EXERCICIOA DE TRANSFORMAÇÃO TRIGONOMETRICA

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EXERCICIOS DE TRANSFORMAÇÃO TRIGONOMETRICA
Questão 1
Por meio de transformações trigonométricas, é possível determinar o valor de ângulos resultantes da soma ou da subtração entre os ângulos notáveis. A partir dessa informação, qual é o sen2985°?
a) √8
     4
b) √3 + √2
c) 4√6
d) √2 + √6
 4
e) √6
Resposta Questão 1
Ângulos maiores de 360° têm o mesmo seno que seus arcos côngruos menores de 360°. Para encontrar o ângulo menor do que 360° que tem o mesmo seno que 2985°, basta dividir esse ângulo por 360°. Assim, encontraremos o seguinte resultado:
2985° = 8·360° + 105°
Então, o ângulo de 2985° é igual ao ângulo de 105°, mais oito voltas sobre o ciclo trigonométrico. Portanto, sen2985° = sen105°. Sabendo que 105 = 60 + 45, podemos usar a fórmula de adição de arcos de seno para encontrar esse resultado:
sen2985° = sen105° = sen(60° + 45°)
sen(60° + 45°) = sen60°cos45° + sen45°cos60°
sen(60° + 45°) = √3·√2 + √2· 1 
 2 2 2 2
sen(60° + 45°) = √(3·2) + √2
 4        4
sen(60° + 45°) = √6 + √2
     4      4
sen(60° + 45°) = √6 + √2
   4
Alternativa D
Questão 2
Qual é o valor de A, sabendo que A = (cosx – cosy)2 + (senx + seny)2 e que x e y são complementares?
a) A = 2
b) A = 3
c) A = 4
d) A = 5
e) A = 6
Resposta Questão 2
Usando produtos notáveis e reorganizando os termos, teremos:
A = cos2x – 2cosx·cosy + cos2y + sen2x + 2senx·seny + sen2y
A = sen2x + cos2x – 2cosx·cosy + 2senx·seny + sen2y + cos2y
Usando a identidade sen2x + cos2y = 1, teremos:
A = 1 – 2cosx·cosy + 2senx·seny + 1
A = 2 – 2cosx·cosy + 2senx·seny
A = 2 – 2(cosx·cosy – senx·seny)
Usando a transformação trigonométrica cos(a + b), teremos:
A = 2 – 2(cosx·cosy – senx·seny)
A = 2 – 2cos(x + y)
Como x + y = 90°, pois x e y são complementares, teremos:
A = 2 – 2cos90°
A = 2 – 2·0
A = 2
Alternativa A
Questão 3
Utilizando as transformações trigonométricas, qual dos valores a seguir é o resultado de sen75°?
a) √6
 4
b) √2 + √6
 4
c) √3
d) √6 + √2
e) √8
 4
Resposta Questão 3
Sabendo que 75 = 30 + 45, teremos:
Sen75° = sen(30° + 45°)
sen(30° + 45°) = sen30°cos45° + sen45°cos30°
sen(30° + 45°) = 1 ·√2 + √2·√3
                         2   2     2    2
sen(30° + 45°) = √2 + √(2·3)
                       4        4
sen(30° + 45°) = √2 + √6
                         4
 Alternativa B
Questão 4
O valor de (sen22°30’ + cos22°30’)2 é:
a)  3 
    2
b) 2 + √3
 2
c) 2 + √2
 2
d) 1
e) 12
Resposta Questão 4
Primeiramente, use produtos notáveis para expandir a potência e simplifique ao máximo o resultado:
(sen22°30’ + cos22°30’)2
sen222°30’ + 2sen22°30’cos22°30’ + cos222°30’
Observe que sen222°30’ + cos222°30’ = 1, logo:
sen222°30’ + 2sen22°30’cos22°30’ + cos222°30’
2sen22°30’cos22°30’ + 1
Note também que 2sen22°30’cos22°30’ = sen(2·22°30’). Logo:
2sen22°30’cos22°30’ + 1
sen(2·22°30’) + 1
sen45° + 1
√2 + 1
2      
√2 + 2
  2
Alternativa C