2-COMPILADO AP1_ME-I - 2019-2_2009-1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2019
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja
de telefone celular ou de qualquer outro aparelho que
permita a conexão à internet.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
A tabela abaixo apresenta o número de empresas por faixa de pessoal ocupado (PO) do setor de
fabricação de bebidas em determinado momento:
Classes de PO Pontos Médios (xi) Número de empresas (ni) nixi Freq. Acum. (%)
10 ` 30 20 489 9.780 53,97
30 ` 100 65 269 17.485 83,66
100 ` 500 300 117 35.100 96,58
500 ` 1.000 750 15 11.250 98,23
1.000 ` 2.000 1.500 9 13.500 99,23
2.000 ` 4.000 3.000 7 21.000 100,00
Total 906 108.115
Questão 1 [1,0 ponto] Qual o número médio de PO por empresa?
R:
Métodos Estat́ısticos I AP1 2/2019
X =
∑
nixi
n
= 108.115906 = 119,33.
Questão 2 [0,5 ponto] Qual a quantidade modal de PO por empresa?
R: A moda é o ponto médio da classe de maior frequência. Neste caso, a frequência é o número de
empresas. Assim, o númeo modal de PO por empresa estará associado ä classe com maior número
de empresa, que é a classe 10 ` 30 com 489 empresas. Assim:
x∗ = 20.
Questão 3 [1,0 ponto] Obtenha o número mediano de PO por empresa.
R: Deseja-se a mediana. De acordo com a frequência acumulada percentual, a classe da mediana
(que acumula 50%) é a classe 10 ` 30, que acumula 53,97% dos dados. Assim, a mediana será
obtida a partir da relação de proporções entre os percentuais e as faixas de PO. Logo:
53, 97− 0
50− 0 =
30− 10
Q2 − 10
=⇒ 53, 9750 =
20
Q2 − 10
=⇒ 53, 97Q2 − 539, 7 = 1.000 =⇒ 53, 97Q2 = 1.539, 7 =⇒ Q2 =
1.539, 7
53, 97 = 28,528.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 4 E 5.
Um determinado produto, cujo preço médio é R$12, 00, é vendido no comércio com preços que variam
de um estabelecimento para outro. Uma amostra de preços deste produto em trinta estabelecimentos
diferentes apresentou
∑
nix
2
i = 5.070. A Receita Federal pretende notificar os estabelecimentos que
estiverem vendendo os produtos com preços muito acima da média, ou seja, caso a diferença X − σ
seja maior ou igual à 7. Sabendo que
σ2 =
∑
nix
2
i − n(X)2
n
,
Responda:
Questão 4 [1,0 ponto] Qual é o desvio-padrão dos preços deste produto?
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Estat́ısticos I AP1 2/2019
R:
σ2 =
∑
nix
2
i − n(X)2
n
= 5.070− (30× (12
2))
30
= 5.070− (30× 144)30
= 5.070− 4.32030
= 75030
= 25
Logo:
σ =
√
25 = 5.
Questão 5 [0,5 ponto] A Receita Federal notificará estes estabelecimentos? (justifique!!)
R: Como X = 12 e σ = 5, então X − σ = 12 − 5 = 7, então a Receita Federal irá SIM notificar
os estabelecimentos.
USE O CONJUNTO DE DADOS ABAIXO PARA RESPONDER AS QUESTÕES DE 6 A
10.
2 2 3 4 4 4 4 5 5 7 9 10 12 18
Questão 6 [0,5 ponto] Obtenha a moda.
R: A moda é o valor que tem a maior frequência. Com uma contagem simples, pode-se perceber
que a moda será:
x∗ = 4.
Questão 7 [0,5 ponto] Obtenha a amplitude total.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Estat́ısticos I AP1 2/2019
R: A amplitude total é a diferença entre a maior e a menor observação. Assim:
∆ = 18− 2 = 16.
Questão 8 [0,5 ponto] Obtenha a mediana.
R: Como n = 14 é par, então a mediana será a média entre as observações 7 e 8. Logo:
Q2 =
x(7) + x(8)
2 =
4 + 5
2 = 4,5.
Questão 9 [0,5 ponto] Obtenha o primeiro quartil.
R: O primeiro quartil é a mediana da primira metade dos dados, que são as 7 primeiras observações.
Como aqui n é impar, então:
Q1 = x(n+1)/2 = x4 = 4.
Questão 10 [0,5 ponto] Obtenha o terceiro quartil.
R: O terceiro quartil é a mediana da segunda metade dos dados, que são as 7 últimas observações.
Como aqui n é impar, então:
Q3 = x(3n+1)/2 = x11 = 9.
CONSIDERE A PALAVRA “SIMULTANEO” E RESOLVA AS QUESTÕES DE 11 A 14.
Questão 11 [0,5 ponto] Quantos são os anagramas desta palavra que começam por vogal?
R: A palavra SIMULTANEO tem 10 letras que não se repetem. Dentre elas, 5 são vogais.
Para começar por vogal, a primeira letra deve ser ocupada por uma vogal e as demais 9 poderndo
ser permutadas. Como temos 5 vogais, este processo vale para cada uma delas. Assim:
5× P9 = 5× 9! = 5× 362.880 = 1.814.400.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Estat́ısticos I AP1 2/2019
Questão 12 [0,5 ponto] Quantos são os anagramas desta palavra em que as vogais estão sempre
juntas?
R: Como temos 5 vogais, para que elas estejam sempre juntas devemos considerá-las como uma
única letra que irá permutar com as demais 5 letras que não são vogais, ou seja, iremos permutar
6 letras. Porém, a“letrona” que são as vogais pode mudar de ordem (as vogais mudam de ordem
entre elas) e isso ocorre com a permutação das 5 vogais. Assim, para cada anagrama das vogais há
6! Anagramas desta palavra
P6P5 = 6!5! = 720× 120 = 86.400.
Questão 13 [0,5 ponto] Quantos são os anagramas desta palavra em que a expressão “MULETA”
aparece?
R: A expressõ MULETA tem 6 letras das 10 letras da palavra SIMULTANEO. Para que ela apareça,
ela tem que ser um única expressão (e nesta ordem, portanto sem permutar entre si). Assim, sobram
para permutar as demais 4 letras, que devem permutar com esta expressão (que deve ser considerada
como a 5a Letra). Logo:
P5 = 5! = 120.
Questão 14 [0,5 ponto] Quantos são os anagramas desta palavra que começam em “S” e terminam
em “O”?
R: Basta fixar a primeira e a última letra e dáı só teremeos 8 a serem permutadas. Logo:
P8 = 8! = 40.320.
Questão 15 [0,5 ponto] Defina “Experimento Aleatório”.
R: Experimento Aleatório é o tipo de experimento que se repetido sob mesmas condições pode
retornar reultados diferentes.
Questão 16 [0,5 ponto] Defina “Espaço Amostral”.
R: Espaço amostral é o conjunto com todos os posśıveis resultados do experimento aleatório.
Questão 17 [0,5 ponto] Defina “Evento Aleatório”.
R: Evento aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2018 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação 
no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 3. 
 
 
 
1) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples não 
agrupadas (Absoluta e Relativa); 
2) (0,5 pt) Obtenha a moda; 
3) (0,5 pt) Obtenha a mediana. 
Solução: 
1) Para a freqüência absoluta, faz-se a contagem e para a freqüência relativa, 
divide-se as freqüências absolutas pelo total. 
Lucro Freq. Abs. Freq. Relat. 
2 3 0,105 4 0,13 
8 2 0,07 
10 4 0,13 
15 5 0,17 
18 3 0,10 
20 3 0,10 
22 4 0,13 
23 2 0,07 
Total 30 1 
 
2) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, o valor 15 detém a maior 
freqüência. Logo: 
𝑥∗ = 𝟏𝟓. 
 
3) A mediana é a média dos valores centrais, uma vez que “n” é par. Assim: 
𝑄2 =
𝑥15 + 𝑥16
2
=
15 + 15
2
= 𝟏𝟓. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 2 2 5 5 5 5 8 8 10 10 10 10 15 15 
15 15 15 18 18 18 20 20 20 22 22 22 22 23 23 
4. (1,0 pt) Considere as notas de 10 alunos de Estatística, cuja média é 6,76. 
Determine o valor de X. 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
Solução: 
Temos que 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑛
 
E que �̅� = 6,76 e 𝑛 = 10. Assim: 
6,76 =
(9,6 + 6,8 + 7,3 + 5,8 + 8,0 + 7,9 + 8,3 + 6,2 + 6,2) + 𝑋
10
=
66,1 + 𝑋
10
 
Logo: 
6,76 × 10 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 67,6 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 𝑋 = 67,6 − 66,1 = 1,5. 
Então: 
𝑿 = 𝟏, 𝟓. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Use a tabela de distribuição de frequências agrupadas abaixo (onde 𝒙𝒊 são obtidas 
através dos pontos médios das classes, 𝒇𝒊(%) é a frequência relativa e FAC é a 
frequência acumulada) para resolver os problemas de 5 a 11. 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
5. (1,0 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
6. (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
7. (0,5 pt) Determine a moda; 
8. (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2); 
9. (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
10. (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
11. (1,0 pt) Determine a mediana. 
 
