Semana2_MA70G

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Equações Diferenciais Ordinárias
Semanas 4 e 5
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para duas semanas
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 67
Equações Diferenciais Ordinárias
1 Espécies de Equações Diferenciais Ordinárias
Técnicas de resolução apropriadas
2 Exemplos de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias
Trajetórias ortogonais
Decaimento radioativo
Lei de resfriamento de Newton
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Observe que
∣∣∣∣ −1 −31 5
∣∣∣∣ 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Observe que
∣∣∣∣ −1 −31 5
∣∣∣∣ 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida∫
1+5t
1+4t+5t2
dt
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida∫
1+5t
1+4t+5t2
dt
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida
∫
1+5t
1+4t+5t2
dt =
∫ 5(t+ 2
5
)
−1
5
(
t+
2
5
)2
+
1
5
dt =
∫
5u−1
5u2+
1
5
du
[u = t+2/5]
[θ = (5u)2+1] =
1
2
∫
2 · (5u) ·5du
(5u)2+1
−
∫
5du
(5u)2+1
[α = 5u] =
1
2
ln
∣∣[5(t+2/5)]2+1∣∣ − arctg[5(t+2/5)]+ c1
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida
∫
1+5t
1+4t+5t2
dt =
∫ 5(t+ 2
5
)
−1
5
(
t+
2
5
)2
+
1
5
dt =
∫
5u−1
5u2+
1
5
du
[u = t+2/5]
[θ = (5u)2+1] =
1
2
∫
2 · (5u) ·5du
(5u)2+1
−
∫
5du
(5u)2+1
[α = 5u] =
1
2
ln
∣∣(5t+2)2+1∣∣ − arctg(5t+2)+ c1
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida
∫
1+5t
1+4t+5t2
dt =
∫ 5(t+ 2
5
)
−1
5
(
t+
2
5
)2
+
1
5
dt =
∫
5u−1
5u2+
1
5
du
[u = t+2/5]
[θ = (5u)2+1] =
1
2
∫
2 · (5u) ·5du
(5u)2+1
−
∫
5du
(5u)2+1
[α = 5u] =
1
2
ln
∣∣5(5t2+4t+1)∣∣ − arctg(5t+2)+ c1
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Preliminarmente
Considere o problema dado pela integral inde�nida
∫
1+5t
1+4t+5t2
dt =
∫ 5(t+ 2
5
)
−1
5
(
t+
2
5
)2
+
1
5
dt =
∫
5u−1
5u2+
1
5
du
[u = t+2/5]
[θ = (5u)2+1] =
1
2
∫
2 · (5u) ·5du
(5u)2+1
−
∫
5du
(5u)2+1
[α = 5u] =
1
2
ln
∣∣5t2+4t+1∣∣ − arctg(5t+2)+ c2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Resposta
Considere a mudança de variáveis{
x = u+α
y = v +β
Então, 3y + x = u+3v +(α +3β ) e x+5y −8= u+5v +(α +5β −8);
o que signi�ca que, para obter uma edo homogênea, desejamos que{
α +3β = 0
α +5β = 8
⇔ α =−12 e β = 4
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Resposta
Por conseguinte, através da mudança de variáveis{
x = u−12
y = v +4
⇒ dx = du e dy = dv
a equação diferencial não-homogênea dada reduz-se à equação homogênea
(u+3v)du+(u+5v)dv = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Resposta
Ora,
(u+3v)du+(u+5v)dv = 0 ⇔ dv
du
=−u+3v
u+5v
=−
1+3
v
u
1+5
v
u
≡ F
(v
u
)
Assim, por meio da mudança de variável, t =
v
u
⇔ v = tu
obtém-se
t+u
dt
du
=−1+3t
1+5t
⇔ u dt
du
=−1+3t+ t+5t
2
1+5t
⇔ 1+5t
1+4t+5t2
dt+
1
u
du= 0
que é separável.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Resposta
Deste modo,∫
1+5t
1+4t+5t2
dt+
∫
1
u
du = const. ⇔
1
2
ln
∣∣5t2+4t+1∣∣−arctg(5t+2)+ ln |u|= const. ⇔
ln
∣∣5t2+4t+1∣∣−2arctg(5t+2)+2 ln |u|= k ⇔
ln
∣∣5t2+4t+1∣∣−2arctg(5t+2)+ ln |u|2 = k ⇔
ln
∣∣∣∣5(vu)2+4vu +1
∣∣∣∣−2arctg(5vu +2)+ ln |u|2 = k ⇔
ln
∣∣5v2+4uv +u2∣∣−2arctg(5v
u
+2) = k
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
Resposta
Como {
x = u−12
y = v +4
⇔
{
u = x+12
v = y −4
segue que
ln
∣∣5v2+4uv +u2∣∣−2arctg(5v
u
+2) = k ⇔
ln
∣∣5(y −4)2+4(y −4)(x+12)+(x+12)2∣∣−2arctg[5( y −4
x+12
)
+2
]
= k
que é a solução geral, na forma implícita, da equação diferencial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exemplo
Resolva a equação diferencial (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
Preliminarmente
Observe que
∣∣∣∣ 1 −3−2 6
∣∣∣∣= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exemplo
Resolva a equação diferencial (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
