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Matemática Básica com foco em problemas para desenvolvimento de raciocínio lógico Prof. Daniel Thomás Conteúdo do Curso • Leitura, interpretação e resolução de problemas matemáticos • Operações Elementares(4 operações, expressões numéricas); • Proporção e regra de três simples • Porcentagem • Problemas de Lógica e Curiosos Cronograma Carga horária Conteúdo Aula 1 ‐3horas Resolução de problemas Operações elementares Aula 2 ‐3horas Números Decimais, noções de números inteiros Aula 3 ‐3horas Regras de 3 simples Porcentagem Aula 4‐ 3horas Problemas de Lógica e Problemas Interessantes e Curiosos Aula 5‐ 3horas Problemas de Lógica e Problemas Interessantes e Curiosos Dinâmica de Apresentação Como resolver um problema? Daniel Thomás Ramos Franco de Sá Dicas • Leia o problema 3 vezes pelo menos. • Procure Ler com pontuação • Entenda a situação e a operação a ser utilizada para a resolução do problema • Não tente resolver problemas enquanto estiver fazendo outra coisas, ouvindo música, vendo televisão, etc. • Verifique se tem alguma palavra ou termo que não conhece, procure o significado desses termos no dicionário, livro ou até mesmo na internet. Etapas da resolução de um problema • 1. Entendimento do problema • 2. Estabelecer um plano mental • 3. Por em prática o plano • 4. Verificação 1. Entendimento do Problema •Entenda o contexto. •Quais são os dados? •Verifique se tem incógnita e qual é. •Trace uma figura. •Adote uma notação adequada. 2. Estabelecer um plano mental • Problema Parecido: ‐ Conhece um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente. É possível utilizá‐lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve‐se introduzir algum elemento auxiliar • Incógnita ‐ Escrever os dados que o problema dá. Verificar qual dado está sendo solicitado na pergunta. Existem dados necessários para a resolução do problema que não foi dado? Como descobrir esses dados? • Conteúdo ‐ É possível reformular o problema de outra maneira? Volte às definições do conteúdo. É possível resolver uma parte do problema para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? 3.Pôr em prática o plano • Verifique cada passo • É possível verificar claramente se cada passo está correto? • É possível demonstrar que ele está correto? 4.Examine a solução obtida 1. É possível verificar o resultado? Como? 2. É possível chegar ao resultado por outro caminho? Fazendo de uma forma diferente? 3. É possível perceber se está correto de um relance? 4. É possível utilizar o resultado ou o método em outro problema? Enunciados de problemas • Eles precisam ser claros • Objetivos • É Necessário que os dados fornecidos sejam suficientes para a resolução por algum dos métodos conhecidos. • É necessário verificar se os dados fornecidos são todos realmente necessários Exemplo • Um fazendeiro comprou uma fazenda que tinha vacas e porcos. No contrato de venda dizia que no total eram 500 animais. E que a diferença da quantidade da vacas pela quantidade de porcos é de 100. Quantas vacas tem na fazenda? 1. Entendimento do Problema • Situação: • Uma pessoa comprando uma fazenda com animais quer saber quantos animais tem • Dados: • 500 animais • Vacas e porcos • Qtd de Vacas – Qtd de porcos = 100 • Incógnita: Qtd de Vacas 2.Estabelecer um plano mental (ou escrito) • A fazenda tem x vacas • Se no total há 500 animais há 500‐x porcos • A diferença entre vacas e porcos é 100 • Então x‐ (500‐x) = 100 3.Pôr em prática o plano • x‐ (500‐x) = 100 • x‐500+x=100 • x+x = 100+500 • 2x =600 • x=300 • Resposta: 300 vacas 4.Examine a solução obtida • Verificação • Se há 300 vacas na fazenda • E no total há 500 animais • Há 500‐300= 200 porcos • 200porcos+300 vacas =500 animais • 300vacas‐200porcos = 100 4.Examine a solução obtida • Outra forma de fazer? • x = vacas • y= porcos • x+y = 500 • x‐y = 100 • Pelo método da adição • 2x =600 • x= 300 vacas • y = 200 porcos