TCC - FREDSON- MATEMATICA

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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE RORAIMA
DEPARTAMENTO DE ENSINO E GRADUAÇÃO
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
FREDSON SILVA DE SOUZA
O ENSINO DE MATRIZ INVERSA APLICANDO O CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA
NAS TURMAS DO 2o ANO DO ENSINO MÉDIO DO IFRR-CBV
BOA VISTA
2018
FREDSON SILVA DE SOUZA
O ENSINO DE MATRIZ INVERSA APLICANDO O CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA
NAS TURMAS DO 2o ANO DO ENSINO MÉDIO DO IFRR-CBV
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso Licenciatura em
Matemática do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia de
Roraima
Orientadora: Prof.ª Dra. Saula Leite
BOA VISTA
2018
FREDSON SILVA DE SOUZA
O ENSINO DE MATRIZ INVERSA APLICANDO O CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA
NAS TURMAS DO 2o ANO DO ENSINO MÉDIO DO IFRR-CBV
Trabalho de conclusão de Curso, apresentado como pré-requisito para a conclusão
do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência
e Tecnologia de Roraima, defendido em 12 de dezembro de 2018 e avaliado pela
seguinte banca examinadora:
___________________________________________________
Prof.a Dra. Saula Leite Oliveira
Orientadora
____________________________________________________
Prof. Msc. Joerk Da Silva Oliveira
_____________________________________________________
Prof. Msc. Reginaldo Silva Beltrami
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por sempre me capacitar ao longo dessa jornada. Aos meus
amados pais pelo amor e incentivo;
Aos meus amigos de classe Leandro da Silva, Bruno Crispim e Deandro Govea por
terem me acolhido e estarem juntos nas dificuldades que surgiram durante toda a
caminhada;
Aos professores do colegiado, sobretudo a professora Nilra Jane que me ajudou
bastante e a Professora Saula Leite pela orientação frente a realização desse
trabalho;
Sinceros agradecimentos.
RESUMO
Atualmente um dos grandes desafios do ensino matemático, é mostrar aos alunos
que os conhecimentos construídos em sala de aula são úteis para a sua vida
cotidiana e não algo distante dele. Tomando esse contexto como base,
desenvolvemos o presente trabalho com o objetivo de abordar o ensino de matrizes
inversas, contextualizando à aplicação dos conceitos de criptografia no cotidiano dos
alunos das turmas de 2o ano do ensino médio integrado do IFRR/CBV. Para isso
apresentamos um breve histórico sobre matrizes, trazendo sua definição, explorando
algumas de suas propriedades e operações, em especial sobre matriz inversa e
onde podemos encontrar sua aplicação. Na sequência descrevemos o conceito de
criptografia juntamente com sua evolução e apresentamos como codificar uma
mensagem fazendo uso de matriz inversa. Optou-se pela pesquisa de campo e
bibliográfica, com a abordagem qualitativa e quantitativa, através de estudos de
teóricos que abordam o tema. Utilizou-se métodos de coletas de dados, como:
questionário aplicado aos alunos e observação direta. Percebemos que o ensino de
matriz inversa com o uso da criptografia, é um excelente meio de fazer com que os
alunos construam conhecimentos suficientes para compreender que a matemática
não acontece somente na escola, mas fora dela.
Palavras Chave: Criptografia, Matrizes, Ensino Matemático.
ABSTRACT
Currently one of the great challenges of mathematics teaching is to show students
that the knowledge built in the classroom is useful for their everyday life and not
something distant from it. Taking this context as a base, we developed the present
work with the objective of approaching the teaching of reverse matrices,
contextualizing to the application of the concepts of cryptography in the daily life of
the students of the 2nd year classes of integrated secondary education of the IFRR /
CBV. For this we present a brief history about matrices, bringing its definition,
exploring some of its properties and operations, especially on inverse matrix and
where we can find its application. In the sequence we describe the concept of
cryptography along with its evolution and present how to encode a message using
reverse matrix. We chose field and bibliographical research, with the qualitative and
quantitative approach, through theoretical studies that approach the theme. Methods
of data collection were used, such as: a questionnaire applied to students and direct
observation. We realize that reverse matrix teaching using cryptography is an
excellent way to get students to build enough knowledge to understand that
mathematics does not only happen in school, but outside it.
Keywords: Cryptography, Matrices, Mathematics.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................1
2 REFERENCIAL TEÓRICO .............................................................................................................4
2.1 A MATEMATICA NO COTIDIANO .........................................................................................4
2.1.1 Perspectiva do ensino de matemática .................................................................7
2.1.2 O uso das tecnologias da informação e comunicação nas aulas de
matemática (TIC’s) ........................................................................................................10
2.1.3 O Ensino da matemática e a construção da cidadania ....................................12
2.2 O USO DE MATRIZES ..........................................................................................................16
2.2.1 Definição de matriz ..............................................................................................16
2.2.2 Representação de Uma Matriz ............................................................................16
2.2.3 Tipos de Matrizes .................................................................................................17
2.3 OPERAÇÃO COM MATRIZES .............................................................................................18
2.3.1 Multiplicação de Matrizes ....................................................................................18
2.3.2 Matriz Inversa .......................................................................................................20
2.4 MATRIZES NO COTIDIANO .................................................................................................21
2.5 O ENSINO DE MATRIZES DENTRO DO CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA ................23
2.6 O USO DE MATRIZ INVERSA APLICANDO O CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA ......25
3 METODOLOGIA ............................................................................................................................28
3.1 TIPO DE METODOLOGIA.....................................................................................................28
3.2 CAMPO DE ESTUDO ............................................................................................................29
3.3 MÉTODOS...............................................................................................................................30
3.4 CRONOGRAMA......................................................................................................................31
3.5 TRATAMENTO DOS DADOS ...............................................................................................32
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................................33
4.1 PERCEPÇÕES DOS ALUNOS QUANTO A APLICAÇÃO DO CONHECIMENTO DE
MATRIZ NO COTIDIANO.............................................................................................................33
4.2 CORRELAÇÃO ENTRE MATRIZ INVERSA E CRIPTGRAFIA. ......................................35
4.3 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE MATRIZ INVERSA ATRELADA A CRIPTOGRAFIA. .
36
REFERËNCIAS .................................................................................................................................40
1
1 INTRODUÇÃO
Segundo Dante (2013, p.75) “Matrizes são tabelas querelacionam dados
numéricos”, elas estão inseridas no nosso cotidiano mesmo que não consigamos
criar diretamente uma analogia. Ao fazermos compras em supermercados,
shoppings e lugares de nossa necessidade, encontramos as matrizes por meio das
tabelas de preços. Nas áreas das engenharias elétrica e civil temos a aplicação das
matrizes para construção de circuitos elétricos precisos e na elaboração de treliças e
determinação dos modos de vibração de uma estrutura.
No mundo tecnológico que atualmente vivenciamos, também encontramos o
uso de matrizes: na computação gráfica, controle de tráfego, sistemas de
navegação, entre muitas outras situações. O que acaba nos possibilitando um
estudo mais direcionado à sua vasta aplicabilidade.
No campo da educação, especificamente no âmbito escolar, o ensino de
matrizes encontra-se estritamente voltado para a construção de raciocínio lógico do
aluno e para sua formação. Um fato recorrente encontrado no ensino da matemática,
é o porquê, determinado conteúdo, se faz importante ser aprendido, haja visto que
futuramente, dependendo da nossa escolha profissional, não estaremos fazendo uso
algum do mesmo.
Essa forma de pensar possivelmente está relacionada a falta da
contextualização dos conteúdos ministrados em sala de aula com o dia a dia dos
alunos. Há uma clara diferença quando fazemos ou nos envolvemos com algo
sabendo sua finalidade, o processo torna-se mais prazeroso. Tal fato, pôde ser
percebido durante as experiências vivenciadas no período de estágio realizado no
ano de 2018 nas turmas do ensino médio da Escola Estadual Professor Vanda da
Silva Pinto de Boa Vista-RR. O conteúdo de matrizes abordado nas aulas era tido
apenas como mais um item a ser estudado para obtenção de nota em trabalhos e
provas.
Os alunos não conseguiam estabelecer uma conexão do estudo de matrizes,
com o mundo a sua volta, com seu cotidiano. Muitas vezes surgindo indagações do
tipo: "- Para que isso me servirá?", "- Que contribuição isso tem na minha vida?".
Dando margem para uma certa resistência em querer aprender.
Nesse contexto, a figura do professor é fundamental, pois o mesmo é
responsável pela articulação dos conteúdos com o mundo real, ou seja, compete a
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ele trazer o mundo de “fora” para suas aulas, buscando meios dos alunos serem
capazes de associarem o estudo de matrizes, no nosso caso em especifico, com o
mundo a sua volta. E como já exposto temos diversas situações em que isso ocorre.
Um campo interessante a ser explorado no ensino de matrizes, é o
tecnológico. Estamos inseridos na era dos dispositivos móveis e da rapidez em que
as informações são propagadas, sendo possibilitado por uma frenética troca de
mensagens, transmissões de conteúdos em tempo real e densos fluxos de dados
sendo processados a todo instante.
Dentro das aceleradas transformações que vivenciamos, onde a tecnologia
está em toda parte, a criptografia se torna uma ferramenta imprescindível para uma
sociedade informatizada. Tornando fundamental manter a segurança dos dados,
imagens ou documentos, contra toda e qualquer ameaça. Esta preocupação torna-se
relevante também para garantir que o acesso ao conteúdo envolvido em conversas
online, transações bancárias e e-mails, sejam privados entre os agentes
comunicativos e para o próprio usuário.
