ResolucaoHI_Portugal

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HIDRÁULICA I – 1 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA 
SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIDRÁULICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resoluções dos problemas 
HIDRÁULICA I – 2 
 
7 – LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO 
PROBLEMA 7.1 
Pretende-se elevar o caudal de 14 ls− de um reservatório A para um reservatório B, por uma 
conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um 
óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática 4 2 13 10v m s− −= × . A 
potência da bomba é de ,2 2 kW e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes 
dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m . 
Calcular a pressão do ar no reservatório B. 
RESOLUÇÃO 
 
� A t BH H J H+ − =� 
� ,
3 10 004Q m s−= 
( )
,Re ,
,
2 4
4 4 4 0 004 113 2
0 15 3 10
U D Q D Q
DD −
× × ×
= = = = =
ν Π νΠ × ×ν Π × × ×
 
Re ,113 2= ⇒ escoamento laminar 
� ( ) ( )
,
,
,
, ,
4
2 2 2
3 10 4 0 00432 32 0 0098
9 8 0 15 0 15
UJ J m m
g D
−ν × ×
= ⇒ = × × =
Π × ×
 
� ,
30 9 9800 8820tQ HP Nm−γ= γ = × =
η
 
,
,
,
8820 0 004
2200 43 65
0 7
t
t
H
H m
× ×
= ⇒ = 
HIDRÁULICA I – 3 
 
� , , , ,0 0 43 65 0 0098 250 41 20BH m= + − × = 
� 
2
2
B
B B
UpB
H z
g
= + + α
γ
 
( ), ,
2
0 41 20 8 33 20
2
BU pB pBm m
g
α = ⇒ = − ⇒ =
γ γ
 
� 8820γ = ⇒ , 52 93 10Bp Pa= × 
PROBLEMA 7.2 
Numa conduta circular com ,1 0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta ,0 5k mm= escoa-
se o caudal de 3 13 m s− . Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= , determine a 
perda de carga unitária. 
RESOLUÇÃO 
,
,
?3 1
5 2 1
1 0
0 5
3
10
D m
k mm
JQ m s
m s
−
− −
= 

= 
=
= 
ν = 
 
,
,
,
,
,
, ,Re ,
2
2
1
5
5
0 0005 0 0005
1 0
0 785
4
3 82
3 82 1 0 3 82 10
10
k
D
D
A m
QU ms
A
U D
−
−

= =

 Π
= =


= =


×
= = = ×
 ν
 
� Recorrendo à utilização do ábaco de Moody 
,
Re , 5
0 0005
3 82 10
k
D

= 
⇒

= × 
 Ábaco de Moody ⇒ ,0 018f � 
� 
2
2
1
2
2
J D Uf J f
g DU
g
= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
 
,0 0134J m m=
 
� Recorrendo à fórmula de Colebrook-White 
HIDRÁULICA I – 4 
 
,log
, Re
1 2 512
3 7
k
Df f
 
 = − +
 
 
 
,log
, Re
2
1 2 512
3 7
k
f D f
  
  = − +
    
 
,log
, Re
2
1
2 512
3 7
f
k
D f
=
  
  − +
    
 
( )
,log
, Re
2 2
2
1
2 512 2
3 7 2
J D
U
kg
D J D U g
=
  
  
− +  
  
  
 
( )
,log
, Re
2
2
2
1
2
2 512
3 7 2
UJ
g D
k
D J D U g
=
  
  
− +  
  
  
 
,
,log ,
26
4
10 7444
5 66968 102 1 35 10
J
J
−
−
=
  ×
− × +      
 
,
,log ,
1 2
6
4
0 7444
5 66968 102 1 35 10
n
n
J
J
+
−
−
=
  ×  
− × +
    
 (substituições sucessivas) 
 
nJ 1nJ + 
0,0010 0,0152 
0,0152 0,0133 
0,0133 0,0133 
 
,0 0133J =
 
HIDRÁULICA I – 5 
 
PROBLEMA 7.3 
Numa conduta circular com a rugosidade absoluta ,1 5K mm= , escoa-se o caudal de 3 12 m s− . 
Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= e a perda de carga unitária ,0 008J = , 
determine o diâmetro da conduta. 
RESOLUÇÃO 
,
?
,
3 1
6 2 1
0 0015
2
10
0 008
k m
Q m s
D
m s
J
−
− −
= 

= 
=
ν = 

= 
 
� resolução por tentativas recorrendo ao Ábaco de Moody 
( )D m ( )U m s 
2
2J D gf
U
×
= Re U D=
ν
 
k
D
 
f (ábaco) 
0,90 3,144 0,0143 
,
62 83 10× 0,00167 0,00220 
1,00 2,546 0,0242 
,
62 55 10× 0,00150 0,00218 
0,98 2,651 ,0 0219
 ,
62 60 10× 0,00153 ,0 00219 
,0 98D m�
 
