Matemática Fundamental

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Matemática 
Fundamental
Matemática 
Fundamental
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Tania Elisa Seibert
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Ane Sefrin Arduim
Esta disciplina tem como objetivo central revisar conteúdos da Educação Básica, que são pré-requisitos relevantes para o prosseguimento do seu 
curso.
O livro está estruturado em 10 capítulos, todos eles com a mesma 
organização, ou seja, com introdução, desenvolvimento dos conteúdos, 
exercícios resolvidos passo a passo, problemas de aplicação e atividades 
de autoavaliação. Os gabaritos das atividades estão no final do livro.
O livro-texto foi produzido em 2013 pelo professor Agostinho Iaqchan 
Homa1 e adaptado em 2016 pela professora Tania Elisa Seibert2.
1 Professor da Universidade Luterana do Brasil. Graduado em Matemática Aplica-
da à Informática (ULBRA), especialista em Educação Matemática (ULBRA), mestre 
em Ensino de Ciências e Matemática (ULBRA) e pesquisador do Grupo de Estudos 
Curriculares em Educação Matemática (GECEM) ULBRA.
2 Professora da Universidade Luterana do Brasil. Graduada em Matemática Li-
cenciatura (UNISINOS), especialista em Educação Matemática (ULBRA), mestre 
em Ensino de Ciências e Matemática (ULBRA), doutora em Ensino de Ciências e 
Matemática (ULBRA) e pesquisadora no tema Estratégias de Estudo de alunos em 
disciplinas das exatas na modalidade EAD (ULBRA).
Apresentação
 1 Conjuntos .............................................................................1
 2 Conjuntos Numéricos .........................................................33
 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica ..............................60
 4 Equações e Inequações .....................................................127
 5 Relação ............................................................................152
 6 Função e Função Polinomial do 1º grau ............................170
 7 Função Polinomial do 2º grau ...........................................223
 8 Função Exponencial e Função Logarítmica .........................251
 9 Trigonometria ...................................................................317
 10 Funções Trigonométricas ...................................................360
Sumário
Conjuntos
Capítulo 1
2 Matemática Fundamental
Introdução
Boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Mate-
mática foi influenciada, durante o século XX, pela Teoria dos 
Conjuntos criada por Georg Ferdinand Ludwig Philipp Can-
tor (1845-1918), notável matemático russo que, antes dos 30 
anos, publicou seu primeiro trabalho sobre a Teoria dos Con-
juntos.
A Matemática é uma linguagem com simbologia própria. 
Para “ler” e “interpretar” informações matemáticas é muito im-
portante compreender a sua linguagem para evitaremos inter-
pretações errôneas.
Portanto, é necessário conhecer alguns dos símbolos mate-
máticos, como os que se indicam no quadro a seguir.
Símbolo Significado Símbolo Significado
igual a Pertence
diferente de não pertence
menor que Intersecção
Capítulo 1 Conjuntos 3
maior que União
menor igual está contido
maior igual Contém
existe idêntico a 
não existe Qualquer
existe um e somente um aproximadamente igual a
infinito tal que
e Equivale
ou Implica
Neste capítulo, revisa-se, em particular, alguns conceitos 
básicos sobre a Teoria dos Conjuntos.
1 Conjunto
Chama-se de conjunto um agrupamento de elementos com 
características determinadas. Como por exemplo:
E = {verão, outono, inverno, primavera} (Conjunto das 
estações do ano).
S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, 
quinta-feira, sexta-feira, sábado} (Conjunto dos dias da se-
mana).
4 Matemática Fundamental
I = (Conjunto dos números Inteiros pares entre 
1 e 9).
Um elemento de um conjunto é todo objeto, número, 
letra, etc., que faz parte na formação de um conjunto. No con-
junto , o número 6 é um elemento desse conjunto.
Para representar conjuntos e seus elementos deve-se obe-
decer a sua notação. Os conjuntos são representados por le-
tras maiúsculas e seus elementos, entre chaves, por letras mi-
núsculas. Convém também recordar que não se devem repetir 
elementos em um conjunto e que, quando forem numéricos, 
devem ser descritos em ordem crescente.
Exemplo: dado o conjunto A formado pelos elementos a, b, 
c, d, representa-se por:
A = {a, b, c, d}.
Os conjuntos podem ser finitos, com um número determi-
nado de elementos, ou infinitos, com um número infinito de 
elementos.
Exemplo de conjunto finito: conjunto dos números Inteiros 
entre o número 2 e o número 5; conjunto dos números Inteiros 
entre o número -50 e o número 50.
Exemplo de conjunto infinito: conjunto dos números Intei-
ros pares; conjunto dos números Inteiros ímpares.
Capítulo 1 Conjuntos 5
2 Relação de pertinência
Quando um determinado elemento faz parte de um conjun-
to , tem-se que g “pertence a” P, estabelecendo, deste modo, 
uma relação de pertinência entre g e P, que é representada por 
.
Os símbolos “pertence” e “não pertence” ) são 
utilizados para relacionar elementos e conjuntos.
Exemplo:
a) Seja o conjunto o conjunto das estações do ano. 
Utilize o símbolo correto nas seguintes relações:
a) Verão ______ A
Primeiro você deve explicitar o conjunto:
E = {verão, outono, inverno, primavera}
Segundo, analisar os elementos do conjunto. O elemento 
“verão” faz parte do conjunto E. Logo, o elemento “verão” 
pertence ao conjunto “estações do ano”. Matematicamente 
representa-se por: .
b) Março _____ A
Observando os elementos do conjunto E, não se encon-
tra o elemento “março”. Matematicamente, representa-se por: 
6 Matemática Fundamental
3 Representação dos conjuntos
Representam-se conjuntos de diferentes formas, como: por ex-
tensão, por compreensão e geometricamente.
a) Por extensão, os conjuntos são representados por le-
tras maiúsculas e seus elementos, entre chaves, por 
letras minúsculas separadas por vírgulas. Exemplos:
 1) Dado o conjunto A, formado pelos elementos a, b, c, d, 
representa-se por:
A = {a, b, c, d}
 2) Dado o conjunto B, formado pelas relações trigonométri-
cas, representa-se por:
Capítulo 1 Conjuntos 7
b) Por compreensão, os conjuntos são representados 
por meio de uma propriedade que caracteriza os seus 
elementos. Exemplo:
 1) Representar, por compreensão, o conjun-
to C formado pelos números Naturais pares. 
. (Para qualquer 
elemento x tal que x é um número Natural par).
Este mesmo conjunto, por extensão, seria representado da 
seguinte forma:
C = {0, 2, 4, 6, 8, ...}.
c) Geometricamente, um conjunto pode ser representa-
do por uma linha fechada denominado diagrama de 
Venn. Verificando as relações de pertinência, no dia-
grama de Venn, tem-se:
Representa-se o conjunto A, por extensão, como: A = {a, 
b, c}. Observe as relações de pertinência: a ∈ A; c ∉ A.
8 Matemática Fundamental
4 Conjunto unitário
Define-se como conjunto unitário todo conjunto que tem so-
mente um elemento. Exemplo:
a) Conjunto formado pelos meses do ano que iniciam 
com a letra f.
M = {fevereiro}
5 Conjunto vazio
Define-se como conjunto vazio o conjunto que não tem ele-
mentos. O conjunto vazio é representado por { } ou . Exem-
plo:
a) Seja A o conjunto dos números Naturais menores que 
15 e maiores que 14, tem-se que ou 
(É um conjunto vazio, pois entre 14 e 15 não existem 
números Naturais).
6 Subconjunto
Denomina-se que o conjunto A é subconjunto de B se todos os 
elementos de A pertencerem também a B. Exemplos:
a) Seja , A é subconjunto 
de B. (Observe que todos os elementosdo conjunto A 
fazem parte do conjunto B).
Capítulo 1 Conjuntos 9
b) Seja e D = {4, 
8, 62}, D é subconjunto de C. (Observe que todos os 
elementos do conjunto D fazem parte do conjunto C).
7 Conjunto universo e conjunto verdade
Para solucionar um problema matemático que envolva con-
juntos, é necessário admitir a existência de um conjunto de-
nominado conjunto universo representado por U. Analisa-se a 
seguir uma situação envolvendo estes conceitos.
a) Considere o conjunto universo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
e a equação 2x + 1 = 5
1º) Resolva a equação:
2x + 1 = 5
2x = 5 – 1
2x = 4
x = 2
2º) Lembre-se que o conjunto A, neste exemplo, é o con-
junto universo. Para que esta equação, neste conjun-
to universo, tenha solução, o valor encontrado para x 
deve ser um elemento do conjunto universo. Podemos 
10 Matemática Fundamental
afirmar que 2 A, portanto, o conjunto {2} é o con-
junto verdade dessa equação.
b) Determine os números Inteiros ( ) que satisfazem a 
equação x² = 81.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo U = .
2º) Resolva a equação.
3º) Verifique se – 9 e 9 são elementos de U. (– 9 ∈ e 9 
∈ ).
4º) Portanto, os números – 9 e 9 satisfazem a equação. 
Logo, formam o conjunto verdade (V). Então: V = {– 9, 
9}.
c) Determine os números Naturais que satisfazem a equa-
ção x² = 25.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo, U = .
2º) Resolva a equação.
Capítulo 1 Conjuntos 11
3º) Verifique se – 5 e 5 são elementos de U. (– 5 ∉ e 5 
∈ ).
4º) Portanto, apenas 5 satisfaz a equação. Logo, V = {5}.
d) Determine os números Naturais que satisfazem a equa-
ção x + 7 = 2.
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste 
exemplo, U = N.
2º) Resolva a equação.
x + 7 = 2
x = 2 – 7
x = - 5
3º) Verifique se (– 5) é elemento de U. (– 5 ∉ ).