Preliminarmente
Observe que
∣∣∣∣ 1 −3−2 6
∣∣∣∣= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exemplo
Resolva a equação diferencial (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
Resposta
Note que
(x−3y−3)dx−(2x−6y+1)dy = 0⇔ (x−3y−3)dx−[2(x−3y)+1]dy = 0
Considere a mudança de variável u = x−3y ⇔ y = x−u
3
. Sendo u uma
função de x , tem-se dy =
dx−du
3
. Assim,
3(u−3)dx− (2u+1)(dx−du) = 0 ⇔ (u−10)dx+(2u+1)du = 0
⇔ dx+ 2u+1
u−10
du = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exemplo
Resolva a equação diferencial (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
Resposta
Note que
(x−3y−3)dx−(2x−6y+1)dy = 0⇔ (x−3y−3)dx−[2(x−3y)+1]dy = 0
Considere a mudança de variável u = x−3y ⇔ y = x−u
3
. Sendo u uma
função de x , tem-se dy =
dx−du
3
. Assim,
3(u−3)dx− (2u+1)(dx−du) = 0 ⇔ (u−10)dx+(2u+1)du = 0
⇔ dx+ 2u+1
u−10
du = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exemplo
Resolva a equação diferencial (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
Resposta
Por conseguinte,
dx+
2u+1
u−10
du = 0 ⇔ dx+(2+ 21
u−10
)du = 0
⇔ x+2u+21 ln |u−10|= const.
Como u = x−3y , conclui-se que
x+2(x−3y)+21 ln |x−3y −10|= const.⇔ x−2y +7 ln |x−3y −10|= k
que é a solução geral, na forma implícita, da equação diferencial dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
De�nição
Diz-se que uma equação diferencial ordinária
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é exata quando existe uma função U(x ,y) tal que
dU =M(x ,y)dx+N(x ,y)dy
Porque dU =
∂U
∂x
dx+
∂U
∂y
dy
decorre que
Ux =M(x ,y), Uy = N(x ,y) e U(x ,y) = k = const.
Portanto, se U(x ,y) é de classe C 2, então a equação é exatase, e só se,
My = Uxy
= Uyx
= Nx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
De�nição
Diz-se que uma equação diferencial ordinária
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é exata quando existe uma função U(x ,y) tal que
dU =M(x ,y)dx+N(x ,y)dy
Porque dU =
∂U
∂x
dx+
∂U
∂y
dy
decorre que
Ux =M(x ,y), Uy = N(x ,y) e U(x ,y) = k = const.
Portanto, se U(x ,y) é de classe C 2, então a equação é exata se, e só se,
My = Uxy
= Uyx
= Nx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Teorema (corolário do Teorema de Schwarz)
Se
My (x ,y) = Nx(x ,y) (1)
então a equação diferencial ordinária
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é exata.
Questão Prática
Identi�cada uma EDO como exata, como se obtém sua solução geral?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Teorema (corolário do Teorema de Schwarz)
Se
My (x ,y) = Nx(x ,y) (1)
então a equação diferencial ordinária
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é exata.
Questão Prática
Identi�cada uma EDO como exata, como se obtém sua solução geral?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Método de Resolução
De
Ux =M(x ,y), Uy = N(x ,y) e U(x ,y) = k = const. (2)
segue que
U(x ,y) =
∫
M(x ,y)dx+ξ (y)⇒N(x ,y) = ∂U
∂y
=
∂
∂y
(
∫
M(x ,y)dx)+ξ ′(y)
∫
N(x ,y)dy =
∫
∂
∂y
(∫
M(x ,y)dx
)
dy +ξ (y)
⇔ ξ (y) =
∫ [
N(x ,y)− ∂
∂y
(∫
M(x ,y)dx
)]
dy
Portanto,
∫
M(x ,y)dx+
∫ [
N(x ,y)− ∂
∂y
(
∫
M(x ,y)dx)
]
dy = k ,
o que fornece a solução geral da edo exata.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Método de Resolução
De
Ux =M(x ,y), Uy = N(x ,y) e U(x ,y) = k = const. (3)
segue que
U(x ,y) =
∫
N(x ,y)dy+η(x)⇒M(x ,y) = ∂U
∂x
=
∂
∂x
(
∫
N(x ,y)dy)+η ′(x)
∫
M(x ,y)dx =
∫
∂
∂x
(∫
N(x ,y)dy
)
dx+η(x)
⇔ η(x) =
∫ [
M(x ,y)− ∂
∂x
(∫
N(x ,y)dy
)]
dx
Portanto,
∫
N(x ,y)dy +
∫ [
M(x ,y)− ∂
∂x
(
∫
N(x ,y)dy)
]
dx = k ,
que também fornece a solução geral da edo exata.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Uma pergunta natural
E se My (x ,y) 6= Nx(x ,y)? Ou seja, M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 não é
exata?