 Coutinho (2008, p.1) nos ajuda definindo a criptografia como: “O estudo de
métodos para codificar uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo
consiga interpreta-la. É a arte dos ‘códigos secretos’. ” Ressalta-se, nesse momento,
que um desses métodos é a aplicação de um par de matriz inversa, , onde
seus elementos são todos inteiros.
Diante do que foi relatado, elaboramos a seguinte pergunta norteadora desse
TCC: Como podemos aplicar o ensino de matriz inversa dentro do conceito de
criptografia? Assim, o presente trabalho de conclusão de curso tem por objetivo
geral abordar o ensino de matriz inversa, aplicando o conceito de criptografia no
cotidiano dos alunos das turmas de 2o ano do ensino médio integrado do IFRR/CBV.
Para torná-lo possível elencamos os seguintes objetivos específicos:
· Ensinar os conceitos de matrizes, em especial, as matrizes inversas,
aos alunos do 2o ano do ensino médio integrado do IFRR/CBV.
· Associar o conhecimento sobre matriz inversa ao cotidiano dos alunos,
por meio dos conceitos de criptografia.
· Aplicar os fundamentos da criptografia para a contextualização da
importância do estudo de matrizes inversas na atualidade.
Utilizou-se como instrumento de coleta de dados os questionários
semiestruturados por possibilitarem uma interação maior entre o pesquisador e os
3
sujeitos da pesquisa, de modo a deixá-los mais confortáveis para os relatos das
experiências com objeto da pesquisa
Este trabalho foi desenvolvido com duas turmas do 2o ano do ensino médio
integrado do IFRR/CBV. Sendo executado nas aulas de matemática do professor
Nicodemos Ferreira com uma amostra de 54 alunos.
A metodologia adotada para a construção desse estudo foi de cunho
descritivo, acompanhado pela revisão bibliográfica e pesquisa de campo, o que
culminou na construção de três capítulos que estão organizados da seguinte forma:
O primeiro aborda a matemática no cotidiano, sua importância e contribuições, assim
como no seu ensino para a construção da cidadania e perspectiva de ensino nas
escolas.
 O segundo apresenta a discussão do uso das matrizes no cotidiano, trazendo
a definição do que é uma matriz, seus tipos e operações matemáticas que as
envolvem. Já o terceiro capítulo trata sobre Criptografia e como podemos aplica-la
com o uso de matriz inversa. 
. Na sequência, apresentam-se o marco metodológico que destaca a natureza
da pesquisa, os lócus e os sujeitos, bem como a análise e interpretação dos dados
levantados, e por último, estão as considerações finais.
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2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 A MATEMATICA NO COTIDIANO
Todos os dias, as pessoas estão envolvidas em situações nas quais é
necessário contar, adicionar, subtrair, comparar, selecionar entre outras. Por isso o
conhecimento matemático torna-se uma ferramenta de ampla aplicabilidade e deve
ser explorada ao máximo na sala de aula, para desenvolver no aluno a estrutura do
pensamento, a agilização do raciocínio dedutivo e a capacidade de resolver
problemas, além de possibilitar o apoio a construção de conhecimentos em outras
áreas. Como afirma Bigode e Gimenez (2009, p.3):
O pensamento matemático é uma importante ferramenta de natureza
cognitiva que os indivíduos utilizam para resolver problemas, tomar
decisões desenvolver sua autonomia e exercer a cidadania. Sua
importância se torna ainda maior nos tempos atuais, em que a sociedade
vive sob o impacto as tecnologias de comunicação e de informação seja nas
atividades corriqueiras da vida cotidiana, seja nas atividades profissionais
ou cientificas.
Além disso, atualmente a interpretação crítica de informações e a sua
utilização de forma correta tornam-se cada vez mais necessária. E partindo desse
ponto o aluno deve ser capaz de interpretar e trazer para a sua realidade aquilo que
aprende na escola, desenvolvendo estratégias próprias e utilizar-se de recursos
tecnológicos para resolver situações-problemas, bem como trabalhar de forma
coletiva e cooperativa entre outras capacidades.
Nesse entendimento a Matemática atua como um instrumento de apoio para a
resolução de problemas reais, vinculados a situações contextualizadas envolvendo
medições, cálculos e interpretação de informações relacionadas a várias atividades
desenvolvidas por profissionais como costureiras, e alfaiates, pedreiros e
carpinteiros, pintores entre outros.
O conhecimento matemático aliado ao saber cotidiano tem a função de
contribuir para a formação de pessoas capazes de compreender e se comunicar na
sociedade. Primeiro porque está relacionado as outras áreas do conhecimento,
como ciências da natureza e ciências sociais, por estar presente nas artes em
composição das músicas, emcoreografias e nos esportes entre outras. Villard e
Oliveira (2005, p.52) explicam que:
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Um ambiente de aprendizagem criado e explorado segundo essas
abordagens do fenômeno educativo favorece a integração em rede entre
diferentes formas e conteúdos do conhecimento, elimina barreiras entre
diversas áreas e propicia relações de parceria e reciprocidade que
caracterizam uma perspectiva complexa e interdisciplinar de aprender.
No entanto, conhecer possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental
para que o professor construa sua prática e alcance êxito no que se refere a sua
didática e ao processo de ensino aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 38) enfatizam que: “[...] nem
mesmo a exploração de materiais didáticos tem contribuído para uma aprendizagem
mais eficaz, por ser realizada em contextos pouco significativos e de forma muitas
vezes artificial”.
As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais em
Matemática refletem muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, busca
superar a filosofia existente de ensino e de aprendizagem, como não poderia deixar de
ser.
Apontam ainda, para a necessidade de mudanças urgentes não só no que
ensinar, mas, principalmente, no como ensinar e avaliar e como organizar as situações
de ensino e de aprendizagem, de modo a encontrar opções que possam contribuir para
um ensino mais eficaz e significativo.
Logo cedo a criança convive socialmente com os números e os compreende de
maneira concreta, dentro do contexto em que estão inseridos; porém em um ambiente
escolar, com a abstração e a dissociação dos números em relação às atividades
matemáticas de sua vida, a criança se distancia de seu conhecimento prévio, o que
dificulta a sua aprendizagem e o desenvolvimento de novas potencialidades.
Isso acontece em virtude de a escola ainda enfatizar a prática de um ensino
tradicional e apresentar conceitos que exigem memorização, não satisfazendo, dessa
forma, os anseios e as curiosidades por parte dos discentes no que se refere ao
aprendizado de Matemática.
Nesse sentido é preciso compreender que a escola vai muito além da sala de
aula. O aluno vai para a escola levando todas as suas experiências de vida. Cabe à
escola sistematizar os conhecimentos matemáticos, mas sem deixar de lado as
experiências dos alunos.
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Para se constituir em instrumento útil à vida dos alunos no seu cotidiano é
preciso incorporar um ensino em que os conceitos matemáticos devem ser retomados
várias vezes e pouco a pouco gradativamente, onde os assuntos e problemas
estudados estejam sempre presentes como uma revisão continua.
Dessa forma imagina-se que os alunos aprenderão de forma consolidada, pois
os conceitos serão trabalhados a partir de situações problemas que envolvem ações do
dia a dia como ir ao supermercado fazer compras, entre outras situações do cotidiano.
Pietropaolo (1999, p.13) diz:
[...] Os PCNs traduziram as aspirações de grande maioria de educadores
matemáticos brasileiros sobre questões de ensino e aprendizagem dessa
área, e, sobretudo, constituíram um importante referencial para a formação
de docentes. A relevância dos documentos estaria assegurada, no mínimo,
pela possibilidade de enriquecimento e ampliação do atual debate sobre o
ensino de matemática.
Os PCNs vieram com a proposta de atender diferentes caminhos
metodológicos para que o ensino de matemática ocorra de forma reflexiva, onde os
educandos percebam a sua importância e relação com a vida diária.
Nesse sentido é papel também do professor dar prioridade a construção da
aprendizagem pelo fazer e pensar de cada aluno, desenvolvendo sua autonomia,
incentivando-o a investigar, refletir e descobrir na sala de aula que o que está
estudando faz parte do seu cotidiano.
Ao ressaltar os aspectos sociais da matemática esses documentos trazem a
perspectiva de um ambiente escolar com amplas possibilidades que priorize a
construção de conceitos que capacite os alunos a compreender e a interferir de
forma crítica na sociedade em vivem. Sendo assim a matemática passa a ser uma
ferramenta com uma função bem maior do que fazer cálculos, mas sim uma forma
de estar no mundo e interferir nele e assim exercer a sua cidadania. Nessa
perspectiva Moreno (2008, p.38) ressalta:
As matérias curriculares são instrumentos através dos quais se pretende
desenvolver a capacidade de pensar e de compreender e de manejar
adequadamente o mundo que nos rodeia [...] sem um contexto para situá-
los, para grande parte dos estudantes os conteúdos curriculares
transformam-se em algo absolutamente carente de interesse ou totalmente
incompreensível.
O homem se relaciona com o mundo a sua volta e é este mundo que educa e
influencia as pessoas, sendo assim a sala de aula deve fazer uma ponte com a
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realidade para que a aprendizagem se torne algo real, onde o aluno não veja a
matemática como um conteúdo que se aprende na escola, mas sim como um
conhecimento necessário à sua realidade.
