APS Processos Estocásticos

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Atividade Prática Supervisionada
Processos Estocásticos
Professor: Manuel Martins Filho
Turma: 132
Autores:
Raphael Silva dos Santos Possidente
Rogério Amorim de Souza
Valdir Sousa de Lira
Willian João Machado
01 – Suponha que num certo Sistema Operacional, devido a limitações de memória, os comandos têm um tempo de espera médio de 20s para começarem a ser executados com um Desvio Padrão de 8s. Distribuição Normal (Gaussiana) - Usar a Tabela Normal Padrão. (0,4 pontos)
a) Numa fila de 400 comandos, quantos comandos vão esperar mais de 20s?
R.: 200 > 20s = 50% e 200 < 20s = 50%
A quantidade de comandos que irão esperar mais de 20s é igual a 200.
b) Quantos comandos vão esperar exatamente 20s para serem executados?
R.: Numa curva normal os valores assumidos por uma variável X estarão sempre em torno da µ para mais ou menos. Portanto, a probabilidade de um comando esperar exatamente 20s, que é o tempo médio, será igual a zero. Ou seja, nenhum comando vai esperar exatamente 20s.
c) Qual é a probabilidade de um comando esperar mais de 30s para ser executado?
R.: Para fazermos o cálculo usando a fórmula transformada z = (x - µ) / σ, devemos considerar: µ = 20; σ = 8; x = 30. Substituindo os valores na fórmula temos:
z = (30 - 20) / 8
z = 10 / 8
z = 1,25
Usando a tabela normal o valor de z equivalente a 1,25 é 0,3944 ou 39,44%.
Subtraindo o valor acima de 50% temos: 0,50 - 0,3944 = 0,1056 ou 10,56%.
Assim a probabilidade de um comando esperar mais de 30s é de 10,56%.
Z = 30-20s / 8 = 1,25 => 0,3944 (Tabela Normal Padrão) 
Z = 0,50 – 0,3944 = 0,1056
A probabilidade é de 10,56%
d) Quantos comandos vão esperar mais de 30s para serem executados?
R.: Conforme valores encontrados na letra "c", acima, p(x >30) = 10,56%.
Assim, para saber quantos comandos esperarão mais de 30s, basta multiplicarmos o percentual acima pela quantidade total de comandos: 0,1056 x 400 = 42,24.
A resposta então é: ≈42 comandos.
 
42 comandos vão esperar mais de 30s
02 – Em relação à situação da questão anterior sabe-se que se instalando mais 32GB de memória o tempo médio de espera cai 40%. Nesse caso, quantos comandos vão esperar mais de 30s para serem executados? (0,1 pontos)
R.: 20s – 40% = 12s	
X = 30s
U = 12s
σ = 8
 