� resolução recorrendo à fórmula de Colebrook-White 
,log
,
2 25 5
1
2 512
3 7 22n n n
Q kD
D g JDg J
−
+
    ν
 = +   Π     
 Quintela, p. 151 
Neste caso 
,,log
,, , , ,
22 55
1 6
2 514 0 0015
3 719 6 0 008 10 19 6 0 008n n n n
D
D D D
−
+
   
  = + 
    Π × ×    
 
,,
, log
2
564
1 3
6 339 104 054 101 5955n
n
n
D
D D
−
−−
+
  
××  
= +
  
   
 
 
 
HIDRÁULICA I – 6 
 
nD 1nD + 
0,9000 0,9850 
0,9850 0,9804 
0,9804 0,9806 
0,9806 0,9806 
,0 98D m�
 
PROBLEMA 7.4 
Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com 
fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta ,6 5K mm= . 
Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u , exibido na figura 1 e 
resumido na tabela 1. 
Tabela 1 
( )y m ( )/Ln y k u ( 1ms− ) 
0,0076 0,156346 0,3619 
0,0096 0,389961 0,3917 
0,0126 0,661895 0,4120 
0,0156 0,875469 0,4364 
0,0236 1,289445 0,4805 
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
u (m/s)
y 
(m
)
 
Figura 1 – Perfil da velocidade longitudinal média no tempo 
HIDRÁULICA I – 7 
 
a) Determine o valor da velocidade de atrito, * 0u = τ ρ , e do coeficiente B da expressão 
do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de 
transição 
 
*
( ) 1 ln  = + 
κ  
u y y B
u k
 (1) 
em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán. 
b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e 
sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como 
2
*8 =  
 
uf
U
, determine a lei 
de resistência válida para este escoamento. Note que ( )
0
lim ln 0
ε→
ε ε = . 
c) Calcule a perda de carga unitária quando ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = e ,0 4B m= . 
RESOLUÇÃO 
Procura-se uma lei de resistência, ou uma relação entre o factor de Darcy-Weisbach, f , as 
propriedades do fluido ( ρ e µ ) as características do escoamento ( h e U ) e as características 
do leito (a rugosidade da fronteira sólida ( k ). A dimensional é 
( , , , , )= ρ µf f h U k 
Aplicando o teorema de Vaschy-Buckingham escolhendo como variáveis de base h , U e µ 
obtém-se 
,
 ρ
=  µ 
k Uhf f
h
 
Como se admite que a fronteira é hidraulicamente rugosa, a resistência ao escoamento não 
depende do número de Reynolds 
ρ
µ
Uh
. Assim, procurar-se-á uma expressão na forma 
 
=  
 
kf f
h
 
Sendo 
2
*8 =  
 
uf
U
 
HIDRÁULICA I – 8 
 
procurar-se-á integrar o perfil de velocidades para encontrar uma expressão para a velocidade 
média do escoamento, U . Assim, tem-se 
0 0*
( ) 1lim d lim ln 8,47 d
0,4ε→ ε→
ε ε
  
= +  
  ∫ ∫
h h
u y yy y
u k
 
0*
1lim ln 8, 47 d
0, 4ε→
ε
  
= +  
  ∫
h
Uh y y
u k
 
( ) ( ){ }
0*
lim 2,5ln 2,5ln 8,47 d
ε→
ε
= + +∫
h
Uh y k y
u
 
( ) ( )( )( )
0 0*
2,5 lim ln d lim 2,5ln 8,47
ε→ ε→
ε
= + + − ε∫
h
Uh y y k h
u
 
( )( ) ( )( )( )
0 0*
lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47
εε→ ε→
= − + + − ε
hUh y y y k h
u
 
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
0 0*
2,5 ln lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47Uh h h h k h
u ε→ ε→
= − − ε ε − ε + + − ε 
( ) ( )
*
2,5 ln 2,5 ln 8,47 2,5= + + −Uh h h h k h h
u
 
*
2,5ln 5,97 = + 
 
U h
u k
 
8 2,5ln 5,97 = + 
 
h
f k 
A expressão acima responde aoenunciado. 
(Os desenvolvimentos seguintes são opcionais e visam uma expressão de acordo com os 
cânones da Mecânica dos Fluidos.) 
Na Mecânica dos Fluidos clássica era usual exprimir os logaritmos em base 10. Assim, tem-se 
( ) ( )5,97/2,5
*
2,5ln 2.5ln 2,5ln 2,5ln 10,89   = + = +   
   
U h h
e
u k k
 
HIDRÁULICA I – 9 
 
*
2,5ln 10,89 =  
 
U h
u k
 
*
2,5ln
10,89
 
= −  
 
U k
u h
 
( )
*
2,5log ln 10
10,89
 
= −  
 
U k
u h
 
*
5,76log
10,89
 
= −  
 
U k
u h
 
Usando a definição do diâmetro hidráulico 
*
5,76log
2,72
 
= −  
 h
U k
u D
 
1 5,76 log
2,728
 
= −  
 h
k
f D 
1 2log
2,72
 
≈ −  
 h
k
f D 
d) Calcule a perda de carga unitária sabendo que, nas condições da figura 1, ,0 0745h m= , 
,13 2l/sQ = e ,0 4B m= . 
RESPOSTA: 
Sendo 
2
*8 =  
 
uf
U
 
e, em escoamentos com superfície livre, 
* 4
= =
hDu ghJ gJ , 
obtém-se 
HIDRÁULICA I – 10 
 
