matemática_rac_lógico

Prévia do material em texto

www.pontodosconcursos.net 1 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. DIVISIBILIDADE 
 
01. Critério de divisibilidade por 1: todo número é divisível 
por 1. 
 
02. Critério de divisibilidade por 2: Um número natural é 
divisível por 2 quando ele é par. 
 
03. Critério de divisibilidade por 3: Um número natural é 
divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 3. 
 
Exemplos: 
a) 42(4+2=6) 
b) 126(1+2+6=9) 
 
04. Critério de divisibilidade por 4: Um número natural é 
divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos 
formam um número divisível por 4. 
Exemplos: 
 
a) 14511483128(28 é divisível por 4) 
b)25485459744(44 é divisível por 4) 
 
05. Critério de divisibilidade por 5: Um número natural é 
divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
a) 4546568755735 
b) 2154464646950 
 
06. Critério de divisibilidade por 6: Um número natural é 
divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 
 
Exemplos: 
a) 138 
b) 714 
 
07. Vamos julgar se vale ou não a pena usar esse critério. 
 
08. Critério de divisibilidade por 8: Um número natura é 
divisível por 8 quando seus três últimos algarismos 
formam um número divisível por 8. 
 
Exemplos: 
a) 12240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. 
b) 95.880 é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8. 
 
09. Critério de divisibilidade por 9: Um número natural é 
divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 9. 
 
Exemplos: 
a) 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 
9. 
b) 2124 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível 
por 9. 
c) 8793 é divisível por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 é 
divisível por 9. 
 
10. Critério de divisibilidade por 10: Um número natural é 
divisível por 10 quando termina em 0. 
 
11. Critério de divisibilidade por 11: Um número é divisível 
por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é 
divisível por 11. 
 
Exemplos: 
a) 23639 é divisível por 11, pois, 
• soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6 
• soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 6 + 9 = 17 
Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11. 
b) 919193 é divisível por 11. 
• soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 = 5 
• soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 
 
01. Avalie se os quatro números a seguir são divisíveis por 
3: 
I)300; 
II) 333.333.333; 
III)3.444.444.444.444.444 ; 
IV)11.111.111.111.111.111.111.111.111.111 
 A quantidade de números divisíveis por 3 é 2; 
 
02. Avalie se os quatro números a seguir são divisíveis por 
6: 
I)32200; 
II)333.333.333.114; 
III)3.444.444.444.444.444 
IV)11.111.111.111.111.111.111.111.111.111 
 A quantidade de números divisíveis por 6 é 3; 
 
 
03. Sabendo que 22222222n é divisível por 6. Os valores 
possíveis para n são 0 e 2 
 
 
04. os únicos restos que podem dar na divisão por 5, um 
número que não seja divisível por 5 é 1,2,3,4 
 
 
05. Seja o numero 2436925H6, então é verdade que para 
qualquer valor de H esse numero sempre será divisível por 
2, mas nunca será divisível por 5. Já em relação a 
divisibilidade por 3 o H pode ser substituído por apenas 
três números. 
 
 
06. Uma sequência de nove números naturais foi criada 
segundo uma regra lógica. Seguem os quatro primeiros 
números da sequência: 1; 12; 123; 1234. O resto da 
divisão entre o maior número da sequência que não é 
divisível por 3, pelo segundo maior número da sequência 
que também não é divisível por 3 é 6789. 
 07. Um número é composto por 3 algarismos sendo que o 
algarismo da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma 
dos possíveis algarismos da dezena desse número de 
modo que ele seja divisível por 3 é: 
a) 15 b) 18 c) 12 d) 10 e) 09 
1-F 2-F 3-F 4-V 5-V 6-F 7-C 8- 9- 10- 
 
MATEMÁTICA/ RACIOCÍNIO LÓGICO 
 PROF: RAUL PEREIRA 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 2 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
 
2. NÚMEROS PRIMOS 
Números primos são os números naturais que têm 
apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 
Exemplos: 
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um 
número primo. 
 
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um 
número primo. 
 
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10não é um 
número primo. 
 Observações: 
 
=>1 não é um número primo, porque ele tem apenas 
um divisor que é ele mesmo. 
 
=>2 é o único número primo que é par. 
Os números que têm mais de dois divisores são chamados 
números compostos. 
 
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um 
número composto. 
Reconhecimento de um número primo 
 Para saber se um número é primo, dividimos esse número 
pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que 
tenhamos: 
 => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número 
não é primo, 
 => ou uma divisão com quociente menor que o divisor 
e o resto diferente de zero. Neste caso o número é 
primo. 
Exemplos: 
1) O número 161: 
não é par, portanto não é divisível por 2; 
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; 
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 
5; 
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível 
por 7, e portanto não é um número primo. 
2) O número 113: 
não é par, portanto não é divisível por 2; 
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; 
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 
5; 
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda 
é maior que o divisor (7). 
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é 
menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente 
de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número 
primo. 
01. O menor número primo maior que 500 somado com o 
menor número primo maior que 800 vale1311. 
1-F 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 
 
3. MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO 
NATURAL. 
 
01. Múltiplos: 
M (4) = 
M (6) = 
M (8) = 
 
02. Divisores: 
D (24) = 
D (32) = 
D (64) 
 
QG 01. Três diretores regionais da ECT viajam 
regularmente para Brasília. Um viaja de 12 em 12 dias, 
outro, de 10 em 10 dias e um terceiro, de 8 em 8 dias. Se, 
hoje, eles viajam juntos, então voltarão a viajar juntos 
novamente em 45 dias. 
 
QG 02. Três peças de tecidos devem ser divididas em 
partes de tamanhos iguais, sendo o maior tamanho 
possível. Se as peças medem 90 m, 108 m e 144 m, então 
cada parte deve medir, em metros 18 . 
 