4º) Portanto, (– 5) não satisfaz a equação. Logo, V = { } 
ou V = ∅
Observações:
a) Conjunto universo (U) é o conjunto de todos os valores 
que a variável pode assumir.
b) Conjunto verdade (V) é o conjunto dos valores de U, 
que tornam verdadeira a equação.
c) O conjunto verdade é um subconjunto do conjunto 
universo.
12 Matemática Fundamental
d) O conjunto verdade é também conhecido como con-
junto solução e é indicado por S.
8 Relação de inclusão
Quando A é um subconjunto de B, tem-se que . Os 
símbolos: está contido ; não está contido ; contém 
 e não contém são utilizados para as relações entre 
conjuntos. Exemplos:
a) Dados os conjuntos , 
analise as seguintes afirmações.
1) (Lê-se: A está contido em B).
Para que essa afirmação seja verdadeira é necessário com-
preender o significado do símbolo (está contido). Para que A 
esteja contido em B, todos os elementos do conjunto A devem 
fazer parte do conjunto B.
 B = 
Conclui-se que , pois todos os elementos do conjun-
to A fazem parte do B, isto é, A é um subconjunto de B.
2) (Lê-se: B está contido em A).
Para que B esteja contido em A, todos os elementos de B 
devem fazer parte de A.
B = 
Capítulo 1 Conjuntos 13
Observe que o elemento 33 do conjunto B não é elemento 
do conjunto A. Conclui-se que (Lê-se: B não está conti-
do em A), pois B não é um subconjunto de A.
3) (Lê-se: B contém em A).
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que 
no conjunto B, se encontrem todos os elementos do conjunto 
A. B contém todos os elementos de A.
B = 
Como o conjunto B contém todos os elementos do conjun-
to A, podemos dizer que esta afirmação é verdadeira.
4) (Lê-se: A está contido em C).
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que 
no conjunto C, se encontre todos os elementos do conjunto A.
Como os elementos de A não fazem parte do conjunto C à 
afirmação não é verdadeira.
Logo, A ⊄ C (Lê-se: A não está contido em C).
Observações:
a) O conjunto vazio está contido em todo e qualquer con-
junto. Então: , , .
14 Matemática Fundamental
b) Todo e qualquer conjunto está contido nele mesmo, as-
sim como todo e qualquer conjunto contém ele mesmo. 
Então: , .
9 Operações com conjuntos
Neste subcapítulo estudam-se as operações entre conjuntos. 
São elas: união, intersecção, diferença e complementar.
9.1 Operação união
A união entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos 
elementos pertencentes a A ou a B. Na notação matemática 
escreve-se:
Lê-se: a união entre os conjuntos A e B resulta em um con-
junto de elementos x, tal que x pertence a A ou x pertence a B.
Exemplos:
a) Dados os conjuntos e , de-
termine .
O conjunto que irá representar à solução da operação A
 B deve ser formado por todos os elementos do conjunto A 
e do conjunto B. Portanto:
Capítulo 1 Conjuntos 15
 (Lembre-se que dentro de um conjun-
to não pode haver elementos repetidos, por isso, na solução, 
o elemento 3 aparece apenas uma vez).
b) Dados os conjuntos 
e , determine .
1º) Reescreva o conjunto A.
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} (Observe que esse conjunto é 
infinito).
2º) B é um subconjunto de A (Todos os elementos do con-
junto B pertencem ao conjunto A).
3º) = A
c) Dados os conjuntos C = { e D , 
determine 
 (Lembre-se que o símbolo representa um con-
junto vazio, isto é, um conjunto que não possui elementos).
9.1.1 Propriedades da operação união
Para quaisquer A, B e C, tem-se que:
a) (A união de um conjunto com ele mesmo 
tem como resultado o próprio conjunto).
b) (A união de um conjunto com o conjunto 
vazio tem como resultado o próprio conjunto).
c) (Analisa-se esta propriedade).
16 Matemática Fundamental
Dados os conjuntos A = {0,1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 
7, 8}, determine:
1) (Lembre-se que o conjunto resultado da operação 
união deve conter todos os elementos do conjunto A e 
do conjunto B, sem repeti-los).
 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}
2) (Lembre-se que o conjunto resultado da união 
deve conter todos os elementos do conjunto B e do con-
junto A, sem repeti-los).
Logo, = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Observe que os conjuntos resultantes na situação 1 e 2 
são iguais. Por isso, podemos afirmar que (Esta 
propriedade é chamada de comutativa).
d) (Analisa-se essa propriedade).
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} 
e C = {7, 8, 9}, determine:
1) (Lembre-se que quando uma expressão ma-
temática contem parênteses deve-se iniciar as operações 
que estão entre eles, nesse caso ).
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (Agora se realiza a união entre o 
conjunto resultante de com o conjunto C).
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {7, 8, 9} =
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Capítulo 1 Conjuntos 17
 2) (Lembre-se que se deve iniciar com a opera-
ção que está entre parênteses).
 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Veri-
fique que os resultados da situação 1 e 2 são iguais, compro-
vando a propriedade).
 (Esta propriedade é chamada 
de associativa).
e) Se (Analisa-se esta propriedade).
 (Lê-se o conjunto A está contido no conjunto B. Re-
corde que se , significa que todos os elementos de A são 
também elementos de B).
Dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(Observe que todos os elementos de A também são elementos 
de B).
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (O conjunto da solução de 
 é igual ao conjunto B).
Por isso, podemos afirmar que se 
9.2 Operação intersecção
A intersecção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado 
pelos elementos pertencentes ao conjunto A e ao conjunto B, 
isto é, elementos comuns entre A e B.
18 Matemática Fundamental
Matematicamente escreve-se: 
Lê-se: a intersecção entre os conjuntos A e B resultado em um 
conjunto de elementos x, tal que x pertence ao conjunto A e x 
pertence ao conjunto B.
Exemplos:
a) Dados os conjuntos e , de-
termine 
 (3 e 4 são os elementos co-
muns a A e B).
 = {3, 4}
b) Dados os conjuntos 
e determine 
A = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
B = {3, 5, 7}
 = {3, 5, 7}
c) Dados os conjuntos e , de-
termine 
 = (Lembre-se que o símbolo representa um con-junto vazio, isto é, conjunto que não possui elementos. Além 
disso, não esqueça que o conjunto vazio é um subconjunto de 
qualquer conjunto).
Capítulo 1 Conjuntos 19
9.2.2 Propriedades da operação intersecção
Anteriormente, verificaram-se, com exemplos, as propriedades 
da operação união entre conjuntos. Neste item, apresentam-
-se as propriedades e se espera que vocês comprovem as mes-
mas, seguindo o mesmo método utilizado na operação união.
Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se que:
a) (A intersecção entre um conjunto e ele mes-
mo resulta no próprio conjunto).
b) (A intersecção entre um conjunto e um con-
junto vazio, resulta no conjunto vazio).
c) (Propriedade comutativa).
d) (Propriedade associativa).
e) Se (Se A está contido em B então 
9.3 Diferença entre dois conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto 
formado pelos elementos pertencentes a A e não pertencentes 
a B.
Matematicamente, escreve-se: 
Lê-se: a diferença entre os conjuntos A e B resulta em um con-
junto formado por elementos x, tal que x pertence ao conjunto 
A e x não pertence ao conjunto B.
Cuidado:
20 Matemática Fundamental
, então .
Exemplos
a) Dados os conjuntos e , deter-
mine .
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos A e B resulta 
em um conjunto formado por elementos x, tal que x pertence 
ao conjunto A e x não pertence ao conjunto B. Portanto, é ne-
cessário encontrar os elementos de A que não façam parte do 
conjunto B.
 
 = {3, 4} (Observe que os elementos 3 e 4 perten-
cem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Já o ele-
mento 5 pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B).
b) Dados os conjuntos e , deter-
mine B - A.
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos B e A resulta 
em um conjunto formado por elementos x, tal que x pertence 
ao conjunto B e x não pertence ao conjunto A. Portanto, tem-
-se que encontrar elementos em B que não façam parte do 
conjunto A.
 ,
c) Dados os conjuntos e
, determine A – B.
Capítulo 1 Conjuntos 21
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
 (Encontrar elementos em A que não façam parte do 
conjunto B. Observe que todos os elementos de A não fazem 
parte de B).
Logo, = A.
d) Dados os conjuntos e
 determine A – B.
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11}
A – B = {4, 5, 6} (Encontrar elementos em A que não fa-
çam parte do conjunto B).
e) Dados os conjuntos e
determine B – A.
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11}
B – A = {10, 11} (Encontrar elementos em B que não fa-
çam parte do A).
9.3.1 Propriedades da diferença entre conjuntos
Para quaisquer A, B e C, tem-se que:
a) A - A ∅
b) A - ∅ = A 
c) ∅ - A = ∅
d) Se 
22 Matemática Fundamental
e) Se 
Observações:
1) Para , todo e qualquer elemento pertencente a A 
também pertence a B.
 2) Para todo e qualquer elemento pertencente a A não 
pertence a B; denomina-se então que A e B são conjuntos 
disjuntos, isto é, conjuntos disjuntos são aqueles que não 
possuem elementos comuns.
9.4 Complementar de dois conjuntos
Para dois conjuntos A e B, o complementar de A em B, para 
, é o conjunto formado pela diferença .
Cuidado:
Complementar de A em B escreve-se como = B – A
Complementar de B em A escreve-se como = A – B
Exemplos
Capítulo 1 Conjuntos 23
a) Dados os conjuntos e , 
determine 
 (Complementar de A em B, que é igual a B – A).
 = B – A (Elementos de B que não pertencem a A).
 = {1, 2, 6}
b) Para e 
, determine 
. (Elementos de B que não pertencem a A).
 , ou seja, 
Observação
a) Quando a indicação do complementar é em relação 
ao conjunto Universo, utiliza-se o símbolo ou .