2
48=
hDgJ
f
U
 
2 2
=
hJDf
U g
 
Como 
1 2log
2,72
 
≈ −  
 h
k
f D 
fica 
2
2
1 log
4 2,722
−
 
=  
 
h
h
JD k
DU g
 
2
2log
8 2,72h h
U kJ
gD D
−
 
=  
 
 
Sendo ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = , ,0 4B m= e ,0 0065k = , obtém-se 
2
2
0,0132
0, 4 0,0745 0,0065log
8 9,8 4 0,0745 2,72 4 0,0745
J −
 
 ×   
=  × × × × × 
 
0,0019=J 
PROBLEMA 7.5 
A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de 
uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning: 
/ /, 2 3 1 21 486U R J
n
= 
em que, 
U – velocidade média do escoamento; 
n – coeficiente que depende do material da tubagem; 
R – raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado); 
J – perda de carga unitária. 
HIDRÁULICA I – 11 
 
Os valores de n , dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, 
para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas. 
Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as 
unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t , continuando a utilizar os 
valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e 
o segundo. 
RESOLUÇÃO 
[ ] 1U L T −= 
[ ]
2A LR R L
P L
= ⇒ = = 
[ ] 0 0J L T= 
•••• [ ] [ ], 2 2 113 3 32 11 486 1n R J n L n L TU LT
−
−
= ⇒ = ⇒ = 
•••• em unidades inglesas tem-se 
[ ] 13n ft s−= 
•••• num sistema genérico, continuando a utilizar a mesma tabela: 
( ) ( )− −= �n ft n t1 13 3 
1
1
ft x
seg y t
→

→
�
 
 
( ) ( ) ( )1 1 1 1 13 3 3 3 3n ft s n x yt x y n t− − − − −= =� � 
•••• equação de Manning num sistema genérico � , t 
, 2 13 2
1
3
1 486U R J
x y n−
= 
•••• sendo m=� ; t s= ⇒ 
,1 0 3048
1 1
ft m
seg seg
=

=
 
,0 3048
1
x
y
=

=
 
( )
, ,
,
,
2 21 1
3 32 2
1
3
1 486 1 486
1 4860 3048 1
U R J U R J
nn
−
= ⇒ =
× ×
 
HIDRÁULICA I – 12 
 
2 1
3 2
1U R J
n
= ∴ 
2 1
3 21U R J
K
= 
1K
n
= 
n – coeficiente de Manning 
K – coeficiente de Strickler 
PROBLEMA 7.6 
Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na 
figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as 
irregularidades. 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
HIDRÁULICA I – 13 
 
•••• Trecho 1–2 
− A perda de carga à entrada da conduta é 
2
1
1 2
U
H K
g
∆ = , em que 1U é a velocidade na 
conduta e ,0 5K = se a transição for em aresta viva. O termo cinético é 
2
1
2
U
g
α com 
,1 1α = se o escoamento for turbulento. 
•••• Trecho 2–3 
− A perda de carga na curva é 
2
1
2 2
U
H K
g
∆ = , em que K depende da geometria da 
curva e do número de Reynolds do escoamento para números de Reynolds 
pequenos. 
− O declive da linha de energia é superior ao da do trecho 1–2 pelo facto de a conduta 
ser inclinada. 
•••• Trecho 3–4 
− Devido ao alargamento brusco, ocorre na secção 3 uma perda de carga singular dada 
por ( )
2
1 2
2
U U
H
g
−
∆ = . 
 Consequentemente, a linha piezométrica sobe: 
 
( )2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2
U U U U U U U U U U U U
g g g g g g g
−
− +
+ = + = − + 
Como 
2
1 2 2
1 2
2 2
2 2
U U U
U U
g g
> ⇒ > ⇒ 
( )2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 12 2
2 2 2 2 2 2
U U U U U U U U
g g g g g g
−
⇒ + = − + < 
HIDRÁULICA I – 14 
 