2.1.1 Perspectiva do ensino de matemática
Nos últimos anos, o ensino e Matemática têm passado por um processo de
reestruturação baseado em reflexões sobre o desempenho dos alunos brasileiros em
avaliações externas à escola. Essas avaliações mostram que os estudantes
brasileiros apresentam dificuldades em usar a linguagem matemática.Com o objetivo
de alterar esse quadro o Ministério da Educação, considerando os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) propõem:
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma
inteligência essencialmente pratica, que permite reconhecer problemas,
buscar e selecionar informações, tomar decisões, e, portanto, desenvolver
uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando
essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta
melhor resultado. (BRASIL, 1997, p. 29)
Nesse sentido no âmbito escolar a matemática é vista como uma linguagem
capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. As atividades propostas
pelo professor são possíveis de serem manipuladas, ou seja, não somente materiais
concretos, mas também aquelas com as quais os alunos possam interagir.
Morais (1986, p.5) afirma que “ensinar visa a compreensão a sabedoria de
vida. O ensino é um amplo movimento de vida entre educador e educando’’, [...].
Assim, o professor deve buscar ensinar matemática utilizando diferentes estratégias
porque tem a responsabilidade de ultrapassar os limites do conhecimento
simplesmente científico, imergindo o ensino a realidade do educando.
Com isso ao trabalhar a matemática apenas com a técnica operatório, pode
tornar os alunos dependentes dos professores, o único que sabe todo o processo e o
desenvolve na medida em que considera conveniente. Dessa maneira os alunos
sentem-se pressionados e não conseguem refletir sobre os conceitos matemáticos e
nem a relacioná-los a vida diária.
A aplicação de teorias e práticas deve contextualizar as situações lógicas de
maneira a desenvolver habilidades de raciocínio, observação e argumentação para
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visualizar certas propriedades, e assim, analisar e resolver problemas que podem
contribuir para que se entenda melhor uma representação abstrata.
Então, além de possibilitar a integração e a aplicação em outros campos de
conhecimento, o ensino de matemática deve instigar ideias, propor aplicações
práticas para que se possam enfrentar problemas reais, que são em geral de
natureza interdisciplinar e reconhecer a matemática em suas práticas diárias.
Nunes e Bryant (1997, p. 9), afirmam que “ao lidar com alunos que
apresentam rendimento não satisfatório na escola, deve-se dar prioridade a tentar
compreender como eles pensam”. Incluem-se, no caso do Ensino Fundamental, as
crianças que possuem dificuldades com o conceito de quantidade e de contagem,
por exemplo, ou em solução de problemas.
Frente a isso algumas providências devem ser tomadas pelo professor no
sentido de maximizar a aprendizagem do aluno com dificuldades, como a escolhade
atividades que se aproximem das vivencias dos alunos, com apresentação clara dos
objetivos; verificação constante da compreensão, por parte dos alunos, quanto ao
que foi solicitado; repetição frequente de instruções; remoção de distrações; entre
outras.
Sobre isso também nos fala Micotti (1999, p. 161), quando afirma que “as
aulas expositivas e os chamados livros didáticos pretendem focalizar o saber, mas,
geralmente, ficam sem sentidos para os alunos”. Assim percebe-se que o ensino da
matemática realizado, nesse contexto tem se mostrado ineficaz, observando, que a
simples reprodução de exercício não gera resultados significativos de aprendizagem.
Pode-se dizer, com base em informações evidenciadas por meio de pesquisa
que proporciona situações desafiadoras, agradáveis e significativas em sala de aula,
motiva o educando para o aprendizado matemático e aprimorar a didática usada que
durante o desenvolvimento das práticas pedagógicas, proporciona qualidade no
ensino e melhora a receptividade por parte dos estudantes, consolidando assim, um
ensino-aprendizagem prazeroso e significativo, tanto por parte do aluno quanto para
o professor.
Nessa perspectiva, os educadores devem criar em sala de aula um ambiente
de interesse e motivação, permitindo ao aluno uma total autonomia e envolvimento
no processo de ensinar e aprender. Costa (2009, p.71) relata que:
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 [...] desta forma, parece-nos que, teremos que buscar e construir um saber-
fazer pedagógico consciente e abrangente, oportunizando uma prática
pedagógica ampla, onde os aspectos psicológicos, sociológicos, filosóficos
e pedagógicos precisam ser considerados nas práticas corporais lúdicas.
Dessa forma, trabalhar atividades atrativas com os alunos no processo de
ensino aprendizagem da matemática significa maximizar a construção do
conhecimento, vinculando a teoria à prática, pois o aluno ao lidar com situações
reais na sala de aula vai perceber que o que está aprendendo e algo que necessita
em sua convencia no mundo.
O foco do processo de aprendizagem é o aluno e para que esta
aprendizagem aconteça é preciso despertar o seu interesse. Nesse sentido aguçar o
interesse pelo conhecimento ganhou posição de destaque e o professor passou a
ser aquele que gera situações para que se estimule este conhecimento.
Contudo, deve-se sempre refletir sobre o que se quer alcançar com o uso de
estratégias e recursos diversos nas aulas de matemática pois, quando se tem aulas
bem elaboradas, pode-se atingir diferentes objetivos que variam desde o simples
treinamento, até a construção de um determinado conhecimento.
A aprendizagem é um processo ativo e flexível, não sendo possível trabalhar
o mesmo conteúdo, no mesmo momento, da mesma forma para todos. O professor
necessita estar num processo contínuo de questionamento, ser um investigador,
tomar consciência de sua prática constantemente. Villard e Oliveira (2005, pg.52)
enfatizam:
[...] A aprendizagem tem origem na ação do aluno sobre conteúdos
específicos e sobre as estruturas previamente construídas que caracterizam
seu nível real de desenvolvimento no momento da ação. A intervenção
pedagógica necessária no sentido de orientar o aluno no processo de
apropriação dos instrumentos de medição fornecidos pelo ambiente cultural
provoca a continua reorientação dos processos de aprendizagem,
provocando continuamente, o desenvolvimento de novos e mais complexos
esquemas mentais.
O ensino de matemática para ser eficaz deve proporcionar ao aluno
atividades que estimulem a reflexão e assim auxilia-los na produção de significados.
Assim a realização de atividades deve ser incentivada pelo professor, cujo papel é o
de facilitador da aprendizagem
10
2.1.2 O uso das tecnologias da informação e comunicação nas aulas de
matemática (TIC’s)
Com o acelerado desenvolvimento tecnológico, saber ler, escrever, contar e
fazer cálculos elementares, ainda que necessário, não é o suficiente. Viver numa
sociedade onde as mudanças ocorrem de maneira acelerada exige do cidadão, a
compreensão e interpretação de informações cada vez mais complexas.
O professor, ao propor atividades de ensino que utilize o computador ou um
software, deve garantir que essa mídia qualitativamente diferente contribua para
modificar as práticas de ensino tradicionais vigente.
Pesquisadores como Borba e Penteado (2003) ressaltam a importância do
uso das diferentes tecnologias para a construção de novas aprendizagens, de novos
conhecimentos, adotando uma perspectiva teórica “que se apoia na noção de que o
conhecimento e produzido por um coletivo formado por seres- humanos-com-mídia,
ou seres-humanos-com-tecnologias” (Borba; Penteado, 2003, p. 51).
Esses estudiosos, ainda defendem que a tecnologia provoca uma
reorganização da atividade humana e defendem ainda a ideia de que a comunidade
de educação matemática deve dar atenção também aos problemas que podem ser
resolvidos pelos sistemas ser-humano computador.
Sendo assim, as novas tecnologias abrem oportunidades para a criação de
ambientes de aprendizagem que ampliam as possibilidades do quadro, giz e livro
didático. Com relação às tecnologias digitais, o desafio de muitos educadores tem
sido incorporar esses recursos na sala de aula com o intuito de favorecer a
aprendizagem dos alunos. Viana (2012, p.5) diz: “Atualmente a tecnologia dispõe de
ferramentas completas que oferecem informações diversas em tempo real
possibilitando pesquisas e interatividade”.
Muitas das tecnologias que existem atualmente possibilitam a interatividade,
permitindo a criação de um ambiente em que o aluno possa aprender e aprimorar-se
continuadamente e assim construir novos conhecimentos de forma progressiva.
Durante o ensino, é necessário um processo de reflexão do próprio educador
sobre sua ação. O que muitas vezes ocorre é a imposição de uma única lógica
11
responsável por transmitir o conhecimento, ao invés de propiciar o desenvolvimento
lógico para o aluno, o qual possibilitaria ao mesmo reconstruir conceitos, estabelecer
relações, entender seu próprio processo de aprendizagem e melhorar seu
rendimento. De acordo com Taborda (2002, p. 04), isso contrasta com a visão
construtivista de para quem “a melhor aprendizagem ocorre quando o aprendiz
assume o comando.
A aprendizagem não deve ser considerada como fatos isolados, dentro de um
contexto artificial, toda a aprendizagem está interligada e faz parte de um contexto
real. O aluno especial precisa explorar, experimentar e testar suas hipóteses acerca
da aprendizagem. Não é usar a regra que resolve o problema; é pensar sobre o
problema que promove a aprendizagem. (TABORDA. 2002, p. 04).
Frente a essas mudanças abrem-se novas possibilidades na forma de ensinar
e aprender matemática na escola, pois através da interação dos alunos com as
tecnologias pode-se desenvolver aprendizagens cada vez mais diversificadas.
De acordo com Levy (1994, p.15) “há uma metamorfose de informação de
todo tipo que cria uma dependência na relação entre os homens”. O trabalho e a
própria inteligência humana, onde tudo é apreendido por uma informática que evolui
a cada dia de forma veloz.
Sendo assim, a tecnologia digital educacional cria a liberdade para o aluno
explorar seus conhecimentos. Portanto a escola deve se adequar a essa nova
realidade que os avanços tecnológicos impõem a sociedade, ou seja, novas formas
de comunicação, exigindo do professor e do aluno outras habilidades de
aprendizagens, pois grande é a variedade de informações encontradas hoje nas
mídias.