Solução: 
5. Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, 
(20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a 
amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos observar que, tendo 
xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 𝑛𝑖 =
𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑥𝑖
 e observando o total, pode-se 
encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni podem-se 
completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. A parte das 
três últimas colunas é obtida: 
𝑓𝑖(%) = (
𝑛𝑖
𝑛
) × 100%, a FAC é a soma das frequências absolutas anteriores e a 
FAC(%) é a soma das frequências relativas anteriores. Assim, obtemos: 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 12 72 10 2 10 
8 – 12 10 10 100 1.000 50 12 60 
12 – 16 14 6 84 1.176 30 18 90 
16 – 20 18 1 18 324 5 19 95 
20 – 24 22 1 22 484 5 20 100 
Total 20 236 3.056 100 
 
6. Média: �̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
236
20
= 𝟏𝟏, 𝟖. 
7. Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 
10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: 
x*=10. 
8. Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) =
1
20
(3.056 − 20 × (11,8)2) =
1
20
(3.056 − 20 × 139,24) 
=
1
20
(3.056 − 2.784,8) =
271,2
20
= 13,56. 
Logo: O desvio padrão será: 
𝜎 = √13,56 = 𝟑, 𝟔𝟖. 
 
9. O coeficiente de assimetria é dado por 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
11,8 − 10
3,68
=
1,8
3,68
= 𝟎, 𝟒𝟗. 
10. O coeficiente de variação é dado por 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
× 100 =
3,68
11,8
× 100 = 0,3118 × 100 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟖%. 
 
11. Para o cálculo da mediana, incialmente encontremos a classe que possui 50% dos dados: 
É a classe de 8 – 12. Que acumula de 10% a 60% (que inclui 50%), visto na FAC(%). 
Então, fazendo as proporções adequadas, teremos: 
 
12 − 8
𝑄2 − 8
=
60% − 10%
50% − 10%
 ⇒ 
4
𝑄2 − 8
=
50
40
=
5
4
 
16 = 5(𝑄2 − 8) ⇒ 16 = 5𝑄2 − 40 
 
5𝑄2 = 16 + 40 = 56 ⇒ 𝑄2 =
56
5
= 𝟏𝟏, 𝟐. 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Considere o seguinte experimento: “Lançar um dado honesto de seis faces 
numeradas de 1 a 6 uma única vez e verificar a face voltada para cima ao cair” e 
considere os seguintes eventos: 
A: A face voltada para cima é um número par; 
B: A face voltada para cima é um número maior que 3; 
C: A face voltada para cima é igual à 6; 
D: A face voltada para cima é um número ímpar; 
E: A face voltada para cima é um número menor que 3. 
 
Com estas informações, responda as questões de 12 a 16. 
 
12. (0,5 pt) Este experimento é determinístico ou aleatório? Justifique! 
13. (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
14. (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos mutuamente exclusivos? 
15. (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos complementares? 
16. (0,5 pt) Obtenha o evento (𝐶 ∪ (𝐷 ∩ 𝐸)). 
 
Solução: 
 
12. Este é um experimento aleatório visto que pode ter vários resultados. 
 
13. O espaço amostral. 
 
𝛀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
 
14. São mutuamente exclusivos, ou seja, cuja interseção é vazia: 
(A e D), (B e E), (C e D) e (C e E) 
 
15. Para ser complementar, além de ser mutuamente exclusivo, a união tem que ser 
igual ao espaço amostral. Neste caso, apenas o par (A e D) obedece este 
critério. 
 
16. Este evento será: 
 
(𝐶 ∪ (𝐷 ∩ 𝐸)) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = {𝟏, 𝟔} 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP1) 
2º. Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
 
Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56 resolva 
os problemas de 1 a 10. 
 
1 12 12 12 12 12 12 
2 77 77 77 77 77 77 77 
3 10 10 10 10 
4 00 
5 15 15 56 56 56 56 56 
 
1) (0,5 pt) Qual é a amplitude total dos dados? 
2) (0,5 pt) Qual é o tamanho desta amostra? 
3) (0,5 pt) Qual é a moda desta amostra? 
4) (0,5 pt) Qual é a média destes dados? 
5) (0,5 pt) Obtenha a mediana; 
6) (1,0 pt) Obtenha a variância; 
7) (0,5 pt) Obtenha o desvio padrão; 
8) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
9) (0,5 pt) Obtenha o coeficiente de assimetria; 
10) (1,0 pt) Obtenha os quartis 𝑄1 e 𝑄3. 
 
 
Para resolver os problemas de 11 a 14, utilize o seguinte contexto: 
Um dado honesto de 6 faces e uma moeda honesta são lançados simultaneamente e 
suas faces voltadas para cima são observadas. Defina os seguintes eventos: 
𝑨 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒑𝒂𝒓" 
𝑩 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒂𝒓𝒂" 
𝑪 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑 𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂" 
 
11) (0,5 pt) Construa o espaço amostral Ω deste experimento; 
12) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
13) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
14) (0,5 pt) Explicite o evento C; 
 
15) (0,5 pt) Defina Experimento Aleatório; 
 
16) (0,5 pt) Defina Espaço amostral; 
 
17) (0,5 pt) Defina Evento Aleatório; 
 
18) (0,5 pt) Defina Eventos Mutuamente Exclusivos. 
 
 
Solução: 
 
1) 
A amplitude total é igual a diferença entre o maior e o menor valor: 
Δ = 𝑥max − 𝑥min = 5,56 − 1,12 = 𝟒, 𝟒𝟒 
 
2) 
O tamanho da amostra é igual à: 
𝑛 = 𝟐𝟓 
 
3) 
A moda é o valor de maior frequência: 
𝑥∗ = 𝟐, 𝟕𝟕 
 
4) 
Para o cálculo da média, vamos fazer uma tabela de distribuição de frequências: 
 
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 
1,12 6 6,72 
2,77 7 19,39 
3,10 4 12,40 
4,00 1 4,00 
5,15 2 10,30 
5,56 5 27,80 
Total 25 80,61 
 
𝑋 =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
80,61
25
= 𝟑, 𝟐𝟐 
 
5) 
Como n é ímpar, então: 
𝑄2 = 𝑥(𝑛+1
2
)
= 𝑥13 = 𝟐, 𝟕𝟕6) 
Para o cálculo da variância, vamos completar a tabela de distribuição de frequências: 
 
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 
1,12 6 6,72 7,53 
2,77 7 19,39 53,71 
3,10 4 12,40 38,44 
4,00 1 4,00 16,00 
5,15 2 10,30 53,05 
5,56 5 27,80 154,57 
Total 25 80,61 323,29 
 
𝜎2 =
∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛𝑋
2
𝑛
=
323,29 − 25 × (3,22)2
25
=
323,29 − 259,21
25
 
=
64,08
25
= 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 
 
7) 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 
𝜎 = √2,563 = 𝟏, 𝟔. 
 
8) 
O coeficiente de variação: 
𝐶𝑉 =
𝜎
𝑋
=
1,6
3,22
= 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟗 
 
9) 
Coeficiente de assimetria: 
𝑒 =
𝑋 − 𝑥∗
𝜎
=
3,22 − 2,77
1,6
=
0,45
1,6
= 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
10) 
Como a mediana é um valor observado, ou seja, 𝑥13, então os valores de 𝑄1 e 𝑄3 são 
obtidos incluindo o valor da mediana. Desta forma, o valor de 𝑄1 será a mediana entre 
𝑥1 e 𝑥13 e o valor de 𝑄2 obtido como a mediana entre 𝑥13 e 𝑥25. 
 
𝑄1 = 𝑥7 = 𝟐, 𝟕𝟕 
𝑄3 = 𝑥19 = 𝟓, 𝟏𝟓 
 
11) 
Considere os eventos: 
C: a face da moeda voltada pra cima é “cara”; 
K: a face da moeda voltada pra cima é “coroa”; 
 
O espaço amostral é: 
 
𝛀 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔); (𝑲𝟏); (𝑲𝟐); (𝑲𝟑); (𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 
 
 
12) 
𝑨 = {(𝑪𝟐); (𝑪𝟒); (𝑪𝟔); (𝑲𝟐); (𝑲𝟒); (𝑲𝟔)} 
 
 
13) 
𝑩 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔)} 
 
 
14) 
𝑪 = {(𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 
 
15) 
Experimento Aleatório: É aquele experimento que, repetido sob mesmas condições, 
pode produzir resultados diferentes. 
 