Como ( )
22 2
1 21 2
2 2 2
U UU U
g g g
−
> + ⇒ a piezométrica sobe. 
•••• Trecho 4–5 
− A perda de carga no estreitamento é 
2
1
2
U
K
g
 com ,0 5K < . 
O declive da linha de energia é igual ao do trecho 2–3. 
•••• Trecho 5–6 
− Em 5, a turbina aproveita uma queda uH . Entre 5 e 6, a perda de carga unitária e o 
termo cinético decrescem gradualmente para jusante. Como a área da secção vai 
aumentando, a velocidade vai diminuindo, ( )U U x= , e J é sucessivamente menor. 
Em 6, ocorre uma perda de carga dada por: 
( )2 26 res. 6
2 2
U U U
H
g g
−
∆ = = com res. 0U � 
porque a tubagem termina em aresta viva. 
PROBLEMA 7.7 
Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de ,0 45 m escoa-se água, em regime uniforme, 
com a perda de carga unitária de 0,003. Calcular o caudal transportado, supondo a conduta nova 
e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi. 
RESOLUÇÃO 
•••• Dados: – tubagem de fibrocimento 
 ,0 45D m= 
 ,0 003J m m= 
 Calcular Q 
•••• A fórmula de Chézy é a seguinte: Q C A R J= em que 87 RC
R
=
γ +
 – fórmula de Bazin 
•••• Como se trata de fibrocimento, o valor de γ da fórmula de Bazin varia entre ,
1
20 00 m e 
,
1
20 06 m . Adopta-se o valor intermédio ,
1
20 03 mγ = 
HIDRÁULICA I – 15 
 
•••• 
, ,,
,
, ,
1 1243 5 0 4587 43 5 79 804 1 10 03 0 45
2 2
R DDR C m s
R D
−
= ⇒ = = = =
γ + γ + +
 
•••• 
( ),
, , ,
20 451 79 86 0 45 0 003
2 8
Q C A R J C A D J Π ×= = = × × = 
,
3 10 233 m s−= 233Q l s= 
PROBLEMA 7.8 
Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de 
cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois 
trechos: trecho AB, com um comprimento 1 1000l m= e diâmetro 1D , e trecho BC, com um 
comprimento 2 1000l m= e diâmetro 2D tal que ,2 11 1D D= . 
Determinar os diâmetros 1D e 2D de modo que o caudal escoado seja −ls 1200 . Usar a fórmula 
de Manning-Strickler ( 1 3 195K m s−= ). 
RESOLUÇÃO 
 
a) 
•••• Resolução pela fórmula de Manning-Strickler 
2 1
3 2Q K A R J= 
•••• Desprezando perdas de carga em singularidades vem: 
( ) ,1 1 2 2 1 2 1 220 0 02H J J J J m J J m m∆ = + = + = ⇒ + =� � � 
•••• 
( )
( )
, ,
,,
,
2 22
2 2 16422 43 332 3
0 2 0 04
1 2304 095 0 1575
0 6169
4 4
Q QJ
K A R DD DD DK
 
 
= = = =
    × ×  Π      
 
 
HIDRÁULICA I – 16 
 
( )
,
1 16
3
1
0 04
2304
J
D
= 
( )
,
,
2 16
3
1
0 04
2304 1 1
J
D
= 
 
( ) ( )
,
,
,
1 2 16 16
3 3
1 1
0 04 1 1 0 02
2304 1 1
J J
D D
 
 + = + =
 
  
 
 
( )
( ) ( )
, , ,
,
, ,
16
3
16 16
3 3
1 1
1 1 1 0 02 2304 2 6625 1152
0 041 1 1 1D D
+ ×
= ⇒ = 
 ( ) , ,1631 10 0014 0 291D D m= ⇒ =•••• 1 291D mm= e ,2 11 1 320D D mm= = 
b) 
•••• Resolução pelo ábaco de Scimemi 
( )1D mm ( )2D mm 1J 2J 1 2J J+ 
350 385 0,0085 0,0050 0,0135 
325 358 0,0120 0,0075 0,0195 ≅ 0,020 
PROBLEMA 7.9 
Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta 
um ponto alto B cuja cota é 105 m . 
 
Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de , 3 10 1m s− (rendimento, ,0 85η = ). 
HIDRÁULICA I – 17 
 
Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a 
1m . Qual é a potência da turbina. 
RESOLUÇÃO 
a) Determinação do diâmetro mínimo da conduta 
•••• desprezando perdas de carga em singularidades 
110A AH z m= = 
2
105 1
2B
UH
g
= + + α = 
,
,
2
22
0 1106
19 6
4
BH
D
+ =
 Π
×  
 
 ( )1α = 
1000A BH J H− = 
•••• tubagem em ferro fundido ⇒ , ,2 625 0 53535Q D J= 
(QUINTELA 1981, p. 154) 
,
,
1
0 535
2 62535
QJ
D
 
=   
 
 
•••• 
,
,
,
,
1
0 535 2
2 625 22
0 1110 1000 106
35
19 6
4
Q
D D
 
− = +  
   Π
×  
 
 
,
, ,
4 907 4
0 01757 0 000827110 106
D D
− = + 
,
, ,
4 907 4
0 01757 0 0008274
D D
= − ⇒ 
,
,
,
1
4 907
1
4
0 01757
0 0008274
n
n
D
D
+
 
 
 
=  
  
−   
   
 
nD 1nD + 
0,5 0,331 
0,331 0,332 
0,332 0,332 ⇒ min ,0 332D m= 
HIDRÁULICA I – 18 
 
b) Potência da turbina 
 ( )A AB BD DC u CH J L L L H H− + + − = 
 3200u A CH H H J= − − 100 3200uH J= − 
 ( )
,
,
,
,
,
1
0 535
3
2 625
0 1 3 93 10
35 0 332
J m m−
 
 = = ×
 
 
 
 , ,
3100 3200 3 93 10 87 42uH m−= − × × = 
 , , , ,9800 0 1 87 42 0 85 72826 7uP Q H W= γ η = × × × = 
 
,72 8P kW=
 
PROBLEMA 7.10 
Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao 
reservatório D chega um caudal de 1250 ls− . Sabendo que as cotas dos reservatórios e as 
dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é 
,0 75η = e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da 
bomba. 
 