Frente a essas considerações a cada dia torna-se maior a necessidade de
inserção dos alunos ao mundo das tecnologias e a escola é considerada um espaço
ideal para desenvolver essa prática, isto é um espaço onde suas ações didáticas
devem estar vinculadas diretamente as necessidades dos educandos criando e
recriando espaços favoráveis ao desenvolvimento de habilidades e competências.
As Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (2002, p.7)definem
competências assim:
Competências podem ser definidas como a capacidade de mobilizar
diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação. Esses
recursos cognitivos podem ser conhecimentos teóricos, um saber prático,
12
valores, julgamentos, intuições baseadas na experiência, habilidades,
percepções, avaliações e estimativas.
Entende-se então, que, enquanto responsáveis pela mediação do
conhecimento ao educando, cabe ao educador buscar meios de ensinar que os
levem aprender de forma a desenvolver as competências necessárias para a vida
em sociedade, e as tecnologias na sala de agua levam o aluno a ter entusiasmo pela
apropriação do conhecimento, estimulando a autoestima e tornando-os capazes se
obter um conhecimento matemático para toda vida.
Por fim, espera-se que as tecnologias da informática e comunicação, sejam
consideradas aliadas na promoção do ensino, bem como no da educação,
desenvolvendo nos alunos habilidades para a construção do conhecimento, da
colaboração e do pensamento crítico. O pensamento crítico possibilita a formação de
cidadãos pensantes e atuantes na sociedade (HOWLAND et al., 2011).
2.1.3 O Ensino da matemática e a construção da cidadania
Atualmente nos deparamos com questões complexas, que envolvem aspectos
sociais, políticos, culturais e ambientais. O avanço do capitalismo mundial e da
chamada globalização exigiu a reflexão acerca dos problemas sociais como a fome,
o desemprego, o trabalho infantil e a intolerância étnica entre outros.
Nesse sentido todos os temas que envolvem essas questões devem ser
abordados fazendo uma interligação com a disciplina de matemática para que possa
possibilitar ao aluno um olhar mais crítico e consciente acerca das contradições do
mundo atual favorecendo assim a formação de cidadãos mais conscientes e críticos.
É importante ressaltar que a utilização desses temas não deve ser
desarticulada do ensino de Matemática. Sendo assim o principal objetivo de agrega-
los com a disciplina é buscar uma atitude crítica do aluno frente a realidade em que
vive.
Nesse entendimento, esses temas deverão ser abordados por meios de
textos, situações problemas, imagens, gráficos, tabelas, debates entre outros. Nessa
perspectiva estarão em conformidade com a interdisciplinaridade e levarão os alunos
a refletir sobre as questões conectadas com os temas sociais. Santomé (1998,
p.255) aponta que:
13
A análise do contexto sociocultural oferece as chaves para o diagnóstico do
nível cultural e dos estudantes, do seu nível real de desenvolvimento, assim
como das suas expectativas diante da instituição escolar, dos seus
preconceitos, etc. Conhecer as respostas a essas interrogações é requisito
essencial para que a proposta planejada possa se ligar diretamente a esses
meninos e meninas reais a sua autentica vida cotidiana.
Nesse sentido propor aos alunos atividades que favoreçam as ações destes
sobre o mundo social e natural e compreender que a aquisição do conhecimento
matemático não começa quando o aluno vai para a escola, ou seja, apenas quando
ingressa num processo formal de ensino, mas no decorrer de sua vida.
Sendo assim, o caráter interdisciplinar de matemática deve ser explorado por
meio de contextos diversificados, com os quais o professor pode propor um trabalho
articulado que leve o aluno a desenvolver o senso crítico e a tornarem-se cidadãos
atuantes na sociedade em que vivem. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais,
PCNs 2000, é afirmado que:
 A formação do aluno deve ter como alvo principal a aquisição de
conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação. [...]. Propõe-se, no
nível do Ensino Médio, a formação geral, em oposição à formação
específica; o desenvolvimento de capacidades de pesquisar, buscar
informações, analisá-las e selecioná-las; a capacidade de aprender, criar,
formular, ao invés do simples exercício de memorização. (PCNs 2.000,
p.11).
Tendo como ponto de partida a concepção de que a matemática propicia o
desenvolvimento de noções, competências e habilidades essenciais a todo cidadão que
pretende atuar na sociedade de forma crítica e independente, o professor deve elaborar
diferentes metodologias para que os objetivos do ensino da matemática sejam
atingidos em qualquer série que o aluno esteja cursando.
Portanto, diante de tudo o que já foi exposto, é possível afirmar que não se deve
resumir o ensino de Matemática a um processo simplesmente mecânico, distanciado
da realidade do aluno, mas sim como algo útil à sua vida. Nesse sentido a escola deve
estar comprometida com a formação integral dos alunos. Se antes a ênfase da
educação estava no ensinar, agora estar centrada no aprender. De acordo com Morais
(1997. p.25) a visão atual de educação deve ser:
Construtivista porque compreende o conhecimento como estando
sempre em processo de construção, transformando-se mediante a
14
ação do indivíduo no mundo, da ação do sujeito sobre o objeto, de
sua transformação em sujeito ativo em processo de permanente
construção. [...]
Interacionista porque reconhecem que o sujeito e objetos são
organismos vivos, ativos, abertos, em constante intercâmbio com o
meio ambiente, como estruturas dissipadoras de energia, mediantes
processos interativos indissociáveis e modificadores das relações
sujeito-objeto e sujeito-sujeito, a partir dos quais um modifica o outro
e os sujeitos se modificam entre si. Sociocultural porque compreende
que o “ser” faz na relação, que o conhecimento é produzido na
interação com o mundo físico e social com base no contato do
indivíduo com a sua realidade, com os outros, incluindo aqui a
dimensão social, dialógica inerente a própria construção do
pensamento.
 [...] Transcendente porque significa a tentativa de ir mais além de
ultrapassar-se, superar-se, entrar em comunhão com a totalidade
indivisível, compreender-se como parte integrante do universo, onde
todas as coisas se tocam entre si. [...]
Dessa forma, o saber matemático deve propiciar ao aluno a ampliação de
suas habilidades e capacidades com a participação ativa de procedimentos
metodológicos, como a representação e a expressão dos fenômenos sócios
espaciais, a construção e a interpretação de informações e o uso de recursos
diversificados por meio dos quais possam registrar seu pensamento e seus
conhecimentos tornando-se um cidadão crítico e ativo no mundo em que vive. Nesse
sentido Libâneo (1994, p. 17) afirma que:
Através da prática educativa o meio social exerce influência sobre os
indivíduos e estes, ao assimilarem e recriarem essas influencia, tornam-se
capazes de estabelecer uma relação ativa e transformadora em relação ao
meio social. Tais influências se manifestam através de conhecimentos,
experiências, valores, crenças, modos de agir, técnicas e costumes
acumulados por muitas gerações.
Nesse processo, a intervenção do professor como mediador, como agente
facilitador das descobertas dos educandos deverá dar diferentes enfoques a sua
prática em sala de aula. Por isso, ele não pode ficar alheio aos processos de
aprendizagem dos alunos. A luz do conhecimento o professor pode organizar o seu
trabalho em sala de aula, selecionando e adequando as atividades de forma que
estas venham atrair a atenção dos alunos.
Freire (2000, p. 45) diz que “assim pensamos num professor, mediador do
conhecimento, sensível e crítico, aprendiz permanente e organizador do trabalho na
15
escola, um orientador, um cooperador, curioso e, sobretudo, um construtor de
sentido”.
Essa nova postura, advinda do conhecimento teórico sobre o ensino e
aprendizagem da matemática pode transformar a sala de aula em um espaço de
interação, de apoio, cooperação de forma que os alunos se sintam envolvidos com
as atividades propostas e consigam levar o conhecimento construído para a sua vida
em sociedade.
Sendo assim é papel da escola promover uma educação de qualidade com o
foco na construção da cidadania, sendo assim, o professordeve estar atento para
perceber as dificuldades dos alunos e então redirecionar sua pratica visando a
superação dessas dificuldades. Diante desse contexto Rios (2002, p.42) enfatiza
que:
O professor deve exercer uma docência da melhor qualidade centrada na
organização educacional em todos os quatro eixos de aprendizagem
fundamentais ao longo de toda a vida, para cada indivíduo os pilares do
conhecimento: Aprender a conhecer aprender fazer, aprender a conviver e a
ser. Aprendendo a fazer como via essencial que integra a vida plena do
indivíduo.
Portanto de acordo com Moura (2001, p.30) ”Fazer da sala de aula o lugar de
aprendizagem natural do sujeito e estabelecer como objetivo da escola criação de
um ambiente onde se partilha e constrói significados”.
Diante dessa afirmação entende-se que no processo de ensino o papel do
professor vai muito além de prover os indivíduos de conhecimento, mas também de
prepará-los para o mundo do trabalho, para a construção de valores e para a vida.
