Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 3 - Teste de Conhecimento 02

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Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para qual valor de M o triângulo ABC é retângulo em A?
Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x - y + 5 = 0. Estas estradas se
interceptam no ponto P. Determine o ponto P de interseção entre as retas.
Aluno: ALEXANDRE AUGUSTO FERREIRA PINHEIRO Matrícula: 201809026229
Disc.: GEOM.ANALÍT.ÁLG.LIN 2019.1 - F (G) / EX
 
Prezado (a) Aluno(a),
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
2
3
8
0
6
 
 
 
Explicação:
seja AB.AC=0
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem
3 (M+1) +M+ 2(-4) -1(1)=0
3M+ 3 -8 -1=0
3M= 6
M= 2
 
 
 
 
2.
P(3,2)
P(9,3)
P (4,13)
P(2,2)
P(5,6)
 
 
 
Explicação:
Transformando as equações na forma reduzida:
3x - y + 1 = 0
y = 3x + 1
E
2x - y + 5 = 0
y = 2x + 5
Devemos resolver o seguinte sistema:
y = 3x + 1
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Considere o paralelogramo determinado pelos vetores v = (0,-1,-1) e s = (-3,5,8). A área desse quadrilátero é igual a um
múltiplo k da raiz de três. O valor de k é igual a:
Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam ortogonais.
 z=-3x y=4-2t
 z=5t
y = 2x + 5
Subtraindo a segunda da primeira equação:
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5)
0 = 3x + 1 - 2x - 5
0 = x - 4
x = 4
Substituindo da primeira equação:
y = 3x + 1
y = 3.4 + 1
y = 12 + 1
y = 13
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13).
 
 
 
 
3.
1
3
5
2
4
 
 
 
Explicação:
O produto vetorial de v x s será dado pelo vetor u: - 3i + 3j - 3k 
Assim, a área do paralelogramo será o módulo do vetor u.
Logo: A = 3
 
 
 
 
4.
-11/2
13/2
7/2
-9/2
-15/2
 
 
 
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5)
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2
 
 
√3
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Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) e B(-5,-1), defina a equação geral da
reta que passa pelos pontos.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com eixo das abscissas.
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
 
 
5.
 
 
 
Explicação:
 x y 1 x y
-1 8 1 -1 8
-5 -1 1 -5 -1
Teremos,
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1)
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0
9x - 4y + 41 = 0
 
 
 
 
6.
y = x + 2
y = x - 1
y = x - 2
y = - x - 2
y = - x - 1
 
 
 
Explicação:
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das
abscissas
No exercício a = tg 45º = 1
y = x + b
Como P (4, 2) pertence a reta,
2 = 4 + b -> b = -2
y = x - 2
 
 
 
 
7.
x=t
y=2t
7x + 3y + 1 = 0
9x − 4y + 41 = 0
3x + 2y + 2 = 0
x − 7y + 3 = 0
x + 55y + 2 = 0
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O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a:
z=5+3t
x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
x=2-4t
y=-t
z=5+3t
x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
x=2t
y=-3t
z=5t
 
 
 
Explicação:
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por:
x=x'+x"t
y=y'+y"t
z=z'+z"t
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações.
 
 
 
 
8.
22,56o
56,31o
65,66o
90,05o
12,77o
 
 
 
Explicação:
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula:
cos x = (v . u) / (v . u)
Onde: v e u são os módulos dos vetores
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12
v = 
u = 6
 
 
 
 
 
√13
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