 
 
16) 
Espaço Amostral: É o conjunto com todos os possíveis resultados do experimento 
aleatório. 
 
17) 
Evento Aleatório: É um subconjunto do espaço amostral. 
 
18) 
Dois eventos A e B são ditos Mutuamente Exclusivos se não tem elementos em 
comum, ou seja: 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL – Polo ROC 
2º. Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,0 pt) Considere as notas de 10 alunos de Estatística, cuja média é 6,76. 
Determine o valor de X. 
 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
 
 
Solução: 
 
Temos que 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑛
 
E que �̅� = 6,76 e 𝑛 = 10. Assim: 
 
6,76 =
(9,6 + 6,8 + 7,3 + 5,8 + 8,0 + 7,9 + 8,3 + 6,2 + 6,2) + 𝑋
10
=
66,1 + 𝑋
10
 
 
Logo: 
6,76 × 10 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 67,6 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 𝑋 = 67,6 − 66,1 = 1,5. 
 
Então: 
𝑿 = 𝟏, 𝟓. 
 
 
USE A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PARA DADOS 
AGRUPADOS ABAIXO (ONDE AS MEDIDAS 𝒙𝒊 SÃO OBTIDAS ATRAVÉS 
DOS PONTOS MÉDIOS DAS CLASSES, 𝒇𝒊(%) É A FREQUÊNCIA RELATIVA 
E FAC É A FREQUÊNCIA ACUMULADA) PARA RESOLVER OS 
PROBLEMAS DE 2 A 8. 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
2. (1,0 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os 
totais); 
3. (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
4. (0,5 pt) Determine a moda; 
5. (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2); 
6. (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
7. (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
8. (1,0 pt) Determine a mediana. 
 
Solução: 
2) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, 
(12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, 
dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos 
observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 𝑛𝑖 =
𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑥𝑖
 e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as 
colunas xi e ni podem-se completar as duas últimas facilmente através de 
produtos de colunas. A parte das três últimas colunas é obtida: 
𝑓𝑖(%) = (
𝑛𝑖
𝑛
) × 100%, a FAC é a soma das frequências absolutas anteriores e 
a FAC(%) é a soma das frequências relativas anteriores. Assim, obtemos: 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 12 72 10 2 10 
8 – 12 10 10 100 1.000 50 12 60 
12 – 16 14 6 84 1.176 30 18 90 
16 – 20 18 1 18 324 5 19 95 
20 – 24 22 1 22 484 5 20 100 
Total 20 236 3.056 100 
 
3) Média: �̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
236
20
= 𝟏𝟏, 𝟖. 
4) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior 
freqüência é 10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu 
ponto médio, ou seja: x*=10. 
5) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) =
1
20
(3.056 − 20 × (11,8)2) =
1
20
(3.056 − 20 × 139,24) 
=
1
20
(3.056 − 2.784,8) =
271,2
20
= 13,56. 
Logo: O desvio padrão será: 
𝜎 = √13,56 = 𝟑, 𝟔𝟖. 
 
6) O coeficiente de assimetria é dado por 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
11,8 − 10
3,68
=
1,8
3,68
= 𝟎, 𝟒𝟗. 
7) O coeficiente de variação é dado por 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
× 100 =
3,68
11,8
× 100 = 0,3118 × 100 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟖%. 
 
8) Para o cálculo da mediana, incialmente encontremos a classe que possui 50% 
dos dados: É a classe de 8 – 12. Que acumula de 10% a 60% (que inclui 50%), 
visto na FAC(%). Então, fazendo as proporções adequadas, teremos: 
 
12 − 8
𝑄2 − 8
=
60% − 10%
50% − 10%
 ⇒ 
4
𝑄2 − 8
=
50
40
=
5
4
 
16 = 5(𝑄2 − 8) ⇒ 16 = 5𝑄2 − 40 
 
5𝑄2 = 16 + 40 = 56 ⇒ 𝑄2 =
56
5
= 𝟏𝟏, 𝟐. 
 
 
CONSIDERE O LANÇAMENTO DE DOIS TETRAEDROS (FIGURA 
ESPACIAL COM 4 FACES - FIGURA 1) REGULARES COM AS FACES 
NUMERADAS DE 1 A 4 E VERIFICAR AS FACES QUE FICAM NA BASE. 
COM ESTE EXPERIMENTO, RESOLVA OS PROBLEMAS DE 9 A 13. 
 
 
Figura 1: Tetraedro 
 
9) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
10) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
11) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
12) (0,5 pt) Explicite o evento A-B; 
13) (0,5 pt) Explicite o evento A ∩ B. 
 
 Solução: 
9) O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
Considere os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces 
na base maior que 5}. 
 
10) O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
Logo: 
𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
11) O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:120px-Tetrahedron-slowturn.gif
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 Logo: 
 
𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
12) 
A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
𝑨 − 𝑩 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟑, 𝟏)} 
 
 
 
13) 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
 
14) (0,5 pt) Defina Amostra. 
 
Solução: É um subconjunto da população. 
 
15) (0,5 pt) Defina Variável Quantitativa. 
 
Solução: São as variáveis que mensuram a característica dos dados (Podem 
assumir valores numéricos). 
 
16) (0,5 pt) Defina Variável Qualitativa. 
 
Solução: São as variáveis que descrevem a característica dos dados (Podem 
assumir valores não numéricos). 
 
17) (0,5 pt) Defina Pesquisa censitária (ou censo). 
 
Solução: Pesquisa envolvendo todos os elementos da população. 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora)GABARITO 
 
Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação 
no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 4. 
 
 
 
1) (0,5 pt) Obtenha o diagrama de ramo-e-folhas; 
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (Absoluta e 
Relativa); 
3) (0,5 pt) Obtenha a moda; 
4) (0,5 pt) Obtenha a mediana. 
 
Solução: 
1) Com as unidades no ramo e as dezenas nas folhas, obtemos: 
0 2 2 2 5 5 5 5 8 8 
1 0 0 0 0 5 5 5 5 5 8 8 8 
2 0 0 0 2 2 2 2 3 3 
 
2) Para a freqüência absoluta, faz-se a contagem e para a freqüência relativa, 
divide-se as freqüências absolutas pelo total. 
Lucro Freq. Abs. Freq. Relat. 
2 3 0,10 
5 4 0,13 
8 2 0,07 
10 4 0,13 
15 5 0,17 
18 3 0,10 
20 3 0,10 
22 4 0,13 
23 2 0,07 
Total 30 1 
 
3) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, o valor 15 detém a maior 
freqüência. Logo: 
2 2 2 5 5 5 5 8 8 10 10 10 10 15 15 
15 15 15 18 18 18 20 20 20 22 22 22 22 23 23 
∗ = . 
 
4) A mediana é a média dos valores centrais, uma vez que “n” é par. Assim: 
=
+
2
=
15 + 15
2
= . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Sabendo que =
∑ ( )
, que =
∗
 e que a seguinte amostra (2; 4; 4; 2; 6; 
5; 5; 4; 3; 4) foi coletada, resolva as questões de 5 a 10. 
 
5) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
6) (0,5 pt) Determine a moda destes dados; 
7) (1,0 pt) Determine a variância destes dados; 
8) (0,5 pt) Determine o desvio padrão destes dados; 
9) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação destes dados; 
10) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria destes dados. 
 
Solução: 
 
5) 
=
2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 4
10
=
39
10
= , . 
 
6) A moda é o valor de maior freqüência: 
∗ = . 
 
7) A variância será: 
=
∑ ( − )
=
2 × (2 − 3,9) + (3 − 3,9) + 4 × (4 − 3,9) + 2 × (5 − 3,9) + (6 − 3,9)
10
 
=
(2 × 3,61) + 0,81 + (4 × 0,01) + (2 × 1,21) + 4,41
10
=
7,22 + 0,81 + 0,04 + 2,42 + 4,41
10
=
14,9
10
= , . 
 
8) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
= 1,49 = , . 
 
9) O coeficiente de variação. 
= × 100% =
1,22
3,9
× 100% = 0,3128 × 100% = , %. 
 
10) O coeficiente de assimetria. 
=
− ∗
=
3,9 − 4
1,22
= − , . 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Considere o seguinte experimento: “Lançar um dado honesto de seis faces 
numeradas de 1 a 6 uma única vez e verificar a face voltada para cima ao 
cair” e considere os seguintes eventos: 
A: A face voltada para cima é um número par; 
B: A face voltada para cima é um número maior que 3; 
C: A face voltada para cima é igual à 6; 
D: A face voltada para cima é um número ímpar; 
E: A face voltada para cima é um número menor que 3 
Com estas informações, responda as questões de 11 a 15. 
 
11) (0,5 pt) Este experimento é determinístico ou aleatório? Justifique! 
12) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
13) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos mutuamente exclusivos? 
14) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos complementares? 
15) (0,5 pt) Obtenha o evento ( ∪ ( ∩ )). 
 
