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Equações Diferenciais: Modelagem de problemas 
 
Cleber de Oliveira dos Santos
1
 
Faculdade capivari - FUCAP, Capivari de Baixo, SC 
cleber_013@hotmail.com 
 
Resumo: Este artigo apresenta algumas modelagens matemática de problemas através 
das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em situações reais, situações que 
acontecem no dia-a-dia de qualquer estudante, trazendo o estudo dessas equações para o 
cotidiano dos mesmos, assim podem responder a uma pergunta que é muito frequente 
no estudo de tais equações: para que serve estudar tais equações e onde aplicá-las? 
Vamos dar ênfase nos problemas que envolvem: Lei de resfriamento de Newton, 
Crescimento e Decrescimento, Circuito elétrico RL, Misturas. Os problemas são 
solucionados usando o método de variáveis separáveis, conteúdo estudado na disciplina 
de Equações Diferenciais da Faculdade Capivari – FUCAP. 
 
Palavras chave: aplicações, equações diferenciais de primeira ordem, variáveis 
separáveis. 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Equações diferenciais é uma ferramenta matemática que podemos usá-la para 
resolver problemas da vida real. O objetivo da modelagem de uma equação diferencial é 
encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema. 
A modelagem de um conjunto de equações diferenciais fornece um resultado 
aproximado do problema real, assim, a modelagem através de equações diferenciais 
fornece uma ferramenta poderosa para obtermos o resultado geral de vários tipos de 
problemas. 
Historicamente, o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o 
desenvolvimento da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de 
movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do 
eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e da relatividade. 
Hoje em dia, a utilização de equações diferenciais foi estendida para as mais diversas 
áreas do conhecimento, existem aplicações de equações diferenciais em Ciências 
Naturais, temos: o problema da dinâmica de populações, o de propagação de epidemias, 
 
1
Mestre em Educação: linha de pesquisa: Educação em Ciências/Matemática pela Universidade do Sul de 
Santa Catarina - UNISUL (2017), Especialista em Matemática pela Universidade Federal de Santa 
Catarina - UFSC (2011), graduado em Matemática - UNISUL (2005), Especialista em Educação 
Matemática pela UNISUL (2007), graduado em Física - UNISUL (2016). Atualmente é professor das 
disciplinas de Cálculo III, Álgebra linear, Geometria Analítica, Equações Diferenciais, Física I dos 
Cursos de Engelharia de Produção, Civil, Mecânica e Ambiental e sanitária da Faculdade Capivari 
(FUCAP). Tem experiência na área de Matemática e Física. Integrante de dois grupos de pesquisa: 
GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem Histórico-Cultural) e o 
TEDMAT (Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática). 
a datação por carbono radioativo, a exploração de recursos renováveis, a competição de 
espécies como, por exemplo, no sistema predador versus presa. 
As equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema 
financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre outras. 
Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de 
equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, 
apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. 
 
2 Modelagem 
 
2.1 Lei de Resfriamento de Newton 
 
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, 
importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada 
para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma 
exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se 
altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio-
ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton. 
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de 
um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é: 
 
 
 
Onde: 
T: temperatura do corpo no instante t 
Ta: temperatura constante do ambiente 
T – Ta: diferença de temperatura 
t: tempo 
k: constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o 
corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo 
com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. 
 
Problema 1 Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no 
instante t0 = 0. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor 
obtido é T = 30 ºC. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua 
temperatura é novamente medida e o valor encontrado é T1 = 23 ºC. O crime parece ter 
ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia 
então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da 
morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado t0 tenha se mantido mais ou menos 
constante T ≌ 20 ºC. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser 
humano vivo é de 37 ºC. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do 
crime? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ 
 +c 
 
 
 
 
 
 
Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 30 ºC, então, temos: 
 
 
 
 
 
Quando o tempo t = 2h a temperatura T = 23 ºC, então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ≌ 
A equação da temperatura T do cadáver é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ≌ 
Portanto, o crime ocorreu a aproximadamente uma hora antes de o corpo ser descoberto. 
 
Problema 2 Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar 
é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. 
Se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 
100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ 
 +c 
 
 
 
 
 
 
Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 100 ºC, então, temos: 
 
 
 
 
 
Quando o tempo t = 20 min a temperatura T = 60 ºC, então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da temperatura T do corpo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, dentro de 60 min ou 1 hora sua temperatura descerá para 30 ºC. 
 
Problema 3 Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100 
0
F em um quarto com 
temperatura constante de 0 
0
F.