QG 03. Considerando A o MDC (maior divisor comum) 
entre os números 24 e 60 e B o MMC (menor múltiplo 
comum) entre os números 12 e 20, então o valor de 2A + 
3B é igual a 72 
 
 
QG 04. Um comerciante comprou 2 caixas de frutas, a 
primeira caixa com 24 kg de maçãs e a outra com 44 kg 
de laranjas. Ele irá vendê-las em embalagens, de modo 
que cada embalagem contenha a mesma quantidade em 
kg de cada fruta sem misturá-las, usando o menor número 
possível de embalagens. Se vender todas as embalagens a 
um preço unitário de R$ 3,00, então irá arrecadar o valor 
de 72,00 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 3 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
QG 05. João trabalha 5 dias e folga 1, enquanto Maria 
trabalha 3 dias e folga 1. 
Se João e Maria folgam no mesmo dia, então no mínimo 
15 dias, passarão para que eles folguem no mesmo dia 
novamente 
 
QG 06. Uma empresa de transportes contratou3 
funcionários que trabalharão no seguinte regime: 
Funcionário A: viagens de 3 em 3 dias 
Funcionário B: viagens de 6 em 6 dias 
Funcionário C: viagens de 8 em 8 dias 
O dono da empresa esteve hoje 1° de abril com os três 
funcionários e retornara no dia 1° de cada mês para fechar 
os balancetes da empresa. 
Supondo que todos os meses tivessem 30 dias a próxima 
vez que os três funcionários estarão juntos novamente 
para fechar o próximo balancete será no mês de? 
a) abril 
b) maio 
c) julho 
d) agosto 
e) dezembro 
 
QG 07. Um médico receitou ao paciente três 
medicamentos distintos, para serem tomados, cada um, 
em intervalos de 1h 20min, 1h 30min e 2h. Se à meia-
noite ele tomou os três medicamentos, então ele voltará, 
novamente, a tomá-los ao mesmo tempo às: 
a) 10 h 20 min 
b) 12 h 00 min 
c) 13 h 20 min 
d) 13 h 50 min 
e) 14 h 30 min 
 
 
QG 08. Três peças de tecidos devem ser divididas em 
partes de tamanhos iguais, sendo o maior tamanho 
possível. Se as peças medem 60 m, 80 m e 120 m, então 
o total de pedaços será: 
a) 20 b) 13 c) 7 d) 10 e) 60 
 
 
QG 09. O MENOR número inteiro positivo que, ao ser 
dividido por qualquer um dos números, dois, três, cinco ou 
sete, deixa RESTO UM, é: 
a)106 b) 210 c) 211 d) 420 e) 
421 
 
 
QG 10. Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos 
com 132comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de 
antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, 
contendo, cada um, a maior quantidade possível de um 
único tipo de medicamento.Considerando que todos os 
recipientes deverão receber a mesma quantidade de 
medicamento, o número de recipientes necessários para 
essa distribuição é. 
a)24 b)16 c) 12 d) 8 
e) 4 
 
QG 11. Ricardo e André colecionam figurinhas, Ricardo 
sabe que tem mais de 200 e menos de 250 unidades em 
sua coleção. Andre sabe que tem mais de 300 e menos 
que 400. Um fato interessante é que se ambos os meninos 
recebessem mais uma figurinha e resolvessem contá-las 
de 2 em 2, 3 em 3, 4 em 4 e de 5 em 5 não haveria sobra 
de figurinhas em nenhuma dessas contagens. A 
quantidade de figurinhas das duas coleções juntas será? 
a)432 b)600 c)602 d)598 e) mmc de 
2,3,4 e 5. 
 
QG 12. O MENOR número inteiro positivo superior a 298 
que, ao ser dividido por qualquer um dos números, seis, 
oito ou nove, deixa RESTO CINCO, é: 
A)72 b) 305 c) 372 d) 402 e) 365 
 
 
QG 13. Durante suas rondas, dois guardas encontram-se 
num ponto P numa determinada hora. O primeiro retorna a 
esse ponto a cada 48 minutos e o segundo a cada 36 
minutos. Tendo eles se encontrado exatamente à meia 
noite, pode-se afirmar que voltarão a se encontrar às: 
A) 2h24min B) 2h30min C) 3h12min D) 3h42min E) 
3h54mi 
 
QG 14. Ao montar uma equipe de trabalho, um agente 
administrativo escolar verificou que a quantidade de 
pessoas dessa equipe é um número que, ao ser dividido 
por 3 ou por 8, deixa sempre resto 2. O menor número 
natural que pode representar essa quantidade de pessoas 
está compreendido entre: 
A) 15 e 20 B) 20 e 25 C) 25 e 30 D) 35 e 40 E) 
40 e 45 
 
 
QG 15. Seja N um número natural menor que 100. Se N 
não é divisível por 2, 3, 5 e 7, então N é divisível 
a) por 11 
b) por 13 
c) por 19 
d) somente por potências de 2 
e) somente por ele próprio e pela unidade. 
 
