FICHA DE TRABALHO Nº 1 - TRIGONOMETRIA

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1. Exprima nas razões trigonométricas do ângulo  : 
1.1.        sensen º180cosº180 ; 
1.2.        º1803º360cos 22 sensen ; 
1.3.          º1080cosº720cosº1802º180 tgtg ; 
1.4.        º360º1620cosº9002 sensen ; 
1.5.        º180cosº1802º180cos   sensen ; 
1.6.        º270cosº90cos5º903sen ; 
1.7.          º360º180cos5º90cosº903 sensen ; 
1.8.      º180º180º90   tgtgtg ; 
1.9.  
 
 
   


 


 º360cosº90
º270
º270
º180 sen
tg
tg
tg . 
 
2. Determine o valor numérico de        º450º180cos2º90 tgsen sabendo que 
   º180,º0
3
1
º270  sen . 
 
3. Sabendo que   º90º902º180  tg , calcule 
     º90cos3º180cos   tg . 
 
 
4. Determine os valores reais de k que satisfazem a condição 223:º2 kksenQ   . 
 
5. Considere a proposição  
3
2
º360
3
2
,  xsensenxx . 
5.1. Qual é o valor lógico da proposição? Justifique. 
5.2. Obtenha a negação da proposição dada sem utilizar o símbolo ~ . 
 
6. Calcule: 
 
 6.1 º330º150cosº240 tgsen  ; 6.2 º225º210cosº300 tgsen  ; 
 6.3 º300cosº225 sen ; 6.4    º30º315º150  tgtgtg ; 
 6.5 
 º360cosº180
º300cosº135
sen
sen
; 6.6 
   
   º690º270
º390cosº60


tgsen
sen
; 
 6.7 
6
7
4
7
cos
4
5 
tgsen  ; 6.8 
6
π11
cos
6
π
cos
3


tgtg ; 
 6.9 
3
cos
3
2
3
2 


sensen  ; 6.10 





 

4
7
2
7
cos
4
5
cos
4
7
tgsen ; 
6.11 

















 
3
11
6
13
cosπ
3
4
tgsen ; 6.12 


















6
19
4
23
cosπ
4
17
tgsen ; 
 6.13 





























 
6
15
3
8
6
17
3
2
cosπ
6
7
sentgsensen . 
 
Escola Secundária com 3.º ciclo Henrique Medina
 FICHA DE TRABALHO Nº 1 - TRIGONOMETRIA 2020/2021 
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7. Simplifique cada uma das seguintes expressões: 
 
 7.1        xsenxtgxxsen   32322cos2 ; 
7.2          xxsenxsenxx   cos323cos2cos ; 
 
7.3        xxxsenxtg   4cos23cos32 ; 
 
7.4        xtgxxsenxsen   2cos33 ; 
7.5          xsenxsenxtgxxsen  3674cos  ; 
 
7.6     





 xsenxx 
2
5
3cos5cos ; 
7.7   











 xsenxxsen 
2
9
2
3
cos7 ; 
 
7.8   











 xxxsen 
2
7
cos11cos
2
7
; 
 
7.9  xtgxtgxx 

















 

2
5
2
cos
2
cos ; 
 
7.10 
 
 
2
π
tg
π
2
π
cos














x
xsenx
 ; 
7.11  xsenxxsenxsen 


















2
cos
2
3
2



; 
 
7.12    



11cos
2
3
cos
2












 xxsenxxsen ; 
 
 
7.13   











 xxsenxsen
2
cos215
2
3 
 ; 
 
7.14      2cos7cos2 xsenxxxsen   ; 
7.15     






2
19
cos3822002

 xxsenxtg ; 
7.16 
     xsenxxsen
xx

















cos
2
cos
2
3
cos2
. 
 
 
8. Sabendo que 
5
3
2
π






 xsen e  43  x , calcule: 
 
 8.1  13cos x ; 8.2 xsen2 ; 
Pág.3/8 
 8.3 





 π
2
3
xsen ; 8.4 





 xtg
2

; 8.5  xtg 4 . 
 
9. Sabendo que 0cos x e xsenx cos3 , calcule : 
 9.1 tg  xsenxtg 





 3
2
π
 + sen ( 3 + x ) 9.2  xtgx 





 π
2
3
cos . 
 
10. Sabendo que   2º Q determine m de modo que tenha sentido a expressão 
24 mtg  . 
 
 
11. Determine os valores reais de m, de modo que tenham sentido as expressões: 
 11.1 
2cos9 m ; 11.2 
2
1m 
sen e 
3
m
cos  ; 
 11.3 
3
1
sen e mtg 2 ; 11.4 12 2  msen . 
 
12. Sabendo que 
5
1
2
3








sen e   2, , determine o valor exato da expressão 
   







 51222
2
9
cos tgsen . 
 