Uma resposta possível
Neste caso, pode ser que exista uma função λ (x ,y) 6= 0, chamada fator
integrante, tal que
λ (x ,y)M(x ,y)dx+λ (x ,y)N(x ,y)dy = 0
seja exata, isto é,
∂
∂y
[λ (x ,y)M(x ,y)] =
∂
∂x
[λ (x ,y)N(x ,y)]⇔ λyM+λMy = λxN+λNx
⇔ λ (My −Nx) = λxN−λyM
⇔ λxN−λyM
λ
=My −Nx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Uma pergunta natural
E se My (x ,y) 6= Nx(x ,y)? Ou seja, M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 não é
exata?
Uma resposta possível
Neste caso, pode ser que exista uma função λ (x ,y) 6= 0, chamada fator
integrante, tal que
λ (x ,y)M(x ,y)dx+λ (x ,y)N(x ,y)dy = 0
seja exata, isto é,
∂
∂y
[λ (x ,y)M(x ,y)] =
∂
∂x
[λ (x ,y)N(x ,y)]⇔ λyM+λMy = λxN+λNx
⇔ λ (My −Nx) = λxN−λyM
⇔ λxN−λyM
λ
=My −Nx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Conclusão
Um fator integrante pode ser encontrado, resolvendo-se a equação
diferencial parcial
λxN−λyM
λ
=My −Nx (4)
Um caso particular
Se λy = 0 ⇔ λ depende somente de x . Por conseguinte,
λxN
λ
=My −Nx ⇔
d
dx
(ln |λ (x)|) = My −Nx
N
≡ R(x ,y)
e, se ocorrer
My −Nx
N
= R(x), então
λ (x) = e
∫
x
R(t)dt
é um fator integrante para a equação M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Conclusão
Um fator integrante pode ser encontrado, resolvendo-se a equação
diferencial parcial
λxN−λyM
λ
=My −Nx (4)
Um caso particular
Se λy = 0 ⇔ λ depende somente de x . Por conseguinte,
λxN
λ
=My −Nx ⇔
d
dx
(ln |λ (x)|) = My −Nx
N
≡ R(x ,y)
e, se ocorrer
My −Nx
N
= R(x), então
λ (x) = e
∫
x
R(t)dt
é um fator integrante para a equação M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Conclusão
Um fator integrante pode ser encontrado, resolvendo-se a equação
diferencial parcial
λxN−λyM
λ
=My −Nx (5)
Outro caso particular
Se λx = 0 ⇔ λ depende somente de y . Por conseguinte,
− λyM
λ
=My −Nx ⇔
d
dy
(ln |λ (y)|) = Nx −My
M
≡ R(x ,y)
e, se ocorrer R(y) =
Nx −My
M
, então
λ (y) = e
∫
y
R(t)dt
é um fator integrante para a equação M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Conclusão
Um fator integrante pode ser encontrado, resolvendo-se a equação
diferencial parcial
λxN−λyM
λ
=My −Nx (6)
Mais um caso particular
Se λ (xy), pela Regra da Cadeia, pondo u = xy , λx =
dλ
du
· y e λy =
dλ
du
· x .
Daí,
λxN−λyM
λ
=My −Nx ⇔
1
λ
dλ
du
=
My −Nx
yN− xM
≡ R(x ,y)
Se ocorrer R(xy) =
My −Nx
yN− xM
, então λ (xy) = e
∫
xy
R(u)du é um fator
integrante para a equação M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Não é única a função fator integrante λ (x ,y)
Considere a equação diferencial(3xy + y2)dx+(x2+ xy)dy = 0
Um fator integrante
A função λ1(x) = x é um fator integrante para a equação, pois
∂
∂y
[
3x2y + xy2
]
= 3x2+2xy =
∂
∂x
[
x3+ x2y
]
Outro fator integrante
A função λ2(x ,y) =
1
xy(2x+ y)
é um fator integrante para a equação,
porque
∂
∂y
[
3x+ y
x(2x+ y)
]
=
−1
(2x+ y)2
=
∂
∂x
[
x+ y
y(2x+ y)
]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Não é única a função fator integrante λ (x ,y)
Considere a equação diferencial(3xy + y2)dx+(x2+ xy)dy = 0
Um fator integrante
A função λ1(x) = x é um fator integrante para a equação, pois
∂
∂y
[
3x2y + xy2
]
= 3x2+2xy =
∂
∂x
[
x3+ x2y
]
Outro fator integrante
A função λ2(x ,y) =
1
xy(2x+ y)
é um fator integrante para a equação,
porque
∂
∂y
[
3x+ y
x(2x+ y)
]
=
−1
(2x+ y)2
=
∂
∂x
[
x+ y
y(2x+ y)
]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
Não é única a função fator integrante λ (x ,y)
Considere a equação diferencial(3xy + y2)dx+(x2+ xy)dy = 0
Um fator integrante
A função λ1(x) = x é um fator integrante para a equação, pois
∂
∂y
[
3x2y + xy2
]
= 3x2+2xy =
∂
∂x
[
x3+ x2y
]
Outro fator integrante
A função λ2(x ,y) =
1
xy(2x+ y)
é um fator integrante para a equação,
porque
∂
∂y
[
3x+ y
x(2x+ y)
]
=
−1
(2x+ y)2
=
∂
∂x
[
x+ y
y(2x+ y)
]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata e redutível à forma exata
Exercícios
Resolva a equação diferencial dada.