QG 16. Em um pequeno mercado, o dono resolveu fazer 
uma promoção. Para tanto, cada uma das 3 caixas 
registradoras foi programada para acender uma luz, em 
intervalos de tempo regulares: na caixa 1, a luz acendia a 
cada 15 minutos; na caixa 2, a cada 30 minutos; e na 
caixa 3, a luz acendia a cada 45 minutos. Toda vez que a 
luz de uma caixa acendia, o cliente que estava nela era 
premiado com um desconto de 3% sobre o valor da 
compra e, quando as 3 luzes acendiam, ao mesmo tempo, 
esse desconto era de 5%. Se, exatamente às 9 horas de 
um determinado dia, as luzes das 3 caixas acenderam ao 
mesmo tempo, então é verdade que o número máximo de 
premiações de 5% de desconto que esse mercado poderia 
ter dado aos seus clientes, das 9 horas às 21 horas e 30 
minutos daquele dia, seria igual a : 
a) 21 b) 27 c) 18 d) 9 e) 45 
 
 
QG 17. Em um bairro onde as casas foram todas 
construídas de acordo com um projeto padrão, os lotes 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 4 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
têm 12 metros de frente, em cada lote a caixa de 
correspondências fica sempre na mesma posição e os 
postes de iluminação pública são espaçados em50 metros. 
O carteiro que entrega correspondências nesse bairro 
percebeu que a caixa de correspondências da primeira 
casa de uma rua bastante longa fica exatamente atrás de 
um poste de iluminação. 
Nesse caso, caminhando nessa rua e desconsiderando os 
possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até que 
encontre a próxima caixa de correspondências atrás do 
poste de iluminação, o carteiro deverá percorrer uma 
distância igual a: 
A.210 metros. 
B.255 metros. 
C.300 metros. 
D.120 metros. 
E.165 metros. 
 
QG 18. Se os trabalhadores de uma certa empresa forem 
organizados em grupos de 4 ou 5 ou 6 pessoas, sempre 
sobrarão 3 trabalhadores. A empresa pretende aumentar o 
número de seus trabalhadores para 80. Para isso, o 
número de novos trabalhadores que ele deverá contratar 
é: 
a) 12 b) 17 c) 20 d) 25 e) 63 
 
QG 19. Um comerciante vende balas em pacotinhos, 
sempre com a mesma quantidade. Ao fazer isso, percebeu 
que dentre as balas que possuía poderia colocar 8, 12 ou 
20 balas em cada pacote. Nessas condições, assinale a 
alternativa que apresenta o número mínimo de balas que o 
comerciante dispunha: 
A) 120 
B) 240 
C) 360 
D) 60 
 
 
1-F 2-V 3-F 4-F 5-F 6-D 7-B 8-B 9-C 10-A 
11-D 12-E 13-A 14-C 15-E 16-B 17-C 18-B 19-A 20- 
 
1. CONJUNTOS 
A PARTE SIMBÓLICA DOS CONJUNTOS 
1.1. Conjuntos 
Para dar início à sua teoria, Georg Cantor (1845-1918) 
admitiu os conceitos primitivos (não definidos) de 
“conjunto” e de “elemento de um conjunto”. Através da 
intuição, associamos conjunto a uma coleção de objetos, 
pessoas, números etc. Os conjuntos, quando indicados por 
letras, utilizam-se geralmente das letras maiúsculas do 
alfabeto latino. 
 
1.2. Elemento 
Os objetos, as pessoas, os números etc., que participam 
de um conjunto, são os elementos desse conjunto. 
 
Usando a simbologia de elemento para conjunto: Um 
conjunto é formado por elementos. Dados um conjunto A e 
um elemento qualquer a (que pode até mesmo ser outro 
conjunto) a única pergunta cabível em relação a eles é: a 
é ou não um elemento do conjunto A? No caso afirmativo, 
diz-se a pertence ao conjunto A e escreve-se a A. Caso 
contrário, põe-se a A e diz-se que a não pertence ao 
conjunto A. Observem que os símbolos e são usados 
apenas de elemento para conjunto. 
Usando a simbologia de conjunto para conjunto: 
agora pessoal quando estivermos falando numa relação 
existente somente entre conjuntos usamos: esta contido 
(⊂), não esta contido (⊄), contem (⊃) e não contem (⊅). 
Representação de um conjunto 
 
Alguns conjuntos fundamentais 
 
Conjunto unitário é aquele formado por um único 
tipo de elemento. 
 
Conjunto vazio é aquele que não possui elemento 
algum. Representa-se o conjunto vazio por ∅ ou { }. 
 
 Um conjunto é finito se for vazio ou se, ao contar seus 
elementos um a um, chega-se ao fim da contagem. 
 
 Conjunto infinito é todo conjunto que não é finito. 
 
 Conjunto universo de um estudo, representado por 𝑼, 
é aquele ao qual pertencem todos os elementos 
relacionados a esse estudo. 
 
SubconjuntoUm conjunto 𝐵 é subconjunto de um conjunto 𝐴 se todos 
os elementos de 𝐵 também são elementos de 𝐴. Indicamos 
esse fato por: 𝐵 ⊂ 𝐴 (lemos: “𝐵 está contido em 𝐴”). 
 
 
Conjunto das partes 
O conjunto das partes de um conjunto 𝐴, que 
indicamos por 𝒫(𝐴), é o conjunto cujos elementos são 
todos os subconjuntos de 𝐴. 
Se um conjunto 𝐴 possui 𝑛 elementos, então 𝒫(𝐴) 
possui 2𝑛elementos. 
 
Exemplo Resolvido: 
Quantos e quais são os subconjuntos de A 2,6,8 ? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
A possui 8 subconjuntos. 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 5 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
Conceitos fundamentais 
 
Operações com conjuntos 
A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, que indicamos por 
𝐴∪𝐵. é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que 
pertencem a 𝐴 ou a 𝐵. 
 
 
 
 
A intersecção de dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵, que indicamos 
por 𝐴 ∩ 𝐵, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles 
que pertencem a 𝐴 e a 𝐵. 
 
 
 
A diferença de dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵, nessa ordem, 
que indicamos por 𝐴 − 𝐵, é o conjunto cujos elementos são 
todos aqueles que pertencem a 𝐴 e não pertencem a 𝐵. 
 
 
01. Dados os conjuntos A={0; 2; 3; 4; 9; 11} e B={2; 9; 
11; 15}, qual a quantidade de elementos que possuem o 
conjuntos dos elementos que estão em A e B, que estão 
em A ou B e que estão em A mas não estão em B, 
respectivamente? 
a) 7, 3 e 4. 
b) 4, 3 e 6 
c) 4, 6 e 4. 
d) 3, 7 e 4. 
e) 3, 7 e 3. 
 
02. Considere dois conjuntos de números A e B com 12 e 
15 elementos, respectivamente. Então, sempre se pode 
afirmar que: 
a) A B terá, no mínimo, 12 elementos. 
b) A B terá, no mínimo, 15 elementos. 
c) o número máximo de elementos de A B é igual ao 
número máximo de elementos de A B. 
d) o número mínimo de elementos de A B é igual ao 
número máximo de elementos de A B. 
03. o conjunto R possui 1024 subconjuntos , isso indica 
que ele possui um total de quantos elementos? 
a) 10 b) 16 c) 32 d) 8 e) 4 
 
 
04. Um conjunto A tem 12 elementos distintos e um 
conjunto B tem 15 elementos distintos. Se A e B tem 7 
elementos em comum, é correto afirmar que: 
a) o total de elementos que estão em A e não estão em B 
é 6. 
b) o total de elementos que estão em B e não estão em A 
é 9. 
c) o total de elementos do conjunto união de A e B é 20. 
d) há 8 elementos que pertencem somente ao conjunto A. 
 
05. Seja um conjunto A com exatamente 7 elementos 
distintos e um conjunto B com exatamente 8 elementos 
distintos, é correto afirmar, COM CERTEZA, que: 
a) O conjunto união entre A e B tem exatamente 15 
elementos distintos. 
b) Se ambos os conjunto forem disjuntos, então o 
conjunto união entre A e B têm exatamente 15 elementos. 
c) O conjunto intersecção entre A e B tem exatamente 1 
elemento. 
d) Se ambos os conjuntos forem disjuntos, então o 
conjunto intersecção entre A e B têm exatamente 15 
elementos. 
e) O conjunto complementar de B com relação ao conjunto 
A tem exatamente 1 elemento. 
 
06. Analise as assertivas abaixo e assinale a alternativa 
correta. 
 
I. Se 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, A tem 6 elementos e B tem 5 elementos, 
então 𝑨∪𝑩 tem 11 elementos. 
 
II. Se A tem 3 elementos e B tem 2 elementos, então 𝑨 ∩ 
𝑩 tem 2 elementos. 
 
III. Se A tem 4 elementos e B tem 3 elementos, então 𝑨∪𝑩 
tem 7 elementos. 
(A) I, II e III são falsas. 
(B) I, II e III são verdadeiras. 
(C) Apenas I e III são verdadeiras. 
(D) Apenas I é verdadeira. 
(E) Apenas III é falsa. 
 
07. São dados os conjuntos: 
D = divisores de 24 (divisores positivos), 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 6 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
M = múltiplos de 3 (múltiplos positivos), 
S = D M e n = número de subconjuntos de S. 
Portanto, n é igual a: 
a) 64 b) 16 c) 32 d) 8 e) 4 
08. Se A e B são subconjuntos do conjunto dos números 
naturais, de modo que A é o conjunto dos números primos 
e B é o conjunto dos números ímpares, é correto afirmar 
que o conjunto diferença A – B 
(A) tem infinitos elementos. 
(B) só tem números ímpares. 
(C) é unitário. 
(D) é vazio. 
(E) é igual ao conjunto B – A. 
09. Considere os conjuntos A, B e C de modo que: A é 
composto por todos os números pares entre 1 e 29, B é 
composto por todos os múltiplos de 3 entre 1 e 29 e C é 
composto por todos os números primos entre 1 e 29. 
Assim, sobre a intersecção entre A, B e C, é correto 
afirmar que: 
(A) é o conjunto formado pelos múltiplos de 6. 
(B) é o conjunto {6, 12, 24}. 
(C) é o conjunto unitário {2}. 
(D) tem todos os elementos entre 1 e 29. 
(E) é o conjunto vazio. 
 
10. Considere os conjuntos A e B dados por A = {2, 5, 13, 
17} e B = {3, 7, 11}. Ao selecionar um elemento “a” de A 
e um elemento “b” de B e escolhermos uma operação 
hipotética “&”, é correto afirmar que a & b pode ser: 
(A) no máximo 28 se “&” for a operação “subtração”. 
(B) no mínimo 1 se “&” for a operação “subtração”. 
(C) no máximo 28 se “&” for a operação “divisão”. 
(D) no mínimo 1 se “&” for a operação “adição”. 
(E) no máximo 187 se “&” for a operação “multiplicação”. 
1-E 2-B 3-A 4-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-E 10-E 
11- 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19- 20- 
 
Conjuntos em diagramas: A maior parte da questões de 
conjuntos em concursos públicos tem uma certa tendência 
para o diagrama de vann Euller. Vamos observar o esboço 
resumido desse diagrama, detalhe ele pode vir com dois 
ou três diagramas geralmente, em alguns Casos podemos 
encontrar questões com mais de três diagramas. 
 
ESCLARECIMENTO 
 
Região A – Nesta região estão as pessoas que gostam dos 
trêsprodutos1, 2, 3 e caso essa informação seja dada na 
questão ela deve ter prioridade. Essa é a informação chave 
para resolver a questão. 
Região B, C, D – Nestas regiões encontramos pessoas que 
gostam de apenas dois produtos. 
Região E, F e G, nestas regiões estão as pessoas que 
gostam de apenas um dos produtos. 
Região H – Aqui estão os que não gostam de nenhum dos 
produtos. 
Obs.: Devemos ficar atentos as expressões como: pelo 
menos um dos produtos, pelo menos dois desses produtos, 
mais de dois produtos, somente um produto. 
E observar que as pessoas que gostam somente do 
produto 1, será representado por F, mas em algumas 
questões maliciosas, podemos encontrar as pessoas que 
gostam do produto 1 que no caso é representado por A, D, 
C e F. 
É bom entender que algumas questões procuram saber 
quais as pessoas que gostam do produto1 e do produto 2 
simultaneamente; neste caso representado por A e C, e 
das pessoas que gostam dos produtos1 ou 2, 
representados por A, B, C, D, G, F, aqui é bom lembrar e 
fazer uma relação de equivalência com os conectivos 
lógicos e/ou que em conjuntos é representado fielmente 
pelos operadores intersecção / união respectivamente. 
 