30 – 12 / 8 = 2,25 => 0,4878 (Tabela Normal Padrão)
0,50 – 0,4878 = 0,0122
Vão esperar mais de 30s, 5 comandos (4,88)
Considerando que o tempo médio de espera caiu 40%, ou seja, de 20s para 12s (20 - 40% = 12), basta refazermos os cálculos substituindo os valores na fórmula transformada z = (x - µ) / σ, como segue:
z = (30 - 12) / 8
z = 18 / 8 
z = 2,25
O valor de z na tabela normal equivalente a 2,25 é 0,4878 ou 48,78%. 
Subtraindo de 50% temos: 0,50 - 0,4878 = 0,0122 ou 1,22%.
Para acharmos a resposta fazemos a multiplicação: 0,0122 x 400 = 4,88.
Então a resposta é: 4,88 ou ≈ 5 comandos.
3 – (SERPRO-Analista Sistemas-ESAF) Suponha que o tempo que a Receita Federal leva no processo de devolução do imposto pago a mais tenha distribuição normal com média de 12 semanas e desvio padrão de 3 semanas. Assinale a opção que estima a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas. A tabela abaixo dá os valores de P{0<X<Z} quando X tem distribuição normal padrão para valores selecionados de Z. Por exemplo, P{0<X<1,56} = 0,4406. (0,2pontos)
	Z
	00
	06
	08
	1,0
	0,3413
	0,3554
	0,3599
	1,5
	0,4332
	0,4406
	0,4429
	1,9
	0,4332
	0,4750
	0,4761
	2,0
	0,4772
	0,4803
	0,4812
a) 50,0%x = 3 
b) 5,56%
c) 43,32%
d) 2,28%
e) 47,72%
Para acharmos a resposta podemos considerar os seguintes valores de probabilidade válidos para a curva normal:
	Intervalo
	Probabilidade (%)
	µ ± 1σ
	68,26%
	µ ± 2σ
	95,45%
	µ ± 3σ
	99,73%
 49,865 47,725 34,13 34,13 47,725 49,865
------3------6------9------12------15------18------21------
 -3σ -2σ -1σ µ 1σ 2σ 3σ
 | | |__68,26%__| | |
 | |______ 95,45%________| | 
 |__________ 99,73% _____________|
Como a curva normal é simétrica o valor de cada intervalo indicado nas figuras acima deve ser dividido por 2, ou seja, 50% acima da média e 50% abaixo dela.
Veja que a questão nos dá µ = 12, σ = 3 e x = 6 semanas. 
Se olharmos a figura veremos que x = 6 semanas equivale a µ - 2σ, que nos dá um percentual de 47,725% ou 0,47725. Como na Tabela Normal não temos esse valor usamos o valor mais próximo. Assim, temos p(0< X < Z) = p(0< X < 2,0), sendo o valor de Z na Tabela Normal igual a 0,4772.
Se usarmos a fórmula transformada, também encontramos o mesmo valor de z:
Z = (x - µ) / σ
Z = (6 – 12) / 3
Z = -6 / 3
Z = -2 ou 0,4772 na Tabela Normal.
Porém, para encontrar o valor que queremos, precisamos subtrair o valor de Z de 50%. Assim, temos: 0,50 – 0,4772 = 0,0228 ou 2,28%. Essa é a proporção de contribuintes que recebem a devolução em no máximo 6 semanas.
A opção correta então é a letra “d”: 2,28%.
4 – Uma amostra de 120 crianças tem média 120cm e desvio padrão 5,6cm. O intervalo de confiança de 95% para a média populacional é: (0,2 pontos)
a) [111,12 a 130,02]
b) [112,91 a 131,45]
c) [109,02 a 131,15]
d) [107,99 a 131,02] 
e) [118,99 a 121,00]
R.: Temos: N => 120 | Média => 120 | Desvio Padrão => 5,6
O erro padrão e dado por 
	· EP
	=
	5
	=
	5,6
	=
	5,6
	=
	0,511
	
	
	√¯N 
	
	√¯120 
	
	√¯10,95 
	
	
Para 95% de confiança, o valor de Z obtido da Tabela Normal Padrão é Z => 1,96
O intervalo de confiança é dado por
	_
	–
	Ꜫ
	
	_
	+
	Ꜫ
	X
	
	
	
	X
	
	
Onde Ꜫ é o erro da estimativa dado Ꜫ = Z x EP ou ainda Ꜫ = Z x S/√¯N
Assim, os limites do intervalo de confiança são:
	Limite inferior
	=>
	_
	–
	Z
	x
	S
	
	
	X
	
	
	
	√¯N
	Limite Superior
	=>
	_
	+
	Z
	x
	S
	
	
	X
	
	
	
	√¯N
Limite Inferior => 120 – 1,96 x 0,511 = 118,99
Limite Superior => 120 + 1,96 x 0,511 = 121,00
Logo [ IC 95%] = [118,99 a 121,00]
Esta questão pede para informar qual o Intervalo de Confiança (IC) de 95%, considerando uma amostra de 120 crianças, com = 120cm e S = 5,6cm.
Primeiro calculamos e Erro Padrão (EP), que é dado por: EP = S / :
EP = 5,6 / 
EP = 5,6 / 10,95
EP = 0,511
Na tabela normal o valor de Z para IC de 95% é igual a 1,96.
O IC é dado por: – Ɛ + Ɛ
E o erro da estimativa (Ɛ) é dado por: Ɛ = z x EP
Deste modo, os limites do IC são:
Limite Inferior => - z x EP
Limite Superior => + z x EP
Substituindo os valores na fórmula temos:
LI => 120 – 1,96 x 0,511 = 118,99
LS => 120 + 1,96 x 0,511 = 121,00
Desta forma o IC de 95% é igual a: [118,99 a 121,00].
5 – Uma amostra aleatória simples de tamanho 256 de uma distribuição normal foi observada e revelou os seguintes valores para as estatísticas suficientes: (0,2 pontos)
	256
	