Seguindo esse pensamento, a seguir, vamos abordar como o ensino de
matriz pode ser contextualizado com o conceito de criptografia. Para isso,
apresentaremos algumas definições e propriedades importantes que permitirá
desenvolver o presente trabalho alinhado a seu objetivo principal
16
2.2 O USO DE MATRIZES
2.2.1 Definição de matriz
As matrizes podem ser definidas de várias formas, dentre elas temos que são
um conjunto de dados numéricos dipostos em forma de tabelas por meio de linhas e
colunas. Ao Tomarmos e como números naturais não nulos representamos as
linhas(horizontal) por e as colunas(vertical) por , resultando em uma tabela com 
números reais, formando assim uma matriz (leia-se: m por n) (IEZZI,
2010)
Em meados do seculo XIX através do matemático inglês Arthur Cayley(1821-
1895) os primeiros estudos de matrizes vieram a tona. De acordo com os registros,
esses estudos pautavam-se em operações envolvendo matriz nula e matriz
identidade, dois tipos de matrizes. Vale ressaltar que anteriormente no século III
a.C., o povo chines trabalhava de forma contida com o desenvolvimento de métodos
de resolução de sistemas lineares que também envolvia matrizes.
As operações realizadas por Cayley estavam diretamente ligadas a Estrutura
Algébrica (componente de Matemática do Ensino Superior). Futuramente todas suas
ações práticas dariam forma as tabelas compostas por linhas e colunas, as quais,
nos dias atuais, estão constantemente presente na informática, economia e em
outros diversos contextos (BOYER, 2010).
2.2.2 Representação de Uma Matriz
Admitindo-se uma matriz do tipo . Temos que, qualquer elemento
pertencente a essa matriz pode ser representado através da simbologia , sendo a
17
Por exemplo, é uma
matriz quadrada 2 x 2.
posição onde se encontra o elemento referente a linha e a posição onde se
encontra o elemento referente a coluna.
Assim quando possuímos uma sequência de valores, a sua conversão correta
se dá de cima para baixo nas colunas e da esquerda para a direita nas linhas. De
modo geral uma matriz do tipo é representada por , onde e 
são números inteiros positivos, e é um elemento qualquer de A.
Agora veremos alguns tipos de matrizes com suas principais características e
também as operações de soma, diferença e multiplicação entre elas.
2.2.3 Tipos de Matrizes
2.2.3.1 Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz de ordem é quadrada, quando . Isso
significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos
representar este tipo de matriz por .
Seja uma matriz quadrada de ordem temos que:
· Os elementos de cujo índice da linha é igual ao índice da coluna constituem
a diagonal principal de .
· Os elementos da matriz cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual
a constituem a diagonal secundária de .
2.2.3.2 Matriz Identidade
18
, é uma matriz identidade 3 x 3.
Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem cujos elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são
nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por .
2.3 OPERAÇÃO COM MATRIZES
2.3.1 Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes e ,chama-se produto de por , e
se indica por , a matriz , em que
para todo e todo
Acompanhe o procedimento que devemos seguir para obtermos da matriz ,
segundo Iezzi (2010, p.79)
· 1o) Tomamos ordenadamente os elementos da linha da Matriz
.
· 2o) Tomamos ordenadamente os elementos da coluna Matriz
.
· 3o) Multiplicamos o 1o elemento de 1 pelo 1o elemento de 2, o 2o elemento de
1 pelo 2o elemento de 2, e assim sucessivamente.
· 4o) Somamos os produtos obtidos.
Assim:
Observações:
· A definição garante a existência do produto se o número de colunas de 
é igual ao numero de linhas de 
· A matriz produto é uma matriz cujo número de linhas é igual ao
número de linhas de e o número de colunas é igual ao número de colunas
de . Observamos o esquema abaixo:
1
2
19
Exemplo:
Dadas as Matrizes e , vamos calcular 
Como é do tipo e é do tipo , temos que existe e é do tipo 
Escrevendo os elementos de em sua forma genérica, temos que 
Da definição, temos:
· (Linha 1 de e coluna 1 de ): 
· (Linha 1 de e coluna 2 de ): 
· (Linha 2 de e coluna 1 de ): 
· (Linha 2 de e coluna 2 de ): 
Logo, 
garante a existência do
produto
20
Agora que sabemos como fazer multiplicação entre matrizes, vamos estudar a
multiplicação de duas matrizes onde seu resultado é uma matriz identidade.
2.3.2 Matriz Inversa
Uma matriz quadrada , é invertível se existe uma matriz , tal que
, onde é chamada a inversa de . Se não possui inversa, dizemos
que não é invertível.
Observação: Se uma matriz possui uma inversa, então está inversa é única
Prova: Suponha que:
AB1 = B1A = I
AB2 = B2A = I
Tomando a equação B1A = I, por exemplo, e multiplicando ambos os lados
desta equação à direita por B2, obtemos:
(B1A)B2 = IB2
B1(AB2) = B2
B1I = B2
B1 = B2
Propriedades:
1 - Se A é invertível, então A-1 também é e (A-1)-1 = A
2 - Se A, B são invertíveis, então AB também é e: (AB)-1 = B-1A-1
Para verificar isso, temos que mostrar que:
(AB) B-1A-1= I
B-1A-1(AB) = I
Provaremos a primeira identidade, já que a demonstração da segunda é análoga.
(AB) B-1A-1= I = A (BB-1) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I.
3 – Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t. com isto:
21
At(A-1)t = [(A-1)At] = It = I
4 – Se AB = I, então BA = I. A propriedade 4 nos diz que para verificar se uma
matriz e invertível, basta verificar se ela possui uma inversa à direita ou uma inversa
à esquerda.
As matrizes possuem outras propriedades e operações além das que citamos
até aqui. O seu estudo e aplicação é amplo, em seguida, vamos abordar sobre como
podemos encontra-las fora do contexto escolar, em especial o uso de matriz inversa
no campo tecnológico através do conceito de criptografia.
2.4 MATRIZES NO COTIDIANO
22
As matrizes fazem parte do componente curricular de matemática do ensino
médio, sendo estudadas e desenvolvidas no 2o ano desta modalidade, segundo
Souza (2010, p.10):
O desenvolvimento das matrizes ocorreu a partir do século XIX, apesar de
ter representações de números semelhantes as matrizes modernas desde a
Era Cristã, com matemáticos como Arthur Cayley, Augustin-Louis Cauchy e
William Rowan Hamilton. Recentemente, com as planilhas eletrônicas de
computador, podem ser feitos cálculos antes realizados à mão, de maneira
cansativa e lenta. Essas planilhas, em geral, são formadas por tabelas que
armazenam os dados utilizados no problema.
Com o passar dos anos o mundo foi sofrendo diversos avanços, junto a isso,
o desenvolvimento das matrizes também acompanhou esses avanços por meio de
aplicações que fazemos diariamente nos campos da informática, na economia, física
e em variados instrumentos de nosso estudo.
Por exemplo, dentro da economia as matrizes são usadas na interpretação de
gráficos originados de grandes tabelas. Nos grandes centros e organizações
financeiras, como a bolsade valores, as matrizes são extremamente usadas para a
leitura de um número expressivo de informações dispostas sob as tabelas.
Na área da engenharia, os engenheiros civis constantemente fazem uso das
matrizes para elaborarem a divisão de metros, distribuição de materiais e em
diversas construções. Já na física é possível usar as matrizes estudando o
deslocamento e o tempo.
Podemos também encontrar as matrizes na área da informática. Rapidamente
vem a nossa mente a famosa planilha eletrônica Excel da Microsoft, que ilustra
perfeitamente a divisão de tabelas. Existe um caso em especial dentro informática
que iremos abordar com mais detalhes. Trata-se de estudarmos e aplicarmos o
conceito de criptografia com o auxílio de matrizes, em especifico matriz inversa.
23
2.5 O ENSINO DE MATRIZES DENTRO DO CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA
Desde a antiguidade, o homem sempre buscou comunicar-se através de
mensagens para seu processo de desenvolvimento e conhecimento. Atualmente
esse método ainda é utilizado, porém sofrendo alterações na sua forma de enviar e
receber mensagens, devido aos meios de comunicação que foram surgindo e
evoluindo com o passar dos anos.
Em tempos onde a guerra e o comércio eram disputados, a utilização de
escritas secretas era uma arma poderosa para conquista. Seu principal objetivo era
fazer com que seu conteúdo fosse apenas lido e interpretado por aqueles aos quais
elas foram enviadas
Estima-se que no ano de 1900 a.C foi documentado o primeiro uso de escrita
secreta. Khnumhotep II, um grande chefe egípcio, decidiu alterar algumas palavras
do texto de uma mensagem substituindo-as por símbolos. Assim, mesmo que o
documento fosse interceptado não seria possível compreender o real significado da
mensagem ali contida. Kahn (1967).
Mais adiante surgiram as famosas cifras do imperador romano Júlio Cesar.
Elas consistiam basicamente em modificar três posições de cada letra do alfabeto
utilizado naquela época. Isso se daria da seguinte forma tomando como exemplo
nosso alfabeto; a letra A assumiria o lugar da letra D, B o lugar da letra E, e assim
por diante. Apesar de antigo e um pouco simples, é possível encontrar atualmente
meios que fazem uso desse método.
Segundo Tkotz (2003), em 1901 surge a comunicação sem fio, o que tornou
possível realizar uma comunicação mais distante sem a necessidade fios ou cabos.
No entanto, isso deixaria o conteúdo das mensagens mais expostas e o processo de
esconde-las mais trabalhoso. No entanto, esse novo modelo foi aceito e disseminado
em torno do mundo.
Conforme as necessidades de se ter uma melhor segurança foram surgindo
várias formas de escritas secretas, dentre elas, a Criptografia. Que segundo Singh:
“O objetivo da criptografia não é ocultar a existência de uma mensagem, e
sim esconder o seu significado – um processo conhecido como encriptação.
