7+-+AULA+-+PLANIMETRIA+-+COORDENADAS (2)

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Faculdade Pitágoras de Ipatinga/MG
Prof. Msc Leonardo Sérgio do Espírito Santo
CURSO DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL
TOPOGRAFIA E 
GEORREFERENCIAMENTO
Introdução:
Planimetria: Coordenadas
Durante um levantamento topográfico, normalmente são determinados pontos de apoio
ao levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos), e a partir destes,
são levantados os demais pontos que permitem representar a área levantada. A primeira
etapa pode ser chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de
levantamento de detalhes.
Uso de instrumentos para a obtenção das medidas das distâncias e das áreas projetadas
sobre o plano horizontal.
Métodos de levantamento planimétrico:
Planimetria: Coordenadas
Método por Irradiação:
Este processo é utilizado para levantamento de pequenas áreas ou, principalmente como
método auxiliar à Poligonação, e consiste em escolher um ponto conveniente para
instalar o aparelho, podendo este ponto estar dentro ou fora do perímetro, tomando nota
dos azimutes e distâncias entre a estação do teodolito e cada ponto visado.
Além de ser simples, rápido e fácil, ele tem a vantagem de poder ser associado a outros
métodos (como o do caminhamento, por exemplo) como auxiliar na complementação do
levantamento.
Métodos de levantamento planimétrico:
Planimetria: Coordenadas
Método por Intersecção:
Chamado assim por fazer a interseção entre as medidas de dois pontos (duas estações).
Este método se resume em visar da estação A (base) os vértices do polígono, e ler os
azimutes de cada um. Logo depois transporta-se o teodolito para uma segunda estação
B, da qual lê-se pontos já visados por A, lendo as deflexões.
Pode de ser empregado como um levantamento
único para uma área ou como auxiliar no
caminhamento, desde que as áreas sejam
relativamente pequenas.
Métodos de levantamento planimétrico:
Planimetria: Coordenadas
Método por Caminhamento:
Este processo consiste, na medida dos lados sucessivos de uma poligonal e na
determinação dos ângulos que esses lados formam entre si, percorrendo a poligonal, isto
é, caminhando sobre ela. Método trabalhoso, porém de grande precisão, o
Caminhamento adapta-se a qualquer tipo e extensão de área, sendo largamente utilizado
em áreas relativamente grandes e acidentadas. Associam-se ao caminhamento, os
métodos de irradiação e interseção como auxiliares.
Aberto: quando constituído de uma linha poligonal
apoiada sobre dois pontos distintos e denominados –
um o ponto de origem e o outro, o ponto de fechamento
Fechado: quando constituído de um polígono que se
apoia sobre um único ponto, o ponto de origem, com a
qual se confunde o ponto de fechamento.
Métodos de levantamento planimétrico:
Planimetria: Coordenadas
Medidas de distâncias:
Ao se definir a operação Planimetria mostrou-se a necessidade da medida das distâncias
entre os pontos que se pretende representar em um plano horizontal, ou seja, em um
desenho.
Quando são medidas distâncias inclinadas, elas são utilizadas reduzindo-as à projeção
horizontal equivalente, que satisfaz às principais ou mesmo todas as necessidades para
execução do projeto. Essa projeção é suficiente para qualquer fim, visto que as
construções se apoiam sobre projeções horizontais e a grande maioria das plantas úteis
cresce na direção vertical.
Planimetria: Coordenadas
Projeção Horizontal:
Métodos de levantamento planimétrico:
Planimetria: Coordenadas
Projeção Horizontal:
Todos os pontos projetados devem ser nomeados, gerando um par de coordenadas.
Métodos de levantamento planimétrico:
Cálculo de Coordenadas:
A posição relativa dos pontos da superfície terrestre é caracterizada pelas coordenadas
num sistema de referência. Qualquer que seja o sistema envolvido, tais coordenadas são:
abscissa e a ordenada. Em topografia, as coordenadas são referidas ao plano horizontal
de referência, o plano topográfico; o sistema de coordenadas topográficas é definido po
rum sistema plano-retangular XY, sendo que o eixo das ordenadas (Y) está orientado (é
paralelo) segundo a direção norte-sul e o eixo positivo das abscissas (X) forma 90º na
direção leste. Uma terceira grandeza, a altura (cota ou altitude) junta-se às coordenadas
planas X e Y, definindo a posição tridimensional do ponto.
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
Nesta fase, será detalhado o desenvolvimento necessário para a determinação das
coordenadas planas, ou seja, as coordenadas x e y. De uma forma mais simples, pode-se
dizer que a projeção em “X” é a representação da distância entre os dois vértices do
alinhamento sobre o eixo das abscissas e a projeção em “Y” a representação da mesma
distância no eixo das ordenadas.
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções:
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
Exercício:
1) Um terreno, em forma de quadrilátero, foi levantado conforme croqui abaixo, obtendo-
se os seguintes dados. Encontre as coordenadas dos pontos A, B, C, D.