Ex1. Um bom exemplo: Vamos agora introduzir valores 
nos conjuntos. 
 
Numa pesquisa feita em um supermercado sobre a compra 
de três produtos A, B e C obtivemos as seguintes 
respostas:: 
 
30 pessoas compraram apenas o produto A 
20 pessoas compraram somente o produto B 
7 pessoas compraram o produto C, mas não compraram A 
ou B. 
40 pessoas compraram apenas A e B. 
15 pessoas compraram os três produtos. 
70 pessoas compraram somente os produto B e C. 
50 pessoas não compraram nenhum desses produtos. 
60 pessoas compraram apenas os produtos A e C. 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 7 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA– RAUL PEREIRA 
 
 
 
 
 
Queremos saber: 
a) quantas pessoas foram entrevistadas 
b) quantas pessoas compraram mais de um produto 
c) quantas pessoas compraram apenas dois produtos 
d) quantas pessoas compraram apenas um dos 
produtos 
e) quantas pessoas compraram o produto A 
f) quantas pessoas compraram algum desses 
produtos 
g) quantas pessoas compraram o produto A ou o 
produto B. 
Ex2 . Um bom exemplo: Vamos agora introduzir valores 
nos conjuntos. 
 
Numa pesquisa feita em um supermercado sobre a compra 
de três produtos A, B e C obtivemos as seguintes 
respostas:: 
 
80 pessoas compraram o produto A 
120 pessoas compraram o produto B 
110 pessoas compraram o produtos C. 
30 pessoas compraram os produtos A e C 
20 pessoas compraram os produtos A e B 
40 pessoas compraram os produtos B e C. 
10 pessoas compraram os três produtos. 
200 pessoas não compraram nenhum deles. 
 
 
 
Queremos saber: 
a) quantas pessoas foram entrevistadas 
b) quantas pessoas compraram mais de um produto 
c) quantas pessoas compraram apenas dois produtos 
d) quantas pessoas compraram apenas um dos 
produtos 
e) quantas pessoas compraram o produto A 
f) quantas pessoas compraram algum desses 
produtos 
g) quantas pessoas compraram o produto A ou o 
produto B. 
 
CONJUNTOS I: Tipo I – Nesse tipo de questão será dado 
a intersecção que é o ponto chave para resolver as 
questões de conjuntos, observem que por ser a informação 
crucial, ela na maioria das questões será dada no fim da 
questão. Para solucionar a questão, colocamos o valor da 
intercessão e começamos a preencher os outros campos, 
dando prioridade, sempre onde existir intersecção. 
QG 01.(IBFC) O administrador de uma sorveteria quis 
saber a preferência de seus clientes sobre três 
sabores: morango, chocolate e abacaxi. Para isso, 
elaborou uma ficha em que cada cliente marcaria 
com um X quais sabores eram de sua preferência, 
podendo marcar quantos sabores quisesse. O 
resultado foi o seguinte: 27 clientes marcaram os 
três sabores, 50 marcaram os sabores morango e 
chocolate, 48 marcaram chocolate e abacaxi, 52 
marcaram morango e abacaxi, 80 marcaram abacaxi, 
78 marcaram morango e 82 marcaram chocolate. Se 
todos os clientes marcaram pelo menos um sabor e 
preencheram somente uma ficha cada, então o total 
de clientes consultados foi: 
a) 417 
b) 390 
c) 117 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 8 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
d) 286 
e) 142 
 
QG 02. Um minimercado fez uma pesquisa sobre a 
preferência de seus clientes sobre duas marcas de café 
que são vendidas lá. Dos 150 entrevistados, 25 
responderam que usam 
ambas as marcas, A e B, 75 entrevistados responderam 
que usam apenas a marca B. 
Sabendo que todos os entrevistados optaram por pelo 
menos uma das marcas de café, quantos optaram somente 
pela marca A? 
(A)25. (B) 45. (C)50. (D)55. (E) 
60. 
 
QG 03. Lucas precisava fazer uma pesquisa para 
apresentar no seu trabalho de conclusão de curso. A 
pergunta era sobre qual das duas marcas de café 
que eram usadas no departamento do seu curso as 
pessoas gostavam mais. 150 pessoas responderam 
que preferiam apenas a marca A, 100 responderam 
que preferiam apenas a marca B, e 30 responderam 
que gostavam de ambas as marcas. Sendo assim, 
quantas pessoas Lucas entrevistou? 
(A) 280. 
(B) 250. 
(C) 220. 
(D) 200. 
(E) 180. 
 
QG 04. Depois de uma campanha publicitária para 
melhorar o nível de conhecimento e de informação das 
pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a 
assinar os jornais C, F e J, da seguinte forma: 
 cada um dos empregados assinou pelo menos um dos 
jornais; 
 2 empregados assinaram os 3 jornais; 
 3 empregados assinaram apenas os jornais C e J; 
 8 empregados assinaram apenas o jornal J; 
 4 empregados assinaram os jornais C e F; 
 13 empregados assinaram o jornal J; 
 16 empregados assinaram o jornal C. 
Com base nessas informações, é correto afirmar que: 
I. Nenhum empregado assinou apenas os jornais F e J. 
II. 6 empregados assinaram os jornais C e J. 
III. 3 empregados assinaram apenas os jornais C e F. 
IV. 7 empregados assinaram apenas o jornal F. 
V. 10 empregados assinaram apenas o jornal C. 
As sentenças verdadeiras são: 
a) Apenas I e III. 
b) Apenas I, III e IV. 
c) Apenas II e V. 
d) Apenas I e IV. 
e) Apenas II e IV. 
 
QG 05. Em uma entrevista para saber se as pessoas 
utilizariam os produtos A, B ou C, chegou-se a seguinte 
conclusão: 229 pessoas utilizariam o produto A, 223 
utilizariam o produto B, 196, utilizariam o produto C, 79 
utilizariam os produtos A e B e 89 os produtos A e C, 69 os 
produtos B e C, 37 os três produtos e 53 nenhum dos três. 
Nessas condições, é correto afirmar que: 
a) 275 pessoas utilizariam somente um dos produtos. 
b) 112 pessoas utilizariam somente o produto C 
c) 225 pessoas utilizariam os produtos A e C, mas não 
utilizariam o produto B. 
d) 500 pessoas foram entrevistadas. 
 
 
QG 06.Numa eleição entre dois candidatos sabe-se que 
30% dos eleitores votaram no candidato A, 12% votaram 
nos dois candidatos e 23% votaram em branco. Portanto, 
o total de eleitores que votaram no candidato B foi de: 
a) 45% 
b) 35% 
c) 59% 
d) 47% 
QG 07. Um levantamento efetuado entre 480 pessoas 
mostrou que muitas delas mantinham dois chips de 
celular, A e B, conforme a tabela a seguir: 
 
O total de pessoas que mantinham somente o chip B, 
sabendo que todas as pessoas mantinham pelo 
menos um dos chips, é: 
a) 240 
b) 80 
c) 160 
d) 120 
e) 140 
 
 
QG 08. Uma escola de ensino fundamental oferece cursos 
de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês e 
espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um 
ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
· 30 alunos fazem inglês. 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Qual o número de alunos que fazem inglês ou espanhol? 
a)55 
b)65 
c)45 
d)75 
e)105 
 
 
1-C 2-C 3-A 4-D 5-N 6-C 7-C 8-C 9- 10- 
 
CONJUNTOS II. Nesse caso temos que procurar a 
interseção, ela não será dada de maneira simples, mas 
podemos manter estratégias e encontrá-las nos dados da 
questão. 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 9 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
QG 01. Um grupo de 200 pessoas foi entrevistado para 
saber se pagava suas compras em dinheiro ou utilizava 
cartão. 170 pessoas disseram que pagavam suas compras 
com dinheiro e 90 responderam que pagavam apenas com 
o cartão. 
Sabendo que todos os entrevistados responderam a 
pesquisa, quantas pessoas fazem suas compras utilizando 
os dois, dinheiro e cartão? 
(A) 40 
(B) 50 
(C) 55 
(D) 58 
(E) 60 
 
QG 02. Num concurso público, a comissão aplicadora 
analisou as respostas de 180 candidatos e o resultado foi o 
seguinte: 120 candidatos acertaram a primeira questão, 
135 candidatos acertaram a segunda questão e 12 
candidatos erraram as duas questões. Nessas 
circunstâncias, o número de candidatos que acertaram as 
duas questões foi: 
a) 75 
b) 63 
c) 67 
d) 87 
e) 90 
 
QG 03. Um baralho diferente tem 30 cartas. Essas 
cartas têm dois desenhos. Em algumas, os desenhos 
são vermelhos, em outras, os desenhos são brancos 
e há algumas em que um dos desenhos é branco e o 
outro é vermelho. Se 20 cartas têm algum desenho 
vermelho e 20 cartas têm desenho branco, o número 
de cartas que tem desenhos de exatamente uma cor 
é: 
(A) 5. 
(B) 10. 
(C) 20. 
(D) 25. 
(E) 30. 
QG 04. Em um jantar, foram servidasduas opções de 
carne: boi e frango. Sabe-se que no jantar havia 65 
pessoas, das quais 40 comeram carne de boi, 20 comeram 
carne de frango e 10 não comeram nenhuma das duas 
carnes. 
Então, quantas pessoas comeram carne de boi, mas não 
comeram carne de frango? 
(A) 5 
(B) 15 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 45 
 
QG 05. Sócrates é um filósofo moderno e sabe que praticar 
esporte faz bem à saúde, ele estava em dúvida sobre qual 
esporte fazer,futebol ou basquete. Então resolveu 
consultar a família toda, 35% optou por futebol e 68% 
optou por basquete. Qual foi o percentual da família que 
optou pelos dois esportes? 
a) 5% 
b) 3% 
c) 9% 
d) 10% 
e) 2% 
 
QG 06. Um grupo de 200 pessoas respondeu a uma 
pesquisa sobre a preferência entre dois produtos. Dessas 
pessoas, 160 optaram pelo produto X e 80 pessoas 
optaram pelo produto Y. Sabendo que todas as 200 
pessoas optaram por pelo menos um dos produtos, qual foi 
a porcentagem de pessoas que optou apenas pelo produto 
X? 
(A) 40%. 
(B) 50%. 
(C) 60%. 
(D) 70%. 
(E) 80%. 
 
QG 07. Em uma cidade só existem dois canais locais de 
TV: o canal A e o canal B. Numa pesquisa realizada com 
200 habitantes da cidade, sobre qual desses dois canais 
assistiam, soube-se que todas essas pessoas consultadas 
assistiam a, pelo menos, um desses canais. Soube-se 
também que 65% dos consultados assistiam ao canal A e 
que 55% dos consultados assistiam ao canal B. Com base 
nas informações coletadas nessa pesquisa, pode-se 
concluir que, dos que participaram da pesquisa, o número 
de pessoas que assistem ao canal A e também ao canal B, 
é: 
A) 20; 
B) 25; 
C) 30; 
D) 35; 
E) 40. 
 
1-E 2-D 3-C 4-D 5-B 6-C 7-E 8- 9- 10- 
 
 
CONJUNTOS III. Nessas questões podemos encontrar 
diversas maneiras de solucionar, necessitamos das 
questões tipo I e II e de um pouco mais de conhecimento 
em outros conteúdos como equação, sistemas etc. 
 
QG 01. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos 
lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem 
apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O 
valor de n é 
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 
 
 
QG 02. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol 
mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei 
mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 10 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. 
O número de alunos da classe é: 
a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44 
 
QG 03. Um colégio oferece a seus alunos à prática de um 
ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, basquete e 
vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 
_ 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
_ 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
_ 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
_ o número de alunos que praticam só futebol é idêntico 
ao número dos alunos que praticam só vôlei; 
_ 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
_ 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, 
não praticam vôlei; 
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é 
igual a: 
a) 93 b) 114 c) 103 d) 110 e) 99 
 
QG 04. Cada um dos 42 passageiros de um ônibus é 
flamenguista ou está voltando para casa. Como 22 
passageiros são flamenguistas e 16 passageiros estão 
voltando para casa, pode-se concluir que: 
A) há exatamente 6 flamenguistas voltando para casa; 
B) há mais que 7 e menos que 10 flamenguistas voltando 
para casa; 
C) há exatamente 12 flamenguistas voltando para casa; 
D) o problema está mal formulado; 
E) há no máximo 15 flamenguistas voltando para casa. 
 
QG 05. O diagrama indica a distribuição de atletas da 
delegação de um país nos jogos universitários por medalha 
conquistada. Sabe-se que esse país conquistou medalhas 
apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que 
cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou 
mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do 
mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o 
diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país 
ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir 
corretamente que o número de medalhas conquistadas por 
esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. (B) 29. (C) 52. (D) 46. (E) 
40. 
 
 
1-C 2-E 3-E 4-D 5-D 6- 7- 8- 9- 10- 
 
5. REGRA DE TRES 
 
• ANÁLISE DO TIPO DE PROPORCIONALIDADE ENTRE 
GRANDEZAS 
 
DICA! 
Coloque DP para os casos de proporcionalidade direta 
Coloque IP para os casos de proporcionalidade inversa. 
1. Número de pedreiros que executam a construção de um 
muro (x) Comprimento do muro 
 
2. Número de pedreiros que executam a construção de um 
muro (x) Tempo de construção do muro. 
 
3. Tempo de construção de uma ponte (x) Comprimento 
da ponte 
 
4. Comprimento da ponte (x) Quantidade de concreto na 
construção 
 
5. Comprimento da ponte (x) Valor da construção 
 
6. Velocidade do móvel (x) Espaço percorrido 
 
7. Velocidade do móvel (x) Tempo de percurso 
 
8. Distância percorrida (x) Tempo de Percurso 
 
9. Tempo de viagem (x) Quantidade de víveres na 
provisão 
 
10. Quantidade de Bois (x) Tempo de consumo da ração 
em estoque 
 
11. Horas dedicadas ao estudo (x) Probabilidade de passar 
em 
Concursos 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES: 
 
É uma regra prática que nos permite comparar duas 
grandezas proporcionais, A e B,relacionando dois valores 
de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um 
desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser 
calculado com base nos três valores dados. Daí o nome 
regra de três. 
 
01. (CESGRANRIO) No tanque de combustível do carro de 
José cabem 45 litros de gasolina. Com esse combustível 
ele pode percorrer, em média, 495 km. Quantos litros de 
gasolina, aproximadamente, José gastará para ir de casa 
até o trabalho, se a distância total percorrida é de 35 km? 
a) 2,8 b) 3,2 c) 4,4 d) 5,6 e) 6,4 
 
 
 
02. (DOM CINTRA). Um digitador consegue realizar um 
certo serviço em 10 dias, trabalhando 8 h por dia. Para ele 
realizar o mesmo serviço em apenas 4 dias, mantendo o 
mesmo ritmo de trabalho, o número de horas que teria de 
trabalhar diariamente teria de ser: 
A) 20; B) 18; C) 15; D) 12; 
E) 10. 
 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 11 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
03. Num cruzeiro marítimo com 1200 pessoas a bordo 
(incluindo os tripulantes), há comida suficiente para todas 
durante 18 dias. Caso houvesse 300 pessoas a menos no 
cruzeiro, então a comida será suficiente para: 
A) 20; B) 24 C) 13,5 D) 21 
E) 14. 
 
 
04. A tripulação de um navio, composta de 180 homens, 
dispõe de víveres para 60 dias. Decorridos 15 dias de 
viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para quantos dias 
ainda darão os víveres, após o aumento da tripulação? 
a) 36 b) 27 c) 30 d) 42 
e) 92 
 
05. (DOM CINTRA). Um colégio interno comprou alimentos 
para seus 34 alunos e suficientes para 30 dias. Após uma 
semana de uso dos alimentos, esse orfanato recebeu mais 
12 alunos. Admitindo-se que a cota diária de alimentos de 
cada aluno não tenha sofrido qualquer modificação, o 
número de dias que os alimentos restantes ainda duraram 
foi: 
A) 12. B) 17. C) 20. D) 22.E) 24. 
 
