Modelagem- Massa-mola-amortecedor

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Modelagem e análise de sistema baseado em
massa-mola-amortecedor
Josef F. Poth ∗ Vitor M. L. de Carvalho ∗∗
∗ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, MG
(e-mail: josefpoth@gmail.com).
∗∗ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, MG
(e-mail: vitimzz@hotmail.com)
Resumo: O massa-mola-amortecedor é um sistema extremamente utilizado na indústria. Ele
pode servir de modelo para sistemas muito mais complexos, exemplo disso é a modelagem
de um carro de fórmula 1 aproximado por um massa-mola-amortecedor afim de se obter dados
relacionado a sua dinâmica vertical. Até mesmo aviões podem ser aproximados por esse sistema,
dependendo do estudo a ser feito. Nesse documento será abordado a modelagem tanto em caixa
branca quanto em caixa preta de um sistema baseado em massa-mola-amortecedor, sendo que
o mesmo possui duas massas, duas molas e dois amortecimentos.
Palavras-chaves: modelagem; massa-mola-amortecedor; Euler-Lagrange.
1. INTRODUÇÃO
O sistema massa-mola-amortecedor tem inúmeras aplica-
ções, e isso se deve ao fato de que ele proporciona aproxi-
mações relativamente boas de sistema mais complexos. Sis-
temas como carros, motos e aviões, podem ser aproximados
aos moldes desse sistema, dependendo do objetivo, ao
serem particionados em sistemas massa-mola-amortecedor
para uma avaliação mais detalhista sobre o processo de
interesse.
O projeto proposto trata-se de um sistema massa-mola-
amortecedor de dois graus de liberdade, Figura 1, em que
uma correia dentada está ligada à primeira massa, e essa
se liga à segunda massa através de uma mola.
Figura 1. Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus
de liberdade.
Esse sistema poderia facilmente representar um sistema
simplificado de uma suspensão automotiva, como demons-
tra a Figura 2, que apresenta a suspensão de uma das rodas
de um carro.
2. OBJETIVOS
As propostas da atividade são apresentar as equações que
regem o modelo de um sistema baseado em massa-mola-
amortecedor por meio de modelagem por caixa branca, e
com isso definir os parâmetros f́ısicos além da definição
Figura 2. Exemplo de sistema massa-mola-amortecedor.
(Martins, 2016, p.17)
das variáveis a serem manipuladas e controladas. Depois
será necessário apresentar o sinal de entrada, para manter
o sistema em um ponto de operação desejado e também
expôr a resposta temporal do projeto.
Será preciso também apresentar o modelo em caixa preta
do sistema, aplicando os métodos de Resposta ao De-
grau de Três Parâmetros, para produzir dois modelos de
segunda ordem. E por último será necessário validar os
modelos obtidos e aplicar o ı́ndice de desempenho pelo
método da raiz do erro quadrático médio (RSME).
3. PRELIMINARES
Nessa seção estão descritos os ferramentais utilizados para
cumprir os objetivos propostos.
3.1 Método de Euler-Lagrange
Embora essa abordagem seja direta se o sistema for simples
o suficiente, se o número de graus de liberdade for alto
ou se algumas das coordenadas generalizadas não forem
facilmente vinculadas aos deslocamentos e rotações de
massas mi, é conveniente recorrer aos métodos anaĺıticos
mecânicas como o prinćıpio das obras virtuais, o prinćıpio
de Hamilton ou as equações de Lagrange para escrever as
equações do movimento (Genta, 2009, p. 33).
O método é melhor apresentado em (Balachandran and
Magrab, 2009, p. 93-116) e em (Beards, 1995, p. 121-125),
mas de forma resumida, esse método consiste em achar o
lagrangiano, L, que é a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial do sistema, além de achar a equação
relacionada à energia dissipativa. Em seguida são aplicadas
algumas derivadas de forma a chegar ao modelo final. A
fórmula usada para achar o modelo é a mesma descrita por
(Genta, 2009, p. 33), que é:
d
dt
(
∂L
∂ẋi
)
−
(
∂L
∂xi
)
+
(
∂D
∂ẋi
)
= Qi , (1)
tal que L é dado por:
L = K − P , (2)
sendo K, a soma das energias cinéticas, P a soma das
energias potenciais e D é a soma das energias dissipativas
e Qi é o somatório de forças externas atuantes no sistema.