 = 60º; b = 130º, ACB = 90º, A-B = 60m
AzBD = 220º
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
1) Resposta: Triângulo superior:
tg 30º = y1/x1  x1+x2=60m
tg 60º = y1/x2
0,577 = y1/ x1  x1 = y1 / 0,577
1,732 = y1 / x2  x2 = y1 / 1,732
y1 / 0,577 + y1 / 1,732 = 60  y126m
x1= 26/0,577 = 45m
x2= 26/1,732 = 15m
Coordenadas ponto A: (0;0)
Coordenadas ponto B: (60,0)
Coordenadas ponto C: (45;26)
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
1) Resposta: Triângulo Inferior
AzAC = 60º
AzCB = AzAC + 180º - AiC = 60º + 180º - 90º = 150º
AzBD = AzCB + 180º - AiB 
220º = 150º + 180º - AiB  AiB = 110º
AiB = 60º + b  b = 50º
AzAC = AzDA + 180º - AiA 
60º = AzDA + 180º - 70º 
AzDA = -50º+360º= 310º
Planimetria: Coordenadas
Cálculo de Coordenadas:
1) Resposta: Triângulo inferior:
tg 40º = y2 / x3  x3+x4=60m
tg 50º = y2 / x4
0,8391 = y2 / x3  x3 = y2 / 0,8391
1,1917 = y2/ x4  x4 = y2 / 1,1917
y2 / 0,8391 + y2 / 1,1917 = 60 
y230m
x3= 30/0,8391  35m
x4= 30/1,1917  25m
Coordenadas ponto D: (35;30)
Planimetria: Coordenadas
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
O cálculo da poligonal inicia após a compensação do fechamento angular.
Corrigidos os ângulos e calculados os azimutes, inicia-se o cálculo das coordenadas
provisórias:
Xi = coordenada das abcissas do ponto
Yi = coordenada das ordenadas do ponto
di-1->i: distância entre 02 pontos
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
Erro Linear:
Um vez determinado e distribuído o erro angular de fechamento, considera-se a poligonal
“fechada” em termos angulares. Resta determinar o valor do erro linear de fechamento,
compará-lo com o seu respectivo limite de tolerância e caso seja inferior a este, efetua-se
a compensação do erro linear.
Para comparação deve-se fazer a soma algébrica das projeções dos lados de um
polígono sobre um sistema de eixos ortogonais deverá ser nula.
O erro linear é proveniente das imprecisões de
leituras da mira e também pelos erros nas leituras dos
ângulos. Apesar de efetuar a compensação do erro
angular, as distâncias continuarão afetadas, desde
que faça uma compensação o erro de fechamento.
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
Verificação do erro de fechamento linear:
Confrontando a soma das colunas das coordenadas parciais tem-se:
ex: Diferença linear das coordenadas das abscissas
ey: Diferença linear das coordenadas das ordenadas
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
Verificação do erro de fechamento linear:
Apresentação do erro em forma de escala:
Sd = perímetro da poligonal (somatório de
todas as distâncias da poligonal)
Z = parâmetro da escala
< 1 “ok”
2000
Para cada 1.000m de perímetro, tolera-se um
erro de 1 a 2m.
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
Compensação do erro de fechamento linear:
Apresentação do erro em forma de escala:
As coordenadas corrigidas (finais) serão dadas por:Cxi = correção para a coordenada Xi
Cyi : correção para a coordenada Yi
Sd: somatório das distâncias
di-1,i: distância
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal,
determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. Verifique a tolerância
angular para a poligonal fechada considerando o coeficiente de precisão 02’.
