Aula 3 1 - Interpretação geométrica da derivada Regras de derivação e suas aplicações

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CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Claudia Abreu Paes
Interpretação geométrica 
da derivada — Regras de 
derivação e suas aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Interpretar a derivada como coeficiente angular da reta tangente a 
uma curva em um dado ponto.
 � Introduzir técnicas de derivação.
 � Utilizar as regras de derivação em problemas aplicados.
Introdução
Ao estabelecer uma relação entre duas variáveis em forma de função, 
é possível avaliar a variação de uma variável, à medida que outra varia, 
por meio da derivada. Essa interpretação remete às taxas de variação.
A derivada pode ser interpretada de modo geométrico. Quando 
observamos a representação gráfica de uma função — uma curva qual-
quer —, a derivada tem um sentido particular em relação a uma curva 
e um ponto local.
Neste capítulo, você vai estudar a forma como uma derivada pode ser 
interpretada geometricamente, além das regras aplicadas em operações 
matemáticas que facilitam o seu cálculo.
Derivada como coeficiente angular da reta 
tangente a uma curva em um dado ponto 
Ao definir a derivada, podemos utilizar três conceitos igualmente importantes. 
A derivada pode ser entendida como a inclinação da reta tangente a uma 
curva, como uma taxa de variação e como o limite de uma razão incremental 
(ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Neste capítulo, vamos identificar a derivada 
como a inclinação da reta tangente e conhecer algumas regras de derivação.
A derivada é definida como a inclinação de uma reta tangente à curva, ou 
seja, o coeficiente angular da reta tangente, e podemos iniciar o cálculo com 
base nessa definição. Dadas uma curva f(x) e uma reta r tangente a essa curva 
que passe pelo ponto P = (x1,y1) ou P = (x1, f(x1)), temos a seguinte ilustração 
(Figura 1).
Figura 1. Reta tangente a uma curva.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 113).
y y = f(x)
P = (x1,y1)
y1
x1
x
Reta r,
tangente a f(x)
Apenas com uma única informação da reta tangente, o ponto P, não con-
seguiremos definir o coeficiente angular dessa reta. Para chegarmos ao valor 
do coeficiente angular da reta tangente, precisamos de, ao menos, dois pontos. 
Então, vamos considerar um segundo ponto, o ponto Q, pertencente à curva 
y = f(x), onde Q = (x2,y2) ou Q = (x2,f(x2)). Ao traçar uma nova reta, a reta s, 
que passe pelo ponto P e pelo ponto Q, encontrando a inclinação dessa reta, 
conseguiremos, por meio do conceito de limite, chegar à inclinação da reta r. 
As etapas para o cálculo da inclinação da reta r são:
1. traçar uma reta secante, a reta s;
2. calcular a inclinação da reta s;
3. chegar à inclinação da reta r.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações2
Acesse o link a seguir para aprender mais sobre a reta tangente e sobre a reta secante 
a uma curva.
https://goo.gl/QNgC4a
Ao escolher um ponto Q sobre a curva e traçar uma nova reta, temos a 
seguinte configuração (Figura 2).
Figura 2. Reta tangente e reta secante à curva.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 113).
y
xx1 x2
f(x2)
y = f(x)
f(x1)
Q = (x2,f(x2))
P = (x1,f(x1))
Reta s,
reta secante a f(x)
Reta r,
tangente a f(x)
Observe que a reta s, que passa pelos pontos P e Q, é uma reta secante à 
curva y = f(x). Para obter a inclinação da reta s, basta calcular o coeficiente 
angular dessa reta, dada por:
3Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Podemos reescrever essa equação em função da variação de x da seguinte 
maneira:
Veja que o x2 é o x1 somado ao intervalo entre x1 e x2, que denotamos ∆x. 
Substituindo x2 na equação x2 = ∆x + x1, temos:
Assim, definimos o coeficiente angular da reta s, a reta secante à curva. 
Não podemos esquecer de que o nosso objetivo é chegar à inclinação da reta 
tangente.
Avalie o seguinte: entre o ponto P e o ponto Q, temos uma variação em x de 
∆x. Se movimentarmos o ponto Q aproximando-o do ponto P, o ∆x entre esses 
pontos será menor. Se movimentarmos o ponto Q para uma distância cada vez 
menor do ponto P, o ∆x tenderá a diminuir cada vez mais, fazendo com que 
a reta secante se aproxime progressivamente da reta tangente (ROGAWSKI; 
ADAMS, 2018). Observe a Figura 3.
