apostila matematica basica

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Matemática Básica com foco em 
problemas para desenvolvimento 
de raciocínio lógico
Prof. Daniel Thomás
Conteúdo do Curso
• Leitura, interpretação e resolução de 
problemas matemáticos
• Operações Elementares(4 operações, 
expressões numéricas);
• Proporção e regra de três simples
• Porcentagem
• Problemas de Lógica e Curiosos
Cronograma
Carga horária Conteúdo
Aula 1 ‐3horas Resolução de problemas
Operações elementares
Aula 2 ‐3horas Números Decimais, noções de números inteiros
Aula 3 ‐3horas Regras de 3 simples 
Porcentagem
Aula 4‐ 3horas Problemas de Lógica e Problemas Interessantes e Curiosos
Aula 5‐ 3horas Problemas de Lógica e Problemas Interessantes e Curiosos
Dinâmica de Apresentação
Como resolver um problema?
Daniel Thomás Ramos Franco de Sá
Dicas
• Leia o problema 3 vezes pelo menos.
• Procure Ler com pontuação
• Entenda a situação e a operação a ser utilizada
para a resolução do problema
• Não tente resolver problemas enquanto estiver
fazendo outra coisas, ouvindo música, vendo
televisão, etc.
• Verifique se tem alguma palavra ou termo que
não conhece, procure o significado desses termos
no dicionário, livro ou até mesmo na internet.
Etapas da resolução de um problema
• 1. Entendimento do problema
• 2. Estabelecer um plano mental
• 3. Por em prática o plano
• 4. Verificação
1. Entendimento do Problema
•Entenda o contexto.
•Quais são os dados?
•Verifique se tem 
incógnita e qual é.
•Trace uma figura. 
•Adote uma notação 
adequada. 
2. Estabelecer um plano mental
• Problema Parecido:
‐ Conhece um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente. É possível 
utilizá‐lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? 
Deve‐se introduzir algum elemento auxiliar 
• Incógnita
‐ Escrever os dados que o problema dá. Verificar qual dado está sendo solicitado na 
pergunta. Existem dados necessários para a resolução do problema que não foi 
dado? Como descobrir esses dados?
• Conteúdo
‐ É possível reformular o problema de outra maneira? Volte às definições do 
conteúdo. É possível resolver uma parte do problema para determinar a incógnita? 
É possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal 
maneira que fiquem mais próximos entre si? 
3.Pôr em prática o plano
• Verifique cada passo
• É possível verificar claramente se cada passo 
está correto?
• É possível demonstrar que ele está correto?
4.Examine a solução obtida
1. É possível verificar o resultado? Como?
2. É possível chegar ao resultado por outro 
caminho? Fazendo de uma forma diferente?
3. É possível perceber se está correto de um 
relance?
4. É possível utilizar o resultado ou o método 
em outro problema?
Enunciados de problemas
• Eles precisam ser claros
• Objetivos
• É Necessário que os dados fornecidos sejam 
suficientes para a resolução por algum dos 
métodos conhecidos.
• É necessário verificar se os dados fornecidos 
são todos realmente necessários
Exemplo
• Um fazendeiro
comprou uma fazenda
que tinha vacas e
porcos. No contrato de
venda dizia que no total
eram 500 animais. E
que a diferença da
quantidade da vacas
pela quantidade de
porcos é de 100.
Quantas vacas tem na
fazenda?
1. Entendimento do Problema
• Situação: 
• Uma pessoa comprando uma fazenda com 
animais quer saber quantos animais tem
• Dados: 
• 500 animais
• Vacas e porcos
• Qtd de Vacas – Qtd de porcos = 100
• Incógnita: Qtd de Vacas
2.Estabelecer um plano mental
(ou escrito)
• A fazenda tem x vacas
• Se no total há 500 animais há 500‐x porcos
• A diferença entre vacas e porcos é 100
• Então x‐ (500‐x) = 100
3.Pôr em prática o plano
• x‐ (500‐x) = 100
• x‐500+x=100
• x+x = 100+500
• 2x =600
• x=300
• Resposta: 300 vacas
4.Examine a solução obtida
• Verificação
• Se há 300 vacas na fazenda
• E no total há 500 animais
• Há 500‐300= 200 porcos
• 200porcos+300 vacas =500 animais
• 300vacas‐200porcos = 100
4.Examine a solução obtida
• Outra forma de fazer? 