 
HIDRÁULICA I – 19 
 
RESOLUÇÃO 
 
Desprezando perdas de carga em singularidades, CH é dada por: 
 C D CD CDH H J= + � 
A perda de carga unitária no trecho CD pode ser calculada pela fórmula de Scimemi para ferro 
fundido: 
 ( ) ,, , ,, , 2 6252 65 0 535 0 53535 0 25 35 0 5 CDQ D J J= ⇒ = ⇒ 
 ,0 00292CDJ m m⇒ = 
pelo que a carga hidráulica no nó C vem: 
, ,30 2000 0 00292 35 84CH m= + × = 
Para calcular o caudal que se escoa no trecho EC , de C para E , é necessário calcular 
( ),
,
35 84 35
0 00056
1500CE
J m m
−
= = 
O caudal CEQ é então: 
 ( ) ( ), ,, , ,2 625 0 535 3 135 0 6 0 00056 0 167CEQ m s−= = 
O caudal que sai do reservatório A e se escoa até ao nó C é 
, , ,
3 10 250 0 167 0 417AC CD CEQ Q Q m s−= + = + = . O caudal elevado é 
 ,
3 10 417ACQ m s−= 
HIDRÁULICA I – 20 
 
A potência da bomba é dada por uQ HP γ=
η
, em que uH satisfaz a equação 
A u AC AC CH H J H+ − =� . Importa, por isso, calcular ACJ . Sabe-se que 
( ) ( ) ,,, , 0 5352 6250 417 35 0 6 CDJ= × , ou seja, ,0 0031CDJ m m= . Então, 
, ,10 0 0031 1800 35 84uH+ − × = , isto é, ,31 43uH m= . A potência da bomba vem 
 
( ), ,
,
,
9800 0 417 31 43
171269 171 3
0 75
x
P W kW
×
= = ≅ 
 bomba ,171 3P kW= 
PROBLEMA 7.11 
Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a 
atmosfera na extremidade D. A secção 0S em D tem o valor de , 20 02 m . 
 
Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das 
condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no 
orifício de saída 
RESOLUÇÃO 
•••• Sistema de equações 
,
,
2
0 02
15
19 6
CD
D
Q
H
 
 
 
= + 
D A AC AC CD CDH H J J= − −� � 
D B BC BC CD CDH H J J= − −� � 
CD AC BCQ Q Q= + 
HIDRÁULICA I – 21 
 
Fibrocimento ⇒ 
,
,
,
1
0 56
2 6848 3
QJ
D
 
=   
 
 
, ,
, ,
,
, , , , ,
2
1 1
0 56 0 56
2 68 2 68
0 02
15 40 800 1250
19 6 48 3 0 35 48 3 0 40
CD
AC CD
Q
Q Q
 
      + = − × − ×      × ×   
 (1) 
, ,
, ,
,
, , , , ,
2
1 1
0 56 0 56
2 68 2 68
0 02
15 50 900 1250
19 6 48 3 0 40 48 3 0 40
CD
CD AC CD
Q
Q Q Q
 
     
− + = − × − ×      × ×   
 (2) 
•••• Resolução por tentativas 
1) arbitra-se CDQ 
2) calcula-se ACQ pela equação (1) 
3) substitui-se ACQ na equação (2) e calcula-se 'CDQ 
4) se 'CD CDQ Q≅ a solução foi encontrada e pode calcular-se BCQ ; se 'CD CDQ Q≠ 
CDQ ACQ 'CDQ 
0,300 0,102 0,472 
0,320 
− 0,067 0,248 
0,3142 
− 0,016 0,3155 
Solução ⇒ ,0 332BCQ = 
HIDRÁULICA I – 22 
 
 
•••• Procedimento alternativo 
 
PROBLEMA 7.12 
Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta 
de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com ,0 60 m de diâmetro. 
 