Se calcularmos ∆x tendendo a zero e aplicarmos na fórmula da inclina-
ção da reta s, chegaremos ao valor da inclinação da reta r. Isso se define da 
seguinte maneira:
Podemos observar que, ao calcular a inclinação da reta tangente, estamos 
utilizando o conceito de derivada.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações4
Figura 3. As retas secantes tendem para a reta tangente quando Q tende para P. 
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 113).
Q
Q
Q
Q
P
P P
P
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
y
x1 x2
x
A derivada de uma função y = f(x), em um ponto x0, pode ser definida, se o limite 
existir, como:
Entendendo o ∆x como um incremento no x1, essa definição também é 
conhecida como limite da razão incremental. 
5Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Para representar a derivada y = f(x), as seguintes notações são comumente 
utilizadas:
A seguir, veja um exemplo contextualizado.
O gráfico a seguir representa a função y = x². Observe que temos uma reta tangente 
em x = 1.
y
y = x2
–2 1 3 x
Note que, se quisermos descobrir a lei de formação da reta tangente, ou simplesmente 
calcular a sua inclinação, podemos utilizar o conceito da derivada no cálculo.
O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x = 1 é a derivada no ponto x = 1. Veja:
Sendo x0 = 1, temos:
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações6
Veja que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = 1 é a = 2.
Técnicas de derivação
Existem algumas técnicas de derivação que facilitam o cálculo da derivada. 
Essas técnicas são facilmente demonstradas a partir da definição de derivada 
utilizando o conceito de limites. Neste capítulo, abordaremos algumas téc-
nicas de derivação que permitem calcular derivadas de funções algébricas. 
Contudo, a partir da definição de derivada, também é possível deduzir regras 
de derivação para as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. 
Regra da constante
Dada uma função constante f(x) = constante, a derivada dessa função é zero. 
Avalie que a derivada representa a inclinação de uma reta. Se uma função é 
constante, ela é paralela ao eixo das abscissas, logo, não há inclinação. 
Teorema: dada uma função constante y = c, c representa um número real qualquer, 
e a derivada de y é 0. 
f ’(c) = 0
Exemplos:
7Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Regra da potência
Dada uma função f(x) = xn, onde x é um expoente qualquer, a regra de derivação 
para esses casos é a seguinte.
Teorema: dada uma função f(x) = xn, a derivada dessa função será:
f(x) = xn
f ’(x) = nxn – 1
Exemplos:
f(x) = x3
f’(x) = 3x2
f(x) = x4
f’(x) = 4x3
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações8
Regra da linearidade: soma e diferença
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. Há uma regra de 
soma e diferença que propõe o seguinte.
Regra da soma e diferença: f + g e f – g são deriváveis e:
(f + g)’ = f ’ + g’
(f – g)’ = f ’ – g’
Regra constante vezes uma função: sendo f uma função diferençável e c um número 
real qualquer, temos que:
(cf(x))’ = c ∙ f ’(x)
Exemplos:
Regra do produto e do quociente
Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. Há uma regra 
de produto e quociente que propõe o seguinte.
9Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Regra do produto: sendo (f · g),
Regra do quociente: sendo ,
Exemplos:
Aplicando a regra, temos:
Regras de derivação em problemas aplicados 
O conceito de derivada pode ser aplicado em diversas situações. Sempre que 
conseguirmos estabelecer uma função e quisermos avaliar a variação de uma 
variável, à medidaque outra varia, utilizamos o conceito de derivação.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações10
Um corpo tem sua temperatura medida em Fahrenheit em função do tempo, em 
minutos. A função que descreve essa relação é a seguinte:
T(t) = 2t² – 15t + 250
A taxa de resfriamento, em um dado tempo t, é dada por meio da derivação da 
função T em relação ao tempo. Observe:
Calculando para t = 10 minutos, temos:
O corpo resfria em 25°F a cada minuto.
A Terra exerce uma força gravitacional de (em newtons) sobre 
um objeto com uma massa de 75 kg, onde r é a distância (em metros) do centro da 
Terra. Encontre a taxa de variação da força em relação à distância r na superfície da 
Terra, supondo que o raio da Terra seja de 6,77 × 106 m.
Ao falar em taxa de variação, estamos falando de derivada. Logo, a questão quer 
saber qual é a derivada da função F em relação a r, no ponto r = 6,77 × 106 m.
Vamos derivar a função:
11Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
Utilizando o teorema da derivada de um quociente,
Temos:
Em r = 6,77 × 106 m,
Assim, definimos a força F a uma distância de r = 6,77 × 106 m.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
PROFESSOR FERRETO. Relações métricas na circunferência. [2018]. Disponível em: <http://
www.professorferretto.com.br/relacoes-metricas-na-circunferencia/>. Acesso em: 2 
dez. 2018.
Referência
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações12
Conteúdo: