Secao 11 1 - Sequencias

Prévia do material em texto

LISTA DE CÁLCULO III – SÊQUENCIAS E SÉRIES
Seção 11.1 - Sequências
1. (a) O que é uma sequência?
(b) O que significa dizer que limn→∞ an = 8?
(c) O que significa dizer que lim limn→∞ an =∞?
2. (a) O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos.
(b) O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos.
3–8 Liste os cinco primeiros termos da sequência.
3. an = 1− (0, 2)n
4. an = (n+ 1)/(3n− 1)
5. an = 3(−1)n/n!
6. an = 2 · 4 · 6 . . . · (2n)
7. a1 = 3, an+1 = 2an − 1
8. a1 = 1, an+1 = 1/(1 + an)
9–14 Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão dos
primeiros termos continue.
9. {12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . . }
10. {12 ,
1
4 ,
1
6 ,
1
8 , . . . }
11. {2, 7, 12, 17, . . . }
12. {−14 ,
2
9 ,
−3
16 ,
4
25 , . . . }
13. {1, −23 ,
4
9 ,
−8
27 , . . . }
14. {5, 1, 5, 1, 5, 1, . . . }
15. Liste os primeiros seis termos da sequência definida por an = n/(2n + 1).Esta sequência
parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o.
16. Liste os primeiros nove termos da sequência {cos (nπ/3)}. Essa sequência parece ter um
limite? Em caso afirmativo encontre-o. Em caso negativo, explique por quê.
17–42 Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
17. an = 1− (0, 2)n
18. an =
n3
n3 + 1
19. an =
3 + 5n2
n+ n2
20. an =
n
1 +
√
n
21. an = e1/n
22. an =
3n+2
5n
23. an = tan
(
2nπ
1 + 8n
)
24. an =
√
n+ 1
9n+ 1
25. an =
(−1)n−1n
n2 + 1
26. an =
(−1)nn3
n3 + 2n2 + 1
27. an = cos (n/2)
28. an = cos (2/n)
29.
{
(2n− 1)!
(2n+ 1)!
}
30. an = arctan (2n)
31.
{
en + e−n
e2n − 1
}
32.
{
lnn
ln 2n
}
33. an = n2e−n
34. an = n cosnπ
35. an =
cos2 n
2n
36. an = ln (n+ 1)− lnn
37. an = n sin (1/n)
38. an =
n
√
23n+1
39. an = (1 + 2/n)n
40. an =
sin 2n
1 +
√
n
41. an = ln
(
2n2+1
n2+1
)
42. an =
(ln n)2
n
54. (a) Determine se a sequência definida a seguir é convergente ou divergente:
a1 = 1 an+1 = 4− an para n ≥ 1
(b) O que acontece se o primeiro termo for a1 = 2?
1
55. Se $ 1000 forem investidos a uma taxa de juros de 6%, contabilizados anualmente, depois
de n anos o investimento valerá an = 1000(1, 06)n dólares.
(a) Encontre os cinco primeiros termos da sequencia {an}
(b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.
60–66 Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é
limitada?
60. an = (−2)n+1
61. an = 1/(2n+ 3)
62. an = (2n− 3)/(3n+ 4)
63. an = n(−1)n
64. an = ne(−n)
65. an = n/(n2 + 1)
66. an = n+ 1/n
RESPOSTAS – SEÇÃO 11.1 – SEQUÊNCIAS
3. {0, 0.8, 0.96, 0.992, 0.9984, 0.99968, ...}
4. {1,−1, 3/5, 1/2, 5/11/3/7, ...}
5. {3,−3, 3/2,−1/2, 1/8,−1/40, ...}
6. {2, 8, 48, 384, 3840, ...}
7. {3, 5, 9, 17, 33, ...}
8. {1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, ...}
9. an = (1/2)n
10. an = 1/2n
11. an = 5n− 3
12. an = (−1)nn/(n+ 1)2
13. an = (9/4)(−2/3)n+1
14. an+1 = 6− an
15. an = (1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, ...)
lim an = 1/2
16. an = (1, 12 ,
−1
2 ,−1,
−1
2 ,
1
2 , 1,
1
2 ,
−1
2 , ...)
Não. Função ćıclica
17. 1
18. 1
19. 5
20. D
21. 1
22. 0
23. 1
24. 1/3
25. 0
26. 1
27. D
28. 1
29. 0
30. π/2
31. 0
32. 1
33. 0
34. D
35. 0
36. 0
37. 1
38. 8
39. e2
40. 0
41. ln 2
42. 0
54. (a) D (b) Converge para 2 55. (a) {1060, 1123.6, 1191, 1262.5, 1338.2, ...}
(b) D
60. Não–monótona. Não
61. Decrescente. Sim
62. Crescente. Sim
63. Não–monótona. Não
64. Decrescente. Sim
65. Decrescente. Sim
66. Crescente. Não
2