1 ey dx+(xey −2y)dy = 0.
2 y2 dx+(1+ xy)dy = 0
3 (x2ex + y)dx− x dy = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
De�nição
É uma equação da forma y ′+P(x)y = Q(x)+R(x)y2.
Observação
Liouville mostrou que a resolução da equação de Riccati por meio de
quadraturas só é possível quando se conhece uma solução y0(x). Caso
contrário, ela só se integra através de uma função transcendente.
Supondo conhecida uma solução y0(x), tem-se
y ′0+P(x)y0 = Q(x)+R(x)y
2
0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
De�nição
É uma equação da forma y ′+P(x)y = Q(x)+R(x)y2.
Observação
Liouville mostrou que a resolução da equação de Riccati por meio de
quadraturas só é possível quando se conhece uma solução y0(x). Caso
contrário, ela só se integra através de uma função transcendente.Supondo conhecida uma solução y0(x), tem-se
y ′0+P(x)y0 = Q(x)+R(x)y
2
0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
De�nição
É uma equação da forma y ′+P(x)y = Q(x)+R(x)y2.
Observação
Liouville mostrou que a resolução da equação de Riccati por meio de
quadraturas só é possível quando se conhece uma solução y0(x). Caso
contrário, ela só se integra através de uma função transcendente.
Supondo conhecida uma solução y0(x), tem-se
y ′0+P(x)y0 = Q(x)+R(x)y
2
0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
De�nição
É uma equação da forma y ′+P(x)y = Q(x)+R(x)y2.
Agora, tomando
y(x) = y0(x)+ z(x) (7)
decorre que y ′(x) = y ′0+ z
′ e
y ′+P(x)y = Q(x)+R(x)y2 ⇔ (y ′0+ z ′)+P(y0+ z) = Q+R(y0+ z)2
⇔ z ′+Pz
+
{
y ′0+Py0−Q−Ry20
}
= 2Ry0z+Rz2
⇔ z ′+[P(x)−2R(x)y0(x)]z = R(x)z2
que é uma equação de Bernoulli em z , com n = 2. Obtida a solução geral
z(x) dessa equação de Bernoulli, a substituição em (7) conduz à solução
geral da equação de Riccati dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária:
1 y ′ = y2−2x−2, sabendo que
y0(x) = x
−1
é uma solução (particular).
2 y ′ = cotgx · y2 · cossecx− y + senx , sabendo que
y0(x) = senx
é uma solução (singular).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Exercícios
Resolva a equação diferencial ey dx+(xey −2y)dy = 0.
Resposta
Pondo M(x ,y) = ey e N(x ,y) = xey −2y , tem-se My = ey = Nx . Sendo
Ux =M e Uy = N, decorre que
U(x ,y) = xey +η(y) ⇒ xey −2y = N = xey +η ′(y)
⇒ η ′(y) =−2y
⇒ η(y) =−y2+ const.
E como U(x ,y) = const., a solução geral da equação é xey − y2 = k .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Exercícios
Resolva a equação diferencial ey dx+(xey −2y)dy = 0.
Resposta
Pondo M(x ,y) = ey e N(x ,y) = xey −2y , tem-se My = ey = Nx . Sendo
Ux =M e Uy = N, decorre que
U(x ,y) = xey +η(y) ⇒ xey −2y = N = xey +η ′(y)
⇒ η ′(y) =−2y
⇒ η(y) =−y2+ const.
E como U(x ,y) = const., a solução geral da equação é xey − y2 = k .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, exata
Exercícios
Resolva a equação diferencial ey dx+(xey −2y)dy = 0.
Resposta - outro olhar, porque a beleza está nos olhos de quem vê
Observe que
ey dx+(xey −2y)dy = 0 ⇒ (ey dx+ xey dy)− (0 ·dx+2y dy) = 0
⇒ d(xey )−d(y2) = 0
⇒ d(xey − y2) = 0
Portanto, a solução geral da equação é xey − y2 = k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
(
λxN−λyM
λ
=My −Nx
)
Exercícios
Resolva a equação diferencial y2 dx+(1+ xy)dy = 0.