• x = vacas
• y= porcos
• x+y = 500
• x‐y = 100
• Pelo método da adição
• 2x =600
• x= 300 vacas
• y = 200 porcos
Problemas 4 operações e 
expressões numéricas
Daniel Thomás Ramos Franco de Sá
4 operações básicas
‐ Adição
‐ Subtração
‐ Multiplicação
‐ Divisão
• Adicionar, juntar, agregar, somar, unir, etc.
• quanto falta para
• propriedade comutativa
Adição
Subtração
• Tirar, subtrair, diminuir, faltar, etc.
• O empréstimo na subtração é nada mais que
pegar uma dezena, centena ou ordem maior
para poder retirar o que falta.
• Para verificar se a resposta de uma subtração
está correta, basta somar o resto com o
subtraendo e verificar se o resultado é igual
ao minuendo.
Multiplicação
0x1= 1x1= 2x1= 3x1= 4x1= 5x1= 6x1= 7x1= 8x1= 9x1= 10x1=
0x2= 1x2= 2x2= 3x2= 4x2= 5x2= 6x2= 7x2= 8x2= 9x2= 10x2=
0x3= 1x3= 2x3= 3x3= 4x3= 5x3= 6x3= 7x3= 8x3= 9x3= 10x3=
0x4= 1x4= 2x4= 3x4= 4x4= 5x4= 6x4= 7x4= 8x4= 9x4= 10x4=
0x5= 1x5= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 6x5= 7x5= 8x5= 9x5= 10x5=
0x6= 1x6= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 7x6= 8x6= 9x6= 10x6=
0x7= 1x7= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 8x7= 9x7= 10x7=
0x8= 1x8= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 9x8= 10x8=
0x9= 1x9= 2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= 10x9=
0x10= 1x10= 2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10=
Dicas 1 e 2
• Todo numérico multiplicado por 0(zero) é igual a 0.
• Todo número multiplicado um é igual a ele mesmo.
2x1= 3x1= 4x1= 5x1= 6x1= 7x1= 8x1= 9x1= 10x1=
2x2= 3x2= 4x2= 5x2= 6x2= 7x2= 8x2= 9x2= 10x2=
2x3= 3x3= 4x3= 5x3= 6x3= 7x3= 8x3= 9x3= 10x3=
2x4= 3x4= 4x4= 5x4= 6x4= 7x4= 8x4= 9x4= 10x4=
2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 6x5= 7x5= 8x5= 9x5= 10x5=
2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 7x6= 8x6= 9x6= 10x6=
2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 8x7= 9x7= 10x7=
2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 9x8= 10x8=
2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= 10x9=
2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10=
Dicas 3
• Propriedade comutativa 3x2 = 2x3=6
2x2=
2x3= 3x3=
2x4= 3x4= 4x4=
2x5= 3x5= 4x5= 5x5=
2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6=
2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7=
2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8=
2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9=
2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10=
Dica 4
• Todo número multiplicado por 10 é o proprio 
número com 0 no final. Ex. 5x10 =50
2x2=
2x3= 3x3=
2x4= 3x4= 4x4=
2x5= 3x5= 4x5= 5x5=
2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6=
2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7=
2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8=
2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9=
Dica 5
• Multiplicação por 9 com os dedos
2x2=
2x3= 3x3=
2x4= 3x4= 4x4=
2x5= 3x5= 4x5= 5x5=
2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6=
2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7=
2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8=
• Resultado Final
• Tabuada passa de 110 multiplicações 
para 28 
Divisão
• Dividir, distribuir, redistribuir.