A relação entre a altura de elevação ( )tH e o caudal ( )Q da bomba, acoplada a um motor de 
velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime-
se por: 
228 20tH Q= − 
HIDRÁULICA I – 23 
 
com tH expresso em m e Q em 3 1m s− . Desprezando as perdas de carga localizadas, 
determinar o caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento ,0 70η = ): 
a) nas condições indicadas; 
b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira; 
c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira. 
RESOLUÇÃO 
a) Caudal e potência da bomba nas condições indicadas 
 
Sistema de equações 
15 35tH J+ − =� ∴ 20tH J= + � − curva característica da instalação 
 
228 20tH Q= − − curva característica 
 
•••• 
,
,
, ,
1
0 53
2
2 6728 20 20 100038 77 0 6
QQ  − = + ×  × 
 
 
betão liso 
•••• 
,
,
1
1 2
0 53
1
8 13 196
20
n
n
QQ +
 
− 
=
 
  
 
 
HIDRÁULICA I – 24 
 
nQ 1nQ + 
0,1 0,6256 
. . 
. . 
. . 
0,4828 0,4827 
,
3 10 483Q m s−≅
 
•••• Potência da bomba: 
,
228 20 23 33tH Q m= − = 
, ,
,
,
9800 0 483 23 33 157786 157 8
0 7
t
b
Q H
P W kW
γ × ×
= = = =
η
 
b) potência de cada bomba quando há duas bombas instaladas em paralelo 
•••• Neste caso, cada bomba leva metade do caudal 
2
228 20 28 5
2t
Q
H Q = − = − 
 
 Q – caudal total 
,
,
, ,
1
0 53
2
2 6728 5 20 100038 77 0 6
QQ
x
 
− = + × ⇒  
 
 
,
3 10 652Q m s−≅
 
•••• Potência da bomba: 
( ), ,2228 5 28 5 0 652 25 87tH Q m= − = − × = 
, ,
,
2bombas
9800 0 652 25 87 236182
0 7
tQ HP Wγ × ×= = =
η
 
,1bombas 118 1P kW= 
c) Quando há duas bombas instaladas em série 
•••• Neste caso, a altura de elevação total é dupla 
( )2 22 28 20 56 40tH Q Q= × − = − 
,
,
12 0 5356 40 20 13 196Q Q− = + ⇒ , 3 10 820Q m s−= 
HIDRÁULICA I – 25 
 
( ), ,
2 bombas
256 40 0 820 29 1tH m= − × = 
, ,
,
,
1bomba 1bomba
9800 0 32 14 5514 55 167
0 7t
H m P kW× ×= ⇒ = = 
1bomba 167P kW= 
PROBLEMA 7.13 
A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B 
onde se colocou um tubo piezométrico. 
 
A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de ,0 50 m e a sua extremidade C está equipa da 
com um órgão obturador cujo eixo estáà cota 20 m . Supondo nulas a contracção no obturador e 
as perdas de carga em singularidades. 
a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de , 20 01m . 
b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a 
abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior 
das condutas? 
c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento 
indicados. 
RESOLUÇÃO 
O sistema de equações resolventes é o seguinte 
C AH H J= − � 
( ) ;,
22
220 1 02 2 0 01
C
p Q pUH z m
g g
= + + α = + α = =
γ γ
 
com
2 11 13 32 85Q K A R J K m s−= = 
HIDRÁULICA I – 26 
 
a) A determinação do caudal escoado nas condições da alínea a) implica a resolução do 
sistema de equações anterior. Tendo presente que ( ), ,
22
3 1
2
0 5 0 585
4 4
Q J
 Π   = × ⋅     
, 
vem 
,
2
4 172
QJ  =  
 
 
ou seja 
,
2
60 2000
4 172C
Q
H  = − × 
 
 
 ( ), ,
2
220 19 6 0 01
C
QH = +
×
 
Donde 
 ( ), , ,
2 2
260 2000 204 172 19 6 0 01
Q Q 
− × = + 
 
 
, , , ,
2 2 2 3 160 114 88 20 510 2 0 40 625 08 0 253Q Q Q Q m s−− − − = ⇒ = ⇒ = 
•••• Se a cota piezométrica em B for superior a 55 m , o caudal escoado será 
,
3 10 253Q m s−= . Importa verificar se assim é. Então 
,
,
2
60 1000 56 32
4 172B
Q
H m = − × = 
 
 
como ( ) ,
2
2 56 322
B
p QH p z m
g A
= + + =
γ
 e 
( ) ( )
( )
, ,
, , , ,
, ,
2 2
2
2
0 5 0 253
0 196 56 32 56 23 55 0
4 19 6 0 196B
pA m z m m
Π ×  
= = ⇒ + = − = > γ  ×
 
A hipótese está verificada e , 3 10 253Q m s−= 
b) Desprezando a altura cinética nas condutas, o caudal máximo que se pode escoar 
implica que, em B , se tenha uma carga igual a 55 m . Para menores valores de H em 
B , o escoamento seria interrompido pela entrada de ar pelo piezómetro. Assim, 
( )
,
60 55
0 005
1000AB
J m m
−
= = e 
( ) ( )max , , , ,
22
3 1 3 12
0 5 0 585 0 005 0 295
4 4
Q Q m s−Π ×  = = × × × = 
 
. 
HIDRÁULICA I – 27 
 
Por outro lado ,60 2000 0 005 50CH m= − × = e 
( )
( )
( ) ( )
( ), ,
,
,
,
2 22
2 2
2 2
0 295 0 295
20 20 50 0 012
19 6 302 19 6
C C C
C C
QH A A m
g A A
= + + = ⇒ = ⇒ =
××
 