13. Sabendo que 
3
1
2
13
cos 







 e 
2
3
2



 , determine o valor exato da expressão 
   

 





 3
2
24cos tgsen . 
 
14. Sabendo que 
2
1
tgx e 
2
3
2

 x , determine o valor exato de: 
 14.1 xcos 14.2   





 xxsen 
2
11
cos9 . 
 
15. Determine o número que a expressão   






2
cos2 2

sen representa quando: 
 15.1 
34
5 
  e ; 15.2 


4
7
6
 e . 
 
 
16. Resolva cada uma das seguintes equações: 
 
 16.1 
2
2
cos x ; 16.2 
2
3
cos x ; 
 16.3 
4
2
senx ; 16.4 2senx ; 
 16.5 3cos x ; 16.6 33 tgx ; 
 
 16.7  3tgx ; 16.8 
3
3
tgx ; 
 16.9 0
3
π






xsen ; 16.10 
2
1
6
π
2cos 





x ; 
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 16.11 01
6
2 







xsen ; 16.12 0
4
2 







xtg ; 
 16.13 01
3








xtg ; 16.14 0cos
2
º48cos 22 





 xxsen
x
; 
 16.15  
2
22

senxsen  ; 16.16   º25º755 senxsen  ; 
 
 16.17   





 xtgxtg
6
2

; 16.18  xsensenx 2 ; 
 16.19  
6
cos3cos

x ; 16.20 xsenx cos ; 
 16.21  x
x
2cos
2
cos 





 ; 16.22   0
3
cos3 







xxsen ; 
 16.23 0coscos2 22  xxsenxsenx ; 16.24 0
1
1 






tgx
tgx ; 
 16.25 











3
3
3
2 xtg
x
tg ; 16.26 01cos3cos2
2  xx ; 
 16.27 0342  senxxsen ; 16.28 senxx 2cos1 2  ; 
16.29 012 xsen ; 16.30  xsenx 3cos ; 
 16.31   251  xtg ; 16.32 
2
1
 senx ; 
 16.33 01
2
cos 
x
 16.34 0cos3  xxsen . 
 
17. Resolva, em IR, as condições: 
 17.1 






2
,
22
3
cos

xx 17.2  2,0
2
2
)2cos(  xx 
 17.3   ,32  xtgx 
 
18. Considere a seguinte expressão   











 xsenxsenxA
2
25cos
3
20
2)(

 
 18.1 Mostre que xxA cos23)(  . 
 
 18.2 Determine 





6
23
A . 
 18.3 Resolva as equações: 
 18.3.1 13)( xA ; 
 18.3.2 31cos)( 2  xxA . 
 
 
19. Considere a seguinte expressão 
  























2
1
2
5
cos2
2
14
5)(
tg
tgsenB . 
 19.1 Mostre que  senB 3)(  . 
 19.2 Sabendo que 






2
,
2
2

tg , calcule o valor exato da expressão )(B 
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 19.3 Resolva, em RI , a condição    cos3)(B .20.5 ; 20.6 ; 
 
 21. Mostre que, para os valores em que as expressões têm significado, se tem: 
 
 21.1 




cos
sen-1
sen1
cos


; 21.2 


tgtg


tg
1
tg
1
tgtg
; 
 21.3        coscos2coscoscos 2  sensensensen ; 
 21.4 1cos
tg
sen 2  


sen ; 21.5 




sen
sen
1
sen
cos 2
 ; 
 21.6   1cos2cos2 2   sensen ; 21.7   1cos111 2
2















 
tg
; 
 21.8  2224 coscos1 sensen  ; 21.9 0cos2224   sensensen ; 
 21.10 








 tg
1
tg
cos
1
sen ; 21.11 


cossen
11

tg
tg ; 
 21.12 

 2
222
4
/costg
tg1
tg
sen



 ; 21.13 
 
0
1
cos1
º90cos1






 sentg
; 
 21.14  
 






tg
tgtg
cos
cos
cos1
º90cos
º90 


 . 
 
 
22. Considere o triângulo  ABC  . Sabe-se que AB = 10 , AC = 20 e 
 é a amplitude do ângulo BAC . 
 Mostre que para qualquer   





2
,0

, a área do triângulo  ABC  , em 
função de  , é dada pela expressão ..100)( ausenA   
 
 23. Na figura estão representados um semicírculo de diâmetro  AB  e um triângulo [ABC] nele inscrito. 
Sabe-se que : 
 x é a amplitude do ângulo BAC ; 
 AB = 10. 
 23.1 Prove que a área do triângulo  ABC  é dada pela expressão 







2
,0,cos50)(

xxsenxxA . 
 23.2 Calcule a área do triângulo  ABC  para 
4

x . 
 23.3 Calcule a área do triângulo quando 
2
1
tgx . 
 