Solução: 
 
11) Este é um experimento aleatório visto que pode ter vários resultados. 
 
12) O espaço amostral. 
 
= { , , , , , } 
 
13) São mutuamente exclusivos, ou seja, cuja interseção é vazia: 
(A e D), (B e E), (C e D) e (C e E) 
 
14) Para ser complementar, além de ser mutuamente exclusivo, a união tem que ser 
igual ao espaço amostral. Neste caso, apenas o par (A e D) obedece este 
critério. 
 
15) Este evento será: 
 
( ∪ ( ∩ )) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = { , } 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
16) (1,0 pt) Quantos são os anagramas da palavra “PERNAMBUCO” em que a 
expressão “BOCA” aparece? 
 
Solução: 
A palavra “PERNAMBUCO” tem 10 letras diferentes. A expressão “BOCA” são 4 
destas 10 letras. Para que esta expressão apareça, estas 4 letras não podem permutar 
entre si. Então, podemos considerá-la como uma grande letra de 4 leras. Desta forma, 
basta permutar as 6 letras restantes com esta “letra”. Assim, teremos 7 letras a serem 
permutadas. 
= 7! = . . 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
17) (0,5 pt) Quantos são os anagramas da palavra “JUSTIÇA” que terminam com a 
letra “A”? 
Solução: 
A palavra “JUSTIÇA” tem 7 letras diferentes. Para terminar com a letra “A”, uma 
posição já está definida, restando apenas definir as demais 6 posições. Assim: 
= 6! = . 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em 
relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro 
de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no 
mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400, 
pede-se: 
 
1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela? 
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (absoluta e relativa). 
 
Para as questões de 3 a 7, use a tabela a seguir que mostra a idade dos carros dos professores 
(em anos) em um estacionamento de uma Faculdade: 
 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples 
Ponto 
Médio 
Freqüência 
Acumulada 
[0; 3) 30 1,5 30 
[3; 6) 47 4,5 77 
[6; 9) 36 7,5 113 
[9; 12) 30 10,5 143 
[12; 15) 8 13,5 151 
[15; 18) 0 16,5 151 
[18; 21) 0 19,5 151 
[21; 24) 1 22,5 152 
¨Total 152 
 
3) (0,5 pt) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores desta 
faculdade. 
4) (1,0 pt) Sabendo que ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 = 8.316, determine o desvio padrão da idade dos carros. 
5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 
anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades? 
6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
7) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria. Existe assimetria? Se sim, de que tipo? 
 
Para as questões de 8 a 11, utilize o seguinte contexto: As placas de veículos de um 
determinado país são formadas por 4 letras (incluindo K, W e Y) e 2 números (de 0 a 9) 
podendo haver repetição de modo a placa (KKKK-00) é possível. Determine quantas são as 
placas de veículos neste país tais que: 
 
8) (0,5 pt) os dois números são iguais? 
9) (0,5 pt) iniciam com a letra A? 
10) (0,5 pt) terminam com número par? 
11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes? 
 
Para as questões de 12 a 15, considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes 
eventos: 
A: soma das faces igual à 7. 
B: pelo menos uma das faces igual à 6. 
C: as duas faces iguais. 
Determine: 
12) (0,5 pt) 𝐴 ∩ 𝐵; 
13) (0,5 pt) 𝐵 ∩ 𝐶; 
14) (0,5 pt) 𝐴 − 𝐶; 
15) (0,5 pt) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶). 
 
16) (0,5 pt) O que é um histograma? 
 
17) (0,5 pt) O que é uma variável quantitativa? 
 
 
________ 
Fórmula: 𝜎2 =
1
𝑛
(∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
 
 
 
Solução: 
1) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no gráfico. 
Se somarmos os percentuais das marcas presentes teremos: 
6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25 
Então, restam 8,75% para as outras marcas. 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 8,75%. 
 
---------------------------------------------------------------------- 
 
2) Para a construção da tabela de distribuição de frequência simples relativa, basta usar os 
dados do enunciado e do item a). 
Para as frequências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca 
GM, por exemplo: 
6,25
100
=
𝑥
400
⟹ 6,25 =
100𝑥
400
⟹ 6,25 =
𝑥
4
⟹ 𝑥 = 6,25 × 4 ⇒ 𝑥 = 25 
Assim, para determinar as respectivas frequências simples absolutas, basta multiplicar as 
frequênciasrelativas por 4. 
Logo, obtemos: 
Marca do 
 Veículo 
Frequência Simples 
Absoluta Relativa 
(%) 
GM 25 6.25 
Ford 45 11.25 
VW 60 15.00 
Toyota 20 5.00 
Renault 55 13.75 
Fiat 60 15.00 
BMW 30 7.50 
Peugeot 45 11.25 
Honda 25 6.25 
Outras 35 8.75 
Total 400 100.00 
 
 
3) MODA: 
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a 
classe [3; 6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5. 
Logo: 
𝒙∗ = 𝟒, 𝟓 
 
MÉDIA: 
Para o cálculo da média precisamos dos valore s de 𝑛𝑖 e 𝑥𝑖. No caso, 𝑛𝑖 são as freqüências 
absolutas e 𝑥𝑖 são os pontos médios das classes. 
Assim, podemos formar a tabela complementar: 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples (𝑛𝑖) 
Ponto 
Médio (𝑥𝑖) 
 
 𝑛𝑖𝑥𝑖 
[0; 3) 30 1,5 45,0 
[3; 6) 47 4,5 211,5 
[6; 9) 36 7,5 270,0 
[9; 12) 30 10,5 315,0 
[12; 15) 8 13,5 108,0 
[15; 18) 0 16,5 0,0 
[18; 21) 0 19,5 0,0 
[21; 24) 1 22,5 22,5 
¨Total 152 972,0 
Assim, a média será calculada através da fórmula: 
 
�̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
972
152
= 6,4 anos. 
Logo: 
�̅� = 𝟔, 𝟒 
 
------------------------------------------------------ 
 
4) Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula 𝜎 = √
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2). Assim: 
𝜎 = √
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) = √
1
152
(8.316 − 152 × (6,4)2) = √
1
152
(8.316 − 152 × 40,96) 
=√
8.316
152
− 40,96 = √54,71 − 40,96=√13,75 = 3,7. 
Logo: 
𝝈 = 𝟑, 𝟕 
 
----------------------------------------------------- 
 
5) Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. Ou 
seja. 
𝑒𝑖 =
𝑥𝑖 − �̅�
𝜎
 
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos: 
𝑒1 =
2−6,4
3,7
=
−4,4
3,7
= −1,19. 𝑒2 =
5−6,4
3,7
=
−1,4
3,7
= −0,38. 
𝑒3 =
15−6,4
3,7
=
8,6
3,7
= 2,32. 𝑒4 =
18−6,4
3,7
=
11,6
3,7
= 3,13. 𝑒5 =
23−6,4
3,7
=
16,6
3,7
= 4,48. 
Assim, a seqüência de escores padronizados será: 
 
-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48 
 
-------------------------------------------------- 
 
6) O coeficiente de variação é dado pela fórmula: 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
=
3,7
6,4
= 0,58 
 
Logo: 
CV=0,58. 
 
-------------------------------------------------- 
 
7) O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula: 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
6,4 − 4,5
3,7
=
1,9
3,7
= 0,51. 
A distribuição é assimétrica à DIREITA. 
𝒆 = 𝟎, 𝟓𝟏 
 
 
------------------------------------------------------------------- 
 
8) Para que os dois números sejam iguais, é necessário que o segundo número seja igual ao primeiro, 
independente da escolha deste. Como não há restrições para as letras, todas estão valendo. Assim, 
teremos: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 1 
 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 1 = 264 × 10 = 𝟒. 𝟓𝟔𝟗. 𝟕𝟔𝟎 
 
----------------------------------------------------- 
 
9) Para iniciar com a letra A, a única restrição está na primeira letra, que tem que ser exatamente a letra 
A. Então teremos apenas 1 possível letra na primeira posição e as demais livres. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
1 26 26 26 10 10 
Logo: 
1 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 263 × 102 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 
 
10) Para terminar com um número par, o último algarismo só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8 e os demais são 
livres. Assim, só há 5 possibilidades para o último algarismo da placa. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 5 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 5 = 264 × 50 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟒𝟖. 𝟖𝟎𝟎 
 
11) Para que as letras e os números sejam diferentes, nem as letras e nem os números podem se repetir, 
então, se uma letra já saiu, a próxima não pode ter esta letra, então a quantidade de letras possíveis será 
uma unidade menor. O mesmo vale para os números. Assim: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 25 24 23 10 9 
Logo: 
26 × 25 × 24 × 23 × 10 × 9 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟗𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
 
-------------------------------------------------------- 
 
12) Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C. 
𝐴 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 
𝐵 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6), (1,6)} 
𝐶 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim, 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏)} 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
13) 𝐵 ∩ 𝐶 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a B e a C. Assim, 
 
𝑩 ∩ 𝑪 = {(𝟔, 𝟔)} 
 
----------------------------------------------- 
 
14) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim, 
 
𝑨 − 𝑪 = {(𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟐), (𝟔, 𝟏)} = 𝑨 
 
------------------------------------------------------------ 
 
15) Para este item, façamos por partes: 
inicialmente , 
 
𝐴 ∪ 𝐵
= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6)} 
 
𝐵 ∩ 𝐶 = {(6,6)} obtido no item b). 
Agora, 
(𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = {(𝟔, 𝟔)}. 
 
16) Histograma é a representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados. 
 
17) Variável quantitativa é aquela variável que assume valores numéricos. 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir: 
Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody 
Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser 
questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente 
responderam o seguinte: 
 
CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER 
Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI 
Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI 
Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER 
Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 
 
1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão? 
 
Solução: 
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA. 
 
2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); 
 
Solução: 
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências 
absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter 
as freqüências relativas. Assim, teremos: 
 
Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
CSI 17 34 
ER 12 24 
Friends 14 28 
Raymond 7 14 
Total 50 100 
 
3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados. 
 
Solução: 
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. 
Assim, o gráfico será: 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. 
Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6. 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
10 15 4 
15 20 8 
20 25 5 
25 30 2 
30 35 1 
Total 20 
 
4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre 
estes pontos médios e as freqüências absolutas. 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Ponto médio 
(xi) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
 
nixi 
10 15 12,5 4 50,0 
15 20 17,5 8 140,0 
20 25 22,5 5 112,5 
25 30 27,5 2 55,0 
30 35 32,5 1 32,5 
Total 20 390,0 
 
A média é: 
�̅� =
∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝒏
=
𝟑𝟗𝟎
𝟐𝟎
= 𝟏𝟗, 𝟓. 
 
 5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; 
 
 Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 
 
𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓. 
 
Pois é oponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 
 
 
 6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os 
50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo. 
Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida: 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
Absolutas (ni) 
Freq. 
Relativas % 
Freq. Acum 
Relativa % 
10 15 4 20 20 
15 20 8 40 60 
20 25 5 25 85 
25 30 2 10 95 
30 35 1 5 100 
Total 20 100 
 
 
 
𝑄2 − 15
30
=
20 − 15
40
 ⟹ 
𝑄2 − 15
30
=
5
40
 ⟹ 40(𝑄2 − 15) = 5 × 30 
40𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2 − 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750 
 
𝑄2 =
750
40
= 𝟏𝟖, 𝟕𝟓. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir: 
 Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces 
numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. 
 
 Figura 1: Tetraedro 
 
 7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:120px-Tetrahedron-slowturn.gif
Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 
8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior 
que 5}. Determine A, B e 𝐴 ∩ 𝐵. 
 
Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
Logo: 
𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 Logo: 
 
𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Assuma que 
�̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
 𝑒 𝜎2 =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2
𝑛
 
 
Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja 
moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13. 
9) (0,5 pt) A média; 
10) (0,5 pt) A variância; 
11) (0,5 pt) O desvio padrão; 
12) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
Solução: 
(9) 
�̅� =
1.802
53
= 34. 
 
(10) 
 𝜎2 =
104.028 − (53 × 342)
53
=
104.028 − (53 × 1.156)
53
=
104.028 − 61.268
53
 
=
42.760
53
= 806,79. 
 
(11) 
𝜎 = √806,79 = 28,4. 
 
(12) 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
=
28,4
34
= 0,84. 
 
(13) 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
34 − 46
28,4
= −
12
28,4
= −0,42. 
 
 
Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões 
de 14 a 16. 
 
0 50 60 70 
1 00 10 10 90 
2 10 10 20 20 20 20 
3 00 00 60 
4 00 00 
 
 14) (0,75 pt) O preço médio das ações; 
 15) (0,75 pt) O preço mediano das ações; 
 16) (0,5 pt) O preço modal das ações; 
 
Solução: 
 
14) 
 
�̅� =
(0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4))
18
= 2,08. 
 
 
15) Como há 18 observações, n é par. Assim: 
 
𝑄2 =
𝑥9 + 𝑥10
2
=
2,1 + 2,2
2
= 2,15. 
 
 
 
16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20. 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo representa a variabilidade do preço de determinado produto coletado 
em diversos estabelecimentos em diversas semanas. Complete a tabela com as informações que 
estão faltando (inclusive os totais). 
 
Preços (R$) 
Frequência Simples Frequência Acumulada 
Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
2,00 |-- ___ 2 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 4 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ _____ _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 16 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 8 25 _____ _____ 
___ |-- 3,50 _____ 6,25 _____ _____ 
Total _____ _____ 
 
Solução: 
Para obter as classes (intervalos), é necessário saber a amplitude de classes, que é obtida pela 
divisão da amplitude total pelo número de classes. Assim: 
 
Como o número de classes é igual à 6, então a amplitude de classes é igual à: 
 
Com isso, podemos preencher as classes como segue: 
 
 
Para preencher as freqüências, partimos da freqüência relativa 25% referente à freqüência 
absoluta 8. Isso significa que a freqüência 8 representa 25% do total. Assim, se multiplicarmos pro 
4, obtemos o total. Logo: A freqüência total é 
Com a freqüência total, podemos obter as freqüências relativas referentes as freqüências absolutas 
dadas: 
 
 
Notemos que temos uma freqüência relativa abaixo da freqüência 25, mas não temos a absoluta. 
Porém, podemos ver que tal freqüência é de 6,25. Esta freqüência relativa já foi calculada 
anteriormente e se refere a freqüência absoluta 2. Agora temos quase todas as freqüências 
absolutas. Só falta uma, mas a soma das freqüências absolutas que temos é 
 Ou seja, a freqüência que está faltando é ZERO. A mesma será reproduzida para a relativa. 
 
Agora que temos as freqüências simples absolutas e relativas, basta fazê-las acumuladas, sempre 
somando todas anteriores a atual. 
 
Assim, a tabela completa será: 
 
 
 
 
Preços (R$) 
Frequência Simples Frequência Acumulada 
Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
2,00 |-- 2,25 2 6,25 2 6,25 
2,25 |-- 2,50 4 12,5 6 18,75 
2,50 |-- 2,75 0 0 6 18,75 
2,75 |-- 3,00 16 50 22 68,75 
3,00 |-- 3,25 8 25 30 93,75 
3,25 |-- 3,50 2 6,25 32 100 
Total 32 100 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
2. (2,5 pontos) Assuma que 
 
 
Se são dados e de uma amostra de dados de 53 indivíduos 
cuja moda é igual à 46. Determine: 
a) (0,5 pt) A média; 
b) (0,5 pt) A variância; 
c) (0,5 pt) O desvio padrão; 
d) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
e) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
Solução: 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
3. (2,5 pontos) Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo variando de 1,5 a 9,5, obtenha: 
 
1 5 5 6 7 7 7 
2 0 0 2 2 2 8 8 
3 1 1 1 1 5 5 5 5 5 
4 0 0 4 4 4 8 
5 3 3 8 
6 2 5 
7 
8 
9 5 
 
 
 a) (0,5 pt) A mediana; 
 b) (0,5 pt) Os quartis e ; 
 c) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; 
 d) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; 
 e) (0,5 pt) O Boxplot. 
 
Solução: 
 
(a) Observe que este conjunto de dados contém 34 observações. Para o cálculo da mediana com n 
par, procede-se com a média entre as duas observações centrais. Neste caso, e . Assim: 
 
 
 
(b) Os quartis são obtidos a partir do conhecimento da mediana. Como a mediana obtida foi um 
valor não amostrado, então os quartis são respectivamente, a mediana da primeira metade dos 
dados e a mediana da segunda metade dosdados. A primeira metade dos dados vai de 1 até 17 e a 
segunda metade dos dados vai de 18 até 34. 
Assim: 
 
 
 
 
(c) O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
 
 
 
(d) Os limites inferior e superior são obtidos por: 
 
 
 
 
Podemos observar que no diagrama de ramo e folhas há um valor acima de 7,7. Este valor é 
considerado discrepante. 
 
(e) O Boxplot é obtido a partir dos quartis. Como foi detectado que há valores discrepantes, o 
Boxplot será composto por: O valor 9,5 é o valor 
discrepante. Assim, o Boxplot será: 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
4. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas. 
 
 a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; 
 b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: 
 A: {sai cara com um número par} 
 B: {sai um múltipo de 3} 
 C: {sai cara com um número menor que 4} 
Solução: 
(a) 
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será: 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
5. (1,5 ponto) Defina: 
a) (0,5 pt) Experimento Aleatório; 
b) (0,5 pt) Espaço Amostral; 
c) (0,5 pt) Evento Aleatório. 
 