Para tornar a mensagem incompreensível, o texto é misturado de acordo
com um protocolo específico, que já foi estabelecido previamente por
ambos transmissores e receptor. ”(2014, p.12)
24
O protocolo estabelecido entre o transmissor e o receptor é denominado
Chave, que possibilita escrever a mensagem secreta e depois voltar à mensagem
original. Assim, ocultar a mensagem passou a não ser necessário, visto que, o envio
dessas pode ser interceptado, já que seu conteúdo não será compreendido pelo
interceptador.
Podemos acompanhar a evolução da criptografia ao longo dos anos conforme
a tabela abaixo, Tkotz (2003).
Tabela 1 – Evolução da Criptografia
Ano Marco Histórico
1943 Cria-se a primeira máquina para quebra de códigos secretos,
Máquina Collossus.
1969 Um sistema de chaves públicas e privadas separadas é
desenvolvido por James Ellis, um engenheiro e criptografo britânico.
1976 Batizado de Diffie-Hellman, temos o surgimento de um algoritmo
que se baseia no problema do logaritmo secreto, é tido como o
criptossistema de chave pública mais antigo usado.
1976 Ainda no mesmo ano a IBM, uma renomada empresa de
Informática, apresenta a cifra Lúcifer como modificações ao
algoritmo Diffie.
1977 Criação da Criptografia RSA, que possui sua base na fatoração de
números primos grandes.
1978 De forma oficial a Criptografia RSA é publicada pela ACM
(Association for Computing Machinery), um dos mais renomados
meios de divulgação de pesquisas científicas.
1990 Lançado o algoritmo IDEA composto por uma chave de 128 bits
com intuito de tornar as implementações em software mais
eficientes.
1991 Torna-se público o PGP, um padrão de segurança para os usuários
contra a invasão de privacidade.
1994 Apresentado o algoritmo de rotação RC5 que possibilita a variação
e o comprimento da chave de encriptação.
2000 Um novo padrão de criptografia é apresentado ao mundo pelo NIST
(National Institute of Standarts Technology), o padrão AES.
25
2000 - 2004 A partir daqui uma nova onda de pesquisas para melhorar o uso da
criptografia é amplamente difundida em todo o mundo.
Fonte: TKOTZ, 2003.
É possível notar a evolução que criptografia passou ao longo dos anos. Isso
foi possível devido a estudos aprofundados e com o surgimento de novas
ferramentas que possibilitaram seu avanço. Atento a isso, vamos abordar como
podemos aplica-la através do uso de matriz inversa.
2.6 O USO DE MATRIZ INVERSA APLICANDO O CONCEITO DE CRIPTOGRAFIA
Trataremos agora a abordagem de matriz, em específico, com a definição de
matriz inversa; , dentro do conceito de criptografia estudado no tópico
anterior. (ZATTI,2010)
Para exemplificar o presente método, trabalharemos com as seguintes
matrizes: e a matriz . Sendo a inversa de . A seguir
veremos passo a passo como codificar uma mensagem e decodifica-la.
1o passo: Construir a tabela de letras e símbolos e escrever a mensagem
· Precisamos do auxílio de uma tabela para retirarmos nossa mensagem.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1
7
R S T U V W X Y Z . , _ -
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
· Em seguida retiramos as letras e/ou caracteres com seus respectivos valores
para formar a mensagem a qual desejamos criptografar.
Vamos escrever a mensagem Matemática:
M A T E M A T I C A
26
13 1 20 5 13 1 20 9 3 1
Passo 2: Organizar a mensagem em forma de matriz e criptografa-la.
· Temos que nossa matriz para codificar as mensagens é quadrada de ordem
2, ou seja, possui duas linhas e duas colunas.
· Assim, deveremos escrever a sequência de números de nossa mensagem na
forma de uma matriz obrigatoriamente com 2 linhas. Não importando a
quantidade de colunas.
Observação: Se a sequência de números tivesse uma quantidade ímpar, bastaria
colocarmos no final da última linha um espaço ou um número maior que 30, assim
não seria comprometido o conteúdo da mensagem.
Feito isso, vamos codificar nossa mensagem pegando a matriz e multiplica-la pela
nossa matriz (chave para codificação).
Onde: C = Matriz que representará a mensagem codificada.
A = Matriz (chave) usada para criptografar a mensagem.
M = Matriz mensagem a ser criptografada.
x
Passo 3: Descriptografar a mensagem e exibir seu conteúdo.
· Vamos pegar a matriz , e alinharmos os números para
forma nossa mensagem criptografada.
· Nossa mensagem criptografada é a seguinte: 72, 145, 163, 46, 72, 29, 62, 67,
19, 29
27
· Agora vamos descriptografar nossa mensagem. Ao chegar no destinatário ele
deverá transformar a mensagem em uma matriz N de duas linhas.
· Para isso, é preciso utilizar a matriz , que será nossa chave
para decodificação da mensagem. Vamos aplicar a seguinte propriedade de
multiplicação de matrizes:
· Assim, basta o destinatário pegar a mensagem codificada e transformá-la em
uma matriz de duas linhas e multiplica-la à esquerda pela matriz , para
assim descobrir o conteúdo da mensagem.
Agora, vamos pegar nossa matriz e transforma-la numa sequência numérica,
associando cada valor de com a tabela de codificação e decodificação
M A T E M A T I C A
13 1 20 5 13 1 20 9 3 1
Assim descobre-se o conteúdo da mensagemenviada: Matemática. Com isso,
conseguimos fazer uso de conteúdos matemáticos, matriz inversa, dentro do
conceito de criptografia. Isso nos possibilitou aplicar esses conhecimentos em sala
de aula, coletar dados e discuti-los.
28
3 METODOLOGIA
3.1 TIPO DE METODOLOGIA
Para materializar os resultados abaixo, o referido trabalho foi desenvolvido em
duas etapas: A primeira foi à pesquisa bibliográfica. De acordo com Gil (2008, p. 50)
“A pesquisa bibliográfica é desenvolvida a partir de material já elaborado constituído
principalmente de livros e artigos científicos”. Desta forma, buscou-se fazer um
estudo sobre o tema.
A segunda foi a pesquisa de campo, que segundo Gil (2008) é o tipo de
pesquisa que pretende buscar a informação diretamente com a população
pesquisada. Ela exige do pesquisador um encontro mais direto. Nesse caso, o
pesquisador precisa ir ao espaço onde o fenômeno ocorre, ou ocorreu e reunir um
conjunto de informações a serem documentadas. Assim, Gil (2008, p. 53) define
uma pesquisa de campo como aquele no qual:
 (...) o pesquisador realiza a maior parte do trabalho pessoalmente, pois é
enfatizada importância de o pesquisador ter tido ele mesmo uma
experiência direta com a situação de estudo. Também exige do pesquisador
que permaneça o maior tempo possível na comunidade, pois somente com
essa imersão na realidade é que se pode entender as regras, os costumes,
e as convenções que regem o grupo estudado.
Sendo assim, buscam-se elementos para chegar-se a resultados mais
concretos e mais próximos da realidade. Outra facilidade é que, como não requer
muitos equipamentos especiais, para a coleta de dados tende a ser mais econômica,
e as respostas tem a probabilidade de serem mais confiáveis.
Quanto aos objetivos o referido estudo tem caráter descritivo e teve como
objetivo descrever as características de uma determinada população ou fenômeno
(GIL, 2008).
O estudo de campo, de modo qualitativo e quantitativo refere-se à busca que
o pesquisador obteve para tentar encontrar os meios de colher informações a partir
de questionários e observações feitas em sala de aula.
 Segundo Kalhil (2006, p.45) “as pesquisas quantitativas que descrevem e
propõe explicações, utilizam formas elementares de análise de dados”.
 As questões empregadas no questionário foram dos tipos fechadas e abertas.
As perguntas do tipo fechadas visam ao pesquisado que apresenta dificuldades para
29
expressar seus pensamentos através da escrita, marcar unicamente as opções que
mais se ajusta às suas características. Como frisa Richardson (2008, p. 19) “São
aqueles instrumentos em que as perguntas ou afirmações apresentem categorias ou
alternativas de respostas fixas e preestabelecidas. O entrevistado deve responder à
alternativa que mais se ajusta às suas características, ideias ou sentimentos”.
 As perguntas do tipo abertas contribuem para explicar e acrescentar
informações na reformulação e na determinação das alternativas referentes às
perguntas fechadas. Segundo Richardson (2008) as perguntas abertas é que
permitirão ao entrevistado ter maior liberdade ao apresentar sua perspectiva acerca
de um tema apresentado, podendo argumentar segundo sua compreensão e não
ficar restrito apenas a optar pelo o que lhe foi imposto.
3.2 CAMPO DE ESTUDO
O Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Roraima (IFRR) é
um centro de referência educacional que vem contribuindo há 20 anos para o
processo de desenvolvimento do Estado de Roraima. Desde a sua criação até os
dias atuais, busca promover uma formação integral e qualificada, unindo ensino,
pesquisa e extensão, em conformidade com os aspectos produtivos locais, sociais e
culturais, auxiliando o desenvolvimento sustentável dentro da sociedade. Sua
atuação está pautada em ações acadêmicas de formação, qualificação, extensão e
prestação de serviços nos seguintes eixos tecnológicos: Formação Técnica de Nível
Médio, Cursos Superiores e Formação de Professores, todas atreladas em áreas
profissionais relevantes que visam desenvolver de forma eficaz todas suas ações.
O IFRR prima por manter e respeitar seus valores que são: Ética,
Compromisso Social, Gestão Democrática, Excelência, Sustentabilidade, respeito à
Diversidade e Justiça, procurando ser referência no país como instituição de
formação profissional e tecnológica na promoção de ensino, pesquisa e extensão
nas mais diversas áreas de conhecimento e aprendizagem no seu campo de
atuação.