3.2 Caracterização de Sistemas de 2ª Ordem
De acordo com Ogata (2010), um modelo de segunda or-
dem subamortecido apresenta resposta ao degrau descrita
por:
G(s) =
Ke−Ls
τ2s2 + 2τξs+ 1
, (3)
em que K é o ganho estático do sistema, L é o atraso ou
tempo morto, τ é a constante de tempo do sistema e ξ é
o coeficiente de amortecimento. Assumindo que o sistema
não tem atraso, a Equação 3 pode ser reescrita como:
G(s) =
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
, (4)
tal que ωn é a frequência natural do sistema. Ainda sobre
sistemas de segunda ordem, há parâmetros que são rele-
vantes para cálculos futuros, como ωd que é a frequência
natural amortecida, σ que é o coeficiente de atenuação
da resposta e β que é o ângulo no plano complexo, esses
parâmetros são computados respectivamente por:
ωd =
2π
T
, (5a)
σ = ξωn , (5b)
β = arccos ξ . (5c)
Tendo ωd é posśıvel encontrar a frequência natural do
sistema ωn, dada por:
ωn =
ωd√
1− ξ2
. (6)
Na prática, antes de atingir o regime permanente, a res-
posta transitória de um sistema de controle apresenta, fre-
quentemente, oscilações amortecidas. Na especificação das
caracteŕısticas das respostas transitórias de um sistema
de controle a uma entrada em degrau unitário, é comum
especificar o tempo de atraso td, tempo de subida tr, tempo
de pico tp, máximo sobressinal Mp e tempo de acomodação
ts, Ogata (2010).
Através do gráfico , pode-se obter os parâmetros do re-
gime transitório do sistema. O primeiro a ser obtido é o
Figura 3. Resposta transitória caracteŕıstica para um sis-
tema subamortecido.
sobressinal máximo (overshoot), que foi chamado de Mp.
Ele representa o valor máximo de pico da curva, é dado
por:
Mp =
y(tp)− y(∞)
y(∞)
. (7)
Em seguida é posśıvel obter ξ, dado por:
ξ =
√
ln2(Mp)
ln2(Mp) + π2
. (8)
Depois de achar o valor de ξ, pode-se encontrar o valor de
T, que é o peŕıodo de oscilação. Para achá-lo, de forma
visual, são obtidos os valores do primeiro tempo de pico,
tp do overshoot e do segundo tempo de pico, tp2. Portanto
T, é dado por:
T = tp2 − tp . (9)
O valor da constante de tempo τ , sabendo que σ é dado
por (5b), é representado por:
τ =
ξ
σ
. (10)
Em seguida, sabendo que β é dado por (5c), é posśıvel
obter o valor do rise time ou tempo de subida, tr, dado
por:
tr =
πβ
ωd
. (11)
E por último devem ser obtidos valores para o instante
de pico (peak time), representado por tp, e o tempo de
acomodação (settling time), representado por ts2% para
o tempo de acomodação com critério de 2%, e ts5% para
o tempo de acomodação com critério de 5%. Destaca-se
que os tempos de acomodação citados, servem apenas para
0 < ξ < 0.9. Esses parâmetros são calculados através de:
tp =
π
ωd
, (12a)
ts2% =
4
ξωn
, (12b)
ts5% =
3
ξωn
. (12c)
3.3 Root Mean Square Error (RMSE)
De acordo com Bruce et al. (2020), o método Root Mean
Square Error (RMSE) consiste em uma expressão anaĺı-
tica frequentemente usada para medir as diferenças entre
valores previstos por um modelo e os valores observados,
essas diferenças indicam a precisão geral do sistema e são
dadas por:
RMSE =
√∑T
t=1(yi − ŷi)2
T
, (13)
tal que ŷi é o valor previsto, yi é o valor observado e T é o
intervalo analisado. Nesse método entende-se que quanto
menor o valor obtido maior a precisão do sistema.
4. MODELAGEM EM CAIXA BRANCA
A modelagem em caixa branca consiste em descrever o sis-
tema da melhor forma por meio de equações matemáticas
e atribuições de conceitos f́ısicos.