Problemas 4 operações e expressões numéricas Daniel Thomás Ramos Franco de Sá 4 operações básicas ‐ Adição ‐ Subtração ‐ Multiplicação ‐ Divisão • Adicionar, juntar, agregar, somar, unir, etc. • quanto falta para • propriedade comutativa Adição Subtração • Tirar, subtrair, diminuir, faltar, etc. • O empréstimo na subtração é nada mais que pegar uma dezena, centena ou ordem maior para poder retirar o que falta. • Para verificar se a resposta de uma subtração está correta, basta somar o resto com o subtraendo e verificar se o resultado é igual ao minuendo. Multiplicação 0x1= 1x1= 2x1= 3x1= 4x1= 5x1= 6x1= 7x1= 8x1= 9x1= 10x1= 0x2= 1x2= 2x2= 3x2= 4x2= 5x2= 6x2= 7x2= 8x2= 9x2= 10x2= 0x3= 1x3= 2x3= 3x3= 4x3= 5x3= 6x3= 7x3= 8x3= 9x3= 10x3= 0x4= 1x4= 2x4= 3x4= 4x4= 5x4= 6x4= 7x4= 8x4= 9x4= 10x4= 0x5= 1x5= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 6x5= 7x5= 8x5= 9x5= 10x5= 0x6= 1x6= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 7x6= 8x6= 9x6= 10x6= 0x7= 1x7= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 8x7= 9x7= 10x7= 0x8= 1x8= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 9x8= 10x8= 0x9= 1x9= 2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= 10x9= 0x10= 1x10= 2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10= Dicas 1 e 2 • Todo numérico multiplicado por 0(zero) é igual a 0. • Todo número multiplicado um é igual a ele mesmo. 2x1= 3x1= 4x1= 5x1= 6x1= 7x1= 8x1= 9x1= 10x1= 2x2= 3x2= 4x2= 5x2= 6x2= 7x2= 8x2= 9x2= 10x2= 2x3= 3x3= 4x3= 5x3= 6x3= 7x3= 8x3= 9x3= 10x3= 2x4= 3x4= 4x4= 5x4= 6x4= 7x4= 8x4= 9x4= 10x4= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 6x5= 7x5= 8x5= 9x5= 10x5= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 7x6= 8x6= 9x6= 10x6= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 8x7= 9x7= 10x7= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 9x8= 10x8= 2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= 10x9= 2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10= Dicas 3 • Propriedade comutativa 3x2 = 2x3=6 2x2= 2x3= 3x3= 2x4= 3x4= 4x4= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= 2x10= 3x10= 4x10= 5x10= 6x10= 7x10= 8x10= 9x10= 10x10= Dica 4 • Todo número multiplicado por 10 é o proprio número com 0 no final. Ex. 5x10 =50 2x2= 2x3= 3x3= 2x4= 3x4= 4x4= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= 2x9= 3x9= 4x9= 5x9= 6x9= 7x9= 8x9= 9x9= Dica 5 • Multiplicação por 9 com os dedos 2x2= 2x3= 3x3= 2x4= 3x4= 4x4= 2x5= 3x5= 4x5= 5x5= 2x6= 3x6= 4x6= 5x6= 6x6= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 2x8= 3x8= 4x8= 5x8= 6x8= 7x8= 8x8= • Resultado Final • Tabuada passa de 110 multiplicações para 28 Divisão • Dividir, distribuir, redistribuir. • Divisível é um número cujo resto é 0(zero). • Regras de divisibilidade. • 2 – todo número par • 3‐ soma os algarismos e o resultado é divisível por 3 • 4 – dois últimos algarismos juntos são divisíveis por 4 ou são iguais a 00 • 5 – todo número que termine em 5 ou 0 • 6 – divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. • 7 ‐ não há regra de divisibilidade • 8 – três últimos algarismos juntos são divisíveis por 8 ou são iguais a 000 • 9 ‐ soma os algarismos e o resultado é divisível por 9 Divisão Como verificar? • Operação Inversa • Adição X Subtração • Multiplicação X Divisão Expressões numéricas • O que são? • Como uma expressão numérica é formada por mais de uma operação, devemos resolver: • ‐ primeiramente as potências e as raízes (na ordem que aparecerem) • ‐ depois a multiplicação ou divisão (na ordem) • ‐ e por último adição e subtração (na ordem). Expressões Numéricas • É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas. Quando aparecerem em uma expressão numérica, devemos eliminá‐los. Essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: • ‐ 1º parênteses () • ‐ 2º colchetes [] • ‐ 3º por último, as chaves {} Exemplos de Problemas • 1. Uma plantação de alface está produzindo 6 pés de alface por