24 Matemática Fundamental
Referências
BAYER, Arno et al. Matemática Tópicos Básicos. Canoas: 
ULBRA, 1999.
DEMANA, Franklin et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 
2009.
FERNANDEZ, Vicente Paz e YOUSSEF, Antônio Nicolau. Mate-
mática para o 2º grau. São Paulo: Scipione, 1992.
GIOVANI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemáti-
ca Completa. São Paulo: FTD, 2005.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática – Temas e Me-
tas; Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo: Atual, 
1986.
Teoria dos Conjuntos. Disponível em:
< http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjun-
tos/>. Acesso em 07 jul 2015.
Atividades
 1) Dados os conjunto , 
determine:
Capítulo 1 Conjuntos 25
a) (União: todos os elementos de A e B, sem 
repetição de elementos).
b) 
 = {a, b, c, e}
 {a, b, c, e} {c, d, e}
 {c, e}
c) B – C (Diferença entre dois conjuntos).
Lembre-se: a solução é composta por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto C
d) C - B
Lembre-se: a solução é composta por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto C e não pertencem ao conjunto B.
 2) Dados os conjunto , 
classifique as afirmações em V ou F:
a) (O conjunto {a, e} está contido no 
conjunto solução da união entre os conjuntos A e C, 
isto é, todos os elementos de {a, e} devem também ser 
26 Matemática Fundamental
elementos de . Se isto for verdadeiro o conjunto 
{a, e} é um subconjunto de {a, b, c, e}).
Primeiro realiza-se a operação 
 = {a, b, c, e}
 Portanto, {a, e} está contido em . 
Logo, a afirmação é verdadeira.
b) (O conjunto C contém o conjunto B, isto é, to-
dos os elementos de B devem fazer parte do conjunto 
C).
Logo, isto afirmação é falsa.
c) C}
Esta afirmação é verdadeira. Lembre-se que o conjunto va-
zio é subconjunto de qualquer conjunto.
d) 
 = {c, d, e} = {a, b, c, e}
 = {c, d, e} {a, b, c, e}
O conjunto {c, d, e} não contém o conjunto {a, b, c, e}. 
Logo, a afirmação é falsa.
3) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ 
B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 
Capítulo 1 Conjuntos 27
Para melhor entendimento da questão, utiliza-se o Diagra-
ma de Venn.
 (Cuidado! Os elementos 4 e 5 pertencem 
ao conjunto A e ao conjunto B)
A – B = {1, 2, 3} (Cuidado! Os elementos 1, 2 e 3 perten-
cem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B).
 (Observe todos os elementos 
resultantes da operação união entre os conjuntos A e B e si-
nalize os elementos que já estão no diagrama de Venn. O 
conjunto B é formado por todos os elementos que não estão 
no conjunto A).
 Logo, B = {4, 5, 6, 7, 8}
4) Considerando os conjuntos descritos abaixo:
T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {4, 5} determine (T – A) (B 
(T – A) (Elementos que pertencem ao conjunto T e não per-
tencem ao conjunto A).
28 Matemática Fundamental
(T – A) = {0, 3, 4, 5, 6}
(B {2, 3, 4, 5}
(T – A) (B = {0, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}
 5) Todos os funcionários de uma empresa foram vacinados. 
80 % deles contra H1N1 e 60 % contra hepatite. Calcule 
a porcentagem de funcionários que tomaram as duas va-
cinas.
Chama-se de:
x o percentual de funcionários que tomaram as duas vaci-
nas (intersecção entre os dois conjuntos).
A o conjunto de funcionários vacinados contra H1N1 (80 %).
B o conjunto de funcionários vacinados contra hepatite (60 %).
(80 – x) os funcionários que tomaram apenas a vacina con-
tra H1N1.
(60 – x) os funcionários que tomaram apenas a vacina con-
tra hepatite.
Lembre-se que o total deve ser de 100 %.
Represente os dados no Diagrama de Venn:
Capítulo 1 Conjuntos 29
Resolva o problema:
(80 – x) + x + (60 – x) = 100
140 – x = 100
-x = 100 – 140
- x = - 40
X = 40
Portanto, 40 % dos funcionários tomaram as duas vacinas.
Recapitulando
A Teoria dos Conjuntos foi formulada no fim do século XIX pelo 
matemático russo Georg Cantor. Um mesmo conjunto pode 
ser “escrito” de diferentes formas:
a) Enumerando seus elementos entre chaves, separados 
por vírgulas:
A = {-1, 0, 1}
30 Matemática Fundamental
b) Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracte-
rize cada um de seus elementos:
c) Por meio de uma figura fechada, dentro da qual se 
escreve seus elementos (Diagrama de Venn).
No próximo capítulo, amplia-se o estudo deste conteúdo, 
pois ira-se introduz os conceitos deconjuntos numéricos e in-
tervalos na reta dos reais.
Atividades
 1) Enumere os números Inteiros entre – 2 e 8.
 2) Enumere os números Inteiros positivos de – 8 a – 1.
 3) Enumere todos os números Inteiros negativos maiores que -5.
 4) Enumere todos os números Inteiros positivos maiores que 
7 ou iguais a 7.
Capítulo 1 Conjuntos 31
 5) Dados os conjunto , 
determine:
a) b) c) 
 6) Três alunos, X, Y e Z, concorreram à presidência do Grê-
mio Estudantil da sua escola. Para escolher o presidente, 
cada aluno matriculado na escola votou apenas em dois 
candidatos. O resultado da eleição foi o seguinte: 100 
votos para X e Y, 80 votos para Y e Z e 20 votos para X e 
Z. Analisando esses dados, é possível afirmar que:
A) venceu X, com 120 votos.
B) venceu X, com 140 votos.
C) os candidatos X e Y empataram em primeiro lugar.
D) venceu Y, com 140 votos.
E) venceu Y, com 180 votos.
 7) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos 
acertaram somente uma questão, 31 acertaram a primei-
ra, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão. 
Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi:
A) 43 B) 48 C) 52 D) 56 E) 60
 8) (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma 
campanha de doação de sangue em uma Universidade. 
Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado 
em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita 
com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou 
que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 
32 Matemática Fundamental
o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o nú-
mero de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
A) 20 alunos B) 26 alunos C) 34 alunos
D) 35 alunos E) 36 alunos
 9) Os dados meteorológicos mostraram que em x dias:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Com essas informações é possível afirmar que x é igual a:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
 10) De 35 pessoas de um grupo de idosos, 16 conhecem Flo-
rianópolis; 16, Porto Alegre e 11, Curitiba. Desses ido-
sos, 5 conhecem Florianópolis e Curitiba 5, 3 conhecem 
também Porto Alegre. O número de idosos que conhecem 
Florianópolis ou Porto Alegre é de:
A) 29 B) 24 C) 11 D) 8 E) 5
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Capítulo ?
Conjuntos Numéricos
Capítulo 2
34 Matemática Fundamental
Introdução
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a 
partir da compreensão de um conjunto. A construção de todos 
os conjuntos numéricos parte de números Naturais utilizados 
apenas para contar, até os números Complexos que possuem 
vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções quími-
cas, entre outras áreas.
Este capítulo trata do estudo dos Conjuntos Numéricos e 
dos Intervalos Numéricos no conjunto dos números Reais.
1 Conjunto dos números Naturais
Num determinado momento da História, os homens sentiram 
necessidade de contar objetos, animais, pessoas, etc. Essa 
necessidade fez com que os homens criassem uma forma de 
representar essas contagens. Por volta de 4.000 a C, algumas 
comunidades primitivas transformaram-se em cidades. Várias 
atividades foram surgindo, graças ao desenvolvimento do co-
mércio. Era o fim da pré-história e o início da história.
Para o homem primitivo, contar significava fazer correspon-
dências. Durante a caçada, por exemplo, para cada animal 
que conseguia abater, o caçador fazia uma marca em um pe-
daço de madeira, fazendo assim uma correspondência entre 
dois conjuntos.
Grandes progressos aconteceram na Matemática com o 
surgimento dos números no Egito. Também os romanos cria-
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 35
ram a sua forma de expressar os números, suprindo, dessa 
maneira, a necessidade que surgiu com o comércio e as habi-
tações. Cada povo desenvolveu seus símbolos matemáticos e 
seu sistema de numeração.
Utilizam-se, atualmente, símbolos numéricos chamados de 
indo-arábicos. São esses números, criados pelos matemáticos 
da Índia, divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowa-
rizmi, que constituem o nosso sistema de numeração decimal, 
por isso conhecido como algarismos indo-arábicos.
O conjunto dos Números Naturais, cuja notação é , é 
representado como:
 , conjunto dos Números Naturais.
, conjunto dos Números Naturais 
sem o zero.
2 Conjunto dos números Inteiros
O símbolo do conjunto dos números Inteiros é o , inicial da 
palavra alemã “Zahlen”, que significa números. O conjunto 
dos números Inteiros é representado como:
 (Números Inteiros 
negativos, o número zero e os Números Inteiros positivos).
 (Conjunto dos números Inteiros não 
negativos).
36 Matemática Fundamental
 (Conjunto dos números Intei-
ros não positivos).
 (Conjunto dos nú-
meros Inteiros sem o zero).
3 Conjunto dos números Racionais
O conjunto dos números Racionais abrange todos os Inteiros, 
decimais finitos e dízimas periódicas. Sua notação é , e con-
tém qualquer número que possa ser escrito como a razão de 
dois números Inteiros, na forma , onde , isto é:
 (Lê-se: a dividido por b tal que 
a e b pertencem ao conjunto dos números Inteiros e b diferen-
te de zero).
Obs.:
a) O número decimal 0,25, pode ser escrito na notação 
 , , por isso é um número Racional.
b) A dízima periódica 0,33333333... é um número Ra-
cional, pois pode ser representada por sua fração ge-
ratriz que é . Lembre-se que dízima periódica é uma 
sequência que se repete infinitamente.
c) O número Racional representa o Inteiro 2. Logo, 
qualquer número Inteiro pode ser representado na for-
ma de um número Racional. Dessa maneira, podemos 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 37
estabelecer algumas relações entre os conjuntos nu-
méricos, tais como:
 (O conjunto dos números Naturais está contido no 
conjunto dos números Inteiros).