Resposta - outro olhar, porque a beleza está nos olhos de quem vê
Pondo M(x ,y) = y2 e N(x ,y) = 1+ xy , tem-se My = 2y , Nx = y . Daí,
Nx −My
M
=−y−1
e λ (y) = y−1 é um fator integrante. Assim,
y2 dx+(1+ xy)dy = 0 ⇒ y dx+(y−1+ x)dy = 0
⇒ (y dx+ x dy)+(0 ·dx+ y−1 dy) = 0
⇒ d(xy + ln |y |) = 0
E a solução geral da equação é xy + ln |y |= k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
(
λxN−λyM
λ
=My −Nx
)
Exercícios
Resolva a equação diferencial y2 dx+(1+ xy)dy = 0.
Resposta - outro olhar, porque a beleza está nos olhos de quem vê
Pondo M(x ,y) = y2 e N(x ,y) = 1+ xy , tem-se My = 2y , Nx = y . Daí,
Nx −My
M
=−y−1
e λ (y) = y−1 é um fator integrante. Assim,
y2 dx+(1+ xy)dy = 0 ⇒ y dx+(y−1+ x)dy = 0
⇒ (y dx+ x dy)+(0 ·dx+ y−1 dy) = 0
⇒ d(xy + ln |y |) = 0
E a solução geral da equação é xy + ln |y |= k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
(
λxN−λyM
λ
=My −Nx
)
Exercícios
Resolva a equação diferencial (x2ex + y)dx− x dy = 0.
Resposta - outro olhar, porque a beleza está nos olhos de quem vê
Pondo M(x ,y) = x2ex + y e N(x ,y) =−x , tem-se My = 1, Nx =−1. Daí,
My −Nx
N
=−2x−1
e λ (x) = x−2 é um fator integrante. Assim,
(x2ex + y)dx− x dy = 0 ⇒ (ex + yx−2)dx− x−1 dy = 0
⇒ (ex dx+0 ·dy)+(yx−2 dx− x−1 dy) = 0
⇒ d(ex − yx−1) = 0
E a solução geral da equação é ex − yx−1 = k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, redutível à forma exata
(
λxN−λyM
λ
=My −Nx
)
Exercícios
Resolva a equação diferencial (x2ex + y)dx− x dy = 0.
Resposta - outro olhar, porque a beleza está nos olhos de quem vê
Pondo M(x ,y) = x2ex + y e N(x ,y) =−x , tem-se My = 1, Nx =−1. Daí,
My −Nx
N
=−2x−1
e λ (x) = x−2 é um fator integrante. Assim,
(x2ex + y)dx− x dy = 0 ⇒ (ex + yx−2)dx− x−1 dy = 0
⇒ (ex dx+0 ·dy)+(yx−2 dx− x−1 dy) = 0
⇒ d(ex − yx−1) = 0
E a solução geral da equação é ex − yx−1 = k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária y ′ = y2−2x−2,
sabendo que y0(x) = x−1 é uma solução (particular).
Resposta
Sendo y = x−1+ z(x), tem-se
y ′ = y2−2x−2 ⇔ −x−2+ z ′ = (x−1+ z)2−2x−2
⇔ z ′−2x−1z = z2
[v = z−1] ⇔ z−2z ′−2x−1z−1 = 1
⇔ v ′+2x−1v =−1
[µ(x) = x2] ⇔ (x2v)′ =−x2
⇔ v = 3k− x
3
3x2
E a solução geral da equação é y(x) = x−1− 3x
2
A+ x3
, A=−3k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária y ′ = y2−2x−2,
sabendo que y0(x) = x−1 é uma solução (particular).
Resposta
Sendo y = x−1+ z(x), tem-se
y ′ = y2−2x−2 ⇔ −x−2+ z ′ = (x−1+ z)2−2x−2
⇔ z ′−2x−1z = z2
[v = z−1] ⇔ z−2z ′−2x−1z−1 = 1
⇔ v ′+2x−1v =−1
[µ(x) = x2] ⇔ (x2v)′ =−x2
⇔ v = 3k− x
3
3x2
E a solução geral da equação é y(x) = x−1− 3x
2
A+ x3
, A=−3k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária
y ′ = cotgx · y2 · cossecx− y + senx
sabendo que y0(x) = senx é uma solução (singular).
Resposta
Sendo y = senx+ z(x), tem-se
y ′ = cotgx · y2 · cossecx ⇔ cosx+ z ′ = cosx
senx
· (senx+ z)2 · 1
senx
−y + senx −(senx+ z)+ senx
⇔ z ′+
(
1−2cosx
senx
)
· z = cosx
sen2 x
· z2
⇔ z−2z ′+
(
1−2cosx
senx
)
· z−1 = cosx
sen2 x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária
y ′ = cotgx · y2 · cossecx− y + senx
sabendo que y0(x) = senx é uma solução (singular).
Resposta
Sendo y = senx+ z(x), tem-se
y ′ = cotgx · y2 · cossecx ⇔ cosx+ z ′ = cosx
senx
· (senx+ z)2 · 1
senx
−y + senx −(senx+ z)+ senx
⇔ z ′+
(
1−2cosx
senx
)
· z = cosx
sen2 x
· z2
⇔ z−2z ′+
(
1−2cosx
senx
)
· z−1 = cosx
sen2 x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária
y ′ = cotgx · y2 · cossecx− y + senx
sabendo que y0(x) = senx é uma solução (singular).