metro quadrado. Sabendo quea plantação tem 123 metros quadrados. Quantos pés de alface estão sendo produzidos. • 2. Hidrômetro é um aparelho semelhante a um relógio: marca o consumo de água de uma casa. A leitura de um hidrômetro em 20 de março indicava 2568 m3 uma nova leitura, feita um mês depois, indicava 2727 m3. Qual foi o consumo de água dessa casa, nesse período? • 3. João Pedro foi ao supermercado e comprou 2 pacotes de arroz que custa R$3,17 cada um, 5 latas de sardinha a R$2,67 cada e 3 pacotes de feijão a R$6,51. Pagou com duas notas de R$20,00. Qual foi o troco recebido? Sendo crítico com os problemas matemáticos Vamos Resolver? • 1. Uma granja recebeu uma remessa de 210 pintinhos num dia, 120 no dia seguinte e 145 no terceiro dia. Morreram 93 pintinhos. Quantos pintinhos têm agora essa granja? • 2. Luciano nasceu em 1.972 e tem um irmão 25 anos mais velho. Em que ano nasceu o irmão de Luciano? • 3. Júlia tem R$ 1.500,00. Ela quer comprar uma televisão que custa R$450, 00, um DVD que custa 320,00 e um microondas que custa 380,00. Quanto dinheiro sobrará? • 4. Marcos vendeu 5 caixas de maçãs com 389 maçãs em cada uma e 3 caixas com 257 peras em cada uma. Quantas maçãs e quantas peras marcos vendeu? Qual foi o total de frutas vendidas? Prof. Daniel Thomás Números Decimais Conceito: • Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente após o algarismo das unidades, usa‐se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais Utilização • Medidas de comprimento, volume, capacidade, massa, etc. • Operações financeiras • Representação de uma parte de um todo Operações com decimais • Adição e subtração – posiciona‐se o número de forma que as virgulas de ambos estejam uma embaixo da outra • Multiplicação – multiplica‐se normalmente sem levar em consideração os decimais, ao final conta‐se a quantidade de casas decimais dos multiplicando • Divisão Divisão de números inteiros não exatos • Quando não for mais possível dividir acrescenta‐se a vírgula no quociente e um 0(zero) na divisão para continuar dividindo: • Ex.: • Divisão com decimais • Passos: • 1º Iguala a quantidade de casas decimais • 2º cancela a vírgula • 3º passa a dividir como não havendo decimais • 4º Quando não for possível dividir coloca‐se 0,(zero vírgula) no quociente e acrescenta 0(zero) no dividendo. Divisão e Multiplicação por potências de 10 • Multiplicação por potências de 10 • 7 x 1000 = • 5,651 x 100 = • Divisão por potências de 10 • 578 : 10 = • 65,25 : 100 = Unidades de Medidas Unidades de Medidas K(quilo) H(Hecto) da(deca) un. principal d(deci) c(centi) m(mili) Kg Hg dag g ‐ Grama dg cg Mg Kl Hl dal l ‐ Litro dl cl ml Km Hm dam m ‐Metro dm cm mm Transformações Medidas de Massa Kg Hg dag g dg cg Mg Exemplos de Problemas 1. João foi ao mercado e comprou 2 kg de carne moída, que custa 8,72 o quilo e 600 gramas de peito de frango que custa R$9,80 o quilo. Qual o valor pagou para o supermercado? 2. Em uma hora de corrida, Maria caminhou 3,52km. Se ela caminhar todos os dias da semana(exceto o sábado) o mesmo caminho. Quantos metros ela percorre por semana? 3. Foi comprado pra uma festa 15 garrafas de vinho de 750ml cada e foram consumidas todas. Quantos litros de vinho foram consumidos? Prof. Daniel Thomás Números Inteiros Conceito: • O conjunto dos números inteiros é o conjunto que inclui todos os números inteiros positivos, negativos e o seu elemento neutro(0 ‐ zero) • ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 +1 +2 +3 +4 Conjuntos numéricos Para que serve? • Temperatura • Saldo Bancário • Operações matemáticas • Módulo de um número • |+3| = 3 • |‐3| = 3 • Números Simétricos: • Simétrico de +2 é ‐2 • Simétrico de ‐5 é +5 Soma Algébrica • ‐5‐4 = • ‐5+3 = • (‐3)+(‐2) = • (‐3)‐(‐2) = • Sinais iguais: soma e repete o sinal • ‐5‐4 = • Sinais Diferentes: Subtrai e dá o sinal do maior • 5+3 = • Sinal Positivo antes dos parênteses: continua o sinal interno • (‐3)+(‐2) = • Sinal