Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos

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Metodologia do 
Ensino de Matemática: 
Espaço e Forma
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Conceição Aparecida Cruz Longo
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos 
Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
• Introdução
• O geoplano
• O que é uma área?
• O que é comprimento?
• O que é perímetro?
• O tangram
 · Nesta unidade, o objetivo será construir o conceito de perímetro 
e área de figuras geométricas planas a partir de experimentações 
em objetos do cotidiano do aluno e com utilização de materiais 
manipulativos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará aprender 
mais sobre as áreas e perímetros das figuras geométricas.
Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por 
questões de múltipla escolha, relacionada com o conteúdo estudado. Além 
disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões com 
seus colegas.
É extremante importante que você consulte os materiais complementares, 
pois são ricos em informações, possibilitando o aprofundamento de seus 
estudos sobre este assunto.
ORIENTAÇÕES
Área e Perímetro de Figuras Planas 
Usando Materiais Manipulativos
UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Contextualização
Lucas é criador de cabras. Quando anoitece, para guardar suas cabras, Lucas as 
coloca em um cercado formado por 10 “cerquinhas” iguais a esta:
Visto de cima, o cercado para as cabras tem o seguinte formato:
Certa manhã, seu vizinho e também criador de cabras Raul procurou Lucas e 
lhe pediu um favor:
— Preciso me ausentar esta noite. Você pode recolher meu rebanho de cabras 
hoje à noite?
Lucas apressou-se em atender ao pedido do amigo. Apesar de contar somente 
com duas “cerquinhas” a mais, tratou logo de dobrar a área do seu cercado, para 
que, no final da tarde, pudesse recolher as cabras do amigo e vizinho.
Qual o formato do novo cercado de Lucas?
Esse problema simples nos permite uma reflexão sobre “área e perímetro” de 
figuras planas.
Vamos primeiro calcular a área e o perímetro do cercado inicial de Lucas.
Perímetro = 10 “cerquinhas”
Área = 4 “quadradinhos”
6
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Antes de acrescentarmos as duas “cerquinhas”, vamos modificar a disposição 
dessas 10 “cerquinhas” e vamos ver o que acontece com a área.
Perímetro = 10 “cerquinhas”
Área = 5 “quadradinhos”
Virando duas “cerquinhas” para fora, como na figura acima, conseguimos 
transformar uma área de 4 “quadradinhos” em uma de 5 “quadradinhos”.
Assim, percebe-se que é possível aumentar a área do cercado sem aumentar 
o número de “cerquinhas”. Você consegue aumentar a área de 5 “quadradinhos” 
para 6 “quadradinhos” sem aumentar a quantidade de “cerquinhas”?
Para isso, basta mudar a posição de mais 2 “cerquinhas”, virando-as para fora.
Perímetro = 10 “cerquinhas”
Área = 6 “quadradinhos”
Para dobrar a área inicial, de 4 “quadradinhos” para 8 “quadradinhos”, 
precisamos de mais 2 “quadradinhos”. Como é possível fazer isso utilizando apenas 
mais 2 “cerquinhas”?
Tente resolver esse problema utilizando palitos, que representarão as 
“cerquinhas”. Acompanhe a solução no material teórico.
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Introdução
Você se lembra do problema das cabras e das “cerquinhas”? Qual o formato do 
novo cercado de Lucas?
Retomando o problema, vamos considerar que a solução seja esta: uma figura 
com 10 “cerquinhas” e 8 “quadradinhos”.
Mas qual o significado de “cerquinhas” e “quadradinhos”?
As “cerquinhas” representam o perímetro do cercado e os “quadradinhos” a 
medida da área do cercado. Ou seja, esse cercado tem 10 unidades de perímetro 
e 8 unidades de área.
Nos últimos anos, a geometria tem assumido um papel de destaque no ensino da 
matemática. Desde o início da escolarização, os estudantes devem ser estimulados a 
desenvolverem a capacidade de visualização, por meio de experiências concretas e 
tecnológicas. No estudo do nosso tema – área e perímetro – são essenciais materiais 
de desenho e materiais manipuláveis – geoplano, tangram, peças poligonais de 
encaixe e outros.