• Divisível é um número cujo resto é 0(zero).
• Regras de divisibilidade. 
• 2 – todo número par
• 3‐ soma os algarismos e o resultado é divisível por 3
• 4 – dois últimos algarismos juntos são divisíveis por 4 ou são iguais a 00
• 5 – todo número que termine em 5 ou 0
• 6 – divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
• 7 ‐ não há regra de divisibilidade
• 8 – três últimos algarismos juntos são divisíveis por 8 ou são iguais a 000
• 9 ‐ soma os algarismos e o resultado é divisível por 9
Divisão
Como verificar?
• Operação Inversa
• Adição X Subtração
• Multiplicação X 
Divisão
Expressões numéricas
• O que são?
• Como uma expressão numérica é formada por 
mais de uma operação, devemos resolver:
• ‐ primeiramente as potências e as raízes (na 
ordem que aparecerem)
• ‐ depois a multiplicação ou divisão (na ordem) 
• ‐ e por último adição e subtração (na ordem).
Expressões Numéricas
• É comum o aparecimento de sinais nas 
expressões numéricas. Quando aparecerem 
em uma expressão numérica, devemos 
eliminá‐los. Essa eliminação irá acontecer na 
seguinte ordem: 
• ‐ 1º parênteses ()
• ‐ 2º colchetes []
• ‐ 3º  por último, as chaves {}
Exemplos de Problemas
• 1. Uma plantação de alface está produzindo 6 pés de alface por metro 
quadrado. Sabendo quea plantação tem 123 metros quadrados. Quantos 
pés de alface estão sendo produzidos.
• 2. Hidrômetro é um aparelho semelhante a um relógio: marca o consumo 
de água de uma casa. A leitura de um hidrômetro em 20 de março 
indicava 2568 m3 uma nova leitura, feita um mês depois, indicava 2727 
m3. Qual foi o consumo de água dessa casa, nesse período?
• 3. João Pedro foi ao supermercado e comprou 2 pacotes de arroz que 
custa R$3,17 cada um, 5 latas de sardinha a R$2,67 cada e 3 pacotes de 
feijão a R$6,51. Pagou com duas notas de R$20,00. Qual foi o troco 
recebido?
Sendo crítico com os problemas 
matemáticos
Vamos Resolver?
• 1. Uma granja recebeu uma remessa de 210 pintinhos num dia, 
120 no dia seguinte e 145 no terceiro dia. Morreram 93 pintinhos. 
Quantos pintinhos têm agora essa granja?
• 2. Luciano nasceu em 1.972 e tem um irmão 25 anos mais velho. 
Em que ano nasceu o irmão de Luciano?
• 3. Júlia tem R$ 1.500,00. Ela quer comprar uma televisão que custa 
R$450, 00, um DVD que custa 320,00 e um microondas que custa 
380,00. Quanto dinheiro sobrará? 
• 4. Marcos vendeu 5 caixas de maçãs com 389 maçãs em cada uma e 
3 caixas com  257 peras em cada uma. Quantas maçãs e quantas 
peras marcos vendeu? Qual foi o total de frutas vendidas? 
Prof. Daniel Thomás
Números Decimais
Conceito:
• Números decimais são numerais que
indicam um número que não é inteiro.
Geralmente após o algarismo das unidades,
usa‐se uma vírgula, indicando que o algarismo
a seguir pertence à ordem das décimas, ou
casas decimais
Utilização
• Medidas de comprimento, volume,
capacidade, massa, etc.