De acordo com o PDI, Plano de Desenvolvimento Institucional do IFRR (2014-
2018, p. 44), um dos seus objetivos é ministrar educação profissional técnica de
nível médio, prioritariamente na forma de cursos integrados, para os concluintes do
ensino fundamental e para o público da Educação de Jovens e Adultos e também
30
realizar pesquisas aplicadas, no intuito de estimular o desenvolvimento de soluções
técnicas e tecnológicas, estendendo seus benefícios à comunidade e Instituição.
Para lograr êxito em suas atribuições, o IFRR conta com um quadro de 481
servidores efetivos, entre técnicos-administrativos e docentes. Aportando em sua
estrutura mais de 15 salas de aulas, distribuídas entre laboratórios de Ciências
Biológicas, Informática e seus derivados, 1 Biblioteca com mais de 20.000
exemplares, 2 Ginásios Poliesportivos, 1 Complexo de Artes, 1 Área de Convivência,
1 Centro de Saúde com auxílios odontológicos, de primeiros socorros e de
psiquiatria, 1 Pista de Atletismo e um Campo de Futebol.
3.3 MÉTODOS
O método utilizado para a coleta de dados fez uso de meios quantitativos e
qualitativos, identificando universo, amostra: probabilística ou não probabilística,
instrumentos. Vergara (2005) afirma que a pesquisa descritiva expõe características
de determinada população ou de determinado fenômeno. O instrumento para coleta
de dados foi a aplicação de questionários contendo perguntas abertas e fechadas.
Para isso, foram necessárias seis aulas dividias entre duas turmas do 2o ano
do ensino médio integrado do IFRR-CBV, uma de edificações e outra de
secretariado. Ficando duas aulas para observação e uma para aplicação do projeto.
O professor de matemática na pessoa de Nicodemos Ferreira, foi gentil em ceder
algumas aulas para a execução do projeto. Nos dias 29/05/2018 e 01/06/2018
adentrei na turma de edificações para acompanhar as aulas de matemática sobre
matrizes, tomei nota de alguns pontos relevantes para a preparação da aula que eu
iria ministrar e acompanhei como eles relatavam suas dúvidas junto ao professor.
Terminado essa etapa, no dia 05/06/2018 foi aplicado junto a turma as
atividades propostas pelo projeto. A aula iniciou com uma breve apresentação por
meio de slides sobre matrizes e um pouco de seu uso no cotidiano, logo depois foi
abordado sobre criptografia e sua importância, terminado, fomos ao quadro para
expor como usaríamos a criptografia dentro do ensino de matriz inversa usando os
passos descritos na Seção 3.6 do presente trabalho.
Iniciamos apresentando uma mensagem codificada arranjada numa
sequência de números e a matriz que usamos para codificar nossa mensagem. O
passo seguinte foi calcular a matriz inversa da matriz codificadora. Feito isso, foi
31
tomado a sequência de números e a transformamos numa matriz. Calculada a matriz
inversa, tomamos posse da mesma e a usamos para decodificar a mensagem e
descobrir seu conteúdo multiplicando-a pela matriz mensagem codificada. Após o
término do exemplo foi feito um desafio para os alunos. Eles receberam uma
mensagem codificada e teriam que decodifica-la tomando como base o exemplo.
Vale ressaltar que antes do início dos procedimentos descritos, foi entregue
duas questões fechadas para saber como eles percebiam o uso de matriz inversa no
cotidiano e se conseguiam estabelecer seu estudo com a criptografia. Fechamos a
aula com uma questão aberta, onde eles relataram a importância do estudo de
matriz inversa e como podemos usa-la na atualidade.
O mesmoprocedimento foi aplicado junto a turma de secretariado. Sendo nos
dias 04/06/2108 e 06/06/2018 reservados para a observação e o dia 13/06/2018 para
aplicação do projeto.
3.4 CRONOGRAMA
TURMA AULAS ATIVIDADE REALIZADA
2o Ano - Edificações 29/05/2018
Acompanhamento da
aula sobre matrizes
2o Ano - Edificações 01/06/2018
Acompanhamento da
aula sobre Matriz inversa
2o Ano - Edificações 05/06/2018
Aplicação da pesquisa,
aula prática.
2o Ano - Secretariado 04/06/2108
Acompanhamento da
aula sobre matrizes
2o Ano - Secretariado 06/06/2018
Acompanhamento da
aula sobre Matriz inversa
2o Ano - Secretariado 13/06/2018
Aplicação da pesquisa,
aula prática.
32
3.5 TRATAMENTO DOS DADOS
Após a coleta dos dados foi feito a análise dos mesmos através de um olhar
reflexivo e crítico, onde foi evidenciado as informações coletadas através do exposto
pelos entrevistados nos questionários e posterior a isso foi construído os gráficos por
meio de tabulação, com base nas informações obtidas.
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4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1 PERCEPÇÕES DOS ALUNOS QUANTO A APLICAÇÃO DO CONHECIMENTO
DE MATRIZ NO COTIDIANO
Para chegar aos resultados desejados, os dados abaixo apresentados foram
coletados através de questionários delimitados a duas turmas de 2o ano do Ensino
Médio, do IFRR/CBV. Sendo 54 alunos escolhidos aleatoriamente, que
demonstraram através das respostas seus pensamentos e concepções a respeito do
ensino de Matemática na escola. Em seguida serão apresentados os pontos
relevantes apontados pelos entrevistados.
O primeiro questionamento realizado teve como objetivo identificar o
conhecimento dos alunos sobre a aplicação de matrizes inversas no cotidiano, nesse
sentido, o gráfico 1 nos mostra que um percentual de 91% respondeu que não
percebiam em suas atividades diárias o uso das matrizes inversas, já 9% afirmaram
que sim, que consegue relacionar matrizes inversas no cotidiano. Observa-se
claramente, que a maioria dos entrevistados não conseguem fazer a relação sobre a
aplicação destas matrizes no seu dia a dia, ratificando a hipótese de muitos autores
de que a matemática é compreendida como uma ciência abstrata. Como ressalta o
PCN (pg.29) de matemática:
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma
inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas,
buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver
uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando
essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta
melhor resultado.
Diante desse pensamento fica evidente a necessidade de um ensino
matemático que aproxime o aluno da realidade que o cerca, possibilitando-o
estabelecer conexões com suas vidas, e principalmente no papel do professor, tendo
em vista que para aprender o aluno precisa estar motivado, desenvolvendo dessa
forma uma aprendizagem significativa. Contudo, para que isso ocorra é necessário
que as atividades propostas pelo educador sejam intencionais e planejadas,
baseadas em uma concepção de que o aluno constrói aprendizagens significativas.
Segundo Coll (1998, p. 55):
Para a aprendizagem ser significativa duas condições devem ser
cumpridas. Em primeiro lugar, o conteúdo deve ser potencialmente
significativo [...] Em segundo lugar, deve-se ter uma atitude favorável para
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aprender significativamente, ou seja, o aluno deve estar motivado para
relacionar o que aprende com o que já sabe.
Assim, torna-se maior a necessidade de despertar nos alunos uma visão mais
ampla dos conceitos matemáticos, que ultrapassem a sala de aula. Nesse sentido o
professor é considerado o condutor desse processo, criando um espaço ideal para
desenvolver essas percepções.
Sendo assim, o educador deve criar um espaço onde suas ações didáticas
possam estar vinculadas diretamente as necessidades dos educandos criando e
recriando espaços favoráveis ao desenvolvimento de habilidades e competências.
Gráfico 1- Aplicação de matriz no cotidiano.
Fonte: Fredson, 2018.
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4.2 CORRELAÇÃO ENTRE MATRIZ INVERSA E CRIPTGRAFIA.
A segunda questão aborda sobre a correlação entre matrizes inversas e
criptografia. De acordo com o gráfico 2, 95% dos alunos afirmaram que não
conseguem estabelecer essa correlação, ao passo que 5% afirmaram que sim, que
conseguem fazer. Isso evidencia ainda mais a ausência dos conceitos matemáticos
que podemos aplica-los em nossas atividades corriqueiras.
É fundamental o papel do professor como mediador, incentivador e motivador
da aprendizagem, que possa criar situações de aprendizagem onde leve o aluno a
construir conhecimentos sólidos. Para que os conceitos matemáticos sejam
construídos de forma significativa os alunos devem compreender que o que
aprendem na escola vai e estar sendo utilizado em suas relações com o mundo
exterior a sala de aula. Para Chavante (2015, pg.261).
A ação de contextualizar um conteúdo matemático com o objetivo de que
este seja aprendido se faz necessária para entender que o conhecimento
está inserido na relação entre aquele que aprende e o que é aprendido. Ou
seja, para se utilizar e contextualização, é preciso envolver o aluno em
situações que estejam próximas de sua realidade. Com isso o aluno
estabelece relações com outras áreas do conhecimento.
Dessa forma todo o conhecimento matemático construído na sala de aula
deixará de ser visto como algo abstrato e sem sentido, e sim como algo real, que
será utilizado nas relações com o mundo.
Gráfico 2 –. Correlação entre matriz inversa e criptografia
Fonte: Fredson, 2018
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4.3 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE MATRIZ INVERSA ATRELADA A
CRIPTOGRAFIA.