O ensino da geometria está fortemente associado à utilização de materiais 
manipuláveis, em que os estudantes podem experimentar e concretizar os diversos 
conceitos geométricos. Esse recurso é bastante útil e permitirá que, numa fase 
posterior, os estudantes possam tirar conclusões no sentido de aprimorar a 
compreensão dos conceitos geométricos.
Dentre vários instrumentos que enriquecem e potencializam o ensino da 
Geometria, nesta unidade, nosso estudo incidirá sobre o geoplano e o tangram.
O geoplano
O trabalho pedagógico com o geoplano favorece uma atividade dinâmica na 
consecução de conceito de conteúdos matemáticos, assim atrativo para o estudante. 
Segundo Knijnik (2004, p.5):
Todos os Geoplanos têm indubitável atrativo estético e foram adotados 
por aqueles professores que os viram ser utilizados. Podem proporcionar 
experiências geométricas a crianças desde cinco anos, propondo 
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problemas de forma, dimensão, de simetria, de teoria dos grupos, de 
geometria projetiva e métrica que servem como fecundos instrumentos de 
trabalho, qualquer que seja o nível de ensino.
O geoplano mais comum é aquele feito com uma base de madeira, quadrada, 
onde se dispõem pregos, dispostos de forma a constituírem uma malha (Figura 1).
Figura 1: Geoplano de madeira
Um conjunto de elásticos coloridos acompanha o geoplano.
Mas, o que é um geoplano?
Para Leivas (2012), a palavra geoplano vem do inglês “goeboards” ou do francês 
“geoplans”, em que “geo” vem da palavra geometria, e plano vem de tábua ou 
tabuleiro. Um dos primeiros trabalhos sobre geoplanos foi desenvolvido em 1961, 
apresentado pelo educador egípcio Dr. Caleb Gattegno (1911-1988), o qual foi 
reconhecido mundialmente pelas suas pesquisas em educação infantil, e por toda 
sua vida dedicou-se à criação de materiais pedagógicos.
Importante!
O geoplano é um recurso que pode auxiliar no processo de ensino e aprendizagem 
de vários conceitos da matemática, em particular as figuras e formas geométricas, 
principalmente as planas, abordando características, propriedades, elementos (vértices, 
arestas, lados, ângulos...), ampliação e redução de figuras, simetria, área e perímetro. 
Procure outras aplicações usando o geoplano.
Trocando ideias...
Para Machado, “o geoplano é um meio, uma ajuda didática, que oferece um apoio 
à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando 
uma experiência geométrica e algébrica aos estudantes.” (MACHADO, 1993, p. 1).
Importante!
O primeiro modelo de geoplano foi desenvolvido pelo matemático Caleb Gattegno, 
sendo construído com madeira e pregos, e foi apresentado à comunidade 
matemática em 1961.
Você Sabia?
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Por ser um recurso que pode ser facilmente manipulado por estudantes e 
professores, o geoplano ajuda a proporcionar um melhor entendimento dos 
conceitos matemáticos. Segundo Passos,
materiais manipuláveis podem ser entendidos como “objetos ou coisas 
que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar”. Podem 
ser objetos reais que têm aplicação no cotidiano ou podem ser objetos que 
são usados para representar uma ideia. (PASSOS, 2006, p. 78).
Existem diversos tipos de geoplano. Segundo Serrazina e Matos (1988), chama-
se “geoplano 3 x 3” aquele em que a malha é quadrada com 3 pregos de cada 
lado, num total de 9 pregos (Figura 2); do mesmo modo, chama-se “geoplano 5 x 
5” aquele com a malha quadrada de cinco pregos em cada lado, num total de 25 
pregos, e assim por diante.
Figura 2
Existem geoplanos de diferentes tipos. Veja alguns deles:
Geoplano trelissado Geoplano circular Geoplano oval
Para o nosso estudo, estaremos usando o geoplano quadrado. Nesse tipo de 
atividade, o importante está exatamente na experimentação. Sendo assim, se 
possível você aluno(a)adquirir ou construir um geoplano para desenvolver as 
atividades propostas, o resultado será surpreendente. Experimente!
Saiba mais: Veja como construir um geoplano no link a seguir:
https://www.youtube.com/watch?v=VMNITXlQbl4Ex
pl
or
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https://www.youtube.com/watch?v=VMNITXlQbl4
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O que é uma área?
Definição: área é a medida de uma superfície delimitada. Mas o que é medir? 
Medir é comparar. Para medir uma superfície, basta compará-la a outra superfície. 
No nosso caso, a unidade adotada será a superfície delimitada por um quadradinho 
formado por pontos consecutivos, dois a dois, da rede de pontos.
Importante!
A área da superfície limitada pelo quadradinho “u” será indicada por  ou Aq (área do 
quadradinho).
Importante!
O objetivo das atividades propostas a seguir é levá-lo(a) a determinar a área de 
polígonos demarcados em um geoplano de rede quadrangular (ou em uma rede 
quadrangular de pontos impressos).
Para o registro, indicamos que se use uma malha pontilhada, como a seguinte:
ATIVIDADE 1
Construa, no geoplano, as figuras apresentadas na gravura ao lado. Calcule 
a área de cada uma das superfícies construídas. Que superfícies têm a mesma 
área? Encontre duas superfícies que tenham áreas diferentes e diga qual delas tem 
área maior. Quando é que duas superfícies têm a mesma área? Quando podemos 
afirmar que a área de uma superfície é maior do que a de outra superfície?
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Desenhe no geoplano figuras de área 7.5, 21.5 e 5.5.
A atividade 1 permite a manipulação e construção de figuras geométricas 
básicas, possibilitando o cálculo da área a partir do reconhecimento da unidade de 
medida de área. Observamos também que figuras com formas diferentes podem 
apresentar a mesma área e, ainda, a identificação da divisão da unidade de medida 
ao meio pelas diagonais apresentadas pelas figuras propostas e pelas áreas dadas 
para a construção.
ATIVIDADE 2
Determine a área dos paralelogramos:
Acompanhe a solução:
Na figura A, temos duas metades de , portanto a área da figura A é 1 .
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Na figura B, temos 1  inteiro e duas metades de . Área igual a 2 .
Para o cálculo da área da figura C, vamos usar um “artifício”, que a princípio 
pode parecer complicado. Esse “truque” consiste em determinar a área externa do 
paralelogramo (E) e a área total do retângulo (T) que contém o paralelogramo e, 
em seguida, determinar a diferença entre as áreas T e E.
T é a área do retângulo pontilhado = 3 
E é a área externa do paralelogramo = 2 metades de 2  = 2 
Área = T – E = 3  - 2  = 1 
Com a atividade 3 podemos consolidar o estudo do cálculo de algumas áreas.
ATIVIDADE 3
Calcule a área das figuras seguintes.
Figura A Figura B
Figura C Figura D
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
A área da figura A é calculada pela metade de 2 , portanto 1 . Na figura B, 
temos a metade de 3 . A área é igual a 1,5 .
Para a área da figura C, vamos usar o mesmo “truque” da figura C da atividade 
2. T é a área do retângulo que contém a figura = 2 . E é a área externa ao 
triângulo = 1 metade de 2  + 1 metade de 1  = 1  + 0,5  = 1,5 , portanto 
a área da figura C = T – E = 2  - 1,5  = 0,5 .
Para o cálculo da área da figura D, usamos o mesmo “truque”. T é a área do 
retângulo que contém a figura = 3 . E é a área externa do triângulo = 1 metade de 3 
 + 1 metade de 2  = 1,5  + 1  = 2,5 . Área = T – E = 3  - 2,5  = 0,5 .
O que é comprimento?
Determinar o comprimento de segmentos horizontais ou verticais em uma rede 
de pontos é fácil. Veja:
Comprimento = 1 Comprimento = 2 Comprimento = 3
Entretanto, determinar comprimentos de segmentos inclinados já não é tão simples.
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Vamos estudar alguns procedimentos de descoberta desses segmentos inclinados.
