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Stelle2005

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SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
SINAIS E SISTEMAS 
 
 
 
 
 
Álvaro Luiz Stelle (PhD) 
DAELN – CPGEI – CEFET–PR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Março de 2005 
 
 SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
II
PREFÁCIO 
 
 
Esta apostila tem como objetivo dar ao leitor um embasamento teórico das 
Transformadas de Laplace, de Fourier e “z”, que serão necessárias nas áreas de 
Controle, Comunicações e Processamento de Sinais. 
Considera-se que o leitor já tenha conhecimentos matemáticos englobando números 
complexos, variáveis complexas e cálculo íntegro-diferencial. Para fixar com maior 
facilidade alguns conceitos, são fornecidos diversos exemplos e ilustrações ao longo do 
texto. No anexo estão incluídos diversos exercícios. Aqueles que abrangem as funções de 
transferência nos planos s e z poderão ser comprovados com a utilização do software 
FT3D, desenvolvido no Cpgei com finalidade puramente didática, e que resultou de uma 
dissertação de mestrado. O mesmo pode ser obtido através da internet em 
http://www.intelisis.com.br/intelisis/ft3d/. Entre tantos outros, um site recomendável para 
fixação de conceitos básicos referentes às transformadas aqui estudadas é o da 
Universidade Johns Hopkins, encontrado em http://www.jhu.edu/~signals. 
Apesar de elaborada com o máximo cuidado, esta apostila poderá conter alguns 
erros de datilografia (texto e equações) e também no que se refere às ilustrações. Por 
esta razão, pedimos ao leitor que nos comunique caso os encontre ou caso surja alguma 
dúvida no que se refere ao conteúdo do material. 
 
 
 
 
Profo.Álvaro Luiz Stelle 
stelle@cpgei.cefetpr.br 
 SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
III
ÍNDICE 
 
CAPÍTULO 1 - SISTEMAS LINEARES 1 
1.1 - Introdução 1 
1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais 1 
1.3 - Números imaginários e complexos 2 
1.3.1 - Números imaginários 2 
1.3.2 - Números complexos 3 
CAPÍTULO 2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 
2.1 - Introdução 5 
2.2 - Definição 5 
2.3 - Propriedades e pares de transformadas 6 
2.4 - Transformada inversa 8 
2.5 - Aplicação da transformada de Laplace a circuitos elétricos 12 
2.6 - Funções de transferência de sistemas lineares 16 
2.7 - Pólos e zeros 20 
2.8 - Resposta em freqüência 23 
2.9 - Resposta ao impulso e ao degrau 24 
2.10 - Lugar das raízes (root locus) 30 
CAPÍTULO 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 36 
3.1 - Introdução 36 
3.2 - Série de Fourier 36 
3.2.1 - Série de Fourier trigonométrica 36 
3.2.2 - Série de Fourier exponencial 37 
3.3 - Fenômeno de Gibbs 38 
3.4 - Teorema de Parseval 42 
3.5 - Transformada de Fourier 43 
3.6 - Teorema de energia de Rayleigh 46 
3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas 46 
3.8 - Convolução 46 
3.9 - Aplicação das propriedades 50 
3.10 - Modulação em amplitude (AM) 53 
3.11 - Teoria da amostragem 55 
CAPÍTULO 4 - TRANSFORMADA “Z” 59 
4.1 - Introdução 59 
4.2 - Definição 59 
 SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
IV
4.3 - Região de convergência 59 
4.4 - Propriedades e pares de transformadas 61 
4.5 - Transformada inversa 62 
4.5.1 - Método dos resíduos 63 
4.5.2 - Método das frações parciais 64 
4.5.3 - Método da inversão por divisão (long division) 66 
4.6 - Convolução discreta 66 
4.7 - Funções de transferência de sistemas discretos 67 
4.7.1 - Funções de transferência de sistemas IIR e FIR 68 
4.7.2 - Estabilidade do sistema 70 
4.7.3 - Resposta em freqüência 70 
BIBLIOGRAFIA 75 
ANEXO 77 
 
 SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
1
1 - SISTEMAS LINEARES 
1.1 - Introdução 
Os conceitos que se pode ter sobre o que é um circuito elétrico, uma rede elétrica ou 
um sistema elétrico podem ser bastante subjetivos. Porém, quando se fala em sistema, se 
imagina algo mais complexo tal como um sistema de ensino, de sinalização ou de defesa. 
Em engenharia, a palavra “sistema” é utilizada para descrever algo que é completo e 
que tem uma relação causa-efeito. Assim, em um automóvel existem vários sistemas tais 
como o de combustão, o de refrigeração, o de frenação e o elétrico. Pode-se dizer, 
porém, que o automóvel é um sistema e que os demais blocos que o compõem são 
subsistemas. Desta forma, ainda continua sendo subjetiva a conceituação daquilo que é 
um sistema. 
Em engenharia elétrica, isto se torna ainda mais complexo, pois um simples circuito 
RLC pode servir para simular a porta de um elevador, que é um sistema enquanto um 
circuito integrado pode ser considerado um simples elemento de um sistema. Por esta 
razão, ao longo desta apostila, estas palavras serão utilizadas indistintamente. Falar-se-á, 
por exemplo, na resposta do sistema a um impulso, não passando o mesmo de um 
simples circuito RC ou RLC. 
1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais 
Ao se pensar em uma variação linear, imagina-se que seja suficiente que a função 
seja definida por uma reta. Porém, do ponto de vista da resposta de um sistema linear, tal 
reta tem que passar pela origem, pois não pode haver um sinal de saída se o sinal de 
entrada é nulo. 
Um sistema é dito linear se puder ser representado por uma ou mais equações 
diferenciais lineares (aquelas em que os coeficientes são constantes). A propriedade mais 
importante destes sistemas é o fato de poder aplicar o princípio da superposição, que é 
dado pela equação 
a dy
dt
b dx
dti
i
i
i
n
i
i
i
i
k

 
 
0 0
 
onde “x” é a variável de entrada e “y” é a de saída. Isto significa que a saída global pode 
ser calculada a partir da soma das saídas individuais. Circuitos práticos constituídos de 
resistores, indutores, capacitores e fontes de corrente e tensão são sistemas lineares 
desde que sejam todos elementos lineares, o que já é difícil em termos práticos, pois os 
valores já variam em função da temperatura, por exemplo. Um simples diodo já leva à não 
linearidade. 
Seguem duas equações, uma delas caracterizando uma função linear e a outra uma 
função não linear. 
L
di t
dt
Ri t
( )
( )  20 linear 
 SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
2
d i t
dt
Ki t
2
2
3 0
( )
( )  
não linear 
Na prática, os sistemas não chegam a ser totalmente lineares. Este é o caso de um 
amplificador, cuja saída satura quando o sinal de entrada se torna maior que um valor 
máximo admissível. Caso isto ocorra, surgem as distorções no sinal de saída, o que 
implicará no surgimento de componentes espectrais indesejáveis. Na figura 1.1, estão 
ilustradas algumas funções não lineares comumente encontradas nos circuitos 
eletrônicos. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 1.1 - Não linearidade causada por (a) saturação, (b) zona 
morta e (c) histerese. 
Por último, deve-se dizer que os sistemas lineares realizáveis obedecem ao princípio 
da causalidade. Tal tipo de sistema é denominado sistema causal e se caracteriza pelo 
fato de não responder a um sinal antes que o mesmo lhe seja aplicado. Em outras 
palavras, significa que suas variáveis de saída dependem dos valores atuais e dos 
valores passados das variáveis de entrada (e de saída em caso de realimentação); nunca 
de valores futuros. Isto pode não ocorrer para sistemas não lineares. 
Para o estudo dos sistemas lineares e invariantes no tempo, faz-se uso das 
transformadas de Laplace (sistemas analógicos), de Fourier (análise espectral geral) e “z” 
(sistemas discretos),

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