLO 2 
Quanto a Cia. XMW receberá, em três anos, por um empréstimo de R$ 30.000,00, a uma taxa de 15% a.a. pelo regime 
de juros simples? 
 
Solução: 
 
Elementos do problema: 
C = 30.000,00 
i = 15% a.a. = 15/100 =0,15 a.a. 
n = 3 anos 
M = ? 
J = ? 
 
Há duas opções para resolver o problema: uma é calcular os juros e adicioná-los ao capital; outra é aplicar a fórmula do 
montante. 
 
1ª) J = Cin 
J = R$ 30.000,00 x 0,15 x 3 
J = R$ 30.000,00 x 0,45 
J = R$ 13.500,00 
M = C+J 
M = R$ 30.000,00 + R$ 13.500,00 
M = R$43.500,00. 
 
2ª) M = C(1 + in) 
M = R$ 30.000,00 (1 + 0,15 x 3) 
M = R$ 30.000,00 x 1,45 
M = R$ 43.500,00. 
 
4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL 
 
 
 
 
PÁG.41 
TAXA DE JUROS (REPRESENTAÇÃO SIMPLIFICADA) 
Taxa Diária (ao dia) a.d. 
Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. 
Taxa Mensal (ao mês) a.m. 
Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. 
Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. 
Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q. 
Taxa Semestral (ao semestre) a.s. 
Taxa Anual (ao ano) a.a. 
 
 
Na maioria das aplicações, embora as taxas sejam referenciadas em anos, os prazos são fixados em dias. É o caso dos 
cheques especiais, se bem que, no Brasil, são cobrados juros compostos nestas operações. Nas aplicações de curto 
prazo, geralmente é adotado o regime de juros simples. Nestas condições, é necessário calcular a taxa proporcional 
diária, ou seja, de 1 dia. 
 
Surgem, nesse momento, duas hipóteses para estabelecer a taxa diária, dependendo do número de dias que se adote 
para o ano: 
 
1ª) ANO CIVIL  366 ou 365 dias, conforme o ano seja ou não bissexto; 
 
2ª) ano comercial  360 dias  mês com 30 dias. 
 
Na prática, quando