• Usando a relação pitagórica
http://chc.cienciahoje.uol.com.br/o-teorema-de-pitagoras/
Ex
pl
or
Exemplo:
 
Para descobrir a medida desse comprimento, usaremos a relação do Teorema 
de Pitágoras. A medida dos catetos do triângulo formado é 1 . Para encontrar a 
medida do segmento inclinado, basta calcular o valor da hipotenusa.
a² = b² + c²
a² = 1² + 1²
a² = 1 + 1
a² = 2
a = 
ATIVIDADE 4
Calcule o comprimento das figuras seguintes:
Figura A Figura B
• Sem o uso da relação pitagórica
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http://chc.cienciahoje.uol.com.br/o-teorema-de-pitagoras/
UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Vamos medir o comprimento de um segmento sem o uso da relação pitagórica. 
Acompanhe o exemplo a seguir:
Construímos inicialmente um quadrado cujo lado é dado pelo próprio segmento. 
Construímos as duas diagonais do quadrado formando quatro triângulos que 
equivalem em área a dois quadradinhos.
A área desse quadrado, então, é 2 . Você se recorda da fórmula da área de 
um quadrado? A área de um quadrado é dada pela multiplicação de seus lados, ou 
seja, A = x², em que x é a medida do lado do quadrado.
A = x², como A = 2 , temos:
2 = x², portanto x = , que é o comprimento do segmento.
Neste outro exemplo, também construímos um quadrado cujo lado é o próprio 
segmento. A área do quadrado, agora, será obtida por decomposição do seu interior.
A área será 1  do interior mais 4 triângulos. Como cada triângulo é a metade 
de 2 quadradinhos, temos: A = 1  + 4  = 5 .
Como a unidade de área é a de 1 , então A = 5.
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Se chamarmos de y o comprimento do segmento, a área será dada por:
A = y²
y² = 5
y = (medida do segmento b)
O que é perímetro?
Toda linha poligonal aberta ou fechada simples, dada por lados não inclinados, 
tem o perímetro em número inteiro. Veja dois exemplos.
Todas as poligonais com algum lado inclinado têm perímetro irracional, como 
vemos nos exemplos seguintes.
 
Esta atividade permite dois tipos de atividades: uma fornecendo a poligonal e solicitando o 
perímetro, outra fornecendo o perímetro e solicitando a poligonal. Lembrando que, nesse 
segundo tipo, em geral encontramos mais de uma solução.
Ex
pl
or
Encerraremos essa unidade propondo atividades que relacionam a área e o 
perímetro com o uso do geoplano ou da malha pontilhada.
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Veja este exemplo:
Construa em uma malha pontilhada 3 x 3 uma poligonal fechada simples com 
a mesma área 3 e perímetros diferentes. Calcule os perímetros.
ATIVIDADE 9
Construa em uma malha pontilhada 4 x 4 uma poligonal fechada simples com 
a mesma área 5 e perímetros diferentes. Calcule os perímetros.
ATIVIDADE 10
Construa 3 poligonais fechadas simples com perímetro igual a 12 e áreas 
diferentes. Calcule as áreas.
Mas, afinal, existem polígonos de formas diferentes com áreas iguais e perímetros 
iguais? A resposta é sim! Veja três exemplos, mas procure por outras respostas, 
pois existem muitos!!!
O perímetro das três figuras é 12 + e a área mede 5,5 .
Nossa próxima abordagem para o cálculo de área e de perímetro usando o 
geoplano será explorando a quantidade de pregos do interior das figuras e 
do contorno.
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ATIVIDADE 11
Observe as seguintes figuras construídas no geoplano. Quantos pregos cada 
uma delas tem em seu interior? E em seu contorno?
Construa cinco figuras no geoplano que tenham exatamente um único prego no 
seu interior.
Faça uma cópia das figuras na folha de papel quadriculada. Calcule a área e 
complete a tabela abaixo:
Figura Área N° de pregos sobre o contorno
1
2
3
4
5
Que relação existe entre o número de pregos sobre o contorno da figura e sua área?
Esta atividade tem um caráter desafiador que permite diversas discussões sobre a 
área e o número de pregos presentes no contorno e no interior da figura. Atente-se 
para o trabalho que permite o cálculo de área e construção de registro em tabela.
E então, é possível calcular a área de figuras planas construídas sobre o geoplano 
apenas contando os pregos do contorno das figuras?
Essa ligação entre o materiale o conhecimento matemático só é possível se, 
desde o início, o professor desencadear um processo de reflexão que possibilitará 
um trabalho pedagógico voltado para a construção de conhecimentos no uso de 
materiais manipulativos. Passos (2009) apresenta critérios para selecionar bons 
materiais manipuláveis, resumidos nas seguintes características:
os materiais devem proporcionar uma personificação do conceito 
matemático ou das ideias a serem exploradas; os materiais devem 
representar claramente o conceito matemático; os materiais devem ser 
motivadores [...] e, se possível, devem ser apropriados para usar quer 
em diferentes anos de escolaridade, quer em diferentes níveis de ensino 
e/ou de formação de conceitos; os materiais devem proporcionar uma 
base para a abstração [...] e devem proporcionar manipulação individual. 
(PASSOS, 2009, p. 88)
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Vamos propor mais uma atividade usando o número de pregos do interior e do 
contorno.
ATIVIDADE 12
Construa uma figura com 12 pregos sobre o contorno e nenhum prego em seu 
interior. Depois uma com 12 pregos sobre o contorno e 1 prego em seu interior. 
Em seguida, construa uma figura com 12 pregos sobre o contorno e 2 pregos em 
seu interior. Por fim, construa uma figura com 12 pregos sobre o contorno e 3 
pregos em seu interior. Calcule a área de todas as figuras.
Figura N° de pregos no interior Área
A
B
C
D
E
Que relação existe entre a área da figura e o número de pregos no interior?
O geoplano é um material manipulável muito usado no ensino da geometria. 
Os conceitos de áreas e perímetros, que nem sempre distinguimos, encontram 
no geoplano um excelente material para a sua introdução, ampliação e para 
aprofundamento do seu conhecimento. De acordo com Serrazina e Matos (1988):
Muitas vezes o perímetro e a área são introduzidos através de fórmulas. 
Mais tarde é pedido aos alunos que determinem o “comprimento à volta”, 
ou o “espaço ocupado”, e muitos não são capazes de reconhecer aquelas 
ideias [...] Os alunos devem passar por muitas experiências concretas 
construídas por eles próprios, até chegarem à compreensão da utilização 
das fórmulas. (p.114)
As atividades que envolvem o número de pregos do contorno e do interior 
de uma figura plana nos permitem uma investigação sobre a regularidade que se 
observa. Nesses casos, a observação, a manipulação e o registro são de fundamental 
importância para as conclusões.
Ao observarmos a tabela preenchida, é possível estabelecer uma relação entre o 
número de pregos do interior e a área da figura. Veja:
Primeiro vamos construir as figuras no geoplano e desenhar na malha pontilhada.
20
21
Em seguida, preenchemos a tabela proposta.
Figura Nº de pregos do interior Área
A 0 5
B 1 6
C 2 7
D 3 8
E 4 9
Nesse caso, a cada 1 prego do interior que aumentamos, a área fica aumentada 
de uma unidade. Isso vale para todas as figuras? Experimente para uma figura com 
14 pregos no contorno.
ATIVIDADE 13
Construa todos os retângulos possíveis com perímetro 16. Registre os retângulos 
em papel ponteado. Construa uma tabela para registar o perímetro, comprimento, 
largura e área de cada retângulo.
Analise a tabela e tire suas conclusões.
De acordo com Barros,
O Geoplano entra como um excelente recurso, onde o professor pode 
fazer a construção do conhecimento, fazendo com que o aluno consiga 
trabalhar o mesmo conteúdo em diversos contextos, desenvolvendo 
assim o seu raciocínio, e não somente de forma mecânica onde decoram 
fórmulas e apenas sabem aplicá-las em problemas já conhecidos... 
(BARROS, 2004, p.2)
As conclusões acerca da exploração da atividade 5 podem ser ampliadas com a 
proposta da atividade 6.