 
 20.1 2cos x = 1  x, ; 20.2 2cos x=1  x,; 
 20.3 2cos x  2 = 0  x0,2; 20.4 2senx  3 = 0  x0,; 
 =    ,
2
 =   
2
xtgx 033

,
2




01cos2
2 xx

 3




 
 
20. Resolva cada uma das equações seguintes, no intervalo indicado: 
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 10 
 10 10 
24. A figura ao lado representa um corte transversal de uma caleira 
 24.1 Mostre que a área da secção da caldeira, em função de  , é dada 
 pela expressão   






2
,0,1cos100)(

 senA . 
 24.2 Calcule a área da secção da caldeira para 
4

  . 
 
25. Considere o  ABC representado na figura: 
 x é a amplitude do ângulo BCA; 
 BC = 2 e AH = 1; 
  BH é a altura relativa ao vértice B. 
 25.1 Mostre que para qualquer 






2
,0

x a área do  ABC é dada 
pela expressão: )cos21()( xsenxxA  
 25.2 Determine os valores de x para os quais 0)( xA 
 
26. Duas povoações, A e B, distanciadas em 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte d 
abastecimento de água, localizada em F. Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas 
povoações, como se indica na figura. 
A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até ao ponto P e dois que partem de P, um 
para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B. 
Tem-se ainda que: 
 o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F; 
 x é a amplitude do ângulo PAM e 







4
,0

x . 
 26.1 Tomando para unidade o km, mostre que o comprimento total 
da canalização é dado por: 
x
senx
xC
cos
48
4)(

 
 26.2 Calcule C(0) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente 
comprimento. 
 26.3 Determine 





4

C . 
 
27. Na figura o  ABC é isósceles, BCAB  , [DEFG] é um rectângulo; 
2DG ; 1DE ; x designa a amplitude do ângulo BAC e 






2
,0

x . 
 27.1 Determine a área do  ABC em função de x . 
 27.2 Calcule o valor da área quando 
3

x . 
 
28. Seja [ABCD] um trapézio isósceles; os lados [AD] e [BC] são paralelos; 
1 CDBCAB ; 1AD ;  é a amplitude do ângulo ABC e 






2
,
3

 . 
 28.1 Determine a área do trapézio [ABCD] em função de  . 
 28.2 Determine o valor da área para 
2

  e interprete geometricamente o 
resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém. 
 
 
29. As bases de um trapézio retângulo medem 8 e 2 centímetros. Se a amplitude do menor dos seus 
ângulos internos for 30º. A sua área, em cm
2
, é: 
Pág.7/8 
(A) 310 (B) 16 (C) 8 (D) 316 . 
 
 
30. O ponteiro das horas de um relógio rodou 1890º desde o dia 1 de Janeiro às 12 horas até ao momento 
em que parou. O ponteiro dos minutos, quer no início quer no momento de paragem, apontava o 12. Então, 
o relógio parou: 
(A) no dia 5 de Janeiro às 12 horas (B) no dia 4 de Janeiro às 3 horas 
(C) no dia 3 de Janeiro às 15 horas (D) no dia 3 de Janeiro às 24 horas. 
 
 
31. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR] 
O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. 
O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox , de tal modo que o triângulo [OPR] é 
sempre isósceles. 
Sendo α a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes 
dá a área do triângulo [OPR] , em função de α ? 
(A)  cossen (B)  cos2 sen (C) 
2
cos1 sen
 (D) 
 
2
cos1  sen
 
32. Seja  um valor pertencente ao intervalo 







,
2
. 
Qual das seguintes expressões pode representar um número real positivo? 
(A)  sencos (B)  cossen (C)  tgsen (D)  tgsen  . 
 
33.  é um ângulo ao centro de uma circunferência de raio 1. 
 33.1 Mostre que: 
 33.1.1 
2

OÂC ; 33.1.2 senCD  e cosOD ; 
 33.1.3 


sen
sen
tg


12
. 
 33.2 Use o resultado anterior para obter o valor exato de 
8

tg . 
 
34. [ABCD] é um quadrado e [AECF] é um losango.  é a medida da amplitude, em 
radianos, do ângulo EAF. 
 34.1 Determine o perímetro do losango, com aproximação ao mm, quando 
3

  . 
 34.2 Mostre que a expressão 
2
cos
28

 representa, em cm, o perímetro do losango 
para 







2
,0

 . 
 34.3 Determine  pertencente a 






2
,0

 de modo que o perímetro do losango seja: 
 34.3.1 12 cm (2 c. d.); 
 34.3.2 16 cm e interprete o resultado no contexto do problema. 
 