Resposta
Sendo y = senx+ z(x), fazendo a mudança de variável v = z−1, segue a
equação linear
z−2z ′+
(
1−2cosx
senx
)
· z−1 = cosx
sen2 x
⇔ v ′+
(
2
cosx
senx
−1
)
· v =− cosx
sen2 x
Usando como fator integrante µ(x) = sen2 x · e−x , decorre que
d
dx
(
sen2 x · e−xv
)
=−cosx · e−x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, não-linear, de Riccati
Exercícios
Determine a solução geral da equação diferencial ordinária
y ′ = cotgx · y2 · cossecx− y + senx
sabendo que y0(x) = senx é uma solução (singular).
Resposta
Sendo y = senx+ z(x), fazendo a mudançade variável v = z−1 e usando
como fator integrante µ(x) = sen2 x · e−x , obtém-se
sen2 x · e−xv =−
∫
cosx · e−x dx = (cosx− senx)e
−x
2
+k
e a solução geral da equação é y(x) =
2sen2 x
Aex + cosx− senx
+ senx , onde
A= 2k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Observação
As várias técnicas de solução de uma EDO devem ser acompanhadas de
argúcia, percepção da situação problema. Não é su�ciente memorizar o
procedimento padrão, embora isso também seja bastante útil.
Exemplo
Resolva a equação diferencial
dy
dx
− 4y
x
= 2x5ey/x
4
.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Observação
As várias técnicas de solução de uma EDO devem ser acompanhadas de
argúcia, percepção da situação problema. Não é su�ciente memorizar o
procedimento padrão, embora isso também seja bastante útil.
Exemplo
Resolva a equação diferencial
dy
dx
− 4y
x
= 2x5ey/x
4
.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Observação
As várias técnicas de solução de uma EDO devem ser acompanhadas de
argúcia, percepção da situação problema. Não é su�ciente memorizar o
procedimento padrão, embora isso também seja bastante útil.
Exemplo
Resolva a equação diferencial
dy
dx
− 4y
x
= 2x5ey/x
4
.
Resposta
Note que, sendo u(x) = x−4y , tem-se
u′ = x−4y ′−4x−5y = x−4(y ′−4x−1y).
Daí,
dy
dx
− 4y
x
= 2x5ey/x
4 ⇔ u′ = 2xeu⇔−e−u du+2x dx = 0
e, portanto, e−y/x
4
= k− x2, k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Observação
As várias técnicas de solução de uma EDO devem ser acompanhadas de
argúcia, percepção da situação problema. Não é su�ciente memorizar o
procedimento padrão, embora isso também seja bastante útil.
Exemplo
Resolva a equação diferencial 2x cossec(2y)
dy
dx
= 2x− ln(tgy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Exemplo
Resolva a equação diferencial 2x cossec(2y)
dy
dx
= 2x− ln(tgy).
Resposta
Note que, sendo u(x) = ln(tgy), tem-se
u′ =
1
tgy
· sec2 y · y ′ = 2y
′
2seny cosy
= 2cossec(2y)y ′
e
2x cossec(2y)
dy
dx
= 2x− ln(tgy)⇔ xu′+u = 2x ⇔ d
dx
(xu) = 2x .
Portanto,
ln(tgy) = x+kx−1
onde k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Observação
As várias técnicas de solução de uma EDO devem ser acompanhadas de
argúcia, percepção da situação problema. Não é su�ciente memorizar o
procedimento padrão, embora isso também seja bastante útil.
Exemplo
Resolva a equação diferencial y(1+2xy)dx+ x(1−2xy)dy = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Exemplo
Resolva a equação diferencial y(1+2xy)dx+ x(1−2xy)dy = 0.
Resposta
Note que
d
dx
(
x2y2
)
= 2xy2+2x2yy ′ e
y(1+2xy)dx+ x(1−2xy)dy = 0 ⇔ (y +2xy2)dx+(x−2x2y)dy = 0
⇔ y +2xy2+(x−2x2y)y ′ = 0
⇔ y + xy ′+(2xy2−2x2yy ′) = 0
Isso, por sua vez, pode ser causa de frustração ou de inspiração!
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, substituições diversas
Exemplo
Resolva a equação diferencial y(1+2xy)dx+ x(1−2xy)dy = 0.