4.1 Modelagem
Para iniciar a modelagem do sistema, será considerado
que as massas m1 e m2 são homogêneas, além de que
as molas e os amortecimentos são lineares. Além de que
o modelo simplificado representado na Figura 4, onde o
blocom1 é a massa motora, e o segundo blocom2 é a massa
movida, será o considerado. O fator k1 é a rigidez da correia
dentada que faz m1se movimentar, e k2 é a rigidez da mola
que conecta ambos os blocos. As constantes c1 e c2 são os
coeficientes de atrito viscoso dos blocos com a superf́ıcie
de contato. As variáveis x1, x2 e f1, são respectivamente
o deslocamento de m1, de m2 e a força aplicada na massa
motora pelo atuador.
Figura 4. Visualização do sistema proposto, de forma
simplificada.
Para então seguir com a modelagem foi feito o diagrama de
corpos livres, afim de simplificar a visualização das forças
atuantes no sistema, gerando as Figuras 5 e 6.
Figura 5. Diagrama de corpo livre para m1.
Figura 6. Diagrama de corpo livre para m2.
Tal que para o caso estudado, x0 = ẋ0 = 0, uma vez que a
referência será a origem. Portanto, utilizando as equações
de Euler-Lagrange, tem-se:
K =
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
m2ẋ
2
2 , (14)
P =
1
2
k1x
2
1 +
1
2
k2(x2 − x1)2 , (15)
D =
1
2
c1ẋ1
2 +
1
2
c2(ẋ2 − ẋ1)2 . (16)
E aplicando (14) e (15) em (2), é obtido:
L =
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
m2ẋ
2
2 −
1
2
k1x
2
1 −
1
2
k2(x2 − x1)2 . (17)
E por fim utilizando (16) e (17) em (1), determinando as-
sim o modelo que descreve o sistema, que está representado
em (18).
m1ẍ1 = −ẋ1(c1+c2)+ẋ2c2−x1(k1+k2)+x2k2+f1 , (18a)
m2ẍ2 = ẋ1c2 − ẋ2c2 + x1k2 − x2k2 . (18b)
Como esperado o sistema possui duas equações que descre-
vem seu funcionamento. Nota-se que o sistema modelado
é linear, portanto não será necessário a utilização de arti-
f́ıcios de linearização para o mesmo.
Com a modelagem feita, é posśıvel descobrir o sinal de
entrada para que o bloco m2 se posicione em um determi-
nado ponto, presume-se que naquele ponto, as condições
de velocidade e aceleração, de ambas massas, sejam nulas.
Portanto:
ẍ1 = ẍ2 = 0 , (19a)
ẋ1 = ẋ2 = 0 . (19b)
Adotando (19) e aplicando em (18a) e (18b) e por fim,
manipulando as equações, conclui-se que:
f∗1 = k1x
∗
2 . (20)
Tal que x∗2 é o ponto escolhido e f
∗
1 é a força necessária
para levar o bloco até o mesmo ponto. Salienta-se que o
ponto de operação escolhido para x2 é de 0.15 m e possui
margens de ±0.035 m ou seja, o limite inferior é 0.115 m
e o superior 0.185 m. Objetivando a aquisição de dados
relacionado posição de m2 no tempo, é viável escolher x2
como a variável controlada e f1 como variável manipulada.
As constantes usadas ao longo da modelagem possuem
valor dado na Tabela 1.
Tabela 1. Constantes do processo.
Śımbolo Valor e unidade
m1 0.3 kg
m2 0.2 kg
k1 250 N/m
k2 50 N/m
c1 0.3 N · s/m
c2 0.3 N · s/m
f∗1 37.5 N
4.2 Espaço de estados
Reescrevendo (18) em forma de espaço de estados, será
preciso fazer mudanças de variáveis. Portanto, escolhendo
as variáveis de estados, tem-se: x1ẋ1x2
ẋ2
 =
 x1v1x2
v2
 , (21)
E sabendo que:  ẋ1ẍ1ẋ2
ẍ2
 =
 ẋ1v̇1ẋ2
v̇2
 , (22)
Por fim, passando-se para a forma de espaço de estados,
escolhendo a sáıda a ser observada:
 ẋ1v̇1ẋ2
v̇2
 =
 0 1 0 0−1000 −2 166.67 10 0 0 1
250 1.5 −250 −1.5

 x1v1x2
v2
+
 010
0
 f1 ,
(23a)
y = [ 0 0 1 0 ]
 x1v1x2
v2
 . (23b)
4.3 Função de transferência
Para implementação computacional foi usada a função de
transferência do sistema que é dada por:
G1(s) =
0.3s+ 50
0.06s4 + 0.21s3 + 75.09s2 + 90s+ 1.25× 104
,
(24)
Tal função foi obtida aplicando transformada de Laplace
em (18), e seu desenvolvimento pode ser visto no Apên-
dice A.3. Essa função de transferência possui zero em
−166.67 e ráızes conjugadas complexas em −1.28± 32.39j
e −0.47 ± 14.07j. Devido ao fato de haver ráızes comple-
xas conjugadas, com parte real negativa, pode-se afirmar
que ao inserir uma entrada degrau no sistema, o mesmo
apresentará overshoot em sua resposta, um forte ind́ıcio
de que o sistema pode ser subamortecido. Pode-se dizer
também que o modelo é de quarta ordem, uma vez que o
maior expoente no denominador é quatro.