•••• Nas condições da alínea b) tem-se ,
3 10 295Q m s−=
 e ,
20 012A m=
. 
PROBLEMA 7.14 
O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço 
soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e 
diâmetros das tubagens são os indicados. 
 
a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a 
bomba a potência de 1700 kW e o rendimento de 0,70. 
b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o 
caudal admitido em B igual a , 3 12 0 m s− . Calcule também a potência da bomba admitindo 
que tem o rendimento de 0,70. 
c) Para 100X m= e funcionando a bomba com a potência de 5000 kW e o rendimento de 
0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C. 
d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas 
correspondentes às alíneas b) e c). 
NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em 
singularidades, são independentes. 
Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva. 
HIDRÁULICA I – 28 
 
RESOLUÇÃO 
a) Supondo a tubagem EC obturada, qual é o caudal que se escoa de A para B 
•••• Sistema de equações para o cálculo do caudal: 
A t DE DE EB EB BH H J J H+ − − =� � 20AH m= 
( )2 13 2 DEQ K A R J J f Q= ⇒ = 80BH m= 
 ( )'EBJ f Q= 
t
t
Q H PP H Q
γ η
= ⇒ =
η γ
 (com as unidades adequadas) 
•••• determinação de DEJ e EBJ (com 
1 1385K m s−= ) 
( ) ( ) ( ),
,
2 22 1
3 2
1
85 0 25
4 701 89DE DE
QQ J JΠ ×= × × ⇒ = 
( ) ( ) ( ), ,
,
2 22 1
3 2
0 8
85 0 20
4 213 51EB EB
QQ J JΠ ×= × × ⇒ = 
•••• determinação de tH : 
, ,1700000 0 70 121 4286
9800t
H Q Q
×
= =
×
 
•••• cálculo do caudal: 
,
, ,
2 2121 428620 1500 1400 80
701 89 213 51
Q Q
Q+ − × − × = 
,
,
2 121 42868 6942 60 0Q Q− + = 
A equação anterior pode ser escrita na forma 
, ,+ − =Q Q38 6942 60 121 4286 0 
Este polinómio pode ser resolvido pelo método de iteração de Newton: 
( )
( )'1
i
i i
i
p x
x x
p x+
= − em que 
( ) 11 0n ni n np x a x a x a−−= + + e 
HIDRÁULICA I – 29 
 
( ) ( )' ii dp xp x dx= 
No caso em análise: 
 
, ,
,
3
1 2
8 6942 60 121 4286
26 0826 60
i i
i i
i
Q QQ Q
Q+
+ −
= −
+
 
iQ 1iQ + 
1,0000 1,6126 
1,6126 1,5204 
1,5204 1,5175 
1,5175 1,5175 
,
3 11 52Q m s−≅ 
•••• 
,
3 11 52ABQ m s−≅
 
 
b) Nas condições da alínea b) tem-se 
80 1400E EBH J= + × 
,
, ,
2 4 0 0187
213 51 213 51EB
QJ m m= = = 
 , ,80 1400 0 0187 106 23EH m= + × = 
•••• para que não haja escoamento de E para C é necessário que EH x= pelo que a 
resposta é 
,106 23x m= 
•••• Por outro lado, ,
,
4 0 0057
701 89DE
J m m= = 
•••• Como , , ,106 23 106 23 20 0 0057 1500E A t DE DE tH H H J H= + − ⇒ = = + − ×� 
,94 78tH m⇒ = 
•••• A potência da bomba será 
,
,
,
9800 2 94 78 2653 8
0 70
P W kW× ×= ≅ 
 
HIDRÁULICA I – 30 
 
c) 100x m= 5000bP kW= ,0 70η = 
Sistema de equações: 
E A t AE AEH H H J= + − � ① 
E B BE BEH H J= + � ② 
E C CE CEH H J= + � ③ 
, ,
35000 10 0 7 357 143
9800t AE AE
H Q Q
× ×
= =
×
 ④ 
AE BE CEQ Q Q= + ⑤ 
,
2
26 493
AE
AE
Q
J  =  
 
 ⑥ 
,
,
2 1
214 612
14 612
BE
BE EB BE
Q
J Q J = ⇒ = 
 
 ⑦ 
,
,
2 1
26 785
6 785
CE
CE EC EC
Q
J Q J = ⇒ = 
 
 ⑧ 
Esquema resolvente 
 
•••• Resolução (por tentativas) 
AEQ 
(arbitrado) 
AEJ 
⑥ 
tH 
④ 
EH 
① 
EBJ 
② 
ECJ 
③ 
EBQ 
⑦ 
ECQ 
⑧ 
AEQ 
⑤ (calc.) 
3,0 0,0128 119,05 119,85 0,0285 0,0199 2,465 0,956 3,421 
3,1 0,0137 115,21 114,66 0,0248 0,0147 2,299 0,821 3,121 
d) Resolve-se na aula. 
 