 (O conjunto dos números Inteiros está contido no 
conjunto dos números Racionais).
 (O conjunto dos números Naturais está contido no 
conjunto dos números Racionais).
4 Conjunto dos números Irracionais
No século VI, Pitágoras, um matemático, descobriu a relação 
entre as medidas de um triângulo retângulo. Mais tarde, esta 
relação foi chamada de Teorema de Pitágoras. Aplicando este 
teorema, Pitágoras chegou a números do tipo . Como só 
eram conhecidos os números Naturais e Racionais positivos, 
ele não conseguia descobrir o valor que correspondesse a esse 
resultado, pois é impossível por tentativas. Com isso, surgem 
os números Irracionais. Exemplos:
2 = 1,4142135623730950488016887242097...
π = 3,1415926535897932384626433832795...
Portanto, os números Irracionais, cuja notação é , são 
aqueles que não podem ser representados na forma fracioná-
ria, ou seja, sua notação decimal não tem uma dízima periódi-
38 Matemática Fundamental
ca, isto é, a parte decimal não tem uma sequência de números 
que se repete.
5 Conjunto dos números Reais
A união do conjunto dos números Racionais com o conjunto 
dos números Irracionais resulta num conjunto numérico cha-
mado de conjunto dos números Reais, cuja notação é . O 
conjunto dos Números Reais contém vários subconjuntos (Na-
turais, Inteiros, Racionais e Irracionais), representados no dia-
grama de Venn:
Observações:
a) (A união entre o conjunto dos números 
Racionais e dos Irracionais resulta no conjunto dos nú-
meros Reais).
b) (A intersecção entre o conjunto dos núme-
ros Racionais e dos Irracionais tem como resultado um 
conjunto vazio, isto é, um conjunto sem elementos).
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 39
6 Conjunto dos números Complexos
O conjunto dos números Complexos, cuja notação é , é for-
mado pelos números escritos na forma retangular , para 
 e , sendo relativo à parte real e relativo 
à parte imaginária. É representado como
Exemplos:
a) Para , tem-se:
 (Pode-se escrever (– 9) como: 
[(-1) . 9]
 (Aplicando a propriedade da radiciação 
)
 (Lembre-se que )
Logo, para a parte real , tem-se que e para a parte 
imaginária tem-se que .
Para , tem-se:
 x (Lembre-se que )
5i
40 Matemática FundamentalPortanto, para um número Real qualquer tal que, 
, e , tem-se que é um número Complexo com a 
parte real e a parte imaginária .
Observação:
a) (O conjunto dos números Reais está contido no 
conjunto dos números Complexos).
7 Reta orientada e intervalos numéricos
Pode-se representar o conjunto dos números Reais associan-
do-se cada número x ∈ a um ponto de uma reta r. Assim, 
convenciona-se uma origem O, associando-se a ela o zero, 
adotando-se uma unidade e um sentido positivo para esta 
reta, tem-se aquela que se denomina reta orientada.
Portanto, o conjunto dos números Reais é graficamente re-
presentado por uma reta de maneira que, considerando-se a 
reta real e os números representados por e tem-se que, se 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 41
 está esquerda de então , com a direita de então 
.
Considerando-se a reta real e a marcação do número Real 
zero com o valor 0, tem-se para o número Real a esquerda 
de 0, ou seja, que é um Real negativo e, para um 
número Real a direita de 0, ou seja, que é um nú-
mero Real positivo.
O conjunto dos números Reais é ordenado, por isso pode-
-se comparar dois números reais iguais ou não iguais, com os 
sinais de igualdade ou desigualdade (maior que, menor que).
Notação:
a) x > 3 (x é maior que 3).
b) x ≥ - .
c) – 2 < x ≤ 6 (x é maior que – 2 e menor ou igual a 6).
d) os números reais entre (– 3) e (– 0,8) 
e) os números reais maiores ou iguais a zero (
f) os números reais maiores que zero 
42 Matemática Fundamental
As desigualdades definem intervalos sobre a reta real, que 
podem ser limitados (intervalos fechados) ou ilimitados (inter-
valos abertos).
7.1 Intervalos numéricos na reta dos 
números Reais
Existem diferentes tipos de intervalos numéricos. Este é o tópi-
co de estudo neste subcapítulo. O estudo dos intervalos é de 
extrema importância, pois servirá de base para determinar o 
domínio e a imagem de diferentes funções.
7.1.1 Intervalos limitados
Entre os diferentes tipos de intervalos limitados existem os que 
são fechados ou abertos.
a) Intervalo fechado
Um intervalo é fechado quando for composto por números 
reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. Algebri-
camente, representa-se por: ou . Na 
reta numérica dos reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 43
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações tem o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
Reais maiores ou igual a – 2 e menores ou igual a 5.
b) Intervalo aberto
Um intervalo é aberto quando for composto por números 
Reais maiores que a e menores que b. Algebricamente, é re-
presentado por: ou ou . Na 
reta numérica dos reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
reais maiores que – 2 e menores que 5.
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
Um intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita 
quando for formado por números Reais maiores ou iguais 
a a e menores que b. Algebricamente, é representado por: 
44 Matemática Fundamental
 ou ou . Na reta numérica dos 
Reais é representado da seguinte forma:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores ou igual a – 2 e menores que 5.
d) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
Um intervalo é aberto à esquerda e fechado à direi-
ta quando for composto por números reais maiores que a e 
menores ou igual a b. Algebricamente é representado por: 
 ou ou . Na reta numérica dos 
Reais é representado da seguinte forma
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 45
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores que – 2 e menores ou igual a 5.
7.1.2 Intervalos ilimitados
São intervalos formados por semirretas ou pela própria reta 
dos Números Reais.
a) Menores que 
a.1) Aberto em a
Algébricamente, é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
reais menores que 3.
46 Matemática Fundamental
a.2) Fechado em a
Algébricamente, é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais menores e iguais a 3.
b) Maiores que a
b.1) Aberto em a
Algébricamente é representado ou 
ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 47
Na reta Conjunto Intervalo
.
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, este intervalo é formado por todos os números 
Reais maiores que 3.
b.2) Fechado em a
Algébricamente é representado por ou 
 ou . Na reta numérica é representado por:
Observe as representações:
Na reta Conjunto Intervalo
.
Essas três representações têm o mesmo significado mate-
mático, isto é, esse intervalo é formado por todos os números 
reais maiores ou igual a 3.
Observação:
a) A reta numérica dos números Reais também pode ser 
representada sob a forma de conjunto e de intervalo.
48 Matemática Fundamental
Na reta Conjunto Intervalo
 R
8 Operações com intervalos no conjunto 
dos números Reais
Este subcapítulo é dedicado ao estudo das operações com in-
tervalos nos números Reais.
8.1 Operação União
Para a operação de união, tem-se que todos os elementos 
dos conjuntos fazem parte do conjunto solução. O mesmo se 
procede quando se trabalha com intervalos. Porém, é muito 
importante cuidar dos extremos dos intervalos, isto é, observar 
se o intervalo é fechado (inclui o extremo) ou se é aberto (ex-
clui o extremo). Exemplos:
a) Considerando os intervalos , 
determine 
1º passo: represente cada um dos intervalos em uma reta 
numérica. Faça um traço vertical para assinalar o primeiro e o 
último número (de A ou B) e identifique o resultado.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 49
2º passo: na reta numérica com a representação de , 
observe o primeiro e o último elemento. Cuide também se o 
intervalo é aberto (bolinha aberta) ou se é fechado (bolinha 
fechada).
3º passo: Registre o resultado:
ou 
b) Dados os conjuntos A = , determine 
.
 = } ou 
c) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = , determine 
50 Matemática Fundamental
Para resolver este exercício, representa-se de outra forma 
os intervalos A e B. Observe que se representa com verde o 
intervalo A e amarelo o intervalo B. Observe também “as boli-
nhas fechadas ou abertas”.
Identifique na reta as “bolinhas”. A primeira e a última, pois 
estas definem . Portanto, = } 
ou .
8.2 Operação Intersecção
Na operação de intersecção, o conjunto solução é formado 
pelos elementos em comum aos conjuntos. Exemplo:
a) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = , determine 
Observe que se representa com verde o intervalo A e ama-
relo o intervalo B. Observe também “as bolinhas fechadas ou 
abertas”.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 51
Identifique na reta a parte dos intervalos que está pintada 
tanto de verde quanto de amarelo. Essa é a parte comum aos 
dois intervalos. A primeira e a última “bolinha” da parte comum 
são as que definem . Portanto, = 
} ou .
b) Dado os intervalos A = e B = , determine 
.
 = } ou 
Referências
BAYER, Arno (org.). Matemática: tópicos básicos. Canoas/
RS: ULBRA, 2013.
52 Matemática Fundamental
SEIBERT, T. E. Dimensão Profissional I. Canoas/RS: ULBRA, 
2013.
Teoria dos Conjuntos. Disponível em:< http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjun-
tos/>. Acesso em 07 jul 2015.
Atividades
 1) Dados os intervalos A = e B = , determine 
.
Represente na reta numérica o intervalo A:
Em outra reta numérica represente o intervalo B:
Em uma terceira reta, destaque o intervalo que representa 
:
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 53
Lembre-se que o intervalo resultado da operação união 
deve conter todos os elementos de A e de B. Cuidado com os 
sinais de intervalo aberto ou fechado. Logo: 
 2) Dados os intervalos A = e B = , determine B – A:
Represente os intervalos em retas conforme exemplo do 
exercício anterior. Lembre-se que o resultado de B – A é o 
intervalo formado por todos os elementos de B que não fazem 
parte de A. Observe que, no intervalo A, o extremo em 1 é 
aberto e, portanto, o número 1 não faz parte do intervalo A.