5. MODELAGEM EM CAIXA PRETA
Modelo em caixa preta é aquele modelo obtido por meio de
aquisição de dados, que são fornecidos pelo próprio sistema
ao longo de um sinal de entrada.
5.1 Aquisição de dados
Para modelar um sistema sem saber seus dados f́ısicos,
primeiro é preciso definir algumas entradas que serão en-
viadas ao sistema, para então analisar os dados recebidos.
Para isso as entradas escolhida para observar essa infor-
mações são U1(s) = 46.25 N e U2(s) = 28.75 N , para se
obter um modelo para o gráfico subindo e outro modelo
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5
0.16
0.18
0.20
0.22
Po
siç
ão
 d
e 
m
2 [
m
]
Resposta do sistema
Reta tangente
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5
Tempo [s]
38
40
42
44
46
Fo
rç
a 
[N
]
Entrada degrau
Figura 7. Resposta do sistema a um input de subida.
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5
0.08
0.10
0.12
0.14
Po
siç
ão
 d
e 
m
2 [
m
]
Resposta do sistema
Reta tangente
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5
Tempo [s]
30
32
34
36
Fo
rç
a 
[N
]
Entrada degrau
Figura 8. Resposta do sistema a um input de descida.
para o gráfico descendo, respectivamente, as Figuras 7 e 8
mostram os resultados obtidos.
Para a aquisição dos parâmetros que formam as funções
de transferência de cada função, é preciso traçar uma
reta tangente no gráfico que está representada em azul
nas Figuras 7 e 8. A partir dessa reta e com aux́ılio das
fórmulas apresentadas na Seção 3.2, foi posśıvel obter os
parâmetros essenciais para a modelagem em caixa preta do
sistema. Os parâmetros do regime transitório encontrados
estão na Tabela 2.
Tabela 2. Parâmetros do regime transitório do
sistema.
Parâmetro Śımbolo Valor∗ Valor∗∗
Sobressinal máximo Mp 1.25 1.26
Coeficiente de amortecimento ξ 0.07 0.07
Peŕıodo de oscilações T 0.38 0.39
Frequência natural amortecida ωd 16.33 16.33
Frequência natural ωn 16.37 16.37
Ângulo no plano complexo β 1.50 1.50
Coeficiente de atenuação da resposta σ 1.19 1.19
Tempo de subida tr 0.10 0.10
Instante de pico tp 0.19 0.19
Tempo de acomodação (2%) ts2% 3.35 3.35
Tempo de acomodação (5%) ts5% 2.51 2.51
Constante de tempo τ 0.06 0.06
Tal que valor∗ é relativo à função de transferência relacio-
nada ao sinal de entrada de subida, e valor∗∗ é para o sinal
de entrada de descida. Observa-se pela análise das Figuras
7 e 8, que ambos gráficos possuem atraso. O mesmo é da
ordem de 0.07 segundos, portanto o atraso foi desprezado
nas aplicações seguintes, com o objetivo de simplificar o
modelo.
5.2 Obtenção dos modelos
Após obter os dados presentes na Tabela 2, para obter os
modelos basta aplicá-los em (4), então:
G2(s) =
1.072
s2 + 2.387s+ 268
, (25)
G3(s) =
1.072
s2 + 2.386s+ 268.1
, (26)
Destaca-se que o valor de k foi obtido pela razão da
variação da sáıda (∆Y ) pela variação da entrada (∆U),
variação essa medida em relação a um sinal de referência.