ATIVIDADE 14
Para cada retângulo, investigue se existe alguma relação entre os perímetros 
agora obtidos e o número de pregos existentes:
(a) no maior lado de cada retângulo;
(b) no menor lado de cada retângulo; e
(c) no interior de cada retângulo. Para tal, preencha a tabela:
N° de pregos tocados pelo elástico 
(lado maior de cada retângulo)
N° de pregos tocados pelo elástico 
(lado menor de cada retãngulo)
 N° de pregos do interior 
de cada retângulo
Perímetro
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Ao estabelecer relações, os estudantes estão formalizando a construção de 
conjecturas. No caso da atividade anterior, quando o estudante descobre a relação 
entre o número de pregos para um determinado perímetro, a ideia é que essa 
relação seja “testada” para outros perímetros. Vamos discutir a relação proposta 
pela atividade anterior, mas atenção: fica a proposta para que você teste com 
perímetros diferentes e argumente se a relação aqui encontrada vale ou não para 
outros perímetros.
Iniciamos construindo os retângulos:
Em seguida, vamos preencher a tabela proposta.
Nº de pregos tocados pelo elástico 
(lado maior de cada retângulo)
Nº de pregos tocados pelo elástico 
(lado menor de cada retângulo)
Nº de pregos do interior 
de cada retângulo
Perímetro
8 2 0 16
7 3 5 16
6 4 8 16
5 5 9 16
Como se faz para estabelecer uma relação entre esses números? Veja:
O nº de pregos tocados pelo elástico do lado maior MULTIPLICADO pelo nº 
de pregos tocados pelo elástico do lado menor, SUBTRAÍDO o nº de pregos do 
interior de cada retângulo, é igual ao PERÍMETRO.
Vamos conferir:
Figura 1: 8 x 2 – 0 = 16
Figura 2: 7 x 3 – 5 = 16
Figura 3: 6 x 4 – 8 = 16
Figura 4: 5 x 5 – 9 = 16
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E então, será que essa relação vale para outros perímetros?
Assim como o geoplano, o tangram também se constitui um excelente 
instrumento no ensino e aprendizagem dos conceitos de área e perímetro.
O tangram
O tangram é um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Ao contrário de 
outros quebra cabeças, ele é formado por apenas sete peças, com as quais é possível 
montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, 
números, figuras geométricas e outros. As regras desse jogo consistem em usar as 
sete peças em qualquer montagem, colocando-as lado a lado, sem sobreposição.
Há muitas lendas a respeito da criação do tangram. Uma delas diz que um 
monge chinês deu uma tarefa a seu discípulo:
[...] pediu que ele fosse percorrer o mundo em busca de ver e relatar 
todas as belezas do mundo, assim deu para ele um quadrado de porcelana 
e vários outros objetos, para que pudesse registrar o que encontrasse. 
Muito descuidado deixou a porcelana cair, essa se dividiu em 7 pedaços 
em forma de quadrado, paralelogramo e triângulo. Com essas peças ele 
notou que poderia construir todas as maravilhas do mundo (MIRANDA, 
online, 2011)
O tangram é utilizado pelos professores de Matemática, nos mais diversos níveis 
de ensino, para trabalhar conteúdos variados, como: formas geométricas, a lógica 
e a criatividade, retas, seguimentos de retas, pontos e vértices.
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Veja algumas figuras e formas geométricas formadas com as 7 peças do tangram.
Nas aulas de matemática, uma das vantagens do tangram é a possibilidade da 
composição das peças para formar diferentes figuras e nesse processo de construção 
as relações de forma e tamanho são percebidas pelos estudantes, permitindo que 
suas habilidades de percepção espacial se desenvolvam.
A atividade seguinte usará as peças do tangram como unidade de medida de 
área e estabelecerá relações de equivalência entre suas diferentes peças.
ATIVIDADE 15
Preencher os espaços em branco com as peças do tangram. Desenhe as diferentes 
soluções em um papel em branco, destacando as relações entre as diversas peças.
24
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ATIVIDADE 16
Para esta atividade, vamos utilizar como unidade o quadradinho do quadriculado 
a seguir. Sobreponha cada uma das peças do tangram e descubra o espaço que ele 
ocupa em quadradinhos.
Agora, construa uma figura com as peças de sua escolha. Em seguida, calcule a 
área da figura em quadradinhos com a malha quadriculada.Como vimos anteriormente, o tangram é formado por 7 figuras geométricas: 
cinco triângulos (2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos), 
um quadrado e um paralelogramo, que unidas de uma determinada maneira, 
formam um quadrado.