	
	
	
	256
	
	
	
	∑
	Xi
	=
	3.072
	
	∑
	X2i
	=
	37.119
	i=1
	
	
	
	
	i=1
	
	
	
Um intervalo de 95% de confiança para a média populacional será dado aproximadamente por:
(A) (11,88; 12,12);
(B) (11,62; 12,38);
(C) (11,05; 12,95);
(D) (10,46; 13,54);
(E) (10,20; 13,80).
Distribuição Normal (tamanho da amostra > 30) o desvio padrão desconhecido: Ꜫ = Za/2 X S / √¯N
95% de confiança, dividido por 2 = 47,5%
Na Tabela Normal 47,5% equivale a 1,96
Erro padrão: EP = S / √¯N, logo Ꜫ = 1,96 / √¯256 => 1,96 / 16 = 0,1225
	_
	X
Média Amostral => 3072 / 256 = 12
S2 Variância Amostral => 37119 / 256 = 145 – (12)2 = 145 – 144 = 1
σ = 1
Limite Inferior => 12 – 0,12 = 11,88
Limite Superior => 12+0,1225 = 12,12
6 – Para estimar a proporção de cura de um medicamento antiparasitário realizou-se um experimento clínico, aplicando o medicamento em n doentes escolhidos ao acaso. Nesta amostra foi constatado que 80% dos doentes foram curados. Com base nestas informações e utilizando o Teorema Central do limite, o valor de n, para que o erro cometido na estimação seja no máximo 0,08, com confiança de 89%, é de: (0,2 pontos)
(A) 16
(B) 25
(C) 36
(D) 49
(E) 64
R.: Ɛ = 0,08 | 89% => Z = 1,6 | N = X 0,8 X 0,12
N = X 0,8 X 0,2 = 64
7 – Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos,com média de 5,2 e desvio de 1,2. Optou-se por um curso de revisão e com ele pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que frequentaram tal curso, a média foi de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que o curso é: (0,2 pontos)
a) Eficiente e aceitar a hipótese alternativa H1
b) Não eficiente e aceitar a hipótese nula H0
c) Eficiente, pois o valor calculado é menor que 5,2
d) Não eficiente, pois o valor calculador é menor que 5,2
e) Eficiente e aceitar a hipótese nula H0
R.: Temos: N = 36 | X = 6,4 | µ = 5,2 | σ = 1,2 | α = 0,08 
Para α = 0,08 = 50% - 8% = 42% => 0,4207 (na Tabela Normal Padrão) => Z-Tab = 1,41
	Z = 
	X - µ
	
	6,4 – 5,2
	
	1,2
	
	
	
	α
	=>
	1,2
	=
	0,2
	=
	6
	
	
	
	6
	
	
	
	
8 – Um Processo Estocástico tem os seguintes valores para os seus vetores de estado:
X(0) = [120 ; 80] ; X(1) = [100 ; 100] e X(2) = [90 ; 110].
Determine a Matriz de Transição (P) do processo sabendo-se que é um Processo Markoviano. 
(0,5 pontos)
A + B = 200 (100%)
T0 = 120 ; 80
T1 = 100 ; 100
T2 = 90 ; 110
A = 0,70 X 120 + 0,20 X 80 
B = 0,80 X 80 + 0,30 X 120
Matriz de Transição
P = 0,70 0,20 multiplicado por X0 =120 => X1 = 0,70 X 120 + 0,20 X 80 = 84 + 16 => X1 100
 0,30 0,80	 		 80 0,30 X 120 + 0,80 X 80 36 + 64 100
P = 0,70 0,20 multiplicado por X1 =100 => X2 = 0,70 X 100 + 0,20 X 100 = 70 +20 => X2 90
 0,30 0,80	 		 100 0,30 X 100 + 0,80 X 100 30 + 80 110