Aula 4 1 - Regra da cadeia

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Regra da cadeia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar fenômenos naturais que envolvam funções compostas.
 � Descrever o fenômeno natural como função composta.
 � Aplicar a regra da cadeia na derivação de funções compostas.
Introdução
Muitas das funções que utilizamos para resolver problemas são com-
postas. Afinal, muitas variáveis dependem de outras em problemas reais. 
Assim, para entendermos essas funções mais profundamente, é necessário 
compreender suas derivadas. Para tal, deve-se utilizar a regra da cadeia. 
Neste capítulo, você verá como aplicar as funções compostas em 
problemas reais, descrever um fenômeno natural como função composta, 
além de aplicar a regra da cadeia na derivação desse tipo de funções. 
Fenômenos naturais e funções compostas
Funções compostas estão presentes em diversas modelagens de fenômenos que 
observamos, como em equações que descrevem a movimentação de um projétil 
ou a energia cinética de um automóvel. Coloquialmente, podemos dizer que 
uma função composta é aquela em que a variável independente é substituída 
por alguma função. Veja o seguinte exemplo, supondo as duas funções:
f(x) = x3 e g(x) = x + 10.
Agora, vamos substituir o x de f(x) por g(x). A nova função obtida é a 
função composta:
f(g(x)) = (x + 10)3
A definição formal para função composta está apresentada na Figura 1, 
a seguir (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Figura 1. Definição de função composta.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 17).
Sejam f(x) = x3 + 2 e , encontre (fog)(x) e (gof )(x).
Para encontrarmos (fog)(x), escrevemos que:
Agora, para (gof )(x), escrevemos que:
Note que as funções compostas (fog)(x) e (gof )(x), em geral, não resultam em funções 
iguais. A ordem da composição gera resultados diferentes. No caso particular em que 
a função g for a inversa de f, temos que (fog) = (gof ).
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Como comentado no início da seção, muitos fenômenos podem ser mode-
lados por meio do uso de funções compostas. Geralmente, esses fenômenos 
apresentam variáveis independentes para uma função que é dependente de 
outra variável. Por exemplo, no caso de associação de molas, a força elástica 
produzida por uma mola pode ser descrita como:
F = kx
onde x é o deslocamento, e k é a constante da mola. No caso da associação de 
molas, conforme Figura 2, a constante k é substituída por o que chamamos 
de constante efetiva da mola. Então, temos que: 
k = 2k'
A nova função composta passa a ser:
F = 2k'x
Figura 2. Associação de molas em paralelo.
Fonte: Adaptada de Bocafoli (2019).
A partir do exemplo anterior, você pode perceber que muitos outros fenô-
menos podem ser modelados como funções compostas. 
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Fenômeno natural como função composta
Funções compostas, como vimos, são usadas para descrever diversos fenô-
menos naturais que podemos observar – não só as funções, como também as 
suas derivadas. Nesta seção, veremos um exemplo de modelagem usando as 
funções compostas e suas derivadas.
Suponha um veículo que faça 20 km por litro de combustível. Nesse caso, 
temos que a quilometragem alcançada é uma função da quantidade de litros 
que o tanque do carro contém. Digamos que a quilometragem seja y, e a 
quantidade de litros seja u, então y = f(u). Agora, suponha que cada litro de 
combustível custe 4 reais. A quantidade de litros de combustível é uma função 
do valor gasto para a sua compra. Digamos que o valor gasto em reais seja x, 
assim, temos que u = g(x). Portanto, a quantidade de quilômetros que o carro 
anda em relação ao valor gasto é uma função composta:
y = f(u) = f(g(x)).
Agora, pensemos em termos de taxas de variação: temos que 20 km por 
litro é a taxa de variação da quilometragem pela quantidade em litros de 
combustível. Ou seja:
Da mesma maneira, 4 reais por litro resultam em uma taxa de variação da 
quantidade de combustível em litros por preço do combustível de 1/4. Ou seja:
Suponha que você está interessado em saber a quilometragem rodada pelo 
carro por real pago. Essa taxa é equivalente à dy/dx. Intuitivamente, podemos 
escrever que:
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ou seja:
A Figura 3, a seguir, mostra um resumo do problema, cujo procedimento 
é chamado de regra da cadeia.
Figura 3. Variação do custo do percurso de um veículo.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174).
Nesta seção, você viu mais um exemplo de modelagem usando as funções 
compostas e suas derivadas. A generalização desse exemplo para qualquer 
função será apresentada a seguir.
5Regra da cadeia
Aplicação da regra da cadeia
A regra da cadeia é utilizada para derivarmos funções compostas, conforme 
Figura 4, a seguir.
Figura 4. Regra da cadeia.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 174).
Suponha que v = cos(x) e x = t2 + 3t – 4. Encontre dv/dt.
Segundo a definição da regra da cadeia, temos que:
Como queremos v em relação a t, substituímos a função em x. Assim:
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Até agora, vimos exemplos cujas funções estavam definidas separadamente. 
Todavia, nem sempre os problemas serão apresentados dessa maneira. Veja 
o seguinte exemplo.
Dada a função y = cos(x4 + 2), encontre dy/dx.
Nesse caso, podemos considerar que u = x4 + 2, e y = cos(u). Assim, podemos escrever 
que:
Portanto:
Uma maneira alternativa de pensar a regra da cadeia é a seguinte:
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Essa reformulação pode ser interpretada da seguinte maneira: a derivada 
da composta é a derivada da função “de fora” multiplicada pela função “de 
dentro”. No caso do último exemplo, a função “de fora” é o cosseno, enquanto 
a “de dentro” é x4 + 2. Assim, poderíamos escrever que:
Essa maneira de escrever a regra da cadeia facilita a resolução, principal-
mente se tivermos diversas variáveis ou funções compostas mais complexas. 
Dada a função , encontre .
Usando a maneira alternativa de pensar a regra da cadeia, temos que:
Portanto:
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Existe, ainda, uma terceira maneira de escrever a regra da cadeia. Usando 
u = g(x), a fórmula generalizada da derivada da função f é dada por:
A Figura 5, a seguir, mostra alguns exemplos de derivadas generalizadas 
para a função potência e as trigonométricas.
Figura 5. Fórmula generalizada da derivada de algumas f(u).
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 176).
Encontre a derivada da função y = sen(2x).
Usando as fórmulas generalizadas, encontramos que:
9Regra da cadeia
Portanto:
O nome “cadeia”, em regra da cadeia, refere-se à “corrente”, a qual mais links podem 
ser adicionados.
Por exemplo, se tivermos y = f(u), u = g(x), e x = h(t), nas quais f, g e h são diferenciáveis, 
a derivada de y em relação a t é (STEWART, 2008):
Ou seja, a cada nova função, um novo link é adicionado à derivada. Veja o exemplo 
a seguir:
Note que, nesse exemplo, a regra da cadeia foi usada duas vezes.
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ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
BOCAFOLI, F. Associação de molas. Física e Vestibular: aulas grátis de física, [S. l.], 2019. 
Disponível em: http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/asso-
ciacao-de-molas/. Acesso em: 2 out. 2019. 
STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson 
Brooks/Cole, 2008. 912 p.
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