06. 21. Um granjeiro tem ração para alimentar 32 galinhas 
durante 22 dias. Após 4 dias, resolve comprar mais 4 
galinhas. Quanto tempo durarão as provisões se a ração 
de cada galinha não foi diminuída? 
a.16 dias b. 12 dias c. 15 dias d.18 dias e. 
22 dias 
1-B 2-A 3-B 4-A 5-B 6-A 7- 8- 9- 10- 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA: 
 
É uma regra prática utilizada na resolução de problemas 
que envolvem várias grandezas proporcionais. A regra de 
três composta é realizada da seguinte maneira. 
 
1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada 
coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 
 
2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de 
referência. 
 
3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a 
cada uma das outras grandezas, isoladamente, 
identificando se há proporcionalidade direta (seta de 
mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). 
 
4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência 
isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos o 
produto das razões das outras grandezas, lembrando que 
se há proporcionalidade inversa em relação a uma 
grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva 
coluna e escrever a razão inversa no produto. 
 
EX. Em 3 dias, 72 bombons são embalados, usando-se 2 
máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a 
fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 
horas por dia, dessa em 3 dias serão embalados 108 
bombons. 
a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 
e) 5 
 
01. Trabalhando 8 horas por dia, os 2.500 operários de 
uma indústria automobilística produzem 500 veículos em 
30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1.200 
operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas 
por dia? 
a.45 b. 50 c. 55 d. 60 
e. 65 
 
02. (DOM CINTRA). 25 operários, trabalhando 9 horas por 
dia, gastam 20 dias para construírem um muro de 500 
metros. Para construir um muro do mesmo tipo, com 800 
metros, uma turma de 20 operários, de mesma 
capacidade, trabalhando 12 horas por dia, levará: 
A) 15 dias; B) 22 dias; C) 30 dias; D) 45 dias; E) 
60 dias. 
 
03. Cinco pedreiros, trabalhando 8 horas por dia, durante 
4 dias, constroem um muro. Se um pedreiro for demitido, 
o total de horas por dia que os demais pedreiros devem 
trabalhar para construir um muro, com as mesmas 
características do primeiro, durante 5 dias é de: 
a) 8 
b) 10 
c) 6 
d) 12,5 
 
 
 
1-A 2-C 3-A 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 12 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
 
Agora calcule as seguintes raízes quadradas exatas 
caso existam. 
√𝟏𝟓𝟐𝟏√𝟏𝟗𝟔√𝟐𝟖𝟗√𝟒𝟖𝟒 
 
√𝟔𝟐𝟓√𝟑𝟔𝟏√𝟐𝟓𝟔√𝟏𝟐𝟏 
 
√𝟒𝟒𝟏√𝟕𝟖𝟒√𝟔𝟕𝟔√𝟏𝟎𝟐𝟒 
 
√𝟏𝟏𝟓𝟔√𝟏𝟔𝟗√𝟐𝟐𝟓√𝟓𝟐𝟗 
 
 
7. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º 
grau? 
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º 
grau. 
 Exemplo: determine a raiz da função y = x² + 5x + 6: 
x² + 5x + 6 = 0, basta resolver a equação aplicando a 
fórmula de Bháskara. x²+ 5x + 6 = 0 
Acharemos que x = -2 e x 2 = -3. 
Coordenadas do vértice 
A coordenada x do vértice da parábola pode ser 
determinada por . 
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola 
y = x² - 4x + 3 Temos: a = 1, b =- 4 e c = 3. 
 
 Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada 
y? 
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x 
e determinar o valor da coordenada y. 
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola 
y = x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2. 
y = (2)²-4. (2)+3 = 4-8+3=-1 
Logo, as coordenadas do vértice serão V = (2,-1) 
CONCLUSÃO: Portanto, para determinarmos as 
coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor 
da coordenada x e substituindo este valor na função, 
achamos à coordenada y. 
Temos outra maneira de determinar o vértice da parábola, 
a saber: 
 
Máximo e Mínimo 
Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou 
um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a. 
 
Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o 
mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 13 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
Note que o máximo ou mínimo da função f(x) = ax2 + bx 
+c são ambos dados por 
 
Veja, nestes exemplos, a análise do máximo ou mínimo de 
funções de 2º grau. 
 
a) f(x) = 2x2 – 8x + 3 
 
Como a>0, f(x) admite um valor mínimo. Calculando Δ, 
temos: 
 
Δ = (-8) 2 – 4 . 2 . 3 → Δ = 40 
 
Assim, f(x)min = → f(x)min = -5 
 
O valor de x para o qual f(x) é mínimo é dado por 
. 
Em resumo, para x = 2, a função 
 
f(x) = 2x2 – 8x + 3 
 
assume o seu valor mínimo que é -5 
 
b) y = -x2 – 6x + 11 
Como a <0, a função g possui um ponto de máximo. 
 
Δ = 6² – 4 . (-1) . (-11) → Δ = -8 
y = 
 
O valor de x para o qual y é máximo é: x =3 
Em resumo: 
 
 
Para a > 0 o ponto V do vértice é o ponto de mínimo 
da função. 
 
Para a < 0 o ponto V do vértice é ponto de máximo da 
função. 
 
01. José perguntou ao seu avô Pedro, que é professor 
de matemática, com que idade ele se formou na 
faculdade. Pedro disse ao neto que sua idade era o 
produto entre as raízes da equação x2 -10x + 21 = 0. 
Nessas condições, o valor que apresenta a idade que 
Pedro se formou na faculdade será um numero par. 
02. Após várias experiências em laboratório, observou-se 
que a concentração de certo antibiótico, no sangue de 
cobaias, varia de acordo com a função y = 12x – 2x², em 
que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do 
antibiótico. Nessas condições, determine o tempo 
necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de 
concentração no sangue dessas cobaias. 
a) 3 b) 18 c) 4 d) 6 
e) 5 
 
 
 
 
http://www.pontodosconcursos.net/