Para identificarmos as peças do tangram, vamos usar a legenda:
Tg: Triângulo grande
Tm: Triângulo médio
Tp: Triângulo pequeno
P: Paralelogramo
Q: Quadrado
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Atualmente, o tangram, devido às formas geométricas que o compõem, é 
cada vez mais utilizado nas aulas de Matemática para trabalhar, de forma lúdica, 
prazerosa e significativa, conceitos de geometria.
Ressaltamos o que Souza (1997) afirma sobre o tangram, ao dizer que embora não 
haja nenhum registro que comprovem essas relações, a partir do momento em que os 
ocidentais tiveram contato com o jogo, este vem demonstrando de forma atrativa por 
várias gerações um excelente passatempo e uma ótima manifestação artística.
[...] o Tangram está cada vez mais presente nas aulas de Matemática. 
Sem dúvida as formas geométricas que o compõem permitem que os 
professores vejam neste material a possibilidade de inúmeras explorações, 
quer seja como apoio ao trabalho de alguns conteúdos específicos do 
currículo de Matemática, ou como forma de propiciar o desenvolvimento 
de habilidades de pensamento. (SOUZA, 1997, p. 3).
Para Lopes (1996), os estudantes podem ser capazes de utilizar uma fórmula para 
calcular uma área, porém nem sempre têm ideia do que significa o número que obtêm. 
Ou seja, o significado dificilmente ocorre, e os estudantes aprendem de forma mecânica.
Trabalhar com o tangram, em sala de aula, na construção do conceito de área, 
é uma maneira interessante, que permite que o estudante produza em si mesmo o 
significado de área das figuras planas.
É preciso salientar que o tangram será usado somente como ferramenta que 
auxiliará na compreensão do conceito de área. Para reforçar o aprendizado e 
tornar mais científico o conteúdo, as fórmulas para o cálculo de área das figuras 
planas serão usadas em cada atividade proposta. Portanto, as atividades com o 
tangram serão desenvolvidas, em conjunto, com essas fórmulas.
Imaginemos um tangram que tenha 64 cm² de área total. Ou seja, a medida do 
lado desse quadrado é de 8 cm.
Calculando a área das peças separadamente, temos que o triângulo pequeno tem 
4 cm² de área; o triângulo médio tem 8 cm² de área; o triângulo grande tem 16 cm² 
de área. O quadrado tem 8 cm² de área e o paralelogramo tem 8 cm² de área.
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Como construir seu próprio tangram
Ex
pl
or
Agora que você já tem o seu próprio tangram, propomos mais uma atividade.
ATIVIDADE 17
Das sete peças, apenas uma é quadrada.
Você deverá calcular a área das demais peças, utilizando esse quadrado como 
referência. Explicando melhor, você deverá dizer quantos quadrados são necessários 
para formar cada uma das outras seis peças.
Importante!
você não precisa utilizar o quadrado inteiro, poderá dividi-lo ao meio.
Importante!
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Depois diga a área total, juntando as sete peças.
Repita o mesmo procedimento, utilizando agora o triângulo pequeno como 
unidade de área.
O uso dos quadros seguintes irá ajudar você a resolver a atividade 17.
Peça Área
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Peça Área
ATIVIDADE 18
Utilize as medidas seguintes:
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UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
E calcule a área e o perímetro das figuras abaixo:
Utilize o quadro a seguir para ajudar nos cálculos.
FIGURA A B C D
ÁREA
PERÍMETRO
Compreender o conceito de área não é uma tarefa simples. Para medir a área 
de uma superfície, primeiro o estudante deve compreender que a área é uma 
quantidade de superfície. Esse processo abrange a escolha de uma unidade de área, 
que serve como comparação com a área a medir.
Essa comparação entre a unidade de área e a figura a ser medida é que fará com 
que o estudante associe um número à quantidade de superfície.
As fórmulas para o cálculo das áreas das figuras planas devem ser inseridas após 
essa aproximação com o uso de materiais manipulativos.
O ensino da matemática no qual os alunos aprendem pela construção de 
significados pode ter como aliado o recurso aos materiais manipulativos, desde que 
as atividades propostas permitam a reflexão por meio de atividades bem elaboradas 
e pelo registro oral ou escrito das aprendizagens.