Resposta
Note que
d
dx
(
x−1y−1
)
=−x−2y−1− x−1y−2y ′ e
y(1+2xy)dx+ x(1−2xy)dy = 0 ⇔
(y +2xy2)dx+(x−2x2y)dy = 0 ⇔
y +2xy2+(x−2x2y)y ′ = 0 ⇔
[÷x2y2] y + xy ′+(2xy2−2x2yy ′) = 0 ⇔
x−2y−1+ x−1y−2y ′+(2x−1−2y−1y ′) = 0 ⇔
(−x−1y−1+2 ln |x |−2 ln |y |)′ = 0
Portanto, −x−1y−1+2 ln |x |−2 ln |y |= const.⇔ |x |= k |y |e1/(2xy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
De�nição
As curvas de uma família de
curvas que interceptam
perpendicularmente em cada
ponto uma (outra) família de
curvas dada são denominadas
trajetórias ortogonais.
Pergunta
Como se determina uma
expressão para as trajetórias
ortogonais relativas a uma
dada família uniparamétrica?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
De�nição
As curvas de uma família de
curvas que interceptam
perpendicularmente em cada
ponto uma (outra) família de
curvas dada são denominadas
trajetórias ortogonais.
Pergunta
Como se determina uma
expressão para as trajetórias
ortogonais relativas a uma
dada família uniparamétrica?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
De�nição
As curvas de uma família de
curvas que interceptam
perpendicularmente em cada
ponto uma (outra) família de
curvas dada são denominadas
trajetórias ortogonais.
Pergunta
Como se determina uma
expressão para as trajetórias
ortogonais relativas a uma
dada família uniparamétrica?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Uma resposta possível
Uma dada família
uniparamétrica de curvas é
representada por uma
expressão
f (x ,y ,α) = 0
na qual α ∈ R é uma
constante. Essa expressão é a
solução geral de uma equação
diferencial da forma
F
(
x ,y ,
dy
dx
)
= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Geometricamente,
m1 =
dy
dx
representa a declividade de
cada reta tangente às curvas
integrais no ponto (x ,y(x)). A
condição de perpendicularidade
informa que a declividade de
cada reta tangente às
trajetórias ortogonais é
m2 =−
1
dy
dx
=−dx
dy
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Como
F
(
x ,y ,
dy
dx
)
= 0
é a equação diferencial das
curvas integrais, se denotarmos
(também) por y(x) a função
que representa as trajetórias
ortogonais, então tal função
deve satisfazer a equação
F
(
x ,y ,−dx
dy
)
= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2 = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2 = 0.
Resposta
Note que f (x ,y ,α)≡ y −αx2 = 0
é a família uniparamétrica de
curvas. Derivando em relação a x ,
y ′ = 2αx ⇔ y ′ = 2(yx−2)x
⇔ y ′−2yx−1 = 0
Assim,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2 = 0.
Resposta
F (x ,y ,y ′)≡ y ′−2yx−1 = 0 é a
edo cuja solução é a família
uniparamétrica. Para as trajetórias
ortogonais, devido à condição de
perpendicularidade, tem-se
F
(
x ,y ,−dx
dy
)
= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2 = 0.
Resposta
F (x ,y ,y ′)≡ y ′−2yx−1 = 0 é a
edo cuja solução é a família
uniparamétrica. Para as trajetórias
ortogonais, devido à condição de
perpendicularidade, tem-se
−dx
dy
−2yx−1 = 0 ⇔
x dx+2y dy = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2 = 0.
Resposta
Portanto, as trajetórias ortogonais
são dadas por
x dx+2y dy = 0 ⇔
x2+2y2 = k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: trajetórias ortogonais
Exemplo
Determine as trajetórias
ortogonais à família de curvas
y = αx2⇔ y −αx2= 0.
Resposta
Portanto, as trajetórias ortogonais
são dadas por
x dx+2y dy = 0 ⇔
x2+2y2 = k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Conceitos
Materiais radioativos desintegram-se, ou seja, perdem massa, numa taxa
proporcional à sua quantidade. A meia-vida (de um material radioativo) é o
tempo necessário para que a massa (do material) reduza-se à metade de
seu valor original.
Seja Q(t) a quantidade de material radioativo no instante t . De acordo
com o enunciado,
Q ′(t) = kQ(t)
onde k < 0 é uma constante de proporcionalidade, chamada constante de
desintegração. Note que [k] = [t]−1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Conceitos
Materiais radioativos desintegram-se, ou seja, perdem massa, numa taxa
proporcional à sua quantidade. A meia-vida (de um material radioativo) é o
tempo necessário para que a massa (do material) reduza-se à metade de
seu valor original.
Seja Q(t) a quantidade de material radioativo no instante t . De acordo
com o enunciado,
Q ′(t) = kQ(t)
onde k < 0 é uma constante de proporcionalidade, chamada constante de
desintegração. Note que [k] = [t]−1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Exemplo
O isotópo radioativo de chumbo, Pb209, decresce a uma taxa proporcional
à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas.
Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará
para 90% de chumbo desaparecer?
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Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Exemplo
O isotópo radioativo de chumbo, Pb209, decresce a uma taxa proporcional
à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas.
Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará
para 90% de chumbo desaparecer?