 
Soluções 
1.1  sensen  cos ; 1.2 sen31 ; 1.3 tg ; 1.4  sencos ; 1.5 sen ; 1.6 
 sen6cos3  ; 1.7 cos2 ; 1.8 tg1 ; 1.9 tg1 ; 2. 
4
24 
 ; 3. 
5
305 
 ; 4. 













2
3
,1
2
1
,0 k ; 5.1 P. V. ; 5.2  
3
2
º360
3
2
:  xsensenxx 6.1 
3
3
 ; 6.2 1; 6.3 
Pág.8/8 
2
23 
; 6.4 
3
323
; 6.5 
4
2
 ; 6.6 0; 6.7 
3
3
 ; 6.8 1; 6.9 0; 6.10 12  ; 6.11 3 ; 
6.12 
3
323 
; 6.13 3
2
1
 ; 7.1 tgxxsenx 2cos  ; 7.2 xcos2 ; 7.3 xsenxtgx cos2  ; 
7.4 tgxxsenx  cos34 ; 7.5 senxtgxx 3cos  ; 7.6 xcos ; 7.7 xcos ; 7.8 senx ; 7.9 1; 
7.10 0; 7.11 senx2 ; 7.12 xcos2 ; 7.13 xsenx cos3  ; 7.14 -1; 7.15 tgxsenx 2 ; 7.16 
tgx ; 8.1. 
5
3
 ; 8.2 
25
16 ; 8.3 
5
3
 ; 8.4 
4
3 ; 8.5 
3
4 ; 9.1 
30
10910 
; 9.2 
10
10330  ; 10. 
    ,22, m ; 11.1  3,3m ; 11.2 
13
3129
13
3129 


 mm ; 11.3 
8
2
8
2
 mm
; 
11.4  1,1m ; 12 
5
612

; 13. 
12
211 ; 14.1 
5
52
 ; 14.2 0; 15.1 
4
1
; 15.2 
2
13  ; 
16.1 IZkkx 

,2
4
3


; 16.2 IZkkx 
,2
6
5

 ;16.3 IZkkxkx  ,2
6
7
2
6




; 16.4 i(x) 
16.5 i(x); 16.6 IZkkx  ,
6


; 16.7 IZkkx  ,
3


; 16.8 IZkkx  ,
6


; 16.9 
IZkkx  ,
3


; 16.10 IZkkxkx  ,
124




; 16.11 IZkkx  ,
3
2


; 16.12 
IZk
k
x  ,
28
 ; 16.13 IZkkx  ,
12
7


; 16.14 IZkkx  ,º720º96 ; 16.15 
IZkkxkx  ,
12
5
12




; 16.16 IZkkxkx  ,º72º16º72º10 ; 16.17 IZkkx  ,
318

; 
16.18 IZk
k
xkx  ,
3
2
2

 ; 16.19 IZk
k
x 

,
3
2
18
5  ; 16.20 IZkkx  ,
4

 ; 16.21 
IZk
k
x
k
x  ,
3
4
3
2
5
4
5
2  ; 16.22 IZk
k
xkx  ,
224
5
12


 ; 16.23 IZkkx  ,
4
3

 ; 16.24 
IZkkx  ,
4


; 16.25 IZkkxkx  ,33  ; 16.26 IZkkxkx 

,2
3
2 

 ; 
16.27 IZkkx  ,2
2


; 16.28 IZkkx  , ; 16.29 IZkkx  ,
2

 ; 16.30 
IZk
k
xkx  ,
284


 ; 16.31 IZk
k
x  ,
520
 ; 
16.32 IZkkxkxkxkx  ,2
6
7
2
6
2
6
5
2
6








; 16.33 IZkkx  ,42 ; 16.34 
IZkkx  ,
6

 17.1 







6
,
6
 ; 17.2 






8
13
,
8
11
,
8
5
,
8
3  ; 17.3 







3
2
,
3
,
3
,
3
2  ; 18.2 32 ; 18.3.1 
IZkkx 

,2
3
2

 ; 18.3.2 IZkkx  ,2  ; 19.2 
5
56
; 19.3 IZkk  ,
4



; 
; 27.2 
; 28.1 
33.1 13,1 cm; 33.3.1 1,03; 28.3.2 , o losango coincide com o quadrado de lado 4 e área 16. 
 
 23.2 25; 23.3 20 u. a. ; 24.2 50 50 2 ; 25.2 

2
; 28.2 1, quadrado de lado 1; 29 A; 30. B; 31. A; 32. D; 27.2 12  ;  cos)( sensenA 
3
346 
1
2)( 
tgx
tgxxA26.2 12, o ponto P M, a canalização tem a forma de  (T invertido); 26.3 28 ; 27.1 


2
 ,2
3
IZkkxkx 