negativo antes dos parênteses: muda o sinal interno. • (‐3)‐(‐2) = Dica para expressão • Quando for resolver uma expressão com somente soma e subtração de números inteiros, somar primeiro os que tem o mesmo sinal: • Exemplo • +5‐3+2‐8 = 7‐10 = ‐3 Multiplicação e divisão • Calcula‐se normalmente e coloca‐se o sinal da seguinte maneira: • Somente números positivos • Resultado positivo (+ 3) (+ 3) = 9 Multiplicação e divisão • Calcula‐se normalmente e coloca‐se o sinal da seguinte maneira: • Quantidade par de números negativos • resultado positivo • Quantidade Ímpar de números negativos • Resultado negativo (-2) (-1) (-2) (-1) = + 4 (-2) (+ 1) (-2) (-1) = -4 Vamos calcular? • Efetue a seguintes expressões: a) ‐3+5‐2 = b) (‐3)+(2) ‐8 c) (+2) – (‐4) ‐6 = d) (+2)x(‐5)x3 = • e) 7x(7‐13):3 = Exemplos de problemas 1. Pedro tinha inicialmente em sua conta o Valor de R$352,00. Foi ao supermercado fazer as compras do mês e gastou R$441,42 (utilizando o cheque especial para cobrir a diferença). Na semana seguinte fez um deposito de R$60,00. Quanto falta para ele cobrir a dívida do cheque especial? 2. Na cidade de Gramado no Rio Grande do Sul, o Termômetro marcou a temperatura de 7 graus centígrados. Depois de um dia de muita chuva a temperatura caiu 10 graus que chegou a nevar de noite. Sabendo que em Manaus a temperatura alcançou os 28 graus de noite. Qual a diferença da temperatura entre Gramados e Manaus a noite? Prof. Daniel Thomás Razões e proporções Grandezas • É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. O que é uma razão? • Razão é a fração criada para relacionar duas grandezas distintas. • Exemplos: • Km/h • 12hab/km2 • Estudantes/polo • 3doentes a cada mil habitantes. • Professor/aluno Proporcionalidade • Duas grandezas são proporcionais quando se relacionam através de uma ou mais razões. • Exemplo João corre 4km em 1 hora, ele correr 8km no mesmo ritmo, vai fazê‐lo em 2 horas e assim por diante como pode se ver na tabela abaixo KM 4 8 12 16 20 24 H 1 2 3 4 5 6 Proporcionalidade • Grandezas diretamente proporcionais • Grandezas Inversamente proporcionais Regra de 3 simples • Existem duas maneiras de se calcular problemas que tratem de grandezas proporcionais. • Latas Valor • de leite R$ • 3 30 • x 10 x 3 = 10 30 extremos meios Exemplos de Problemas de proporção • 1. Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas? • 2. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 3.500 reais. Quantos dias terá que trabalhar para receber 5250 reais?” • 3. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? • 4. Num mapa, a distância Rio‐Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília‐Salvador, que é de 1200 km ? Porcentagem • é utilizada para operações financeiras com juros e descontos. Para criar soluções químicas que podem ser utilizadas na lavoura ou verificar itens em exames de animais. • É a representação da parte de um todo. Por exemplo: • 45% da população de Manaus não decidiu ainda em quem votar – significa que a cada 100 pessoas, 45 pessoas ainda não decidiram. Calculo de Porcentagem • Através de Fração • Parte = Parte • Todo Todo • Calcule quantos porcento equivale 3 num universo de 25x 100 = 3 25 • Parte % Parte • Todo % Todo • 10% da solução equivale a 100 gramas, quantas gramas tem a solução toda? • 10% 100g • 100% x Exemplos de problemas de porcentagem • 1. Um comerciante vende um determinado produto de limpeza por R$ 75,00 (setenta e cinco reais).No entanto, se o pagamento for feito em dinheiro, será dado um desconto de 15% sobre o preço de venda acima definido. Determine o valor do produto no caso de pagamento em dinheiro. • 2. Numa eleicão, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% da quantidade dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleição? • 3. O número de alunos de uma escola passou de 900 para 1350. Em relação ao número inicial, o aumento no número de alunos foi de quantos por cento?