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nessa seção são abordados e discutidos resultados obtidos
ao longo desse relatório.
6.1 Modelagem em caixa branca
Após obter a função de transferência, descrita em (24),
ela foi simulada em comparação ao modelo real, ambas
partindo do prinćıpio de que estão paradas no ponto
inicial, Figura 9. É importante ressaltar que essa mesma
0 20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Po
siç
ão
 d
e 
m
2 [
m
]
Modelo
Função de transferência
Ponto de operação
L.S. do ponto de operação
L.I. do ponto de operação
26 28 30 32
0.150
0.175
0.200
0.225
66 68 70 72 74 76
0.075
0.100
0.125
0.150
0 20 40 60 80 100
Tempo [s]
0
10
20
30
40
Fo
rç
a 
[N
]
Sinal de entrada
Figura 9. Comparação entre a resposta do modelo com a
função de transferência.
simulação foi feita várias vezes, entretanto a resolução do
vetor tempo foi alterada de várias formas, e quando possui
valor em torno de 0.001, a curva da função de transferência
perde amplitude em relação ao modelo real, dando a falsa
impressão de que foi modelada de forma errônea. Isso se
deve à quantidade de pontos que o programa gera,então
para se ter uma melhor visualização a resolução de 0.0001
foi adotada na implementação computacional.
6.2 Modelagem em caixa preta
Assim que obtida a função de transferência a partir dos
parâmetros do regime transitório, a mesma foi comparada
diretamente com o modelo do sistema, Figura 10. Sendo o
gráfico superior uma comparação com uma sinal de subida
e o gráfico inferior uma comparação para um sinal de
descida. Como é posśıvel observar, o modelo de segunda
ordem obtido não cumpriu as expectativas. E isso se
deve a vários fatores, dentre eles pode ser citado o erro
que pode acontece ao usar um método visual, apesar de
mesmo usando recurso de zoom na imagem, é praticamente
imposśıvel traçar a reta tangente no ponto certo. Além
disso, o próprio programa possui limitações na amostragem
de casas decimais, o que dificulta a identificação de certos
pontos.
0 2 4 6 8 10 12 14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
Po
siç
ão
 m
2 [
m
]
Função de transferência 2ªO (subida)
Modelo
Ponto de operação
L.S. do ponto de operação
0 2 4 6 8 10 12 14
Tempo [s]
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
Po
siç
ão
 m
2 [
m
]
Função de transferência 2ªO (descida)
Modelo
Ponto de operação
L.I. do ponto de operação
Figura 10. Comparação entre as respostas do sistema e o
modelo obtido por caixa preta.
6.3 Comparação geral
Após fazer essas comparações isoladas, foi feita uma com-
paração geral, com todos gráficos obtidos. O resultado
pode ser visto na Figura 11. Nela é posśıvel perceber que a
função de transferência possui uma precisão elevada, uma
vez que acompanha de forma exata a resposta do modelo.
Entretanto os modelos de segunda ordem diferem de forma
percept́ıvel das funções de transferência obtidas através do
método dos degraus.
0 20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Po
siç
ão
 m
2 [
m
]
Resposta do modelo
Função de transferência
Função de transferência 2ªO (subida)
Função de transferência 2ªO (descida)
Ponto de operação
26 28 30 32
0.14
0.16
0.18
67.5 70.0 72.5 75.0 77.5 80.0
0.100
0.125
0.150
0 20 40 60 80 100
Tempo [s]
0
10
20
30
40
Fo
rç
a 
[N
]
Entrada do sistema
Figura 11. Comparação entre todas funções obtidas.
É percept́ıvel que as duas funções obtidas por caixa preta
não acompanham o modelo de forma exata. Esse fato se
deve à técnica utilizada para modelagem em caixa preta,
pois o modelo real, possui dois picos ressonantes, como
visto no diagrama de Bode, Figura 12, e a técnica permite
a função obtida ter apenas um, sendo esse um pico médio
entre os dois já citados. Visto isso, foi aplicado o método
100 101 102 103 104
−225
−200
−175
−150
−125
−100
−75
−50
−25
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
100 101 102 103 104
Frequency (rad/sec)
 360
 315
 270
 225
 180
 135
 90
 45
0
Ph
as
e 
(d
eg
)
Figura 12. Linha em azul representa o modelo real, linha
laranja representa a função de transferência de subida,
e a linha verde à função de transferência de descida.
do raiz do erro quadrático médio (RSME ), para então
descobrir qual modelo obtido, definitivamente, representa
melhor o modelo f́ısico. A Tabela 3, apresenta os valores
obtidos.