B – A = 
3) Escreva por compreensão o intervalo A = 
54 Matemática Fundamental
Observe que o intervalo é aberto à esquerda e fechado à 
direita. Lembre que quando o intervalo for fechado deve-se 
utilizar também o sinal de igual.
}
4) Represente algebricamente o:
Observe que o intervalo à esquerda é fechado e à direita é 
aberta (bolinha fechada e bolinha aberta).
 ou 
 5) Represente na reta numérica o intervalo 
O intervalo, tanto à esquerda quanto à direita, é aberto 
(observe os sinais). Na reta numérica é representado por uma 
“bolinha aberta”.
6) Represente geometricamente 
Cuidado com os intervalos infinitos. Lembre que tanto no 
infinito negativo quanto no infinito positivo o intervalo é aberto.
 7) Dados os conjuntos A = e B = 
, determine A B.
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 55
Represente o conjunto A na reta numérica:
Represente o conjunto B na reta numérica:
Represente a união na reta numérica:
Lembre-se que o conjunto procurado é formado por to-
dos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Logo: 
 8) Dados os conjuntos A = e B = 
, determinar .
Represente o conjunto A na reta numérica:
56 Matemática Fundamental
Represente o conjunto B na reta numérica:
Represente a intersecção na reta numérica:
Lembre-se que o conjunto procurado é o conjunto de todos 
os elementos que pertence a A e a B ao mesmo tempo. Logo: 
9) Sendo A = e B = , determine A – B.
Lembre-se que o conjunto A – B é formado por todos os 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Caso en-
contre dificuldade, represente os intervalos na reta numérica.
A – B = 
10) Sendo A = e B = , determine B – A
Lembre-se que o conjunto B – A é formado por todos os 
elementos de B que não pertencem a A. Logo: B – A = .
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 57
Recapitulando
Lembre-se da notação dos conjuntos Numéricos:
a) o conjunto dos Números Naturais:
b) o conjunto dos números Inteiros:
c) o conjunto dos números Racionais:
d) o conjunto dos números Irracionais (
e) o conjunto dos números Reais
R = 
f) o conjunto dos números Complexos
58 Matemática Fundamental
O próximo capítulo do livro trata de alguns tópicos do En-
sino Fundamental, que são pré-requisitos para o estudo das 
funções.
Atividades
 1) Represente na reta numérica os seguintes intervalos:
a) b) }
c) d) 
e) } f) 
 2) Escreva por compreensão os intervalos:
a) b) 
 3) Para os intervalos 
, determine e 
escreva em forma de intervalo o resultado das operações:
a) b) 
c) d) 
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos 59
 4) Efetue as operações com os conjuntos numéricos:
 b) 
c) =
 5) Dados A = , B = e E = , calcule:
a) A – B b) B – A c) A – E 
d) E – B
 6) Dados A = , B = [-5, 5] e E = , calcule:
a) A B E b) A B E c) (A B) E
 7) Represente o intervalo na reta dos números Reais.
 8) Determine o intervalo que está representado na forma 
geométrica.
 9) Classifique em racional (Q) ou irracional (Q’) os números 
Reais dados:
a) 6,020000 b) 1,666666
c) 0,01001000100001... d) 0,93875679383431...
e) f) 
 10) Dados os conjunto , de-
termine:
a) b) c) 
Tópicos de Álgebra da 
Educação Básica
Capítulo 3
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 61
Introdução
Segundo Baumgart (1997), a origem da palavra “Álgebra” não 
se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a pa-
lavra “aritmética”, que deriva do grego arithmos (“número”). 
Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às ve-
zes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-
-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 
pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. 
Esse trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviada-
mente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo 
do livro é a “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, 
mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição 
e cancelamento”- ou, conforme Boher, “a transposição de ter-
mos subtraídos para o outro membro da equação” e “o cance-
lamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos 
da equação”.
Neste capítulo do livro, além do estudo de alguns tópicos 
da Álgebra da Educação Básica, revisam-se os conceitos en-
volvidos nas operações de potenciação e radiciação.
1 Potenciação
Na Matemática, existem diferentes formas de representar uma 
mesma situação. Por exemplo, uma adição de parcelas iguais 
pode ser representada por uma multiplicação.
3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3
62 Matemática Fundamental
(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 6 x (-1)
Quando se trata de multiplicação de fatores iguais, pode-
-se representar a operação por uma potenciação. Observe:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
3 . 3 = 32
(-5) . (-5) . (-5) . (-5) = (-5)4
a . a . a . a . a . a = a6
Portanto, sendo um número Real e um número 
Inteiro , para tem-se o produto do fator multipli-
cado por ele mesmo vezes, ou seja:
Nomeia-se a como sendo a base, n o expoente, an a po-
tência e a operação de potenciação. Exemplos:
a) 2³ = 2 . 2 . 2 = 8
b) (-3)² = (-3) . (-3) = 9 (Cuidado com o sinal do número. 
Ele também está elevado ao quadrado, porque está en-
tre parênteses).
c) – 3² = - (3) . (3) = - 9 (Cuidado com o sinal do número. 
Ele não deve ser elevado ao quadrado, porque não está 
entre parênteses).
d) (-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = -27
e) (0,25)² = (0,25) . (0,25) = 0,0625
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 63
f) = 
Observações:
a) (Lê-se: a elevado ao ex-
poente zero é igual a 1 para qualquer que seja a per-
tencente ao conjunto dos números Reais e a diferente de 
zero). Exemplos:
1) 30 = 1 2) 3) = 1 4) =1
b) para (Lê-se: a elevado ao expoente um 
é igual a a para qualquer que seja a pertencente ao 
conjunto dos números Reais). Por definição considera-
-se a¹ = a, pois não há um produto3 com único fator. 
Exemplos:
1) 31 = 3 2) 3) = 4) = 
1.1 Propriedades da potenciação
Trabalhar com operações que envolvem a potenciação se tor-
na mais fácil quando se conhece algumas regras e proprieda-
des. Este é o objetivo deste subcapítulo.
a) Propriedade 1
Analisando a multiplicação entre potências de mesma base:
1) 34 . 3² = (Lembre-se que 34 = 3 . 3 . 3 . 3)
(3 . 3 . 3 . 3) . (3 . 3) = 36
2) 
64 Matemática Fundamental
 . . . = 
Portanto, na multiplicação de potências de mesma base, 
conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. De forma 
generalizada, pode-se escrever:
Importante:
Pode-se entender a noção de potência a-n para n Inteiro 
(positivo ou negativo), mantendo a propriedade 1, ou seja:
1 = a0 = a-n + n = a-n . an
Portanto, a potência a-n = 
Outra forma de entender:
25 = 32
24 = 16
23 = 8
2² = 4
2¹ = 2
20 = 1 (Observe em todos os resultados a divisão por dois).
2-1 = 0,5 = 
2-2 = 0,25 = 
2-3 = 0,125 = 
Logo: 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 65
b) Propriedade 2
Analisando a divisão entre potências de mesma base:
57 : 53 = 
57 : 53 = (Simplificando).
57 : 53 = 5 . 5. 5. 5 = 54 = 57 - 3
Portanto, na divisão de potências de mesma base, conser-
va-se a base e subtraem-se os expoentes. De formagenerali-
zada pode-se escrever: , .
Observe:
72 : 75 = 
c) Propriedade 3
Analisando potência de potência:
 = 2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 23 + 3 + 3 + 3 = 212 = 24 . 3 (Lembre-
-se que o expoente indica quanto vezes a base é multiplicada 
por ela mesma. Neste exemplo a base é 23 e o expoente é 4).
Portanto, na potência de potência, conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. De forma generalizada pode-se 
escrever: 
Cuidado:
= = 1,41 x 1073
Portanto, . Logo, 
66 Matemática Fundamental
d) Propriedade 4
Analisando potência de um produto de dois ou mais fatores:
 = 
 = (2 . 2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3 . 3)
 = 24 . 34
Portanto, a potência de um produto de dois ou mais fatores 
pode ser calculada elevando-se cada termo do produto ao 
mesmo expoente. De forma generalizada, pode-se escrever: 
e) Propriedade 5
Analisando a potência de um quociente de dois números a 
um expoente natural:
Portanto, a potência de um quociente de dois números a 
um expoente natural pode ser calculada elevando-se cada ter-
mo do quociente ao mesmo expoente. De forma generalizada 
pode-se escrever: 
Cuidado:
 (Lembre-se que ).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 67
1.2 Potências de base 10
As potências de base 10 são muito utilizadas na Física e na 
Química quando se trabalha com grandezas micro ou ma-
croscópicas.
Observe algumas potências de base 10:
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
Portanto, o expoente da base 10 corresponde ao número 
de zeros da potência resultante, quando o expoente é um nú-
mero Natural.
Quando o expoente é um número Inteiro negativo proce-
de-se da seguinte forma:
68 Matemática Fundamental
Portanto, o número que está no expoente, sem o sinal, indi-
ca o número de casas decimais4 da potência resultante.
Observação:
Um número está escrito na notação científica quando apa-
recer como a multiplicação de dois números Reais, em que:
a) um dos fatores é um número a pertencente ao intervalo 
;
b) o outro fator é uma potência de base dez: a . 10n, 1 
a < 10.