• Operações financeiras
• Representação de uma parte de um todo
Operações com decimais
• Adição e subtração – posiciona‐se o número de 
forma que as virgulas de ambos estejam uma 
embaixo da outra
• Multiplicação – multiplica‐se normalmente sem 
levar em consideração os decimais, ao final 
conta‐se a quantidade de casas decimais dos 
multiplicando
• Divisão
Divisão de números
inteiros não exatos
• Quando não for mais possível dividir acrescenta‐se a vírgula no 
quociente e um 0(zero) na divisão para continuar dividindo:
• Ex.:
•
Divisão com decimais
• Passos:
• 1º Iguala a quantidade de casas decimais
• 2º cancela a vírgula
• 3º passa a dividir como não havendo decimais
• 4º Quando não for possível dividir coloca‐se 
0,(zero vírgula) no quociente e acrescenta 
0(zero) no dividendo.
Divisão e Multiplicação 
por potências de 10
• Multiplicação por potências de 10
• 7 x 1000 = 
• 5,651 x 100 =
• Divisão por potências de 10
• 578 : 10 =
• 65,25 : 100 =
Unidades de Medidas
Unidades de Medidas
K(quilo) H(Hecto) da(deca) un. principal d(deci) c(centi) m(mili)
Kg Hg dag g ‐ Grama  dg cg Mg
Kl Hl dal l ‐ Litro dl cl ml
Km Hm dam m ‐Metro dm cm mm
Transformações
Medidas de Massa
Kg Hg dag g dg cg Mg
Exemplos de Problemas
1. João foi ao mercado e comprou 2 kg de carne 
moída, que custa 8,72 o quilo e 600 gramas de 
peito de frango que custa R$9,80 o quilo. Qual o 
valor pagou para o supermercado?
2. Em uma hora de corrida, Maria caminhou 
3,52km. Se ela caminhar todos os dias da 
semana(exceto o sábado) o mesmo caminho. 
Quantos metros ela percorre por semana?
3. Foi comprado pra uma festa 15 garrafas de 
vinho de 750ml cada e foram consumidas todas. 
Quantos litros de vinho foram consumidos? 
Prof. Daniel Thomás
Números Inteiros
Conceito:
• O conjunto dos números inteiros é o
conjunto que inclui todos os números inteiros
positivos, negativos e o seu elemento neutro(0 ‐
zero)
• ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 +1 +2 +3 +4
Conjuntos numéricos
Para que serve?
• Temperatura
• Saldo Bancário
• Operações matemáticas
• Módulo de um número
• |+3| = 3
• |‐3| = 3
• Números Simétricos:
• Simétrico de +2 é ‐2
• Simétrico de ‐5 é +5
Soma Algébrica
• ‐5‐4 =
• ‐5+3 =
• (‐3)+(‐2) =
• (‐3)‐(‐2) =
• Sinais iguais: soma e repete o sinal
• ‐5‐4 =
• Sinais Diferentes: Subtrai e dá o sinal do maior
• 5+3 =
• Sinal Positivo antes dos parênteses: continua o sinal 
interno
• (‐3)+(‐2) =
• Sinal negativo antes dos parênteses: muda o sinal 
interno.
• (‐3)‐(‐2) =
Dica para expressão
• Quando for resolver uma expressão com 
somente soma e subtração de números 
inteiros, somar primeiro os que tem o mesmo 
sinal:
• Exemplo 
• +5‐3+2‐8 = 7‐10 = ‐3
Multiplicação e divisão
• Calcula‐se normalmente e coloca‐se o sinal 
da seguinte maneira:
• Somente números positivos
• Resultado positivo
(+ 3)  (+ 3) = 9
Multiplicação e divisão
• Calcula‐se normalmente e coloca‐se o sinal 
da seguinte maneira:
• Quantidade par de números negativos 
• resultado positivo
• Quantidade Ímpar de números negativos
• Resultado negativo
(-2)  (-1)  (-2)  (-1) = + 4
(-2)  (+ 1)  (-2)  (-1) = -4
Vamos calcular?
