Trabalho de CN (Final) (2)

Prévia do material em texto

Interpolação:
Diferenças divididas e o método de newton 
ricardo Kevilly, Rubens de Melo Santos.
Motivação
Podemos perceber que o Método de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação de sobre um conjunto de pontos possui uma inconveniência. Pois, existem casos como um polinômio de grau p (construído sobre p + 1 pontos) para um polinômio de grau p + 1 (construído sobre p + 2 pontos) todo o trabalho tem que ser praticamente refeito. Seria interessante se houvesse possibilidade de, conhecido o polinômio de grau p, passar-se para o de grau p + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau p. Iremos descobrir hoje, que podemos chegar nesse desejo, através da forma de Newton do polinômio de interpolação. Para a construção do polinômio de interpolação por este método, precisamos da noção de diferença dividida de uma função.
Conceito 
Seja a função contém os pontos , E a derivada da função no ponto é definida por,
A diferença dividida de ordem 1 º é definida como uma aproximação da derivada primeira ou seja 
 (1.0)
 
Notação para diferenças dividias : f [ ] ou.
Fazendo na equação (1.0), tem-se a diferença dividida de ordem 1 em relação a aos argumentos 
 
Nota-se facilmente que .
É definida a diferença dividida.
Ordem 0:
 (1.1)
)
 …
)
 
Ordem 1:
 
= (1.2)
Ordem n :
 = (1.3)
Com 
			
	0	0,3	3,09
	1	1,5	17,1
	2	2,1	25,41
Exemplo: dada a função tabelada abaixo
 = 
 = 13,60 ;
 = 1,00.
Observando os cálculos anteriores notas que com os 3 pontos dados, podem ser calculado duas diferenças divididas de 1º ordem e uma de ordem 2º ordem. Genericamente, tendo n+1 pontos disponíveis, pode se calcular n diferenças divididas de 1º , de 2º ordem e assim sucessivamente.
 
Exemplo lá de transformação linear 
 a função, e 
 um dado polinômio que traz uma boa aproximação dado um intervalo dentro de uma faixa de erro aceitável. 
O teorema e verdadeiro k=1 pois por definição vem, 
Teorema : Se é uma função polinomial de grau que passa pelo ponto Então a diferença de dividida de ordem k, é um polinômio de grau .
Vamos demonstrar por indução.
 
Logo é um polinômio de grau e é do é uma constante.
Agora vamos supor que o teorema seja valido para , ou seja a diferença dividida é de ordem é um polinômio de grau , dai basta provar que 
 é uma constante, pois dentro dos argumentos não existe um variável independente.
 tem grau como já foi mostrado anteriormente que pode ser reescrito da seguinte forma Por se tratar de uma diferença dividida de ordem p – 1, supostamente verdadeira na etapa anterior, e é do primeiro grau. Dai, 
É de grau .
Corolário:
Se é uma função polinomial de grau , então, todas as diferenças divididas são iguais a uma constante e as de ordem n+1 são nulas.
Método de Newton 
Sejam os n+1 pontos distintos(), i = 0,1,2,...,n	e o polinômio interpolador de grau n que conterá estes pontos.
Pela noção de diferenças divididas, temos:
= .
Logo, temos
 = (. (1)
Mas, para o caso
 = 
 Ou
= +() (2)
Aplicando (2) em (1), vem:
= 
Repita o processo para , vem:
= )()()....( +)()()....( .
 Mas sabemos que = 0 , por corolário, pois este e de grau n.
Fazendo = , teremos :
Podemos Escrever ainda, da seguinte forma:
= 
Exemplo1:
Seja o conjunto de pontos ao abaixo, determinar qualquer polinômio interpolador onde ≤ 4 que ajusta os pontos mostrados.
Sem o VNC:
Para temos que :
( ()
→0 (x+1) + (x + 1)(x – 0)
 → 
Com O VNC
Obs: O Aplicativo Não mostra a diferença dividida de grau zero, já que é o próprio f().
Exemplo 2:
Considerando uma função do tipo , escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem 3 que passa pelos pontos x=1, 2, 3 e 4. Calcule (1,1)
Para está resolução, para facilitar o entendimento, vamos adotar as seguinte notação, para diferenças divididas:
∆
Iniciaremos buscando as imagens da função, logo após vamos aplicar ao VCN para encontra as diferenças e, em seguida, encontrar os produtos, quando aplicado no ponto (1,1) do polinômio de grau 3.
	X=i , i = 1, ... , 4.	Imagem 
	f(1)	5.69
	f(2)	11.09
	f(3)	16.38
	f(4)	21.60
	Diferenças Divididas(Ordem)	Resultado
		5,69
		5,4
		-0,055
		0,007
(x) = f[x0] + (x - x0) f[x0,x1]+ (x - x0) (x- x1) f[x0,x1,x2] + (x-x0) (x-x1) (x-x2) f[x0,x1,x2,x3] 
Ou podemos escrever: 
(x) = + (x - 1) (x - 1) (x- 2) + (x-1) (x-2) (x-3) 
(x) = 
(1,1) = 6,183.
Podemos verificar também no VCN
Ao fazer o erro relativo percentual, podemos verificar que essa aproximação é válida. Pois Er(%)=0,85%
Erro de Truncamento
Por se tratar de funções polinomiais, o erro de truncamento, par o método de Newton ao de Lagrange.
Exemplo: Calcular o erro do exercício anterior.
 (1,1 - 1) (1,1- 2) (1,1-3)||5,4| 
Implementação do Método de Newton
Newton X Lagrange 
Referências:
BURDEN, Richard L. FARIES, J. Douglas. Numerical Analysis. 9° ed. Cengage Learning, 2004. Boston, MA , USA.
BARROSO, L.C. Cálculo Numérico, 2ªedição, Universidade Federal de Minas Gerais, editora HARBRA ltda, 1987. 
CUNHA, K. S. C Cálculo Numérico, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará Diretoria de Educação a Distância, 2010.
https://www.youtube.com/watch?v=7OYA1bTlpxI&t=1136s
y=f(x)
x
o
,x
1
,...,x
n