Tabela 3. Constantes do processo.
Função RSME
G1(s) 0
G2(s) 0.004317
G3(s) 0.004319
Pelo RMSE, é visto que a função de transferência do
modelo f́ısico, não possui erro, o que já era esperado,
uma vez que não possui não-linearidades. Então dentre os
modelos obtidos, G2 foi o que obteve melhor desempenho,
sendo assim o modelo a ser escolhido para eventuais
melhorias.
7. CONCLUSÃO
No decorrer da atividade realizada é posśıvel perceber
que, dada a caracteŕıstica oscilatória do sistema abordado,
foi necessária a implementação do método de resposta
ao degrau de 3 parâmetros para modelos de segunda
ordem. Nele, como esperado, percebe-se que as funções de
transferência para a resposta do modelo para o degrau de
descida e para o de subida são extremamente parecidas,
Figura 10, já que o sistema analisado é linear.
Esperava-se que as funções de transferência em caixa preta
deveriam ser similares ao modelo real, entretanto elas
divergiram bastante, como mostrado na Figura 12. Isso
se deve ao fato de que a modelagem em caixa preta tenta
aproximar os dois picos no diagrama de bode em um só.
Dessa forma, é importante notar as limitações dos métodos
empregados, para que se obtenha o modelo que melhor
descreve o projeto proposto.
REFERÊNCIAS
Balachandran, B. and Magrab, E. (2009). Vibrations.
Cengage Learning, 2 edition.
Beards, C. (1995). Engineering vibration analysis with
application to control systems. Elsevier.
Bruce, P., Bruce, A., and Gedeck, P. (2020). Practical
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Using R and Python. O’Reilly Media.
Genta, G. (2009). Vibration dynamics and control. Sprin-
ger.
Martins, L.A. (2016). Análise de sensibilidade de um
sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liber-
dade. B.S. thesis, Universidade Tecnológica Federal do
Paraná.
Ogata, K. (2010). Engenharia de Controle Moderno.
Pearson Education, 5 edition.
Apêndice A. MEMORIAL DE CÁLCULO
A.1 Modelagem
d
dt
(
∂L
∂ẋi
)
−
(
∂L
∂xi
)
+
(
∂D
∂ẋi
)
= Qi , (A.1)
tal que L é dado por:
L = K − P , (A.2)
e K, P e D são dados respectivamente por:
K =
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
m2ẋ
2
2 , (A.3)
P =
1
2
k1x
2
1 +
1
2
k2(x2 − x1)2 , (A.4)
D =
1
2
c1ẋ1
2 +
1
2
c2(ẋ2 − ẋ1) . (A.5)
Portanto, L pode ser dado por:
L =
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
m2ẋ
2
2 −
1
2
k1x
2
1 −
1
2
k2(x2 − x1)2 . (A.6)
Derivando (A.6), primeiro em relação a ẋ1 e depois a ẋ2,
chegaremos em:
∂L
∂ẋ1
= m1ẋ1 , (A.7a)
∂L
∂ẋ2
= m2ẋ2 . (A.7b)
E por seguinte, deriva-se (A.8) em relação ao tempo, então
tem-se:
d
dt
(
∂L
∂ẋ1
)
= m1ẍ1 , (A.8a)
d
dt
(
∂L
∂ẋ2
)
= m2ẍ2 . (A.8b)
Em seguida, será definido o segundo termo de Euler-
Lagrange. Portanto, L será derivado em relação a x1 e
x2, respectivamente:
∂L
∂x1
= −k1x1 + k2(x2 − x1) , (A.9a)
∂L
∂x2
= −k2(x2 − x1) . (A.9b)
E por fim o termo dissipativo dado em (A.5), será tratado
primeiramente em relação a ẋ1 e depois a ẋ2, originando
em:
∂D
∂ẋ1
= c1ẋ1 − c2(ẋ2 − ẋ1) , (A.10a)
∂D
∂ẋ2
= c2(ẋ2 − ẋ1) . (A.10b)
Ressalta-se que a força externa Qi será utilizada apenas
no bloco m1, então Q1 = f1. Portanto (A.1) ficará
respectivamente para m1 e m2 no formato:
m1ẍ1 + k1x1 − k2(x2 − x1) + c1ẋ1 − c2(ẋ2 − ẋ1) = f1 ,
(A.11a)
m2ẍ2 + k2(x2 − x1) + c2(ẋ2 − ẋ1) = 0 . (A.11b)
A.2 Sinal de entrada
Supondo que o sistema tenha velocidades e acelerações
nulas, ou seja: {
ẍ1 = ẍ2 = 0
ẍ1 = ẍ2 = 0 .