Outros materiais também são indicados para o estudo de área e perímetro, 
como, por exemplo, os poliminós. Procure conhecê-los. Será uma experiência 
bastante interessante.
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Material complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Matemática – Ensino Fundamental (Calculando área)
FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO, FIESP, SESI, SENAI, IRS. Novo Telecurso. Aula 52.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=1j3raaoafEY Acesso em: 17 set. 2015.
Vídeos de tangrans
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO, GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ.
Disponíveis em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=350
Acesso em: 17 set. 2015.
 Livros
Aprendendo e ensinando matemática com o geoplano
KNIJNIK, G.; BASSO, M. V.; KLÜSENER, R. Ijuí: Editora Unijuí, 1996.
A matemática das sete peças do tangram
SOUZA, Eliane R. de; DINIZ, Maria Ignez de S. V.; PAULO, Rosa M.; OCHI, Fusako H. 
São Paulo: IME – USP, 1997.
 Sites
Tangrans geométricos especiais
UFF. Atividades.
Disponíveis em: http://www.uff.br/cdme/tangrans_geometricos/index.html Acesso em: 17 set. 2015.
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https://www.youtube.com/watch?v=1j3raaoafEY
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=350
http://www.uff.br/cdme/tangrans_geometricos/index.html
UNIDADE Área e Perímetro de Figuras Planas Usando Materiais Manipulativos
Referências
BARROS, A. L. S.; ROCHA, C. A. O uso do geoplano como material didático 
nas aulas de geometria. In: VIII Encontro nacional de educação matemática. 
Recife, 2004. Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/
MC03069646433.pdf>. Acesso em: 18 set. 2015.
KNIJNIK, G.; BASSO, M. V.; KLÜSENER, R. Aprendendo e ensinando 
matemática com o geoplano. Ijuí: Editora Unijuí, 1996.
Leivas, J. C. P. Geoplano. Fundação Universidade Federal do Rio Grande (FURG). 
Revista de Educação Matemática. São Paulo: SBEM, a. 8, n. 6 – 7, 2001/ 2002. 
Disponível em: <http://mathematikos.psico.ufrgs.br∕textos∕geoplan.pdf>. 
Lopes, M. G. (1996). Jogos na educação: confecção, modelos, objetivos, regras. 
São Paulo: Hemus, 1996.
MACHADO, R. M. Minicurso: explorando o geoplano, 2006. Disponível em: 
<http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em: 18 set. 2015.
MIRANDA, Danielle de. Como construir o tangram. Disponível em: <http://
educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construirtangram.htm>. 
Acesso em: 18 set. 2015.
PASSOS, C. L. B. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de 
professores de matemática. In: LORENZATO, S. (org): O laboratório de ensino 
de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 
2006, p. 77-91.
SERRAZINA L.; MATOS, J. M. O geoplano na sala de aula. Lisboa: APM, 1988.
SOUZA, E. R. S. (org.) A matemática das sete peças do tangram. 2ª ed. São 
Paulo: IME - USP, 1997.
Referências complementares
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática: soluções para dez desafios do professor: 
1º ao 3º ano do ensino fundamental – 1ª ed. São Paulo: Ática Educadores, 2011. 
(Coleção Nós da Educação).
BRITO, A. J. et al. História da matemática em atividades didáticas. Natal: 
EDUFRN, 2005.
CARAÇA, B. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, 2003.
CENTURIÓN, Marília Ramos; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Novo 
Matemática na medida certa. 8ª série. São Paulo: Scipione, 2003.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática para todos. 5ª série. 
São Paulo: Scipione, 2002.
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http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC03069646433.pdfhttp://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC03069646433.pdf
http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construirtangram.htm
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construirtangram.htm
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LORENZATO, Sergio. Educação infantil e percepção matemática. Campinas: 
Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).
MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. Scipione, 2002. (Coleção Vivendo a 
Matemática: Medindo comprimentos).
PONTE, J.; Serrazina, L. Didáctica da Matemática do 1.º ciclo. Lisboa: 
Universidade Aberta, 2000.
REVISTA NOVA ESCOLA. Planos de aula de matemática: grandezas de 
medida. São Paulo. Disponível em:<http://revistaescola.abril.com.br>. Acesso 
em: 18 set. 2015.
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