Solução: 
 
(a) Experimento Aleatório é o tipo de experimento que pode ter vários resultados (ou que acusa 
variabilidade em seus resultados). 
 
(b) Espaço Amostral é o conjunto com os possíveis resultados do experimento aleatório. 
 
(c) Evento Aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo apresenta o preço médio da gasolina (em reais por litro) em 
alguns países (em ordem do mais barato para o mais caro). 
 
País Preço País Preço País Preço 
Venezuela 0,02 Japão 3,23 Alemanha 4,29 
Nigéria 1,28 Brasil 3,30 Portugal 4,45 
México 1,80 Chile 3,46 França 4,52 
EUA 1,87 Espanha 3,77 Itália 4,73 
Argentina 2,77 Inglaterra 4,24 Noruega 5,29 
 
Com base nestes números: 
a) (0,5 pt) Obtenha o preço médio da gasolina nestes 15 países; 
b) (0,5 pt) Determine o preço mediano da gasolina nos países europeus (os 7 mais caros); 
c) (0,5 pt) Determine a amplitude total do preço da gasolina nestes 15 países; 
 
Solução: 
a) Para este item, vamos calcular a média destes valores da tabela: 
 
 
b) Como temos 7 preços em ordem crescente, o preço mediano será: 
 
 
Que é o preço de Portugal. 
 
c) A amplitude total dos preços é a diferença entre o mais caro e o mais barato: 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Assuma que 
 
 
Se são dados e de uma amostra de dados de 24 indivíduos cuja 
moda é igual à 10. Determine: 
a) (0,5 pt) A média destes dados; 
b) (0,5 pt) O desvio padrão destes dados; 
c) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
d) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo: 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Determine quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que: 
 a) (0,5 pt) A expressão GALO aparece; 
 b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U; 
 c) (0,5 pt) Não termine com a letra O. 
 d) (0,5 pt) A expressão JUMENTO não aparece. 
 
Solução: 
A palavra JULGAMENTO possui 10 letras diferentes. Assim, o número total de anagramas desta 
palavra é 10!. 
 
a) Para que apareça a palavra GALO, estas 4 letras devem sempre aparecer juntas e nesta 
sequencia. Assim, podemos considerar esta palavra como uma única “letra” que ocupa 4 
espaços, ou seja, as possibilidades são: 
 
_____ __ __ __ __ __ __ 
GALO 6 5 4 3 2 1 
 
Assim, com a palavra GALO no início, são possíveis 
 anagramas. 
No entanto esta é apenas uma das 7 configurações possíveis, pois a palavra GALO 
pode estar em qualquer das 7 posições mostradas acima. 
 
Então, número total de anagramas será: 
 
 
 
b) Para que a palavra comece com a letra A e termine com a letra U, teremos duas posições 
definidas, restando as outras 8 para se definir. Então teremos 8 letras para permutar, logo: 
 
 
Como as posições das letras A e U estão definidas (primeira e última), então não há 
mais possibilidade a serem consideradas. 
 
c) O número de anagramas que terminam com a letra O será obtido fixando a última letra e 
variando as demais 9 letras. Logo: 
 
 
Como o número total de anagramas é 10!, então o número de anagramas em que a letra O não está 
na última posição é: 
 
 
d) Utilizando o mesmo raciocínio do item (a), o número de anagramas em que aparece a 
expressão JUMENTO é: 
_________ __ __ __ 
JUMENTO 3 2 1 
 
 
 Então, o número de anagramas em que não aparece esta expressão é o número total – o 
número que aparece. Ou seja: 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências abaixo, obtenha: 
 
 
Classes 
Frequência Simples 
Absoluta (ni) 
-20 -10 1 
-10 0 2 
0 10 5 
10 20 29 
20 30 6 
30 40 9 
Total 52 
 
 a) (1,0 pt) Os quartis , e ; 
 b) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; 
 c) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; 
 d) (0,5 pt) O Boxplot. 
 
 
Solução: 
 
Para o cálculo dos quartis, vamos completar esta tabela com as freqüências relativas, acumuladas 
e percentuais: 
 
 
Classes 
Frequência Simples Freqüências Acumuladas 
Absoluta (ni) Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
-20 -10 1 1,92 1 1,92 
-10 0 2 3,85 3 5,77 
0 10 5 9,62 8 15,37 
10 20 29 55,77 37 71,14 
20 30 6 11,54 43 82,70 
30 40 9 17,30 52 100 
Total 52 100 
 
Q1: 
O primeiro quartil acumula 25% dos dados. De acordo com a coluna das freqüências acumuladas 
relativas, este percentual é alcançado apenas na classe de 10 a 20, onde são acumulados 71,14%. 
Fazendo as proporções adequadas chegaremos a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q2: 
 
O segundo quartil também está no mesmo intervalo. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3: 
 
O terceiro quartil está no intervalo de 20 a 30 pois acumula 82,7%. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O Intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
 
 
 
c) Os limites são: 
 
 
 
 
 
 
d) 
Podemos observar que os dados do problema vão de -20 a menos de 40. 
Co os resultados obtidos no item (c), percebemos que os dados não superam o Limite Superior 
(LS), mas existem dados que estão abaixo de LI. Com isso, podemos dizer que há dados 
discrepantes e por conta disso, o diagrama Boxplot deve utilizar o LI em sua configuração. 
 
Assim, o Boxplot será 
 
 
 40 
 
 
 23,34 
 
 
 16,21 
 
 
 11,72 
 
 
 
 -5,71 
 
 
5. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas. 
 
 a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; 
 b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: 
 A: {sai coroa com um número par} 
 B: {sai um múltipo de 3} 
 C: {sai cara com um número maior que 2} 
 
Solução: 
a) 
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será: 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado 
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros): 
 
 Estado A Estado B 
 
 55 0 1 1 2 
 1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 2 2 2 5 5 5 
 8 4 4 4 0 3 1 2 
 1 1 4 0 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa) para cada estado A e B. 
b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. 
 
Solução: 
a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e 
a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil 
perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim, 
obtemos: 
Estado 
A 
Freqüência Simples Estado 
B 
Freqüência Simples 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
05 2 15,39 01 2 13,33 
10 2 15,39 02 1 6,67 
11 1 7,69 10 4 26,66 
20 1 7,69 22 2 13,33 
30 1 7,69 25 3 20,00 
34 3 23,07 31 1 6,67 
38 1 7,69 32 1 6,67 
41 2 15,39 40 1 6,67 
Total 13 100,00 Total 15 100,00 
 
b) A média é dada por: 
 
 
, para isso, completemos as tabelas com a coluna . 
 
A(xi) Freq. Abs (ni) nixi B (xi) Freq. Abs. (ni) nixi 
05 2 10 01 2 2 
10 2 20 02 1 2 
11 1 11 10 4 40 
20 1 20 22 2 44 
30 1 30 25 3 75 
34 3 102 31 1 31 
38 1 38 32 1 32 
41 2 82 40 1 40 
Total 13 313 Total 15 266 
 
Logo: 
Média A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as 
medidas são obtidas através dos pontos médios das classes): 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
b) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
c) (0,5 pt) Determine a moda; 
d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 
 
 
 
 ; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma amplitude, logo, 
completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os pontos médios das classes, 
então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, 
acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, 
devemos observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 
 
 
 e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni 
podem-se completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos: 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 12 72 
8 – 12 10 10 100 1.000 
12 – 16 14 6 84 1.176 
16 – 20 18 1 18 324 
20 – 24 22 1 22 484 
Total 20 236 3.056 
 
b) Média: 
 
 
 
 
 
 
c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 10 e 
a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: x
*
=10. 
d) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: O desvio padrão será: 
 
 
e) O coeficiente de assimetria é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) O coeficiente de variação é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma 
multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box-
plot. 
 
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 
8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17 
18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30 
 
Solução: 
Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 dados 
(impar), logo: 
Para o cálculo de e , consideremos os 23 primeiros e os 23 últimos respectivamente. 
Logo: e . 
O intervalo interquartílico é dado por: 
Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de . 
 
 
 
 
Como o limite inferior (LI) é menor que então na extremidade inferior do Box-plot teremos 
 
Como o limite superior (LS) é maior que então na extremidade superior do Box-plot 
teremos 
Com isso, não há dados discrepantes e o Box-plot fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
10 
20 
30 
4 
 
4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são 
pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números 
são verificados. Defina os seguintes eventos: 
 
 
 
 
 
a) (0,5 pt) Construa o espaço amostral deste experimento; 
b) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
c) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
d) (0,5 pt) Explicite o evento C; 
e) (0,5 pt) Explicite o evento D. 
 
Solução: 
 
a) O espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidades de retiradas de duas bolas: 
 
 
 
b) Retirando-se a primeira bola branca, a segunda pode ser preta ou branca. Assim, do espaço 
amostral, selecionam-se as possibilidades começando por 1 e 2. 
 
 
 
c) Para considerar a segunda bola branca, deveremos considerar as situações que terminam 
em 1 e 2. 
 
 
d) Só há dois casos em que a as duas bolas retiradas são brancas: (1,2) e (2,1). Assim: 
 
 
 
e) De forma análoga, só há duas maneiras de se obterem ambas as bolas pretas: (3,4) e (4,3). 
Assim: 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) A tabela abaixo apresenta o preço médio da gasolina (em reais por litro) em 
alguns países (em ordem do mais barato para o mais caro). 
 
País Preço País Preço País Preço 
Venezuela 0,02 Japão 3,23 Alemanha 4,29 
Nigéria 1,28 Brasil 3,30 Portugal 4,45 
México 1,80 Chile 3,46 França 4,52 
EUA 1,87 Espanha 3,77 Itália 4,73 
Argentina 2,77 Inglaterra 4,24 Noruega 5,29 
 
Com base nestes números: 
a) (0,5 pt) Verifique se o preço da gasolina no Brasil está acima da média mundial (explicite 
esta média); 
b) (0,5 pt) Determine o preço mediano da gasolina nos países europeus (os 7 mais caros); 
c) (0,5 pt) Determine a amplitude total do preço mundial da gasolina; 
d) (0,5 pt) Considere que a Europa vive um momento de crise. Compare o preço da gasolina no 
Brasil em relação a média mundial excluindo-se os países europeus. O que você pode 
concluir? 
 
Solução: 
a) Para este item, vamos calcular a média destes valores da tabela: 
 
 
Resposta: Com o preço da gasolina no Brasil a R$3,30, o mesmo se encontra acima da 
média mundial. 
b) Como temos 7 preços em ordem crescente, o preço mediano será: 
 
 
Que é o preço de Portugal. 
 
c) A amplitude total dos preços é a diferença entre o mais caro e o mais barato: 
 
 
d) Ao excluirmos os países europeus, temos apenas oito países: Assim, a média será: 
 
Conclusão: Neste novo cenário o preço da gasolina no Brasil a R$ 3,30 está bem acima da 
média. 
 
 
2. (4,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas abaixo variando de 10 a 50, determine: 
 
1 0 
2 0 5 
3 0 0 5 5 
4 0 5 
5 0 
 
a) (0,5 pt) A média; 
b) (1,0 pt) O desvio-padrão ; 
c) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
d) (1,0 pt) Os escores padronizados; 
e) (1,0 pt) Os quartis e ;Solução: 
Os valores deste diagrama são: 
 
10 20 25 30 30 35 35 40 45 50 
 
 
a) A média será: 
 
b) O desvio-padrão será: 
 
 
 
 
 
c) O coeficiente de variação será: 
 
d) Os escores padronizados são definidos pelos valores amostrais subtraídos da média e 
divididos pelo desvio padrão. Assim, teremos: 
 
Assim, os escores padronizados são: 
 
-1.961 -1.069 -0.623 -0.178 -0.178 0.267 0.267 0.7130 1.158 1.604 
 
e) Temos que n=10, então: 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que: 
 a) (0,5 pt) A palavra GALO aparece? 
 b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U? 
 c) (0,5 pt) Todas as vogais estão juntas? 
 d) (0,5 pt) A expressão JUMENTO não aparece? 
 
Solução: 
A palavra JULGAMENTO possui 10 letras diferentes. Assim, o número total de anagramas desta 
palavra é 10!. 
 
a) Para que apareça a palavra GALO, estas 4 letras devem sempre aparecer juntas e nesta 
sequencia. Assim, podemos considerar esta palavra como uma única “letra” que ocupa 4 
espaços, ou seja, as possibilidades são: 
 
_____ __ __ __ __ __ __ 
GALO 6 5 4 3 2 1 
 
Assim, com a palavra GALO no início, são possíveis 
 anagramas. 
No entanto esta é apenas uma das 7 configurações possíveis, pois a palavra GALO 
pode estar em qualquer das 7 posições mostradas acima. 
 
Então, número total de anagramas será: 
 
 
 
b) Para que a palavra comece com a letra A e termine com a letra U, teremos duas posições 
definidas, restando as outras 8 para se definir. Então teremos 8 letras para permutar, logo: 
 
 
Como as posições das letras A e U estão definidas (primeira e última), então não 
mais possibilidade a serem consideradas. 
 
c) Para que as vogais estejam juntas, temos que levar 3 coisas em consideração: 
a. Temos 4 vogais, então assim como no item (a), estas 4 vogais juntas formam uma 
letra que ocupa quatro lugares; 
b. Também, de acordo com o item (a), temos que permutar as sete posições que o 
“bloco de vogais” pode aparecer; 
c. Diferentemente do item (a), agora as vogais permutam entre si dentro do “bloco”. 
Desta forma, teremos o produto destas 3 considerações. Então: 
 
 
d) Utilizando o mesmo raciocínio do item (a), o número de anagramas em que aparece a 
expressão JUMENTO é: 
_________ __ __ __ 
JUMENTO 3 2 1 
 
 
 Então, o número de anagramas em que não aparece esta expressão é o número total – o 
número que aparece. Ou seja: 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Responda os itens sobre Probabilidade: 
 
a) (0,5 ponto) Diferencie Experimento Aleatório de Experimento Determinístico; 
 
b) (0,5 ponto) Defina Espaço amostral e diferencie o espaço amostral discreto do 
espaço amostral contínuo; 
 
c) (0,5 ponto) Diferencie Eventos Aleatórios de Eventos Elementares; 
 
d) (0,5 ponto) No experimento: “jogar uma moeda três vezes e verificar a face voltada 
para cima”, defina o espaço amostral. 
 
 
Solução: 
 
a) No experimento determinístico, sempre que se repete o experimento sob mesmas condições, 
o resultado será o mesmo, enquanto que no experimento aleatório, os resultados serão 
diferentes. 
 
b) É o conjunto com todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Discreto: 
quando é fnito ou infinito e enumerável. Contínuo: quando é não enumerável. 
 
c) Os eventos aleatórios são os subconjuntos do espaço amostral. Os eventos elementares são 
os elementos do espaço amostral. 
 
d) Como o espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidades, então teremos: 
 
Considere os seguintes eventos: 
C: a face voltada para cima é CARA; 
K: a face voltada para cima é COROA. 
 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora) 
Gabarito 
 
1. (2,5 pontos) Determine: 
a) (1,0 pt) A distância média; 
b) (0,5 pt) A distância modal; 
c) (1,0 pt) A distância mediana: 
percorrida pelos alunos de uma escola em seu trajeto de ida de casa para a escola e volta da escola 
para casa e que estão representadas no histograma abaixo de modo que no eixo horizontal estão os 
pontos médios destas distâncias (em Km) e no eixo vertical estão as frequências absolutas dos alunos 
que percorreram tais distâncias. 
 
 
2. (2,5 pontos) Durante 10 dias, foram anotadas as variações do preço do dólar em reais (em ordem 
crescente, e não necessariamente cronológica): 
 
-0,12 -0,12 -0,1 -0,08 -0,08 -0,02 0,02 0,04 0,04 0,04 
 
Diante deste quadro, responda: 
a) (0,5 pt) Qual a variação média e qual a variação mais frequente do dólar nestes 10 dias? 
b) (0,5 pt) Sabendo que o desvio padrão é igual à 0,068, determine o tipo de assimetria destes dados. 
c) (0,5 pt) Quais os valores que separam 25%, 50% e 75% dos dados? 
d) (1,0 pt) Esboce o Box-plot. 
 
3. (2,5 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) 
regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. 
 
Figura 1: Tetraedro 
 
a) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1,25 3,75 6,25 8,75 11,25
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:120px-Tetrahedron-slowturn.gif
 
b) (2,0 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base 
maior que 5}. Determine A, B, A-B e . 
 
 
4. (2,5 pontos) Em um determinado jogo de loteria, cada apostador pode escolher no mínimo sete e 
no máximo dez números diferentes entre 1 e 50. Ganha o prêmio máximo quem acertar as sete 
dezenas que serão sorteadas, e o preço de uma aposta mínima de sete números custa $0,50. 
Determine: 
a) (1,25 pt) Qual o número total de jogos simples que pode ser feito nesta loteria? 
b) (1,25 pt) Que número de jogos simples há em um cartão com dez números marcados? 
 