Exemplos:
7,28 . 1012 = 7,28 . 1 000 000 000 000 = 7 280 000 
000 000
3,002 . 10-5 = 3,002 . 0,00001 = 0,00003002
2 Radiciação no conjunto dos números 
Reais
Lembre-se que a radiciação é a operação inversa da potencia-
ção. Observe:
8² = 8 x 8 = 64 e = 8
5³ = 5 . 5 . 5 = 123 e = 5
Portanto, define-se a radiciação como: Sendo e dois 
números pertencentes aos Reais e um número 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 69
Natural , denomina-se raiz enésima de o número 
que elevado a resulta no número . Isto é: 
, para: radicando; raiz; índice; radical; ope-
ração: radiciação. Exemplos:
Atenção:
a) No conjunto dos números Reais, se o radicando é um 
número negativo e o índice do radical é um número 
par, a raiz não é definida. Porém, no conjunto dos nú-
meros Complexos a raiz é definida.
b) Se o índice do radical for um número ímpar, a raiz é 
sempre definida.
 
2.1 Propriedades dos radicais
Assim como na potenciação, neste subcapítulo estudam-se as 
propriedades da radiciação.
a) Propriedade 1
O radical de uma potência qualquer, quando é definido, 
pode ser obtido como uma potência fracionária. Isto significa 
que para todo radical tem-se: .
Exemplos:
70 Matemática Fundamental
Como consequência, tem-se que: . Observe:
 = (Simplificando p).
 = 
 = (Simplificando 5).
Atenção:
Logo, pode-se afirmar que 
b) Propriedade 2
Observe o exemplo:
= = 10
Outra forma de realizar o mesmo cálculo:
 . = 5 . 2 = 10 (Como o resultado é o mesmo do 
anterior pode-se afirmar que)
= . 
De forma geral, escreve-se que: (Observe 
que para aplicar essa propriedade os índices dos radicais de-
vem ser iguais).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 71
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
c) Propriedade 3
Observe o exemplo:
= 2 (O número 8 é resultado da divisão 64 : 8)
Outra forma de realizar o mesmo cálculo:
De forma geral escreve-se que: 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
d) Propriedade 4
O radical de outro radical é obtido por meio de um terceiro 
radical, cujo índice é o produto dos índices dos radicais dados, 
isto é: .
Exemplos:
a) = b) 
Cuidado: em caso de índice par, os radicandos devem ser 
positivos.
Importante:
 1) Um número que multiplica um radical pode ser introduzido 
no radical, desde que fique elevado ao índice.
72 Matemática Fundamental
Exemplo:
5 . = 10 (Introduzindo 5 no radical).
2) 
2.2 Radicais semelhantes
Os radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o 
mesmo radicando, como por exemplo, os seguintes radicais:
a) (São radicais semelhantes porque tem o 
mesmo índice e o mesmo radicando).
b) (Não são radicais semelhantes porque têm di-
ferentes índices).
De forma geral pode-se dizer que 
são semelhantes, pois possuem o mesmo índice e o mesmo ra-
dicando.
2.3 Operações com radicais: adição e subtração
A operação da adição ou da subtração de radicais é definida 
somente para radicais semelhantes. Exemplo:
a) 
(7 + 4 – 3) = 
De forma geral, pode-se escrever:
a) 
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 73
b) 
2.4 Operações com radicais: multiplicação e 
divisão
A operação da multiplicação ou da divisão é definida somente 
para radicais com o mesmo índice. Exemplos:
a) 
b) 
c) 
De forma geral, diz-se que:
a) 
b) 
Atenção:
Para multiplicar ou dividir radicais com índices diferentes, 
transforma-se os radicais em um mesmo índice.
 (Índices diferentes – escrever na forma fracionária)
 (Frações de denominadores diferentes – utilize equi-
valência entre frações e escreva-as com frações de mesmo de-
nominador).
 e (Mínimo múltiplo comum (mmc) entre 3 e 4 é 12. 
Divide 12 pelo denominador e multiplique o resultado pelo 
numerador. Faça isso para cada uma das frações).
 e (Reescreva as raízes).
74 Matemática Fundamental
 = 
 (Agora realize a multiplicação).
 . = 
2.5 Simplificação de radicais
Observe com atenção os exemplos:
a) (64 = 43, porque 4 . 4 . 4 = 64)
 = (Aplicando a propriedade da potenciação am . 
an = am + n)
 (Aplicando a propriedade da radiação 
. ).
 = (Aplicando a propriedade ).
 = 4. 2 = 8
b) (Decompondo 120 em fatores pri-
mos encontra-se 2²x2x3x5).
 (Aplicando as propriedades).
 = 2
Logo:
 2
c) (Decompondo 8 e 32 em fato-
res primos).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 75
 = 
 = . 
. = + 
 + =
d) 
2.6 Racionalização de denominadores
Para uma fração cujo denominador é um número Irracional, 
na forma de um radical, racionalizar o denominador é a ope-
ração de conversão do denominador Irracional em um de-
nominador Racional, através do produto do numerador e do 
denominador por um fator tal que o denominador torne-se um 
número Racional. Exemplos:
1) 
 (Multiplicar numerador e denominador de 
pelo denominador desta fração).
 (Aplicando no denominador a propriedade da 
multiplicação de radicais de mesmo índice ).
76 Matemática Fundamental
 = (Lembre que = 3)
 = 
Logo: = (Utilize calculadora e teste este resultado).
2) 
 . = 
 = (Simplifique o 8 do numerador com o 2 do de-
nominador).
 = 
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
3) 
 (Simplifique ).
 (Simplifique o 6 do numerador com o 6 
do denominador).
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
Observações:
a) Para denominador o fator é , tem-se:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 77
Exemplo:
1) (Observe que no denominador tem-se )
 (Observe que se multiplica pelo fator é . 
Neste exemplo n = 5 e m = 3, Logo, n – m = 3).
 (Observe que no denominador, na multipli-
cação dos radicandos, utiliza-se a propriedade da potencia-
ção (am . an = am + n), isto é: 7² . 7³ = 72+3 = 75).
Logo: (Utilize calculadora e teste este resultado).
b) Para os denominadores os fatores são , 
isto é:
1) 
Exemplo:
a) (Observe que no denominador tem-se uma adição).
 (Por ter-seuma adição no denominador multipli-
ca-se o numerador e o denominador pelo fator )
7. (Multiplicação que 
deve ser realizada no numerador).
 (Resultado no numerador).
78 Matemática Fundamental
 = (Multiplicação no denomina-
dor – Produto da soma pela diferença de dois termos: 
)
 = (Resolvendo o produto 
da soma pela diferença de dois termos).
16 – 5 = 11(Resultado no denominador).
Reescrevendo com os resultados encontrados no numera-
dor e no denominador:
b) (Observe que no denominador tem-se uma subtra-
ção).
 (Por ter-se uma subtração no denomi-
nador multiplica-se o numerador e o denominador pelo fator 
)
 (Multiplicação que deve ser realiza-
da no numerador).
 (Resultado no numerador).
 = (Multiplicação no denomina-
dor – Produto da soma pela diferença de dois termos: 
).
 = (Resolvendo o produto 
da soma pela diferença de dois termos).
4 – 3 = 1(Resultado no denominador).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 79
Reescrevendo com os resultados encontrados no numera-
dor e no denominador:
 (Fatorando ).
 (Fator comum em evidência).
3 Monômio: conceitos e operações
Este subcapítulo tem como objetivo a abordagem de conceitos 
algébricos que são fundamentais no processo de aprendiza-
gem de funções.
3.1 Monômios
Denomina-se de monômio ou termo algébrico toda a expres-
são algébrica determinada por apenas um número Real, uma 
variável ou pelo produto de números e variáveis. Por exemplo, 
para , o coeficiente numérico é o número Inteiro (-3) e a 
parte literal xy². No quadro a seguir outros exemplos:
Monômio Coeficiente numérico Parte literal
1
-1
-5
80 Matemática Fundamental
Observações:
a) Monômios semelhantes são aqueles que possuem a 
mesma parte literal, como por exemplo, os monômios 
, que, por possuírem a mesma parte literal 
(x²) são chamados de monômios semelhantes.
b) Monômio nulo é o monômio cujo coeficiente numérico 
é igual a 0, como, por exemplo, o termo algébrico 0x², 
que tem como coeficiente numérico o número zero.
c) Todo número Real é um monômio, como por exemplo 
, pois .
3.1.1 Operações com monômios
Definido o que é monômio, estuda-se, neste subcapítulo, os 
procedimentos envolvidos nas operações entre monômios.
a) Adição e subtração
As operações de adição ou de subtração de monômios 
são definidas somente para monômios semelhantes, isto 
é, para monômios com a mesma parte literal. De modo sim-
plificado diz-se que na adição e na subtração de monômios 
semelhantes, conserva-se a parte literal e opera-se com a par-
te numérica.
Exemplos:
1) = (Observe que o coeficiente do primeiro x² é 
1 e por isso, “não aparece”).
 = (1 + 4)x²
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 81
 
2) = (Observe a parte literal e perceba que 
é a mesma em todos os monômios. Identifique os coefi-
cientes numéricos. Só depois disso realize a operação).
 = (3 – 2 + 6)xy
 
3) 2xy – 4x²y = (Observe as partes literais e perceba que 
elas não são iguais, portanto, os monômios não são 
semelhantes. Logo, não podemos realizar a operação). 
Portanto:
2xy – 4x²y = 2xy – 4x²y
4) 4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Observe com atenção as partes 
literais para identificar os monômios semelhantes).
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Opere apenas com os monômios 
semelhantes).
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (4 + 8)x²y³ - 5xy³
(4 + 8)x²y³ - 5xy³ = 12 x²y³ - 5xy³ Logo:
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = 12 x²y³ - 5xy³
5) (Primeiro observe que todos os monô-
mios são semelhantes. Depois observe as diferentes for-
mas que podem ser escritos monômios com coeficientes 
numéricos racionais. Agora realize as operações envol-
vendo frações).
82 Matemática Fundamental
 = (As frações estão destacadas em ver-
melho).
 (Na adição ou subtração de frações com deno-
minadores diferentes, precisa-se encontrar o Mínimo Múltiplo 
Comum – MMC, dos denominadores, decompondo-os em fa-
tores primos).