• Efetue a seguintes expressões:
a) ‐3+5‐2 =
b) (‐3)+(2) ‐8
c) (+2) – (‐4) ‐6 =
d) (+2)x(‐5)x3 = 
• e)  7x(7‐13):3 =
Exemplos de problemas
1. Pedro tinha inicialmente em sua conta o Valor de 
R$352,00. Foi ao supermercado fazer as compras do mês 
e gastou R$441,42 (utilizando o cheque especial para 
cobrir a diferença). Na semana seguinte fez um deposito 
de R$60,00. Quanto falta para ele cobrir a dívida do 
cheque especial?
2. Na cidade de Gramado no Rio Grande do Sul, o 
Termômetro marcou a temperatura de 7 graus 
centígrados. Depois de um dia de muita chuva a 
temperatura caiu 10 graus que chegou a nevar de noite. 
Sabendo que em Manaus a temperatura alcançou os 28 
graus de noite. Qual a diferença da temperatura  entre 
Gramados e Manaus a noite?
Prof. Daniel Thomás
Razões e 
proporções
Grandezas
• É uma relação numérica estabelecida com 
um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o 
volume de um tanque, o peso de um corpo, a 
quantidade pães, entre outros, são grandezas. 
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, 
pesar, enfim, enumerar.
O que é uma razão?
• Razão é a fração
criada para
relacionar duas
grandezas distintas.
• Exemplos: 
• Km/h
• 12hab/km2
• Estudantes/polo
• 3doentes a cada mil 
habitantes.
• Professor/aluno
Proporcionalidade  
• Duas grandezas são proporcionais quando se
relacionam através de uma ou mais razões.
• Exemplo João corre 4km em 1 hora, ele correr 8km no
mesmo ritmo, vai fazê‐lo em 2 horas e assim por diante
como pode se ver na tabela abaixo
KM 4 8 12 16 20 24
H 1 2 3 4 5 6
Proporcionalidade
• Grandezas 
diretamente 
proporcionais
• Grandezas 
Inversamente 
proporcionais
Regra de 3 simples 
• Existem duas maneiras de se calcular 
problemas que tratem de grandezas 
proporcionais.
• Latas          Valor
• de leite R$
• 3         30
• x         10
x
3 = 
10
30
extremos
meios
Exemplos de Problemas
de proporção
• 1. Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 
02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
• 2. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 3.500 reais. 
Quantos dias terá que trabalhar para receber 5250 
reais?”
• 3. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. 
Quantos quilogramas de trigo são necessários para 
fabricar 28 kg de farinha?
• 4. Num mapa, a distância Rio‐Bahia, que é de 1.600 
km, está representada por 24 cm. A quantos 
centímetros corresponde, nesse mapa, a distância 
Brasília‐Salvador, que é de 1200 km ?
Porcentagem
• é utilizada para operações financeiras com
juros e descontos. Para criar soluções
químicas que podem ser utilizadas na lavoura
ou verificar itens em exames de animais.
• É a representação da parte de um todo. Por
exemplo:
• 45% da população de Manaus não
decidiu ainda em quem votar – significa que
a cada 100 pessoas, 45 pessoas ainda não
decidiram.
Calculo de Porcentagem
• Através de Fração 
• Parte  = Parte 
• Todo Todo
• Calcule quantos porcento equivale 3 num 
universo de 25x
100 =
3
25
• Parte % Parte
• Todo %  Todo
• 10% da solução equivale a 100 gramas, quantas 
gramas tem a solução toda?
• 10% 100g
• 100% x
Exemplos de problemas
de porcentagem
• 1. Um comerciante vende um determinado produto de limpeza por
R$ 75,00 (setenta e cinco reais).No entanto, se o pagamento for
feito em dinheiro, será dado um desconto de 15% sobre o preço de
venda acima definido. Determine o valor do produto no caso de
pagamento em dinheiro.
• 2. Numa eleicão, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu
recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% da
quantidade dos votos do candidato que venceu. Os demais foram
votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram
nessa eleição?
• 3. O número de alunos de uma escola passou de 900 para 
1350. Em relação ao número inicial, o aumento no número de 
alunos foi de quantos por cento?