 
 
Soluções: 
(Questão 1) 
a) 
Temos que 
Para o cálculo da média basta usarmos a fórmula: 
 
 
Logo: 
A distância média percorrida pelos alunos desta escola é de 4,85 km. 
 
b) 
A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 
A maior freqüência observada foi 20, o ponto médio desta classe é: 3,75. 
Assim: 
 
 
 
c) 
Para o cálculo da mediana, observe que a classe em que estão comportados 50% dos dados, é a classe 
cujo ponto médio é 3,75, pois comporta 12+20= 32 dados, que ultrapassa os 50% dos dados (25 
crianças). Observe que como temos pontos médios das classes, ao fazermos os pontos médios destes 
pontos médios obtemos os limites das classes. Assim, a classe de interesse será de 
 
 
 
até 
 
 
 
 
Logo: Classe: 2,5├ 5. Fazendo as proporções adequadas, se obtém a mediana: 
 
 
Assim: 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
********************************************************************** 
(Questão 2): 
 
a) 
Calcular a média e a moda. 
 
A média: 
 
A moda (valor de maior freqüência): 
 
 
pois tem a maior freqüência (3). 
 
 
b) 
Calculemos o coeficiente de assimetria ( ). 
 
 
 
Como , então temos assimetria à esquerda. 
 
c) 
estamos interessados nos quartis . Iniciando pela mediana: 
 
 
 
Para o cálculo de , usamos a primeira metade dos dados. Assim, n = 5. 
Como é ímpar, então 
 
 
Para o cálculo de , usamos a segunda metade dos dados. Assim, n = 5. 
Como é ímpar, então 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
Os limites inferior e superior são: 
 
 
 
Assim: 
 
***************************************************************************** 
 
(Questão 3): 
 
a) 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
 
 
 
b) 
O conjunto A aparece nas diagonais: 
 
 
Logo: 
 
 
O conjunto B aparece nas seis últimas combinações: 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
 
 
 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
 
 
*********************************************************************************(Questão 4). 
a) 
Como nesta loteria temos 50 números dos quais apenas 7 são sorteados. Então, o número total de 
jogos simples possível é: 
400.884.99
5.040
6.000503.417.37
1234567
44454647484950
!43!7
!50
7
50
. 
 
b) 
Quando você marca 10 números no cartão, você tem as combinações de 10 números tomados 7 a 7, 
que é o número de combinações simples. Ou seja, .120
6
720
123
8910
!3!7
!10
7
10
 
 
CURIOSIDADE: 
Nos jogos lotéricos, o valor da aposta é sempre calculado de acordo com o número de apostas 
mínimas que se faz. Observe que, ao marcar 10 números (3 a mais que o mínimo, 7) o apostador não 
está fazendo mais 3 apostas e sim um total de 120 apostas, como foi obtido no item b). Para este 
caso, com a aposta simples custando $0,50, o preço da aposta de 10 números marcados representa, 
na verdade, 120 apostas de $0,50. Com isso, o valor da aposta é calculado pelo produto 
 Fazendo os mesmos cálculos nos bilhetes de loterias, pode-se constatar que o que 
está anotado no seu verso equivale a este produto. 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) O diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em são 
Paulo a de seu concorrente em Santa Catarina Dos seus 6.012 funcionários, 1.221 recebem 
$35,00 por hora, 650 recebem $15,50, 3.098 ganham $23,50 e os demais $17,12. Dos 5.634 
funcionários da outra fabrica, 1.654 ganham $12,75, 815 recebem $17,80 e os outros $20,10. 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples para cada uma das 
fábricas; 
b) (1,0 pt) Calcule as médias salariais das duas fábricas. 
 
Solução: 
 
********* item a) ********* 
 
a) Fábrica em São Paulo: 
Salário ($) Frequência 
35,00 1.221 
15,50 650 
23,50 3.098 
17,12 1.043 
Total 6.012 
 
Fábrica em Santa Catarina: 
 
Salário ($) Frequência 
12,75 1.654 
17,80 815 
20,10 3.165 
Total 5.634 
 
 
********* item b) ********** 
 
b) As médias salariais: 
Média São Paulo: 
 
 
 
 
 
Média Santa Catarina: 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Dado o histograma referente aos salários de 50 executivos, que variam de 
$90.000,00 a $2.540.000,00: 
 
 
 
Construa a tabela de distribuição de Frequências (simples (absoluta e relativa)) e 
(acumulada (absoluta e relativa)) a que se refere este histograma. 
 
Solução: 
 
Temos os pontos médios das classes. Como o valor inicial é igual a 90.000, e as classes tem 
freqüências do mesmo tamanho da distancia entre os pontos médios, a saber: então: 
as classes serão feitas como segue: classe 1: de 90 a , a classe 2, de 440 a 
. E assim por diante. As freqüências absolutas simples são observadas no histograma e as 
outras seguem dela, sendo as relativas iguais a às absolutas divididas pelo total. Opcionalmente, as 
freqüências relativas podem vir em formato percentual, para isso, basta multiplicar a freqüência 
relativa por 100%. Logo: 
 
 Freqüência Simples Freqüência Acumulada 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
[90; 440) 9 0,18 9 0,18 
[440; 790) 11 0,22 20 0,40 
[790; 1.140) 10 0,20 30 0,60 
[1.140; 1.490) 8 0,16 38 0,76 
[1.490; 1.840) 4 0,08 42 0,84 
[1.840;2.190) 3 0,06 45 0,90 
[2.190; 2.540) 5 0,1 50 1 
Total 50 1 
 
 
3. (3,0 pontos) Dada a tabela abaixo: 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
265 615 1115 1315 1665 2015 2365
F
re
q
u
e
n
ci
a
 A
b
so
lu
ta
Ponto médio dos Salários (x $1.000)
 
Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes 
[1; 7) 5 4 
[7; 13) 10 10 
[13; 19) 20 16 
[19; 25) 5 22 
Total 40 
 
a) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
b) (0,5 pt) Determine a moda; 
c) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ; 
d) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
 
Para calcular as medidas desejadas, vamos completar a tabela: 
 
 
Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes 
[1; 7) 5 4 20 80 
[7; 13) 10 10 100 1.000 
[13; 19) 20 16 320 5.120 
[19; 25) 5 22 110 2.420 
Total 40 550 8.620 
 
a) 
Média: 
 
 
b) 
Moda: é o ponto médio da classe de maior freqüência. Na ocasião: a maior freqüência é 20 e a sua 
classe é [13; 19). Seu ponto médio é 16. Logo: 
 
 
 
c) 
Variância: 
 
 
 
 
 
O desvio padrão será: 
 
 
d) 
Coeficiente de assimetria: 
 
 
 
e) Coeficiente de variação: 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Considere o conjunto dos investidores da bolsa de valores. Seja A o conjunto dos 
investidores de sexo masculino, B o conjunto dos investidores do sexo feminino, C o conjunto 
dos que investem a curto prazo, D o conjunto dos que investem a médio prazo e E o conjunto 
dos que investem a longo prazo. Explicite os eventos. 
a) (0,5 pt) 
b) (0,5 pt) 
c) (0,5 pt) 
d) (0,5 pt) 
 
Solução: 
 
a) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . Assim, o evento é: 
 
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem em longo prazo”. 
 
b) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a interseção entre estes dois conjuntos. A região circulada é 
única que aparece nos dois conjuntos. 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
Assim: 
 é o “conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo”. 
 
c) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a região equivalente à . 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
Assim, o evento é: 
 
“Conjunto dos investidores que investem a curto prazo e dos investidores do sexo masculino que 
investem a médio prazo”. 
 
d) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo e dos investidores do sexo 
feminino que investem a longo prazo”. 
 
 
5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra COMBUSTIVEL tal que as letras da 
expressão BUS estejam juntas e nesta ordem ou as letras da expressão TIVEL estejam juntas, 
mas não necessariamente nesta ordem? 
 
Solução: 
 
No primeiro caso, considere a expressão como uma única letra. Assim: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
C O M BUS T I V E L 
Assim, seria como permutar 9 letras. 
 
Logo: 
 
 
Já no segundo caso, pode-se considerar a expressão como uma única letra, mas precisa fazer a 
permutação delas dentro da expressão. 
 
Assim: 
 
1 2 3 4 5 6 7 
C O M B U S TIVEL 
 
Serão: 
 
 
Mas como TIVEL não necessariamente na nesta ordem. 
 
 
1 2 3 4 5 
T I V E L 
 
Assim, para cada uma das 5.040 possibilidades, há 
 
 
Possibilidades, 
 
Logo: 
São 
 
 
 
Conseqüentemente 
 
Resposta: 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2012 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado 
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros): 
 
 Estado A Estado B 
 
 5 5 0 1 1 2 
 1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 2 2 2 5 5 5 
 8 4 4 4 0 3 1 2 
 1 1 4 0 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa)) para cada estado A e B. 
b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. 
Solução: 
a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e 
a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil 
perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim, 
obtemos: 
Estado 
A 
Freqüência Simples Estado 
B 
Freqüência Simples 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
05 2 15,39 01 2 13,33 
10