HIDRÁULICA I – 31 
 
PROBLEMA 7.15 
Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e ,0 20 m de diâmetro, de 
fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de 
38640 m por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior 
em 30 m ao nível da água no reservatório. 
Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na 
extremidade B da conduta uma bomba com 30 kW de potência e o rendimento de 0,75. A 
bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A. 
 
Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se 
regista a cota piezométrica mínima. 
NOTAS: – Estabeleça primeiro o sistema resolvente; 
 – Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética. 
RESOLUÇÃO 
•••• Procede-se, em primeiro lugar, à análise da situação inicial. 
Nesse caso: dia3 18640Q m −= 
 só consumo de percurso 
 sem bomba 
 
•••• dia ,3 1 3 18640 0 1Q m m s− −= = 
•••• O caudal de percurso é 0 1P Q Q= − . Como 1 0Q = , então 0P Q= , caudal na secção de 
entrada. O consumo uniforme de percurso é, por sua vez, 
HIDRÁULICA I – 32 
 
, 5 3 1 10 1 5 10
2000
Pp m s m
L
− − −
= = = × . 
•••• A perda de carga contínua é ( ) ( ) ( )22
3
x
Q x
J x Q
K A R
 
 
= = β
 
 
. 
Comoa tubagem é de fibrocimento, 
1 1390K m s−= e 
( ) ( )
,
,
,
2
2
2 2
3 2
3
1 1 6 7908
0 2
90 0 05
4
K A R
 
  
  β = = =   Π ×   × × 
 
 
•••• O caudal equivalente é , , 3 10 55 0 055eQ P m s−= = e a perda de carga unitária é 
( ) ,2 22 054 10e eJ Q m m−= β = × . 
•••• A perda de carga total, nestas circunstâncias, seria 
, ,
22000 2 054 10 41 08eH J m−∆ = = × × =� podendo concluir-se que esta solução é 
fisicamente impossível. 
•••• De facto, ter-se-ia, na extremidade de jusante, uma pressão dada por 
( ) atm, ,30 41 08 11 08 pm− = − < − γ 
 o que não pode acontecer. 
•••• Esquematicamente ter-se-ia: 
 
•••• Tendo a bomba instalada, a situação passa a ser a seguinte: 
HIDRÁULICA I – 33 
 
 
As equações para o trecho ① da conduta são as seguintes: 
, . 1 10 0 t eX H J= + � 
2
1 1e eJ Q= β 
,1 10 55eQ P= 
1
1
t t b
b t
Q H P H P
P H
P
γ γ × η
= = ⇒ =
η η γ
 
5
1 1 15 10P p −= = ×� � 
Por substituição obtém-se (com 30 000bP W= e ,0 75η = ): 
( ) ( )
,
, , ,
25
1 15
1
30 000 0 750 0 6 7908 0 55 5 10
9800 5 10
X −
−
×
= + − × × ×
× ×
� �
�
 
,
,
9 3
1
1
45918 37 5 1355 10X −= − × �
�
 ① 
As equações para o trecho ② da conduta são: 
2 230 eX J= − � 
( ), , ,
2
25 5
2 2 20 55 5 10 6 7908 0 55 5 10
e
e
Q
J − −
 
 
= β × × = × × ×
 
 
� �
�������������
 
HIDRÁULICA I – 34 
 
2 12000= −� � 
•••• Substituindo vem: 
,
9 3
230 5 1355 10X −= − × =� ( ), 39 130 5 1355 10 2000 X−− × − =� ② 
•••• 1� deve ser tal que X seja igual pelas duas equações obtidas e pode calcular-se, por 
exemplo, por tentativas 
1� 
( )m 
X 
① 
X 
② 
1000 40,78 24,86 
1200 29,31 27,37 
1300 24,04 28,24 
1250 26,70 27,83 
1240 27,24 27,75 
1230 27,78 27,66 
1231 27,72 27,66 
1232 27,67 27,67 
Pretende-se a melhoria da pressão no ponto de cota mínima (relativamente à situação 
inicial). Como 5 3 1 15 10p m s m− − −= × , no trecho ②, situação inicial, o valor de 0Q e 
,
3 1
0 0 1Q m s−= e o de ,5 3 1 3 11 1232 5 10 0 0616Q m s m s− − −= × × = . Consequentemente, o 
caudal equivalente é , , , , ,
5
3 1 3 1
1
768 5 10
0 55 0 0616 0 55 0 0384 0 08272eQ Q P m s m s
−
− −
× ×
 
 = + = + × =
 
 
������
 
•••• A perda de carga unitária equivalente é 
( ), , ,22 26 7908 0 08272 4 6467 10e eJ Q m m−= β = × = × e a perda de carga total é 
,2 35 69eH J m∆ = =� . 
•••• Na situação inicial, a energia (ou a cota piezométrica) disponível na secção em análise é 
inicial , ,30 35 69 5 69X m= − = − . 
HIDRÁULICA I – 35 
 
•••• Consequentemente, a melhoria é ( ), , ,
final
26 67 5 69 32 36inicialX X m
↑
− = − − =
�����
. Em termos de 
pressão vem ,317 1p k Pa∆ ≅ .