Resposta
Seja Q(t) a quantidade, em gramas, de Pa209 no instante t, em horas. Ora,
Q ′(t) = kQ(t)⇔ dQ
Q
−k dt = 0⇔ ln |Q(t)|−kt = const.⇔ Q(t) = Aekt
onde A> 0 é uma constante, cuja unidade é a mesma de Q.
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Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Exemplo
O isotópo radioativo de chumbo, Pb209, decresce a uma taxa proporcional
à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas.
Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará
para 90% de chumbo desaparecer?
Resposta
Sendo Q(t) = Aekt , como Q(3,3) = A/2, tem-se
Ae33k/10 =
A
2
⇔ ek = 2−10/33
Assim,
Q(t) = A ·2−10t/33
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Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Exemplo
O isotópo radioativo de chumbo, Pb209, decresce a uma taxa proporcional
à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas.
Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará
para 90% de chumbo desaparecer?
Resposta
Sendo Q(t) = A ·2−10t/33, porque 1= Q(0) = A, segue que
Q(t) = 2−10t/33
Portanto, o tempo necessário para que reste 10% de chumbo é
10
100
·1= 2−10t/33⇔ t = 33
10
· ln10
ln2
= 10,923≈ 11h
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Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: decaimento radioativo
Exercício
Ache a equação da curva que passa pelo ponto P(5,6), sabendo que a
declividade de sua num ponto qualquer é dada por
dy
dx
=
2x
3y
.
Exercício
O isotópo radioativo de chumbo, Pb209, decresce a uma taxa proporcional
à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é de 3,3 horas.
Se 5 gramas de chumbo estão presentes inicialmente, mostre que o tempo
necessário para 90% de chumbo desaparecer é de 3h18min.
Exercício
A meia-vida do isotópo radioativo de rádio, Ra226, é de 1620 anos. Ache o
tempo necessário para que um corpo feito de Ra226 reduza-se a 3/4 de seu
tamanho original.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Conceito
A temperatura de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença
entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio (ambiente).
Algebricamente, sendo u(t) a temperatura de um objeto no instante t e u0
a temperatura (constante) do meio (ambiente), tem-se que
du
dt
= k (u−u0)⇔ u′−ku =−ku0
onde k é uma constante de proporcionalidade. Note que, sendo u1 a
temperatura inicial do objeto,
k < 0, se u1 < u0
k < 0, se u1 > u0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Conceito
A temperatura de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença
entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio (ambiente).
Algebricamente, sendo u(t) a temperatura de um objeto no instante t e u0
a temperatura (constante) do meio (ambiente), tem-se que
du
dt
= k (u−u0)⇔ u′−ku =−ku0
onde k é uma constante de proporcionalidade. Note que, sendo u1 a
temperatura inicial do objeto,
k < 0, se u1 < u0
k < 0, se u1 > u0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Conceito
A temperatura de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença
entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio (ambiente).
Deste modo, obtém-se o Problema de Cauchy
du
dt
−ku =−ku0, u(0) = u1
cuja solução é
u(t) = u0+(u1−u0)ekt
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Exemplo
Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar
é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura
do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos
de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá
para 30oC?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Exemplo
Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar
é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura
do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos
de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá
para 30oC?
Resposta
Sendo u(t) a temperatura, em Celsius, do corpo no instante t, em minutos,
e u0 = 20 a temperatura do ar, tem-se que
du
dt
= k (u−20)⇔ u′−ku =−20k ⇔ u(t) = 20+(u1−20)ekt , k = const.
Como u(0) = 100= u1,
u(t) = 20+80ekt
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: lei de resfriamento de Newton
Exemplo
Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar
é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura
do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos
de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá
para 30oC?
Resposta
Sendo u(t) = 20+80ekt , porque u(20) = 60, decorre que
60= u(20) = 20+80e20k ⇔ ek = 2−1/20 e u(t) = 20+80 ·2−t/20
Portanto, o tempo, em minutos, para que a temperatura alcance 30oC é
30= 20+80 ·2−t/20⇔ t = 60
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 67
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido no
qual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 libra
de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6
gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma
taxa de 4 gal/min.
(a) Determine a taxa da quantidade de sal que chega, por minuto, no
tanque.
(b) Sendo Q(t) a quantidade de sal, em libras, no instante t , prove que a
concentração de sal, em libras por galão, no instante t é
Q(t)
100+2t
(c) Determinea taxa da quantidade de sal que sai, por minuto, do tanque.
(d) Ache Q(t) em função de t.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 67
Leitura Recomendada I
Abunahman, S. A.
Equações diferenciais.
Rio de Janeiro: EDC, 1989.
Boyce, W. E. e Diprima, R. C.
Equações diferenciais elementare e problemas de valores de contorno.
Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Edwards, C. H. e Penney, D. E.
Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.
Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.
Zill, D. G.
Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.
São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.
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	Espécies de Equações Diferenciais Ordinárias
	Técnicas de resolução apropriadas
	Exemplos de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias
	Trajetórias ortogonais
	Decaimento radioativo
	Lei de resfriamento de Newton
	Apêndice