(A.12)
O sinal de entrada será dado por:
k1x1 − k2(x2 − x1) = f1 , (A.13a)
k2(x2 − x1) = 0 . (A.13b)
Isolando x1 em (A.13b) e aplicando em (A.13a), além de
aplicar os valores da Tabela 1, chegaremos em:
f1 = 37.5 N . (A.14)
E para os limites de operação superior e inferior, temos
respectivamente f2 e f3:
f2 = 46.25 N , (A.15a)
f3 = 28.75 N . (A.15b)
A.3 Função de transferência
Para achar a função de transferência, será aplicado trans-
formada de Laplace em (A.11a) e em (A.11b). Achando
então:
m1s
2X1(s) + k1X1(s)− k2(X2(s)−X1(s)) + c1sX1(s)−
c2(sX2(s)− sX1(s)) = F (s) , (A.16a)
m2s
2X2(s)+k2(X2(s)−X1(s))+c2(sX2(s)−sX1(s)) = 0 .
(A.16b)
Isolando X1(s) em (A.16a) e aplicando em (A.16b) chega-
remos em:
G1(s) =
c2s+ k2
(m1s2 + c1s+ c2s+ k1 + k2)(m2s2 + c2s+
k2)− (c2s+ k2)2 , (A.17)
Aplicando os valores da Tabela 1, teremos portanto:
G1(s) =
0.3s+ 50
0.06s4 + 0.21s3 + 75.09s2 + 90s+ 1.25× 104
.
(A.18)
A.4 Modelagem em caixa preta
O cálculo dos parâmetros que serão apresentados, leva em
conta os valores adquiridos na Tabela 2. Ressalta-se que o
parâmetros marcados com ∗ são relacionados aos valores
para o sinal de entrada de descida. Portanto:
ωd =
2π
0.3848
= 16.3278 , (A.19a)
ω∗d =
2π
0.3847
= 16.3309 , (A.19b)
σ = 0.0729 · 16.3714 = 1.1936, (A.20a)
σ∗ = 0.0729 · 16.3743 = 1.1931 , (A.20b)
β = arccos 0.0729 = 1.4978 , (A.21a)
β∗ = arccos 0.0729 = 1.4979 , (A.21b)
ωn =
16.3278√
1− 0.07292
= 16.3714 , (A.22a)
ω∗n =
16.3309√
1− 0.07292
= 16.3744 , (A.22b)
Mp =
0.2290− 0.1850
0.1850− 0.15
= 1.2581 , (A.23a)
M∗p =
0.0710− 0.1150
0.1150− 0.15
= 1.2580 , (A.23b)
ξ =
√
ln2(1.2581)
ln2(1.2581) + π2
= 0.0729 , (A.24a)
ξ∗ =
√
ln2(1.2580)
ln2(1.2580) + π2
= 0.0729 , (A.24b)
T = (3.8993− 1.2056)/7 = 0.3848 , (A.25a)
T ∗ = (3.8996− 1.2064)/7 = 0.3847 , (A.25b)
τ =
0.0729
1.1936
= 0.0610 , (A.26a)
τ∗ =
0.0729
1.1931
= 0.0610 , (A.26b)
tr =
π · 1.4978
16.3278
= 0.1007 , (A.27a)
t∗r =
π · 1.4979
16.3309
= 0.1007 , (A.27b)
tp =
π
16.3278
= 0.1924 , (A.28a)
t∗p =
π
16.3309
= 0.1924 , (A.28b)
ts2% =
4
0.0729 · 16.3714
= 3.3511 , (A.29a)
t∗s2% =
4
0.0729 · 16.3744
= 3.3506 , (A.29b)
ts5% =
3
0.0729 · 16.3714
= 2.5134 , (A.30a)
t∗s5% =
3
0.0729 · 16.3744
= 2.5129 . (A.30b)