Na terceira e última questão que se referiu a criptografia atrelada a
importância do estudo das matrizes inversas na atualidade, os alunos expuseram
suas opiniões destacando a importância do estudo de matriz inversa, e seu uso
sendo essencial nos tempos atuais
Trataremos algumas respostas obtidas na íntegra pelos próprios alunos,
utilizando nomes fictícios para representa-los. O aluno A, destacou o seguinte sobre
a importância do estudo de matriz inversa: “ Aprender a utilizar a criptografia para
estabelecer uma comunicação mais segura na internet hoje em dia”. O aluno azul
manifestou-se relatando: “A matriz inversa é um dos meios de criptografia
extremamente necessária para a proteção de informações na internet que facilitam
nossas vidas”.
Com base nas respostas apresentadas fica perceptível como os conteúdos
matemáticos, em específico, matriz inversa, são melhores compreendidos e aceitos
quando o aluno consegue enxerga-lo fora de sua realidade escolar. Novamente
Chavante (2015, p.260) enfatiza:
Ao entendermos a matemática como uma construção necessária para
lidarmos com vários fenômenos oriundos da realidade, esta não pode ser
encarada como uma disciplina compartimentalizada, na qual os conteúdos
são tratados de forma isolada. 
Portanto, pode-se dizer que a matemática é um conhecimento construído não
como algo abstrato e sem importância, mas como um conhecimento que pode ser
mobilizado para ser utilizado em variadas situações diferente daquela do qual surgiu,
ou seja, está diretamente ligado as ações do cotidiano.
Pesquisas e estudo atuais tem mostrado que é importante que os alunos
sejam vistos como sujeitos ativos, que participam e interagem com o que acontece
ao seu redor. Diante dessa perspectiva, um ponto de partida para desenvolver um
trabalho com matriz inversa é fazer com que o aluno descubra a sua importância no
seu dia a dia, nas atividades práticas do cotidiano.
Nesse sentido, e importante compreender o ensino de matemática não
consiste somente na aprendizagem de cálculos e resolução de problemas, mas sim
como um conhecimento importante para a vida. Se antes a ênfase da educação
37
estava no ensinar, agora estar centrada no aprender. Morais (1997. p.25) esclarece
que a visão atual de educação deve ser:
Construtivista porque compreende o conhecimento como estando
sempre em processo deconstrução, transformando-se mediante a
ação do indivíduo no mundo, da ação do sujeito sobre o objeto, de
sua transformação em sujeito ativo em processo de permanente
construção. [...] Interacionista porque reconhecem que o sujeito e
objetos são organismos vivos, ativos, abertos, em constante
intercâmbio com o meio ambiente, como estruturas dissipadoras de
energia, mediantes processos interativos indissociáveis e
modificadores das relações sujeito-objeto e sujeito-sujeito, a partir
dos quais um modifica o outro e os sujeitos se modificam entre si.
Sociocultural porque compreende que o “ser” faz na relação, que o
conhecimento é produzido na interação com o mundo físico e social
com base no contato do indivíduo com a sua realidade, com os
outros, incluindo aqui a dimensão social, dialógica inerente a própria
construção do pensamento. [...] Transcendente porque significa a
tentativa de ir mais além de ultrapassar-se, superar-se, entrar em
comunhão com a totalidade indivisível, compreender-se como parte
integrante do universo, onde todas as coisas se tocam entre si. [...]
A matemática propicia o desenvolvimento de noções, competências e
habilidades essenciais a todos os cidadãos que pretendem atuar na sociedade de
forma crítica e independente. Para que isso ocorra, cabe ao educador criar
estratégias de ensino que leve o aluno a estabelecer diversas relações entre ideias e
conceitos matemáticos, e dessa forma desenvolver conhecimentos que possibilitem
a compreensão Matemática e a utiliza-la em outros contextos.
Com isso, os conteúdos da disciplina de matemática, devem estar
relacionados entre si para assim criar uma base para a aprendizagens futuras
possibilitando aos alunos desenvolverem um processo contínuo e cada vez mais
complexo.
Sendo assim, o ensino por parte do educador é quem faz a diferença na sala
de aula, criando estratégias que levem os alunos a construir conhecimento de forma
eficaz, compreendendo que os mesmos apresentam ritmos e maneiras diferentes de
aprendizagem e assim desenvolver um ensino de qualidade. Como enfatiza diz
Freire (1996, p. 29):
O saber se faz através de uma superação constante. O saber superado já é
uma ignorância. Todo saber tem em si o testemunho do novo saber que já
anuncia. Todo saber traz consigo sua própria superação. Portanto, não há
saber nem ignorância absoluta: há somente uma relativação do saber e da
ignorância.
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Para desenvolver uma prática educativa com uma nova visão do ensino de
arte na escola, é necessárias ações do professor em prol de desenvolver o
intelectual e social de seus alunos, tendo a compreensão de que quem educa
também aprende. Sob esse enfoque o professor deverá garantir a manutenção dos
diferentes tipos de diálogo e transformações que decorrem das diversas dimensões
que envolvem a relação educadora e educando. Moura (2001, p.55) ressalta que:
Fazer da sala de aula o lugar de aprendizagem natural do sujeito e
estabelecer como objetivo da escola criação de um ambiente onde se
partilha e constrói significados. A decorrência de se aceitar essa afirmação
verdadeira e que aos que fazem a escola, cabe o planejamento de
atividades de ensino mediante, as quais professores e alunos possam
ampliar modificar e construir significados.
 O papel do educador desse novo tempo poderá ser o de garantir o
movimento, o fluxo de energias e riquezas do processo, o que compreenderá manter
um diálogo permanente, propor situações problema, desafios, estimular reflexões,
estabelecer conexões entre o conhecimento adquirido e novos conceitos e noções,
de modo tal que as intervenções sejam pertinentes a um processo educacional que
construa novas subjetividades.
Educar é uma atividade humana formadora. No atual processo de ensino e
aprendizagem, cabe ao professor, selecionar, organizar e problematizar conteúdos
para permitir que os próprios alunos construam seus conhecimentos. Nesse sentido
Libâneo (1994, p. 17) afirma que:
Através da prática educativa o meio social exerce influência sobre os
indivíduos e estes, ao assimilarem e recriarem essas influencia, tornam-se
capazes de estabelecer uma relação ativa e transformadora em relação ao
meio social. Tais influências se manifestam através de conhecimentos,
experiências, valores, crenças, modos de agir, técnicas e costumes
acumulados por muitas gerações.
Enfim, um cidadão comum depara-se diariamente com situações envolvendo
dados numéricos que precisam ser analisados, interpretados e utilizados. Para isso
ele precisa ter familiaridade com os conceitos matemáticos e capacidade para opera-
los. Por fim, com esse estudo pode-se compreender que um ensino contextualizado,
no nosso caso o de matriz inversa, é um conhecimento matemático muito importante
para o mundo atual. Suas contribuições não se limitam apenas no ambiente escolar,
mas fora dele.
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O ensino da matemática não pode ter como objetivo a simples transmissão de
informações para o aluno. Deve garantir-lhe a autonomia intelectual, possibilitando a
busca, seleção, análise, e sua transformação para viver em uma sociedade em
acelerado processo de crescimento e mudança.
Para que um ensino seja significativo junto aos alunos, é importante que o
professor seja adepto a uma metodologia flexível, onde tenha espaço para novas
formas de apresentar os conteúdos em sala de aula, assim, muitas são as
possibilidades de despertar o interesse dos alunos e obter êxito em todo o processo,
e levá-los a aprender os conteúdos de matemática de forma significativa.
Porém, muitos são os fatores que dificultam esse processo. Pois é
compreensível que a maioria dos professores, por vezes, não possuem uma
formação adequada, em determinados momentos encontram-se sobrecarregados,
não possuindo tempo suficiente para elaborarem um planejamento mais qualificado.
Ainda temos também a má remuneração, o que acarreta na dificuldade de investirem
em linhas de pesquisa, ter acesso a bons livros e desenvolverem projetos.
Ao analisar os relatos dos alunos sobre a abordagem do ensino de matriz
inversa contextualizado com a aplicação dos conceitos de criptografia, foi possível
atender o objetivo deste trabalho. Pois, por meio da exposição dos conhecimentos
adquiridos, eles conseguiram associar o ensino de matriz inversa no seu cotidiano
aplicando os fundamentos da criptografia. Destacando também a importância do
estudo de matriz inversa na atualidade e de como ela reflete na vida de cada um.
Assim, conforme o objetivo deste estudo chegou-se à conclusão, de que o
uso da criptografia como ferramenta de ensino de matriz inversa, torna-se um
excelente meio de fazer com que os alunos construam conhecimentos suficientes
para compreender que a matemática não acontece somente na escola, mas fora
dela, sendo um conhecimento útil para a realização de suas atividades no cotidiano,
tornando-os aptos utilizar esses conhecimentos e assim a atuar na sociedade de
forma crítica e reflexiva.
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REFERËNCIAS
BIGODE, Antônio José Lopes; GIMENEZ, Joaquim. Metodologia para o ensino da
Aritmética: competência numérica no cotidiano. 1 ed. São Paulo: FTD, 2009.
BORBA, M. C; Penteado, M.G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte:
Autentica 2003.
BRASIL. (2.000). Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF
BORBA, M. C; Penteado, M.G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte:
Autentica 2003.
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 3. ed. São Paulo:
Edgard Blucher, 2010.
CHAVANTE, Eduardo Rodrigues. Convergências: matemática, 9o ano: anos
finais: ensino fundamental / Eduardo Rodrigues Chavante. – 1a ed. – São Paulo:
Edições SM, 2015. – (Convergências)
COLL, C. O construtivismo em sala de aula. São Paulo: Ática: 1998.
COSTA, Lucinete Gadelha: Jogos e brincadeiras como forma de intervenção
pedagógica. Lucinet Gadelha e da Costa (Org.) Ana Glacia Claudini Ferreira, João
Luiz da Costa Barros,