2, 3, 4 2 (Decompor em fatores primos – Só utilizar números primos1).
1, 3, 2 2 (Dividir novamente por dois).
1, 3, 1 3 (Dividir por três).
1, 1, 1 (Agora multiplicar os fatores primos: 2 x 2 x 3 = 12).
Logo, mmc(2, 3, 4) = 12
Retomando o cálculo:
(Deve-se dividir o mmc por cada um dos deno-
minadores. O resultado da divisão deve ser multiplicado pelo 
numerador).
 (12: 2 = 6; 6 x 1 = 6).
 (12: 3 = 4; 4 x 2 = 8).
 (12: 4 = 3; 3 x 3 = 9).
Reescrevendo:
 (Adição e subtração de frações com mesmo 
denominador conserva-se o denominador e opera-se com os 
numeradores). Logo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 83
b) Multiplicação
Na operação de multiplicação entre monômios realiza-se 
primeiramente a multiplicação entre os coeficientes numéricos 
e Logo, após a multiplicação entre as partes literais. Na parte 
literal aplica-se a propriedade da potência am . an = am+n. 
Exemplos:
1) (Primeiro opere com os coeficientes numé-
ricos).
 (Depois dos coeficientes numéricos opere 
com a parte literal).
 (Aplica-se a propriedade da potenciação de 
mesma base: am . an = am+n). Logo:
2) (Lembre-se: opere primeira-
mente com os coeficientes numéricos e depois com a 
parte literal. Na parte liberal aplique a propriedade da 
multiplicação de bases iguais, isto é, conserve a base e 
some os expoentes).
 (Coeficiente numérico).
 (Parte literal). Logo:
84 Matemática Fundamental
3) (Inicia-se com os coeficientes numé-
ricos. Lembre-se que na multiplicação de frações não é 
necessário realizar o mmc, basta multiplicar numerador 
por numerador e denominador por denominador).
 (Agora, simplifique o resultado, isto é, 
divida o numerador e o denominador pelo mesmo número, 
até encontrar a fração irredutível1).
 = (Divisão por dois).
 (Na parte literal aplica-se a proprieda-
de am . an = am+n).
c) Divisão
Na operação de divisão entre monômios realiza-se primei-
ramente a divisão entre os coeficientes numéricos e Logo, após 
a divisão entre as partes literais. Na parte literal aplica-se a 
propriedade da potência am : an = am-n.
Exemplos:
1) (Pode-se escrever esta mesma divisão 
como ).
15 : (Divisão entre os coeficientes numéricos).
2) (Escrevendo de outra forma para auxiliar no enten-
dimento).
1 Chama-se de Fração irredutível aquela em que não é mais possível realizar sim-
plificações.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 85
 (Reescrevendo).
 (Simplificando).
 =
Logo: 
Observação:
a) Para dividir frações pode-se utilizar um método prático. 
Lembre-se, também, que na divisão não é necessário 
realizar o mmc entre denominadores. Observe:
1) (Reescreve-se trocando a divisão pela multiplicação 
e inverte-se a segunda fração).
Logo: 
d) Potenciação
Na operação de potenciação de monômios, realiza-se pri-
meiramente a potenciação do coeficiente numérico e Logo, 
após a potenciação da parte literal. Na parte literal, aplica-se 
a propriedade da potência .
Exemplos:
1) (Aplicando a regra ).
86 Matemática Fundamental
2) (Primeiro trabalha-se com o coeficiente nu-
mérico).
 = 9 (Agora com a parte literal).
 = x² Logo:
3) (É preciso atenção).
 = (Aplicam-se as re-
gras: = e depois ).
e) Radiciação
A operação da radiciação segue as propriedades dos radi-
cais, por isso é muito importante que estudem o material com-
plementar da operação radiação, que faz parte da unidade 1. 
Analisa-se alguns exemplos:
1) (Lembre-se que: ).
 .
 (Simplifique as frações).
 Logo:
 
2) (Lembre-se que: ).
 = .
 (Simplifique as frações).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 87
Observação:
 (Fatorando 16 encontra-se: 16 = ).
 = 2 
4 Polinômios
Um monômio ou uma soma de monômios é chamado de po-
linômio.
Observações:
a) Todo monômio é considerado um polinômio.
b) Os monômios integrantes de um polinômio são chama-
dos de termos do polinômio.
Exemplos:
a) é um polinômio de um termo ou um monômio.
b) é um polinômio de dois termos ou um binômio.
c) é um polinômio de três termos ou um 
trinômio.
d) é um polinômio de quatro termos e 
assim sucessivamente.
88 Matemática Fundamental4.1 Operações com polinômios
Para operar com polinômios utiliza-se, muitas vezes, conceitos 
estudados sobre monômios.
a) Adição e subtração
A operação da adição e da subtração de polinômios são 
realizadas operando somente os termos semelhantes, isto é, 
termos com a mesma parte literal. Exemplos:
1) = (Reconhecer os termos seme-
lhantes)
, logo:
 =
2) 
 5x + y
 5x + y
3) 
 = 2a + 2
4) (Cuidado! 
. É necessário multiplicar os 
termos que estão dentro dos parênteses por (-1)).
 - 4
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 89
5) 
f) 
6) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8, determine:
A(x) + B(x) =
(2x³ - 5x + 4) + (- 3x³ + 2x² - 8) =
2x³ - 3x³ + 2x² - 5x + 4 – 8 =
- x³ + 2x² - 5x – 4
7) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8, determine:
A(x) – B(x) = A(x) + 
(2x³ - 5x + 4) + (3x³ - 2x² + 8) =
2x³ + 3x³ - 2x² - 5x +4 + 8 =
5x³ - 2x² - 5x + 12
Observação:
a) Na adição a soma de dois ou mais polinômios é um 
polinômio cujos termos são a soma algébrica dos ter-
mos semelhantes (mesma parte literal).
90 Matemática Fundamental
b) Na subtração a diferença de dois ou mais polinômios 
é o polinômio que se obtém adicionando um polinô-
mio ao oposto do outro:
A(x) – B(x) = A(x) + 
b) Produto de monômio por polinômio
Observe com atenção os exemplos. Lembre-se das proprie-
dades da potenciação. Exemplos:
1) (Multiplique o monômio x por cada 
um dos termos do polinômio que está entre parênteses).
2) 
3) 
4) Determine a área de um retângulo, cuja base é maior 
que a altura em 2m.
1º) Represente o problema com um desenho:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 91
2º) Represente a multiplicação por um desenho:
 , Logo, a área do retângulo é igual a (x² 
+ 2x) m².
Portanto, dado um monômio e um polinô-
mio , para o produto 
.
c) Produto de polinômio por polinômio
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monô-
mios) pode ser realizada de três formas:
a) Multiplicação de monômio com polinômio. 
b) Multiplicação de número Natural com polinômio.
c) Multiplicação de polinômio com polinômio. 
As multiplicações serão efetuadas utilizando a proprieda-
de: an . am = a n + m 
Exemplos:
1) (x + 3) (x² + 5) (Desmembra-se o primeiro binômio para 
depois multiplicar).
x(x² + 5) + 3(x² + 5) =
92 Matemática Fundamental
x³ + 5x + 3x² + 15 = (Como não possui termos seme-
lhantes, esta é a resposta).
x³ + 3x² + 5x + 15 (Escrita levando em conta os expoentes 
– do maior ao menor).
2) 
a(c – d + e) + b(c – d + e) =
3) =
2 
4) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ 
+ 2x² - 8 determine:
A(x) . B(x) =
(2x³ - 5x + 4) . (- 3x³ + 2x² - 8) =
- 6x6 + 4x5 – 16x³ + 15x4 – 10x³ + 40x – 12x³ + 8x² - 32 =
- 6x6 + 4x5 + 15x4 – 16x³ – 10x³ – 12x³ + 8x² + 40x – 32 =
- 6x6 + 4x5 + 15x4 – 38x³ + 8x² + 40x – 32
Portanto, dados os polinômios 
e , , o produto 
=
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 93
Observação:
a) Na multiplicação, o produto de dois polinômios é um 
polinômio que se obtém multiplicando-se cada termo 
do primeiro polinômio por todos os termos do segundo 
e adicionando-se os termos semelhantes dos produtos 
obtidos. Lembre-se que na multiplicação de potências 
de mesma base conserva-se a base e somam-se os ex-
poentes.
d) Divisão de polinômio por polinômio
Realiza-se a divisão de polinômios através da divisão entre 
os coeficientes numéricos e da divisão de potências de mesma 
base. Na divisão de potências de mesma base utiliza-se a pro-
priedade an : am = a n – m.
Efetuar uma divisão de um polinômio P(x) pelo polinômio 
B(x) é, por definição, achar um par de polinômios Q(x) e um 
polinômio R(x), de tal maneira que:
P(x) B(x) . Q(x) + R(x) ( .
Denomina-se:
P(x): dividendo; B(x): divisor; Q(x): quociente; R(x): resto.
Na divisão o grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) 0
Observe que a definição de divisão exige que o grau do 
resto seja menor que o grau do divisor ou, então, que o resto 
seja nulo. Quando R(x) = 0, a divisão é exata.
94 Matemática Fundamental
Representa-se esta divisão da seguinte forma:
, onde P(x) = Q(x) . B(x) + R(x)
Observe a divisão 489 : 21:
489 = 21 . 23 + 6 (6 < 21)
Esta divisão também pode ser feita na forma polinomial:
489 = 4 . 10² + 8 . 10¹ + 9 . 100
21 = 2 . 10¹ + 1 . 100
Com os polinômios realiza-se o mesmo algoritmo. Por 
exemplo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 95
1) Dividir P(x) = 4x² + 8x + 9 por D(x) = 2x + 1.
2) Determine o resto da divisão de P(x) = x² + 4x + 9 pelo 
binômio do 1º grau B(x) = x – 1.
3) Para , tem-se:
96 Matemática Fundamental
d) Para , tem-se:
5 Produtos Notáveis
Alguns produtos entre polinômio apresentam um padrão, uma 
regularidade em seus resultados. Por esse motivo são chama-
dos de produtos notáveis.
5.1 Quadrado de uma soma indicada
a) Dado um quadrado de lado medindo (x + a) cm, de-
termine a sua área.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 97
Calculando a área (A = b x h) de cada uma das partes que 
resultaram da divisão do quadrado, tem-se:
, logo:
 
Pode-se também encontrar o resultado por multiplicação 
de polinômios:
 =
x(x + a) + a(x + a) = x² + ax + ax + a² (Adição de mo-
nômios semelhantes).
x² + ax + ax + a² = x² + 2ax + a²
b) =
 =
98 Matemática Fundamental
 y² + 3y + 3y + 9 (Adição de monô-
mios semelhantes).
y² + 3y + 3y + 9 = y² + 6y + 9
Observe o padrão encontrado:
1º termo 
da soma
2º termo 
da soma
Quadrado 
do 1º 
termo
Dobro do 
produto do 1º 
pelo 2º termo
Quadrado 
do 2º 
termo
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 = 25x² + 40x + 16
5.2 Quadrado de uma diferença indicada
a) 
a (a – b) – b(a – b) = 
 = 
b) 
 = 
O padrão encontrado nesta multiplicação é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 99
 = 9x² - 30x + 25
5.3 Produto de uma soma indicada por uma 
diferença indicada
a) 
 =
a (a – b) + b(a – b) = 
 
b) 
O padrão encontrado nesta multiplicação é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 = 9x² - 16
5.4 Cubo de uma soma indicada
a) (Primeiro resolve-se 
 (Regra do produto notável (a + b)²)
100 Matemática Fundamental
 x(x² + 10x + 25) + 5(x² + 10x + 25) =
x³ + 10x² + 25x + 5x² + 50x + 125 = x³ + 15x² + 75x 
+ 125
b) (Desmembra-se desta for-
ma para facilitar o cálculo).
 (Regra do produto notável)
(a + b) . 
O padrão encontrado no cubo de uma soma é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável)
 =
8x³ + 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 + 125 =
8x³ + 60x² + 150x + 125
5.5 Cubo de uma diferença indicada
a) (Primeiro, resolve-se 
 (Regra do produto notável (a - b)²)
 x(x² - 10x + 25) - 5(x² - 10x + 
25) =
x³ - 10x² + 25x - 5x² + 50x - 125 = x³ - 15x² + 75x - 125
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 101
b) (Desmembra-se desta for-
ma para facilitar o cálculo).
 (Regra do produto notável)
(a - b) . 
O padrão encontrado no cubo de uma diferença é: 
c) (Aplicando a regra do produto notável).
 =
8x³ - 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 - 125 = 8x³ - 60x² + 150x - 125
6 Fatoração de expressões algébricas
A fatoração de expressões algébricas consiste na representa-
ção de uma expressão algébrica na forma de produto entre 
duas ou mais expressões algébricas. Tem por objetivo repre-
sentar a soma polinomial de números e incógnitas através do 
produto de termos. Para a fatoração de expressões algébricas 
utilizam-se diferentes métodos.
6.1 Fator comum
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro 
caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica 
devem ter pelo menos algum termo em comum.
102 Matemática Fundamental
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidên-
cia. Devem-se seguir os seguintes passos:
1º) Identificar o maior fator comum em todos os termos da 
expressão algébrica.
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
3º) Representar a expressão pelo produtodo fator comum 
e o quociente da divisão.
Exemplos:
a) Fatorar a expressão algébrica 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da ex-
pressão algébrica.
Fator comum entre os números 6, 12, 15 (Identificar o 
maior número que divide 6, 12 e 15. Neste exemplo, o maior 
número é 3).
6, 12, 15
3, 6, 15
3, 3, 15
1, 1, 5
1, 1, 1
2 (Não dividiu todos os números)
2 (Não dividiu todos os números)
3 (Dividiu todos os números)
5 (Não dividiu todos os números)
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos é 3.
Fator comum entre as partes literais.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 103
x, x³, x² (Primeiro, observar se a variável – letra – aparece 
em todos os termos. Segundo optar pelo menor expoente. Por-
tanto, o fator comum da parte literal, deste exemplo, é x).
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 3x.
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum 
e os quocientes das divisões.
 = 
Para verificar se a resposta está correta, pode-se realizar a 
multiplicação:
 = 
b) Fatorar a expressão algébrica 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da ex-
pressão algébrica.
104 Matemática Fundamental
Fator comum entre os números 20, 4, 12 (Identificar o 
maior número que divide 20, 4, 12. Neste exemplo, o maior 
número é 4).
20, 4, 12
10, 2, 6
5, 1, 3
5, 1, 1
1, 1, 1
2 (Dividiu todos os números)
2 (Dividiu todos os números)
3 (Não dividiu todos os números)
5 (Não dividiu todos os números)
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos 2 x 2 = 4
Fator comum entre as partes literais.
 (Primeiro observar se as variáveis – letras – 
aparecem em todos os termos. A letra x está presente em todos 
os termos, então é um fator comum. A letra y não aparece em 
todos os termos, então não é fator comum. Segundo, identifi-
car o menor expoente de x, que neste exemplo é 2. Portanto, o 
fator comum da parte literal é x²).
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 4x².
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator 
comum.
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 105
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum 
e o quociente da divisão.
 = 4x²(5y – xy² + 3)
6.2 Fatoração por agrupamento
Para trabalhar com este tipo de fatoração (fatoração por agru-
pamento) deve-se seguir dois passos.
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo 
menos um fator comum em cada grupo.
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
3º) Reescrever a nova fatoração.
Exemplos:
a) 
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo 
menos um fator comum em cada grupo (Separar os 
termos com o coeficiente a e depois os termos com 
coeficiente b).
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
106 Matemática Fundamental
) (A fatoração de dois grupos separa-
damente, deve gerar um fator comum para nova fatoração.
Neste exemplo, o novo fator comum é (x + y).
3º) Reescrever a nova fatoração.
 = )
) = 
b) 
1º) Separa-se em grupos de termos, de modo que haja 
pelo menos um fator comum em cada grupo.
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupa-
mento de termos.
 (A fatoração de dois grupos sepa-
radamente deve gerar um fator comum para nova fatoração. 
Neste exemplo, o novo fator comum é ).
3º) Reescrever a nova fatoração.
 + 
 + Logo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 107
6.3 Trinômio quadrado perfeito (TQP)
Quando um polinômio se apresenta na forma 
, para P e Q dois polinômios quaisquer, en-
tão: .
Para trabalhar com esse caso de fatoração, deve-se seguir 
os seguintes passos:
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se:
a) Para representa-se a expressão pelo quadra-
do da soma das raízes.
b) Para representa-se a expressão pelo quadra-
do da diferença das raízes.
Exemplos:
a) x² + 6x + 9
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = 6x (Portanto, > 0).
108 Matemática Fundamental
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da soma 
das raízes. Logo:
b) x² -10x + 25
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = (Portanto, < 0).
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da dife-
rença das raízes. Logo:
c) 4x² - 20x + 25
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Verificar se: 
Neste exemplo, 2PQ = (Portanto, < 0).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 109
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da dife-
rença das raízes. Logo:
6.4 Diferença de dois quadrados
Quando o polinômio de apresenta na forma , para P 
e Q dois polinômios quaisquer então .
Para trabalhar com esse caso de fatoração, devem-se se-
guir os seguintes passos:
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
Exemplos:
a) x² - 36 =
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
b) 
110 Matemática Fundamental
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo.
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo.
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes.
6.5 Soma de dois cubos
Observe que x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois ter-
mos, onde os dois estão elevados ao cubo e somados. Assim, 
pode-se concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de 
dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real. 
Esse tipo de fatoração é o caminho inverso do seguinte desen-
volvimento:
 (Opera-se 
com os termos semelhantes).
Logo, pode-se afirmar que:
 = 
Exemplos:
a) b³ + 1 000 (Neste exemplo, o primeiro termo é b e o 
segundo termo é 1 000).
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 111
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = b e y = 10).
b³ + 1 000 = (b + 10) (b² - 10b + 100)
b) 8c³ + 27 (Neste exemplo, o primeiro termo é c e o 
segundo termo é 27).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = 2c e y = 3).
8c³ + 27 = (2c + 3) (4c² - 6c + 9)
6.6 Diferença de dois cubos
O raciocínio é o mesmo que na soma de dois cubos. Observe 
que x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, onde os 
dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, pode-se con-
cluir que x3 - y3 é uma forma geral da diferença de dois cubos 
112 Matemática Fundamental
onde x e y poderão assumir qualquer valor real. Esse tipo de 
fatoração é o caminho inverso do seguinte desenvolvimento:
 
 
 (Opera-se com 
os termos semelhantes).
Logo, pode-se afirmar que:
 = 
Exemplos:
a) b³ - 1 000 (Neste exemplo, o primeiro termo é b e o 
segundo termo é 1 000).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = b e y = 10).
b³ - 1 000 = (b - 10) (b² + 10b + 100)
b) 8c³ - 27 (Neste exemplo, o primeiro termo é c e o segun-
do termo é 27).
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo:
Capítulo 3 Tópicos de Álgebra da Educação Básica 113
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo:
3º) Substituir na forma (Neste exem-
plo, x = 2c e y = 3).
8c³ - 27 = (2c - 3) (4c² + 6c + 9)
7 Simplificação de frações algébricas
Para simplificar frações algébricas, em muitos casos, a fatora-
ção é fundamental. Exemplos:
a) (Fator comum em evidência e sim-
plificação do x).
b) (Diferença de dois quadrados e 
simplificação de (b – 5)).
c) (TQP e simplificação