Dados:
Azimute da direção OPP-1 = 45º
Ângulo medido = Ângulo Horizontal externo
Coordenadas da estação OPP = (0,0)
Efetuar a correção angular nos pontos 3 e 4
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Tolerância angular:
T= 02 . 5 (1/2) = 4,47’
Erro angular (Ea) = SHzi - SHmedidos
SHzi = 180 (5-2) = 1260º
SHmedidos = 1259º 58’
Ea = 1260º - 1259º 58’ = 02’
Para T=4,47’ > EA=02’ -> “Ok”
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Correção angular:
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo dos Azimutes:
Azseg = Azant + Ae – 180º
Az1 = 45º + 215º 32’ – 180º
Az1 = 80º 32’
Az2 = 189º 26’
Az3 = 296º 33’
Az4 = 258º 41’
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo das coordenadas finais:
Xi = X i-1 + d i-1->i . sen (Az i-1->i)
X1 = X0 + d 0->1 . sen (Az 0->1)
X1 = 0 + 56,57 x sen (45º) = 40,001
X2 = 40,001 + 60,83 x sen (80º 32’) = 100,003
X3=100,003 + 60,75 x sen (189º 26’) = 90,046
X4 = 90,046 + 44,72 x sen (296º 33’) = 50,042
X5 = 50,042 + 51,01 x sen (258º 41’) = 0,023
Yi = Y i-1 + d i-1->i . cos (Az i-1->i)
Y1 = Y0 + d 0->1 . cos (Az 0->1)
Y1 = 0 + 56,57 x cos (45º) = 40,001
Y2 = 40,001 + 60,83 x cos (80º 32’) = 50,006
Y3=50,006 + 60,75 x cos (189º 26’) = - 9,923
Y4 =-9,923 + 44,72 x cos (296º 33’) = 10,066
Y5 = 10,066 + 51,01 x cos (258º 41’) = 0,057
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Verificação do erro linear:
ex = X OPP Calculado - X OPP = 0,023 – 0 = 0,023m
eY = Y OPP Calculado - Y OPP = 0,057 – 0 = 0,057m
ep = (ex2 + ey2) 1/2
ep = (0,0232 + 0,0572) 1/2 = 0,062m
= (56,57+60,83+60,75+44,72+51,01) = 4417,420
0,062
= = 1 => Erro planimétrico < tolerância linear
4417,420
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo das coordenadas:
X Y
OPP OPP->1 56,57 45° 45 0 0
1 1 -> 2 215° 32' 60,83 80° 32' 80,533 40,001 40,001
2 2 -> 3 288° 54' 60,75 189° 26' 189,433 100,003 50,006
3 3 -> 4 287° 07' 44,72 296° 33' 296,550 90,046 -9,923
4 4 -> OPP 142° 08' 51,01 258° 41' 258,683 50,042 10,066
5=OPP 326° 19' 45° 45 0,023 0,057
Coordenadas (m)
Ponto Direção
Ângulo 
Corrigido
Distância 
(m)
Azimute
Azimute 
(°)
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Gráfico:
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo das coordenadas finais:
Cx1 = - 0,023 . 56,57 / 273,88 = - 0,00484
Cx2 = - 0,023 . 60,83 / 273,88 = - 0,00520
Cx3 = - 0,023 . 60,75 / 273,88 = - 0,00519
Cx2 = - 0,023 . 44,72 / 273,88 = - 0,00382
Cx2 = - 0,023 . 51,01 / 273,88 = - 0,00436
Xi
C = X Ci-1 + d i-1->i . sen (Az i-1->i) + Cxi
X1
C = XC0 + d 0->1 . sen (Az 0->1) + Cx1
X1 = 0 + 56,57 x sen (45º)–0,00484 = 39,996
X2=39,996+60,83xsen(80º32’)–0,0052= 99,993
X3=99,993+60,75xsen(189º26’)-0,00519= 90,030
X4=90,030+44,72xsen (296º33’)-0,00382= 50,023
X5 =50,023+51,01xsen (258º41’)-0,00436 = 0,000
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo das coordenadas finais:
Cy1 = - 0,057 . 56,57 / 273,88 = - 0,01169
Cy2 = - 0,057 . 60,83 / 273,88 = - 0,01257
Cy3 = - 0,057 . 60,75 / 273,88 = - 0,01256
Cy2 = - 0,057 . 44,72 / 273,88 = - 0,00924
Cy2 = - 0,057 . 51,01 / 273,88 = - 0,01054
Yi
C = Y Ci-1 + d i-1->i . sen (Az i-1->i) + Cyi
Y1
C = YC0 + d 0->1 . sen (Az 0->1) + Cy1
Y1 = 0 + 56,57 x sen (45º)–0,01169 = 39,989
Y2=39,989+60,83xsen(80º32’)–0,01257= 49,982
Y3=49,982+60,75xsen(189º26’)-0,01256= -9,959
Y4=-9,959+44,72xsen (296º33’)-0,00924= 10,020
Y5 =10,020+51,01xsen (258º41’)-0,01054 = 0,000
Cálculo da Poligonal:
Planimetria: Coordenadas
2) Resposta:
Cálculo das coordenadas corrigidas:
X Y ex ey X Y
OPP OPP->1 56,57 45° 0 0 0 0
1 1 -> 2 215° 32' 60,83 80° 32' 40,001 40,001 39,996 39,989
2 2 -> 3 288° 54' 60,75 189° 26' 100,003 50,006 99,993 49,982
3 3 -> 4 287° 07' 44,72 296° 33' 90,046 -9,923 90,030 -9,959
4 4 -> OPP 142° 08' 51,01 258° 41' 50,042 10,066 50,023 10,020
5=OPP 326° 19' 45° 0,023 0,057 0,023 0,057 0,061 4470 ok 0,000 0,000
1260° 273,88
Erro linear
Coordenadas 
Corrigidas (m)ep Z 1/Z
Coordenadas (m)
Ponto Direção
Ângulo 
Corrigido
Distância 
(m)
Azimute
Cálculo da Poligonal: